文档内容
4.4 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质
思维导图
知识点总结
1.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点
x － －＋ －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin
0 A 0 －A 0
(ωx＋φ)
2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋
∞)表示一个振动量时
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝
＝ ωx ＋ φ φ
[常用结论]
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
典型例题分析
考向一 公式的逆用及变形
角度1 公式的活用
例1 (1)(2023·濮阳一模)cos 40°sin 70°－sin 40°·sin 160°＝( )
A.－ B.
C.－ D.
答案 B
解析 cos 40°sin 70°－sin 40°sin 160°＝cos 40°cos 20°－sin 40°sin 20°
＝cos(40°＋20°)＝cos 60°＝.故选B.
(2)若α＋β＝－，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝________.
答案 2
解析 tan＝tan(α＋β)＝＝1，
所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，
则1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，
即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.
角度2 辅助角公式的运用
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】例2 化简：(1)sin －cos ；(2)－.
解 (1)法一 原式＝2
＝2＝－2cos＝－2cos ＝－.
法二 原式＝2
＝2＝－2sin＝－2sin ＝－.
(2)原式＝＝
＝＝＝4.
感悟提升 三角函数公式活用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式.
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一.应
注重公式的逆用和变形使用.
考向二 三角函数式的化简
例3 (1)化简：＝________.
答案 cos 2x
解析 原式＝
＝＝＝＝cos 2x.
(2)化简：(－tan )·＝________.
答案
解析 (－tan )·(1＋tan α·tan )＝(－)·(1＋·)
＝·＝·＝.
感悟提升 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特
征.
2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子
和三角函数公式之间的共同点.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考向三 三角函数求值问题
角度1 给角求值
例4 (1)sin 40°(tan 10°－)等于( )
A.2 B.－2
C.1 D.－1
答案 D
解析 sin 40°·(tan 10°－)＝sin 40°·
＝sin 40°·＝sin 40°·
＝sin 40°·＝sin 40°·
＝sin 40°·＝＝＝－1.
(2)cos 20°·cos 40°·cos 100°＝________.
答案 －
解析 cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝－＝－
＝－＝－＝－＝－.
角度2 给值求值
例5 (1)(2023·安徽名校联考)已知cos＝，则sin＝( )
A.－ B.
C.－ D.
答案 B
解析 因为cos＝，
所以sin＝sin＝cos＝2cos2－1
＝2×－1＝.故选B.
(2)(2023·铁岭质检)已知＋tan θ＝2，则tan 的值为( )
A.3 B.或－1
C. D.
答案 D
解析 由＋tan θ＝＋＝＋＝2，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】整理得3tan2＋2tan －1＝0，
解得tan ＝或tan ＝－1.
因为cos θ≠0，所以θ≠＋kπ，k∈Z，
所以≠＋，k∈Z，
所以tan ≠－1，故tan ＝.故选D.
角度3 给值求角
例6 已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝________
2α－β＝________.
答案
解析 因为cos α＝，
所以cos 2α＝2cos2α－1＝.
又因为α，β均为锐角，sin β＝，
所以sin α＝，cos β＝，
因此sin 2α＝2sin αcos α＝，
所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝.
因为α为锐角，所以0＜2α＜π.
又cos 2α＞0，所以0＜2α＜，
又β为锐角，所以－＜2α－β＜，
又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝.
感悟提升 1.给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助
角之间的联系寻找转化方法.
2.给值(角)求值问题的一般步骤
(1)化简条件式子或待求式子；
(2)观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值.
考向四 三角恒等变换的应用
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】例7 设函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R).
(1)求函数y＝的最小正周期；
(2)求函数y＝f(x)f在上的最大值.
解 (1)因为f(x)＝sin x＋cos x，
所以f＝sin＋cos＝cos x－sin x，
所以y＝＝(cos x－sin x)2＝1－sin 2x.
所以函数y＝的最小正周期T＝＝π.
(2)f＝sin＋cos＝sin x，
所以y＝f(x)f＝sin x
＝(sin xcos x＋sin2x)＝＝sin＋.
当x∈时，2x－∈，
所以当2x－＝，即x＝时，
函数y＝f(x)f在上取得最大值，且y ＝1＋.
max
感悟提升 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换
把函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等
特征，注意利用整体思想解决相关问题.
考向五 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例8已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<)的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得
最大值2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；
(3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
解 (1)因为函数f(x)的最小正周期是π，
所以ω＝2.
又因为当x＝时，f(x)取得最大值2，所以A＝2，
同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】φ＝2kπ＋，k∈Z，
因为－<φ<，所以φ＝，
所以f(x)＝2sin.
(2)因为x∈[0，π]，
所以2x＋∈.
列表如下：
2x＋ π 2π
x 0 π
f(x) 1 2 0 －2 0 1
描点、连线得图象：
(3)将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin
的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin
上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到f(x)＝2sin的图象.
迁移 本例已知条件不变，第(3)问改为：函数y＝f(x)的图象可由函数y＝cos x的图象经过怎
样的变换得到？
解 因为f(x)＝2sin＝2cos＝2cos，
将y＝cos x的图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数y＝cos的图象，再将y＝cos的
图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝cos的图象，再将y＝cos上
所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到y＝2cos图象，
即为f(x)＝2sin的图象.
感悟提升 作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设 z＝ωx＋
φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)图象的变换法，由函数 y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：
“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
基础题型训练
一、单选题
1．要得到函数 的图象，只需将函数 的图象上的所有点沿 轴
A．向右平移1个单位长度 B．向左平移3个单位长度
C．向左平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度
【答案】C
【详解】分析:将函数 的解析式化简和函数 的解析式比较，即得解.
详解: =sin[3(x+1)-3]，所以要得到函数 的图象，只需将函数 的图象上的
所有点沿 轴向左平移1个单位长度.
点睛：（1）本题主要考查三角函数图像的变换，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 函数图像的平移变
换：左加右减， 把函数 向左平移 个单位，得到函数 的图像，把函数
向右平移 个单位，得到函数 的图像.
2．把函数 的图象向右平移 个单位，得到的函数解析式为
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的平移变换，即可得出答案.
【详解】函数 的图象向右平移 个单位，得到的函数
故选：C
【点睛】本题主要考查了由三角函数的平移变换求解析式，属于基础题.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．已知函数 的图象向右平移 个单位长度，则平移后图象的对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象平移关系求出函数的解析式，结合函数的对称性进行求解即可．
【详解】将函数 的图象向右平移 个单位长度，
得 ，
由2x kπ，得x ，k∈Z，即对称中心为（ ，0），k∈Z，
故选：A．
【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据平移关系求出函数的解析式是解决本题的关键，属于
基础题．
4．函数 在一个周期内的图像如图所示，则此函数的解析式为( )
A． B．
C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】B
【分析】根据图像易得 与最小正周期，进而得到 ，再由最值点代入求得 ，即可得到结果.
【详解】由图知 , ，
把最值点 代入 ，得 ,
, ,
因此函数的解析式是 .
故选：B.
5．将函数 的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的
倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数图象变换的概念，先求出向右平移后的解析式，再求周期变换后的解析式．
【详解】将函数 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度，
得 的图象，
再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
所得图像的函数解析式是 ．
故选：C．
6．已知函数 ，若 在 上有且只有3个零点，则 的取值范围为
（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】A
【分析】 ，取 得到 ，故 ，解得
答案.
【详解】 .
令 ，得 ，
函数 的零点为…， ， ， ， ， ，…
若 在 上有且只有3个零点，需满足 ，解得 .
故选：A.
【点睛】本题考查了根据三角函数零点个数求参数范围，意在考查学生的计算能力和转化能力.
二、多选题
7．要得到函数 的图象，只需将函数 图象上所有点的坐标（ ）
A．向右平移 个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）
B．向左平移 个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）
C．横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位长度
D．横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位长度
【答案】BC
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据三角函数图象的伸缩平移变换即可得出结果.
【详解】函数 的图象向左平移 个长度单位，得 ，
再将横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变)，得 ；
函数 图象将横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变)，得 ，
再向左平移 个长度单位，得 ，即 .
故选：BC
8．已知函数 的部分图像如图所示，将 的图像向右平移 个
单位后，得到函数 的图像，若对于任意的 ，则 值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】由于 的图像过点 ，可得 ，结合 ，可得 的值，由 ，解得
，而 ，可得 ，再利用三角函数图像变换可得 ，从而由
可得答案
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】解：由函数的图像可知， 的图像过点 ，
所以 ，可得 ，
因为 ，所以 ，
因为 的图像过点 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
因为 ，所以不妨设 ，则可得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为对于任意的 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
故选：CD
三、填空题
9．在平面直角坐标系中，将曲线 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 倍，所得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】新的曲线方程为__________.
【答案】
【分析】利用三角函数图象变换可得出新曲线的方程.
【详解】因为将曲线 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 倍，
所得新的曲线方程为 ，
故答案为： .
10．若将函数 的图象沿 轴向右平移 个单位后所得的图象与 的图象关于
轴对称，则 的最小值为________________.
【答案】
【解析】由题意利用函数 的图象变换规律，三角函数的图像的对称性，求得 的最小值.
【详解】解：将函数 的图象沿 轴向右平移 个单位长度，可得
的图象.
根据图象与 的图象关于 轴对称，可得 ，
， ，即 时， 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查函数 的图象变换规律，正弦函数图像的对称性，属于基础题.
11．已知 ，若对任意 ，都有 ，则 的最大值为________.
【答案】 /0.5
【分析】运用整体法，根据正弦型函数的图像求解.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】由题意， ， ，又 ， ，
由正弦函数 的单调性和周期性可知： ；
故答案为： .
12．下列四个命题：
①函数 的值域是 ，则函数 的值域为 ；
②把函数 图像上的每一个点的横坐标伸长到原来的4倍，然后再向右平移 个单位得到的函
数解析式为 ；
③已知 ，则与 共线的单位向量为 ；
④一条曲线 和直线 的公共点个数是m，则m的值不可能是1.
其中正确的有___________（写出所有正确命题的序号）.
【答案】①④.
【分析】根据函数值域，平移和伸缩变换判断①②；根据单位向量概念求解③；④中利用图象变换画出函
数 图象，判断④正确.
【详解】对于① 函数可以看作 函数向左平移 个单位值域不变是 ，则①正确；
对于② 横坐标伸长到原来的 倍，变为 ，再向右平移 个单位，变为
，则②错误；
对于③ 与 共线的单位向量有两个，分别是 和 ，则③错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于④函数
作函数图象如下图所示：
可知与 直线的公共点个数 可为 ， 不可能是 ，则④正确.
故答案为：①④
【点睛】本题考查命题的真假判断，考查函数性质，考查向量共线，属于中等题型.
四、解答题
13．函数 的图像可以通过函数 的图像经过怎样的平移得到？解释
你的结论.
【答案】向左平移 个单位，答案见解析
【分析】化为同名三角函数可得
【详解】因为 故可以通过函数 的图像向左平移 个单位得到
14．已知函数 （ ， ， ）的一段图像如下图所示，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 的单调增区间；
【答案】（1） （2） ， ．
【分析】（1）根据图象由最值求出A、周期求出 ，再代入特殊点 求出 即可求得函数解析式；
（2）根据正弦函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】（1）由题意知： ， ， ， ，
过点 ， ，
，解得 ，
又 ， ，则 .
（2）令 ， ，解得 ，
所以函数 的单调增区间为 ， ．
【点睛】本题考查正弦函数的图象与性质、根据图象确定正弦型函数的解析式，属于基础题.
15．已知函数 （ ， ， ）的部分图像如图所示．
(1)求函数 的解析式；
(2)求不等式 的解集．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据函数图象得到 ，根据周期得到 ，再根据 即可得到
.
（2）根据题意得到 ，再解不等式即可.
【详解】（1）由题图知 ，
函数的周期 ，即 ，解得 ．
所以 ．
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ．即 ．
（2）因为 ，即 ，
所以 ， ．即 ， ．
所以不等式 的解集为 ．
16．设函数 ，其中 ，已知
（1）求 ；
（2）将函数 的图像上的各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向右平
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】移 个单位长度，得到函数 的图像上，求 在 上的最小值.
【答案】（1）4（2）
【分析】（1）利用辅助角公式把 化为 ，再利用 得到 满足的关系式，
结合 可求 的值.
（2）利用周期变换得到 ，算出 的范围后可得 的最小值.
【详解】（1） ，
， ， ，
；
（2）由（1）知 ，
，
，
当 时，即 时， 取最小值 .
【点睛】本题考查形如 的函数，可以利用降幂公式和辅助角公
式将其化为 的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴
方程和对称中心等，属于中档题．
提升题型训练
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】一、单选题
1．要得到函数 ， 的图像，只需把函数 ， 的图像（ ）
A．向右平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向左平移 个单位
【答案】A
【分析】由三角函数平移变换原则可直接得到结果.
【详解】对于A， 向右平移 个单位可得： ，A正确；
对于B， 向右平移 个单位可得： ，B错误；
对于C， 向左平移 个单位可得： ，C错误；
对于D， 向左平移 个单位可得： ，D错误.
故选：A.
2．将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，若函数
在 上单调递增，则 的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【分析】根据余弦型函数的图象变换性质，结合余弦型函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
当 时， ，
因为函数 在 上单调递增，
所以有 ，因此 的最大值为 ，
故选：B
3．要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）.
A．向右平移 个单位 B．向左平移 个单位 C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
【答案】A
【分析】根据诱导公式，结合余弦函数的图象变换性质进行求解即可.
【详解】因为 ，
所以只需将函数 的图象向右平移 个单位，
故选：A
4．已知函数 （其中 ），若对任意 ，存在 ，使得
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意可知 在 的值域包含了 上的值域，再分析列出不等式求解即可.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】由题意可知， 在 的值域包含了 上的值域，
故 应当大于等于 个周期才能使得值域包含了 上的值域，
故 .
故选：D
【点睛】本题主要考查了三角函数的图形变换与区间的不等式列式方法，需要考虑区间长度与周期的关系，
属于中档题.
5．已知函数 的最小正周期为 ，将其图象向右平移 个单位后得函数
的图象，则函数 的图象
A．关于直线 对称 B．关于直线 对称
C．关于点 对称 D．关于点 对称
【答案】D
【详解】由题意得 ，故 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴选项A,B不正确．
又 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
∴选项C,不正确，选项D正确．选D．
6．函数 （其中 ， ）的图象如图所示，为了得到 的图象，则需将
的图象（ ）
A．横坐标缩短到原来的 ，再向右平移 个单位
B．横坐标缩短到原来的 ，再向右平移 个单位
C．横坐标伸长到原来的 倍，再向右平移 个单位
D．横坐标伸长到原来的 倍，再向右平移 个单位
【答案】C
【分析】先根据图象的特点可求出 ，然后再根据周期变换与相位变换即可得出
【详解】由图可知， ，所以 ，故 ，
故函数 ，
又函数图象经过点 ，故有 ，即 ，
所以 （ ），
又 ，所以 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故将函数 图象的横坐标伸长到原来的2倍得到 的图象，然后再向右平移
个单位即可得到 的图象.
故选：C
二、多选题
7．下列说法错误的是（ ）
A．函数 的最小正周期是
B．函数 是周期为 的奇函数
C．函数 最小正周期为
D．若对 ，满足 ， ，则函数 周期为
【答案】BCD
【分析】A选项，使用 进行求解最小正周期；B选项，利用定义判断出奇偶性；C选项， 的
最小正周期为 ；D选项，举出反例，即 .
【详解】 的最小正周期 ，故A选项说法正确；
，故 为偶函数，故B说法错误；
函数 最小正周期为 ，C说法错误；
若 ，此时 ，则 为常数函数，任意数均为周期，D说法错误..
故选：BCD
8．已知函数 相邻的最高点的距离为 ，则下列结论正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．函数 的图象关于点 中心对称
B．函数 在区间 上的值域为
C．将函数 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，然后向左平移 个单位得
的图象
D．若 ，则
【答案】ACD
【分析】化简函数解析式根据周期求出 ，利用正弦型函数的对称性判断A，根据正弦型函数在区间上的
值域判断B，由图象的伸缩与平移变换判断C，由三角恒等变换后求值判断D.
【详解】由题意，化简得 ，
由题意知周期 ，得 ，
所以 ，当 时， ，故A项正确；
当 时， ，故 ，故B项错误；
将函数 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，得到 ，再向左平移 个单位，
可得 ，故C项正确；
由 可得： ，
于是 ，故D项正确.
故选：ACD
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】三、填空题
9．函数 的初相是_________
【答案】
【分析】根据正弦型三角函数的物理意义判断初相即可.
【详解】解：因为初相是 ，即为 .
故答案为： .
10．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则 的值
是_____．
【答案】
【详解】试题分析：观察图象可知： , ，所以 ，则 ，所以函
数为 ，又因为观察图象可知点 相当于五点法中的 ，所以有：
，解得： ，所以函数 ，则 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点：由正弦型函数图象求解析式．
11．将函数 的图象向右平移 个单位长度得到 图像，则下列说法中正确的是
______________（填序号）.
①函数 的最小正周期是 ； ② 图像关于直线 对称；
③函数 在区间 上单调递减； ④ 图像关于点 对称；
【答案】①②④
【分析】根据三角函数的图象平移关系求出 的解析式，结合函数的单调性，对称性分别进行判断即可．
【详解】由题意，将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得 ，
对于A，函数的最小正周期为 ，故正确；
对于B，令 ，则 为最大值， 函数 图象关于直线 对
称，故正确；
对于C中， ，则 ， ，则函数 在区间 上先减后增，故错误；
对于D中，令 ，则 ， 图象关于点 对称，故正确．
故答案为：①②④
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的单调性，对称性，求出解析式是解决本题的关键，
属于中档题.
12．已知函数 ， ，则下列结论中正确的是______，
①若 ，则将 图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于原点对称
②若 ，且 的最小值为 ，则
③若 在 上单调递增，则 的取值范围为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】④当 时， 在 有且只有3个零点
【答案】①②④
【分析】应用辅助角公式化简函数式，根据图象平移写出解析式判断①；由题设得 即可求 判断②；
根据正弦型函数的单调性求 的范围判断③；令 结合给定区间确定零点个数判断④.
【详解】函数 ，
①若 ， ，将 向左平移 个单位长度得到 ，其
图象关于原点对称，故正确；
②若 ，且 的最小值为 ，则 ，解得 ，故正确；
③当 时， ，若 在 上单调递增，则 ，解得 ，
故错误；
④当 时， ，令 ，解得 ，
因为 ，满足的零点有 ，所以 在 有且只有3个零点，故正确；
故答案为： ①②④.
四、解答题
13．函数 的图像可以通过函数 的图像经过怎样的平移得到？解释
你的结论.
【答案】向左平移 个单位，答案见解析
【分析】化为同名三角函数可得
【详解】因为 故可以通过函数 的图像向左平移 个单位得到
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】14．已知函数 的最小正周期为 ，且 .
（1）求 和 的值.
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度(纵坐标不变)，得到函数 的图象，
①求函数 的单调递增区间；
②求函数 在 上的最大值.
【答案】（1） ， ；（2）① ；②最大值为 .
【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可；
（2）根据正弦型函数图象的变换性质，得到 的解析式.
①根据余弦型函数的单调性进行求解即可；
②根据余弦型函数的最值性质进行求解即可.
【详解】解：（1） 的最小正周期为 ，
所以 ，
即 .
又因为 ，
所以 ，因为 ，
所以 .
（2）由（1）可知 ，
函数 的图象向右平移 个单位长度(纵坐标不变)，
所以 .
①由 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】得函数 的单调递增区间为 .
②因为 ，
所以 .
当 ，
即 时，
函数 取得最大值，最大值为 .
15．已知函数 .
（1）求函数 的最大值和最小值,并求取得最大值和最小值时对应的 的值；
（2）设方程 在区间 内有两个相异的实数根 ，求 的值.
【答案】（1）最大值为2，此时 ，最小值为-2，此时 ；（2）
或
【分析】(1)利用诱导公式和二倍角公式以及辅助角公式化简原式，并根据最大值和最小值的计算公式求解
出取最大值、最小值时对应的 ；
(2)将方程解的个数转化为函数图象的交点个数，借助图象分析求解出 的值，注意对称性的应用.
【详解】（1） ，
的最大值为2， 取得最大值对应的 的值 ，
的最小值为-2， 取得最小值对应 的值 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）因为 ，所以 ，
在 内有相异的两个实数根 与 在 内有两个不同的交点，
在同一坐标系中作出 与 图象如下图：
由图象可知： 或 ，
令 ，所以 ，
又因为 ，所以 内 的对称轴有： ，
当 ，函数 的图象关于直线 对称， ；
当 ，函数 的图象关于直线 对称， ，
综上： 或 .
【点睛】本题考查三角函数性质的应用，着重考查了数形结合思想分析问题，难度一般.
(1)函数 的零点个数 方程 根的数目 与 的图象交点个数；
(2)求解正弦型函数 取最值时 的值、对称轴，以整体的角度思考问题，
令 分别等于正弦函数 取最值时 的值、对称轴，求解出的 的取值集合即为所求结果.
16．函数 在一个周期内的图象如图所示， 为图象的最高点， ， 为图象
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】与 轴的交点， 为等边三角形.将函数 的图象上各点的横坐标变为原来的 倍后，再向右平移
个单位，得到函数 的图象.
（Ⅰ）求函数 的解析式；
（Ⅱ）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）利用等边三角形的性质，根据已知，可以求出函数的周期，利用正弦型函数的最小正周期
公式求出 ，最后根据正弦型函数图象的变换性质求出 的解析式；
（Ⅱ）根据函数 的解析式，原不等式等价于 在 恒成立，利用换元
法，构造二次函数，分类讨论进行求解即可.
【详解】（Ⅰ）点 的纵坐标为 ， 为等边三角形，所以三角形边长为2，
所以 ，解得 ，所以 ，
将函数 的图象上各点的横坐标变为原来的 倍后，得到 ，
再向右平移 个单位，得到 .
（Ⅱ） ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
原不等式等价于 在 恒成立.
令 ， ，即 在 上恒成立.
设 ，对称轴 ，
当 时，即 时， ，解得 ，所以 ；
当 时，即 时， ，解得 （舍）；
当 时，即 时， ，解得 .
综上，实数 的取值范围为 .
【点睛】本题考查了正弦型函数的图象变换和性质，考查了利用换元法、构造法解决不等式恒成立问题，
考查了数学运算能力.
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