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重难点突破 01 数列中的数学文化与新定义
一．选择题（共25小题）
1．（2023•北京模拟）2023年是我国规划的收官之年，2022年11月23日全国22个省份
的832个国家级贫困县全部脱贫摘帽．利用电商平台，开启数字化科技优势，带动消费扶
贫起到了重要作用．阿里研究院数据显示，2013年全国淘宝村仅为20个，通过各地政府
精准扶贫，与电商平台不断合作创新，2014年、2015年、2016年全国淘宝村分别为212个、
779个、1311个，从2017年起比上一年约增加1000个淘宝村，请你估计收官之年全国淘
宝村的数量可能为
A．4212个 B．4311个 C．4779个 D．8311个
2．（2023•全国一模）南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些
新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之
差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．现有高阶等差数列，其前 7项分
别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为
A．172 B．183 C．191 D．211
3．（2023•雅安模拟）小方计划从4月1日开始存储零钱，4月1日到4月4日每天都存储
1元，从4月5日开始，每天存储的零钱比昨天多1元，则小方存钱203天 月1日为第1
天）的储蓄总额为
A．19903元 B．19913元 C．20103元 D．20113元
4．（2023•甘肃模拟）九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具．它用九个圆环相连
成串，解开九连环最少需要移动341次．它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林
黛玉巧解九连环的记载．周邦彦也留下关于九连环的名句“纵妙手、能解连环．”九连环
有多种玩法，在某种玩法中：已知解下 1个圆环最少需要移动圆环1次，解下2个圆环最
少需要移动圆环2次，记 为解下 个圆环需要移动圆环的最少次数，且，则解下8个圆环所需要移动圆环的最少次数为
A．54 B．90 C．170 D．256
5．（2023•池州模拟）如图的形状出现在南宋数学家杨部所著的《详解九章算法 商功》
中，后人称为“三角垛”．角垛”的最上层有 1个小球，第二层有3个小球，第三层有6
个小球设各层球数构成数列 ．该数列从第二项起每一项与前一项的差构成等差数列，
则该“三角垛”中第8层小球个数为
A．21 B．28 C．36 D．45
6．（2023•浉河区校级模拟）三潭印月被誉为“西湖第一胜境”，所谓三潭，实际上是 3
个石塔和其周围水域，石塔建于宋代元四年（公元1089年），每个高2米，分别矗立在水
光潋滟的湖面上，形成一个等边三角形，记为△ ，设△ 的边长为 ，取△
每边的中点构成△ ，设其边长为 ，依此类推，由这些三角形的边长构成一
个数列 ，若 的前6项和为 ，则△ 的边长A．62 B．61 C．31 D．30
7．（2023•海淀区二模）芯片是科技产品中的重要元件，其形状通常为正方形．生产芯片
的原材料中可能会存在坏点，而芯片中出现坏点即报废，通过技术革新可以减小单个芯片
的面积，这样在同样的原材料中可以切割出更多的芯片，同时可以提高芯片生产的产品良
率． ．在芯片迭代升级过程中，每一代芯
片的面积为上一代的 ．图1是一块形状为正方形的芯片原材料，上面有 4个坏点，若将
其按照图2的方式切割成4个大小相同的正方形，得到4块第3代芯片，其中只有一块无
坏点，则由这块原材料切割得到第3代芯片的产品良率为 ．若将这块原材料切割成16
个大小相同的正方形，得到16块第5代芯片，则由这块原材料切割得到第5代芯片的产品
良率为
A． B． C． D．
8．（2023•四川三模）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．作为当
今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，它的出现使人们重新审视这个世界：世界是非
线性的，分形无处不在．分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审
美的统一，而且还具有深刻的科学方法论意义，由此可见分形的重要性．美国物理学大师
曾说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人． 雪花曲
线是一种典型的分形曲线，它的制作步骤如下：第一步：任意画一个正三角形，记为 ，并把 的每一条边三等分；
第二步：以三等分后的每一条边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉
记所得图形为 ；
第三步：把 的每一条边三等分，重复第二步的制作，记所得图形为 ；
同样的制作步骤重复下去，可以得到 ， ， ，直到无穷，所画出的曲线叫做 雪
花曲线．
若下图中 的边长为1，则图形 的周长为
A．6 B． C． D．
9．（2023•榆林三模）现有17匹善于奔驰的马，它们从同一个起点出发，测试它们一日可
行的路程．已知第 ，2， ， 匹马的日行路程是第 匹马日行路程的1.05倍，
且第16匹马的日行路程为315里，则这17匹马的日行路程之和约为（取
A．7750里 B．7752里 C．7754里 D．7756里
10．（2023•门头沟区一模）中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最
早巅峰．书里记载了这样一个问题“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几
何？”译文是“今有一女子很会织布，每日加倍增长，5天共织5尺，问每日各织布多少
尺？”，则该女子第二天织布A． 尺 B． 尺 C． 尺 D． 尺
11．（2023•安康一模）南京市地铁 号线经扩建后于2022年国庆当天正式运行，从起点
站长江大桥北站到终点站金牛湖站总行程大约为51.3千米，小张是陕西来南京游玩的一名
旅客，从起点站开始，他利用手机上的里程表测出前两站的距离大约为 2千米，以后每经
过一站里程约增加0.1千米，据此他测算出本条地铁线路的站点（含起始站与终点站）数
一共有
A．18 B．19 C．21 D．22
12．（2023•南京二模）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主
要用于解释中国传统文化中的太极衍生即太极生两仪原理，如图所示（图中●表示太极，
表示 阳仪， 表示阴仪）．若数列的每一项都代表太极衍生过程中经历过的两仪数量总
和，即 为天一对应的经历过的两仪数量总和0， 为衍生到地二时经历过的两仪数量总
和2， 为衍生到天三时经历过的两仪数量总和4， ，按此规律，则 为
大衍图
A．84 B．98 C．112 D．128
13．（2023•李沧区校级一模）云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某
一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016
个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成一个数列 ，则 的值为
A．8 B．10 C．12 D．16
14．（2023•海淀区校级三模）已知数列 满足：对任意的 ，总存在 ，使
得 ，则称 为“回旋数列”．以下结论中正确的个数是
①若 ，则 为“回旋数列”；
②设 为等比数列，且公比 为有理数，则 为“回旋数列”；
③设 为等差数列，当 ， 时，若 为“回旋数列”，则 ；
④若 为“回旋数列”，则对任意 ，总存在 ，使得 ．
A．1 B．2 C．3 D．4
15．（2023•南通模拟）传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明
者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第
一个格子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒 依此规律，
放满棋盘的 64 个格子所需小麦的总重量大约为 吨． 麦子大约 20000 粒，
A． B． C． D．
16．（2023•上饶模拟）2022年10月16日上午10时，举世瞩目的中国共产党第二十次全
国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕，某单位组织全体人员在报告厅集体收看，已知该
报告厅共有16排座位，共有432个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多 2个座位数，
则最后一排的座位数为
A．12 B．26 C．42 D．50
17．（2023•湖北模拟）为平衡城市旅游发展和生态环境保护，某市计划通过五年时间治理
城市环境污染，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的 倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总
额与旅游总收入差额为
A．325万元 B．581万元 C．721万元 D．980万元
18．（2023•金凤区校级一模）农历是我国古代通行历法，被誉为“世界上最突出和最优秀
的智慧结晶”．它以月相变化周期为依据，每一次月相朔望变化为一个月，即“朔望月”
约为29.5306天．由于历法精度的需要，农历设置“闰月”，即按照一定的规律每过若干
年增加若干月份，来修正因为天数的不完美造成的误差，以使平均历年与回归年相适应：
设数列 满足 ， ， ， ，其中 均为正整数：
， ， ， ， ， ，那么第 级修正是“平均一年闰 个月”．
已知我国农历为“19年共闰7个月”，则它是
A．第6级修正 B．第5级修正 C．第4级修正 D．第3级修正
19．（2023•湖滨区三模）在当前市场经济条件下，私营个体商店中的商品，所标价格 与
其实际价值之间，存在着相当大的差距．对顾客而言，总是希望通过“讨价还价”来减少
商品所标价格 与其实际价值的差距．设顾客第 次的还价为 ，商家第 次的讨价为
有一种“对半讨价还价”法如下：顾客第一次的还价为标价 的一半，即第一次还价
，商家第一次的讨价为 与标价 的平均值，即 ； ；顾客第 次的还价
为上一次商家的讨价 与顾客的还价 的平均值，即 ，商家第 次的讨价
为上一次商家的讨价 与顾客这一次的还价 的平均值，即 ．现有一件衣服
标价1200元，若经过 次的“对半讨价还价”， 与 相差不到1元，则 最小值为A．4 B．5 C．6 D．7
20．（2023•万州区校级模拟）如图中阴影部分是一个美丽的螺旋线型图案，其画法是：取
正六边形 各边的三等分点 ， ， ， ， ， ，作第 2 个正六边形
，然后再取正六边形 各边的三等分点 ， 、 、 ， ，
，作第3个正六边形 ，依此方法，如果这个作图过程可以一直继续下去，
由△ ，△ ， 构成如图阴影部分所示的螺旋线型图案，则该螺旋线型图案的
面积与正六边形 的面积的比值趋近于
A． B． C． D．
21．（2023•思明区校级模拟）如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成
9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上
是一对逆过程．九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下
或者全部套上．将第 个圆环解下最少需要移动的次数记为 ，已知 ，，按规则有 ，则解下第4个圆环最少需要移动的次数
为
A．4 B．7 C．16 D．31
22．（2023•南关区校级模拟）如图，阴影部分是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是
这样的：正方形 的边长为4，取正方形 各边的四等分点 ， ， ， ，作
第2个正方形 ，然后再取正方形 各边的四等分点 ， ， ， ，作第3
个正方形 ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．设图中直角
面积为 ，直角 面积为 ，后续各直角三角形面积依次为 ， ， ，
则 的值为
A． B． C． D．
23．（2023•黄石模拟）中国古代的武成王庙是专门祭祀姜太公以及历代良臣名将的庙宇，
这类庙宇的顶部构造颇有讲究，如图是某武成王顶部的剖面直观图，其中 ，， ，2，3， ，数列 ，2，3， 是等差数列
且 ，若以 为坐标原点，以 ， ，分别为 ， 轴正方向建立平面直角坐
标系，则直线 的斜率是
A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55
24．（2023•十堰模拟）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一
列数：1，1，2，3，5，8，13，21， ．该数列的特点为前两个数都是1，从第三个数起，
每一个数都等于它的前面两个数的和，即 ，人们把这样的一列数组成的数列
称为“斐波那契数列”，则
A． B．2024 C． D．1
25．（2023•闵行区二模）若数列 、 均为严格增数列，且对任意正整数 ，都存在
正整数 ，使得 ， ，则称数列 为数列 的“ 数列”．已知数列
的前 项和为 ，则下列选项中为假命题的是
A．存在等差数列 ，使得 是 的“ 数列”
B．存在等比数列 ，使得 是 的“ 数列”
C．存在等差数列 ，使得 是 的“ 数列”D．存在等比数列 ，使得 是 的“ 数列”
二．填空题（共5小题）
26．（2023•桃城区校级一模）分形几何学是法国数学家曼德尔勃罗特在20世纪70年代创
立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．如图，正
三角形 的边长为4，取 各边的中点 ， ， 作第2个三角形，然后再取
各边的中点 ， ， 作第3个三角形，以此方法一直进行下去．已知 为第
1个三角形，设前 个三角形的面积之和为 ，若 ，则 的最小值为 ．
27．（2023•固镇县三模）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五
关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并
五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第 1关收税金 ，
第2关收税金为剩余金的 ，第3关收税金为剩余金的 ，第4关收税金为剩余金的 ，
第5关收税金为剩余金的 ，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”若
将题中“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”改成假设这个原来持金
为 ，按此规律通过第8关，则第8关需收税金为 ．
28．（2023•保定二模）我们知道地球和火星差不多在同一轨道平面上运动，火星轨道在地
球轨道之外．当地球和火星与太阳在同一条直线上，这一天文现象称为“冲日”，简称
“冲”．假设地球和火星都做近似匀速圆周运动，火星绕太阳一周约需 687天，地球绕太
阳一周约需365.25天，则相邻两次“冲日”之间间隔约为 天．（结果精确到个位）
29．（2022•南通模拟）德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘
埃”作法如下：第一次操作，将边长为1的正方形分成9个边长为 的小正方形后，保留
靠角的4个，删去其余5个；第二次操作，将第一次剩余的每个小正方形继续 9等分，并
保留每个小正方形靠角的4个，其余正方形删去；以此方法继续下去 ．经过 次操作
后，共删去个 小正方形；若要使保留下来的所有小正方形面积之和不超过
则至少需要操作 次．
30．（2023•河南三模）为激发大家学习数学的兴趣，在一次数学活动课上．老师设计了有
序实数组 ， ， ， ， ， ，0， ，2，3， ， ， （A）表
示把 中每个 都变为 ，0，每个0都变为 ，1，每个1都变为0，1所得到的新的有
序实数组，例如： ，0， ，则 （A） ，0， ，1，0， ．定义
， ，2，3， ．若 ，则 中有 个1．
三．解答题（共5小题）
31．（2023•海淀区校级三模）若数列 满足 ，2，3， ，
，则称数列 为 数列．记 ．
（1）写出一个满足 ，且 的 数列；
（2）若 ， ，证明： 数列 是递增数列的充要条件是 ；（3）对任意给定的整数 ，是否存在首项为1的 数列 ，使得 ？如果存在，
写出一个满足条件的 数列 ；如果不存在，说明理由．32．（2023•佛山一模）佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑．在建筑造型上全部
都以最简单的方块体作为核心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成“方”
“圆”呼应．坊塔是文化中心的标志性建筑、造型独特、类似一个个方体错位堆叠，总高
度153.6米．坊塔塔楼由底部4个高度相同的方体组成塔基，支托上部5个方体，交错叠合
成一个外形时尚的塔身结构．底部4个方体高度均为33.6米，中间第5个方体也为33.6米
高，再往上2个方体均为24米高，最上面的两个方体均为19.2米高．
（1）请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列 的通项公式，
该数列以33.6为首项，并使得24和19.2也是该数列的项；
（2）佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310米．根据你得到的等差数列，连续取用该数
列前 项的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为19.2米的情况下，采用新
的堆叠规则，自下而上依次为 、 、 、 、 表示高度为 的
方体连续堆叠 层的总高度），请问新堆叠坊塔的高度是否超过310米？并说明理由．33．（2023•昆明一模）
雪花是一种美丽的结晶体，放大任意一片雪花的局部，会发现雪花的局部和整体的形状竟
是相似的．上图是瑞典科学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，其作法如下：
将图①中正三角形的每条边三等分，并以中间的那一条线段为一边向形外作正三角形，再
去掉底边，得到图②；
将图②的每条边三等分，重复上述的作图方法，得到图③；
按上述方法，所得到的曲线称为科赫雪花曲线 ．
现将图①、图②、图③、 中的图形依次记为 、 、 、 、 ．小明为了研究图形
的面积，把图形 的面积记为 ，假设 ，并作了如下探究：
边数 3 12 48 192
3 12 48
从 起，每一个比前一个图形
多出的三角形的个数
从 起，每一个比前一个图形
多出的每一个三角形的面积
根据小明的假设与思路，解答下列问题．
（1）填写表格最后一列，并写出 与 ， 的关系式；（2）根据（1）得到的递推公式，求 的通项公式；
（3）从第几个图形开始，雪花曲线所围成的面积大于 ．
参考数据34．（2023•重庆模拟）卡特兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列．以比
利时的数学家欧仁 查理 卡特兰 命名．历史上，清代数学家明安图 年
年）在其《割圜密率捷法》最早用到“卡特兰数”，远远早于卡塔兰．有中国学者
建议将此数命名为“明安图数”或“明安图 卡特兰数”．卡特兰数是符合以下公式的一
个数列： 且 ．如果能把公式化成上面这种形式的数，就
是卡特兰数．卡特兰数是一个十分常见的数学规律，于是我们常常用各种例子来理解卡特
兰数．比如：在一个无穷网格上，你最开始在 上，你每个单位时间可以向上走一格，
或者向右走一格，在任意一个时刻，你往右走的次数都不能少于往上走的次数，问走到
， 有多少种不同的合法路径．记合法路径的总数为 ．
（1）证明 是卡特兰数；
（2）求 的通项公式．
35．（2023•海淀区校级模拟）若无穷数列 的各项均为整数．且对于 ， ，
，都存在 ，使得 ，则称数列 满足性质 ．
（1）判断下列数列是否满足性质 ，并说明理由．
① ， ，2，3， ；
② ， ，2，3， ．
（2）若数列 满足性质 ，且 ，求证：集合 为无限集；
（3）若周期数列 满足性质 ，求数列 的通项公式．
