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重难点突破 01 平面向量中最值、范围问题
以平面图形为载体的有关数量积的最值问题和范围问题是高考的热点之一，常以选择题、
填空题的形式呈现．要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化．
[解题思路]建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数等)的最值或应用基
本不等式．同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应
用图形的几何性质.
一、几何投影法
侧重于从投影入手体现几何意义，如平面向量数量积 a·b＝|a||b|cos θ，其几何意义为其中
一个向量长度乘以另一个向量在其方向上的投影，解题时可结合向量的投影来探寻联系，
从而转化为数量积问题．
二、基向量法
解题时有时无法获取对应向量数量积的要素，如模和夹角，此时就可以考虑采用基底法．
先设定两个不平行的向量作为基底，然后将所需向量表示出来，最后根据条件进行最值分
析．
三、坐标法(数形结合法)
把几何图形放在适当的坐标系中，将向量坐标化，利用向量之间的坐标运算来解答．坐标
法是高考中常用的解题技巧，其核心知识点为向量数量积的运算法则，即a＝(x ，y)，b＝
1 1
(x，y)，则a·b＝xx＋yy.
2 2 1 2 1 2
一．选择题（共20小题）
1．（2023•宣化区校级三模）已知正方形 的边长为2， 是它的外接圆的一条弦
点 为正方形四条边上的动点，当弦 的长度最大时， 的取值范围是
A． ， B． C． ， D． ，【解答】解：当弦 的长度最大时，弦 过正方形 的外接圆的圆心 ，
正方形 的边长为2， 圆 的半径为 ，
如图所示：
则 ， ，
，
点 为正方形四条边上的动点，
，又 ，
，
故选： ．
2．（2023•榆林一模） 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若
，则 的取值范围为
A． B． C． ， D． ，
【解答】解：因为 ，由正弦定理得 ，
又 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，故 ．
故选： ．
3．（2023•重庆模拟）已知 是单位向量，向量 满足 与 成角 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：作 ，则 ，如图，
，
， 与 成角 ，且 ， 点在射线 上，
，
的取值范围为： ．
故选： ．
4．（2023•广东模拟）已知单位向量 ， ，若对任意实数 ， 恒成立，则
向量 ， 的夹角的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：依题意， ，
所以 ，即 恒成立，
则△ ，解得 ，
故 ， 的夹角的取值范围是 ．
故选： ．5．（2023•鼓楼区校级模拟）在矩形 中， ， ．若 ，则
的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：在矩形 中， ， ，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则 ， ， ，
又 ，
则可设 ，其中 ， ，
则 ， ，
则 ，
又 ， ，
则 ， ，
故选： ．
6．（2023•思明区校级四模）已知直线 与圆 相交于不同两点 ， ，点
为线段 的中点，若平面上一动点 满足 ，则 的取值范围是A． B． C． ， D． ，
【解答】解： 点 为线段 的中点， ，
由平面向量数量积的几何意义知： ，
直线 与圆 相交， 圆心到直线的距离 ， ，
， ．
故选： ．
7．（2023•河南三模）如图，这是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数
的图形，已知 是平面四边形 内一点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：由题可知 在 上的投影数量的取值范围为 ，
又因为 ，所以 的取值范围是 ．
故选： ．
8．（2023•开封二模）已知等边 的边长为 ， 为 所在平面内的动点，且
，则 的取值范围是
A． B． C． ， D． ，
【解答】解：以 为坐标原点，以 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，
则 ， ， ， ，
由题意设 ， ，
则 ， ，
，
， ，可得 ， ．
故选： ．
9．（2023•厦门模拟）圆 为锐角 的外接圆， ，点 在圆 上，则的取值范围为
A． B． ， C． D． ，
【解答】解：由 为锐角三角形，则外接圆圆心在三角形内部，如下图示，
又 ，而 ，若外接圆半径为 ，
因为 ，
，
，
两边平方得， ，
，
则 ，
故 ，且 ，即 ，
由 ，
对于 且 在圆 上，当 为直径时 ，当 ， 重合时 ，
，
综上， ，锐角三角形中 ，则 ，即 恒成立，
，则 恒成立，
综上所述， 的取值范围为 ， ．
故选： ．
10．（2023•河南模拟）在锐角三角形 中， ， ，则 边上的高的取值
范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
则 边上的高 ，
由正弦定理得 ．
由 为锐角三角形，可知 ，
则 ，
所以 ，从而 ，
因此 边上的高的取值范围是 ．
故选： ．
11．（2023•合肥模拟）已知线段 的中点为等边三角形 的顶点 ，且 ，
当 绕点 转动时， 的取值范围是A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：以 点为原点，以与 平行的直线为 轴，与 垂直的直线为 轴，建立
平面直角坐标系，
则 ， ， ，易知 、 两点都是圆 上的动点，
方法一：当直线 斜率不存在时， ， ，
此时 ， ，则 ，
当直线 斜率不存在时，可设直线 的方程为 ，
当 时，联立 ，解得 ， ，
则 ， ， ， ，
，
同理，当 时， ， ，
， ，综上所述， 的取值范围是 ， ；
方法二：设点 ， ， ，
则 ，
， ，
，
， ， ， ．
故答案选： ．
12．（2023•重庆模拟）已知向量 的夹角为 ， ，若对任意的 、
，且 ， ，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． D．
【解答】解：已知向量 的夹角为 ， ，
则 ，
所以 ，
所 以 对 任 意 的 、 ， 且 ， ， 则
，
所以 ，即 ，设 ，即 在 上单
调递减，又 时， ，解得 ，
所以 ， ， 在 上单调递增；
， ， ， 在 ， 上单调递减，
所以 ．
故选： ．
13．（2023•盐山县校级三模）在 中，若 ， ，
，则 的取值范围为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：因为 ，
所以 为 的外心，且 为 外接圆上一动点，
又 ， ，
所以 外接圆的半径 ．
如图，
作 ，垂足为 ，则 ．
所以，当 与圆相切时， 取最值，即 在 处取最大值6，在 处取最小值 ．
故选： ．
14．（2022•滨州二模）在 中， 为 边上任意一点， 为线段 上任意一点，
若 ，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：由题意，设 ， ，
当 时， ，所以 ，
所以 ，从而有 ，
当 时，因为 ， ，
所以 ，即 ，
因为 、 、 三点共线，所以 ，即 ， ，
综上， 的取值范围是 ， ．
故选： ．
15．（2023•姜堰区模拟）已知平面向量 ， ， 均为单位向量，且 ，
的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，【解答】解：由平面向量 ， ， 均为单位向量，且 ，
根据向量的减法的几何意义，可得 ， 向量夹角为 ，
则
，
所以当 与 同向时，原式取到最小值 ；
当 与 反向时，原式取到最大值4．
故选： ．
16．（2023•迎江区校级模拟）已知点 为锐角 的外接圆 上任意一点， ，
，则 的取值范围为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：因为 ，
所 以
设 的外接圆的半径为 ，
则
在 中，由正弦定理得 ，
又 ，所以 ，
则 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
又 可得 ，则 ，
所以 ， ，
又 ， 在 上都为增函数，
所以 ，故 ，
又 ， ， ，
所以 ，
故 ，
所以 ，当 时，即点 与点 重合时等号成立，
所以 的取值范围为 ， ．
故选： ．
17．（2023•郑州三模）已知 中， ， ，， ， ， ，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：由平面向量的加法法则可得， 就是点 到 的距离
，
， 是 的平分线，
，
即 ，
， ，
， ， ，
为等腰直角三角形， ，
设 ， 为斜边 的两个四等分点，
， ， 且 ，
， ， 三点共线且 在 的两个四等分点之间运动，
， ， ，
由图易得：当 时， 最小，此时 ，
， ，
当 在 时， 最大，此时在 中，
由 余 弦 定 理 有 ：．
的取值范围为 ．
故选： ．
18．（2023•天津二模）在平面四边形 中， ， ，
．若 、 为边 上的动点，且 ，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，设 、 交于 ．不妨设 点到 点的距离大于 点到 点的距
离，
， 且 ，
平面四边形 是平行四边形，
设 ， ，
，
， 平面四边形 是菱形，
又 ， ，
，又 ， ，，
，
设 的中点为 ，则 ， ，
，
又易知 的最小值为 ，
的最大值为 ，
的最小值为 ， 的最大值为 ，
的取值范围为 ， ．
故选： ．
19．（2023•开封三模）等腰直角三角形 的直角顶点 在 轴的正半轴上，点 在
轴的正半轴上，点 在第一象限，且 ， 为坐标原点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得： 为直角三角形，且 ，
不妨设 ， ，其中 ，
如图所示，由等腰直角三角形的性质及全等三角形性质易得：点坐标为 ，
，
又 ， ，
， ．
故选： ．
20．（2023•渝中区校级模拟）已知平面向量 ， ， 满足： ， ， ，
，则 的取值范围是
A． ， B． C． D．
【解答】解： ，
，即 ，
，则 ，
，
，可得 ，
．
故选： ．二．多选题（共6小题）
21．（2023•浉河区校级模拟）已知曲线 上的动点满足 ， 为坐标原点，直线
过 和 两点， 为直线 上一动点，过点 作曲线 的两条切线 ， ， ，
为切点，则
A．点 与曲线 上点的最小距离为
B．线段 长度的最小值为
C． 的最小值为3
D．存在点 ，使得 的面积为3
【解答】解：已知曲线 上的动点满足 ， 为坐标原点，
则点 的轨迹方程为 ，
又直线 过 和 两点，
则直线 的方程为 ，
对于选项 ，圆 的圆心到直线 的距离为 ，
则点 与曲线 上点的最小距离为 ，
即选项 错误；
对于选项 ， ，
即选项 错误；
对于选项 ，由题意可得 ，
则 ，则 ，
又 ，
则 的值随着 的值增大而增大，
即当 取最小值 时， 取最小值3，
即选项 正确；
对于选项 ，由题意可得 ，
又 ，
显然当 时， 的面积随着 的增大而减小，
即 时， 的面积取最小值 ，
又 ，
即存在点 ，使得 的面积为3，
即选项 正确．
故选： ．
22．（2023•桐城市校级一模）在边长为4的正方形 中， 在正方形（含边）内，满足 ，则下列结论正确的是
A．若点 在 上时，则
B． 的取值范围为 ，
C．若点 在 上时，
D．当 在线段 上时， 的最小值为
【解答】解：如图，以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立平
面直角坐标系，
则 ， ， ， ，设 ， ， ， ，
，
， ， ， ， ，
对于 ，由题意可得线段 的方程为 ， ， ，
点 在 上， ，
， ，
，故 正确；
对于 ， ， ， ，， ， ， ， ，
， ，故 错误；
对于 ， ， ， ，
， ， ， ，
， ，
，则 ， ，
， 不满足，
不成立，故 错误；
对于 ， ，当且仅当 时取等
号，
当 在线段 上时， 的最小值为 ，故 正确．
故选： ．
23．（2023•黄州区校级二模）如图，正方形 中， 为 中点， 为线段 上的
动点 ，则下列结论正确的是A．当 为线段 上的中点时，
B． 的最大值为
C． 的取值范围为 ，
D． 的取值范围为
【解答】解：根据题意建立平面直角坐标系，如图所示：
设 ，
所以 ， ， ，
设 ，则 ，
由于 ，所以 ， ， ， ，整理得 ， ，
则 ， ，
对于 ：当 为 上的中点时，则 ，故 ，故 正确；
对于 ，由于 ，当 时 的最大值为 ，故 正确；
对于 ：由于 ， ，所以 ，故 的取值范围为 ， ，故 正确；
对于 ， ，故 的取值范围为 ， ，故 错误．
故选： ．24．（2023•香坊区校级三模）已知 的三个内角 ， ， 所对边的长分别为 ， ，
，若 ，则下列正确的是
A． 的取值范围是
B．若 是 边上的一点，且 ， ，则 的面积的最大值为
C．若 是锐角三角形，则 的取值范围是
D．若 是锐角三角形， 平分 交 于点 ，且 ，则 的最
小值为
【解答】解：因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，又 ，所以 ，
，因为 ，
所以 ， ，所以 ，
所以 ，故 错误；
因为 ，所以 ，
所以 ，
，当且仅当 ，即 时取等号， ，
的面积的最大值为 ，故 正确；
，
是锐角三角形， ，
， ，
， ，故 正确；
由题意得： ，
可得： ，
可得： ，
得
，当且仅当 ，即 时取等号， 的最小值为 ，故 正确．
故选： ．
25．（2023•湖南模拟）如图，正方形 的边长为2， 是正方形 的内切圆上任
意一点， ，则
A． 的最大值为4 B． 的最大值为
C． 的最大值为2 D． 的最大值为
【解答】解：以 为坐标原点建立直角坐标系，如图所示，
则 ， ，
内切圆的方程为 ，
可设 ，
则 ， ，
所以 ，当 ，即 为 的中点时取等号，所以 的最大值为4， 正确；
因为 ，
所以 ，当 ，即 时等号成立，
所以 的最大值为 ， 错误，
由 ，可得 ， ， ， ， ，
得 ， ，
， ，
当 ，即 时，所以所以 的最大值为 ， 正确，
当 ，即 时，所以所以 的最大值为 ， 正确．
故选： ．
26．（2023•葫芦岛二模）已知向量 满足 ， ， ，
．则下列说法正确的是
A．若点 在直线 上运动，当 取得最大值时， 的值为
B．若点 在直线 上运动， 在 上的投影的数量的取值范围是
C．若点 在以 为半径且与直线 相切的圆上， 取得最大值时， 的
值为3D．若点 在以 为半径且与直线 相切的圆上， 的范围是 ，
【解答】解：因为 ，即有 ，
则以点 为坐标原点， 的方向分别为 ， 轴的正方向，建立平面直角坐标系，
则 ， ，由 ，得 ，
点 ， 确定的直线 方程为： ，即 ，
当点 在直线 上时， ，即 ， ，
因此当 时， 取得最大值 ，
此时 ， ， 错误；
在 上的投影的数量为 ，
当 时， ，当 时， ，当且仅当 时取等号，即
，当 时， ，
因为 恒成立，则 ，
所以 ，即 在 上的投影的数量的取值范围是 ， 正确；
当点 在以 为半径且与直线 相切的圆上时，
因为与直线 相切，且半径为 的圆的圆心轨迹是与直线 平行，且到直线 距离
为 的两条平行直线，
设这两条与 平行的直线方程为 ， ，
则 ，解得 或 ，
因此动圆圆心的轨迹为直线 或直线 ，
设圆心为 ，则点 在圆 上，其中 或 ，
于是令 ，
则
，显然点 是直线 或 上任意一点，即 ， ，从而 无最大值，即 无最大值， 错误；
，其中锐角 满足 ，
显然 ，当圆心 在直线 时， ，则 ， ，
当圆心 在直线 时， ，则 ， ，
所以 的范围是 ， ， 正确．
故选： ．
三．填空题（共9小题）
27．（2023•沈阳三模）已知 ， ，若 与 的夹角是锐角，则实数 的取
值范围是 ， ， ．
【解答】解： ， ， 与 的夹角是锐角，
则 且 、 不同向，即 ，解得 且 ，
故实数 的取值范围是 ， ， ．
故答案为： ， ， ．
28．（2023•广陵区校级模拟）已知平面直角坐标系内的两个向量， ，
，且平面内的任一向量 都可以唯一的表示成 ， 为实数），
则 的取值范围是 ， ， ．
【解答】解： 平面内的任一向量 都可以唯一的表示成 ， 为实数），则， 为基底，即基底不共线．
，
．
故答案为： ， ， ．
29．（2023•漳州模拟）已知 ，点 满足 ，点 为线段 上异于 ，
的动点，若 ，则 的取值范围是 ．
【 解 答 】 解 ： 由 题 意 设 ， ， 因 为 ， 所 以
，
所以 ，
又 ，则 ，
所以 ，
又因为 ，由二次函数得性质得 ，
所以 得取值范围为 ．
故答案为： ．
30．（2022•宝山区校级二模）已知单位向量 ， 的夹角为 ，若 ，则
的取值范围是 ．
【解答】解：由题意， ， ．， ， ，则 ， ，
的取值范围是 ．
故答案为： ．
31．（2023•海淀区校级模拟）已知点 是边长为 4 的正方形的中心，点 是正方形
所在平面内一点， ，若 ．
（1） 的取值范围是 ；
（2）当 取得最大值时， ．
【解答】解：（1）建立以 为原点的坐标系，如图所示：
由 可得 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，
设 ，则有 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
由 的轨迹方程可知 ，
即 ，所以 ，所以 的范围为： ；
（2）将 代入 ，得 ，
所以点 在圆 上，
设 ，
则 ，
所以当 时， 取最大值，此时 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
故答案为： ； ．
32．（2023•盐城三模）在 中， ， ， ，则 的取值范
围是 ．
【解答】解：根据正弦定理得 ，即 ，
，，
， ，
，
即 的取值范围 ．
故答案为： ．
33．（2023•虹口区校级三模）已知平面向量 满足 ，则
的取值范围是 ．
【解答】解：不妨设 ，则 ，
由 ，可得 ，
则 ，
所以 的取值范围是 ．
故答案为： ．
34．（2023•黄浦区模拟）已知单位向量 与 ，向量 在 方向上的投影向量为 ，且
，若 的取值范围是 ，则 的取值范围是 ．
【解答】解：根据题意可知 ，
向量 在 方向上的投影向量为 ，，
的取值范围是 ，
．
故答案为： ．
35．（2023•武清区校级模拟）在四边形 中， ， ， ，
则 ；若 ， 分别是边 ， 上的点，且满足 ，则当
时， 的取值范围是 ．
【解答】解： 在四边形 中， ， ， ，
四边形 为等腰梯形， ， ，
， ，
．
， ， ，
， ， ，
， ，
，
， ，解得 或 ，
， ，
的取值范围是 ，
故答案为： ， ．
