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重难点突破 01 平面向量中最值、范围问题
以平面图形为载体的有关数量积的最值问题和范围问题是高考的热点之一，常以选择题、
填空题的形式呈现．要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化．
[解题思路]建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数等)的最值或应用基
本不等式．同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应
用图形的几何性质.
一、几何投影法
侧重于从投影入手体现几何意义，如平面向量数量积 a·b＝|a||b|cos θ，其几何意义为其中
一个向量长度乘以另一个向量在其方向上的投影，解题时可结合向量的投影来探寻联系，
从而转化为数量积问题．
二、基向量法
解题时有时无法获取对应向量数量积的要素，如模和夹角，此时就可以考虑采用基底法．
先设定两个不平行的向量作为基底，然后将所需向量表示出来，最后根据条件进行最值分
析．
三、坐标法(数形结合法)
把几何图形放在适当的坐标系中，将向量坐标化，利用向量之间的坐标运算来解答．坐标
法是高考中常用的解题技巧，其核心知识点为向量数量积的运算法则，即a＝(x ，y)，b＝
1 1
(x，y)，则a·b＝xx＋yy.
2 2 1 2 1 2
一．选择题（共20小题）
1．（2023•宣化区校级三模）已知正方形 的边长为2， 是它的外接圆的一条弦
点 为正方形四条边上的动点，当弦 的长度最大时， 的取值范围是
A． ， B． C． ， D． ，2．（2023•榆林一模） 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若
，则 的取值范围为
A． B． C． ， D． ，
3．（2023•重庆模拟）已知 是单位向量，向量 满足 与 成角 ，则 的
取值范围是
A． B． C． D．
4．（2023•广东模拟）已知单位向量 ， ，若对任意实数 ， 恒成立，则
向量 ， 的夹角的取值范围为
A． B． C． D．
5．（2023•鼓楼区校级模拟）在矩形 中， ， ．若 ，则
的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
6．（2023•思明区校级四模）已知直线 与圆 相交于不同两点 ， ，点
为线段 的中点，若平面上一动点 满足 ，则 的取值范围是
A． B． C． ， D． ，
7．（2023•河南三模）如图，这是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，已知 是平面四边形 内一点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
8．（2023•开封二模）已知等边 的边长为 ， 为 所在平面内的动点，且
，则 的取值范围是
A． B． C． ， D． ，
9．（2023•厦门模拟）圆 为锐角 的外接圆， ，点 在圆 上，则
的取值范围为
A． B． ， C． D． ，
10．（2023•河南模拟）在锐角三角形 中， ， ，则 边上的高的取值
范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
11．（2023•合肥模拟）已知线段 的中点为等边三角形 的顶点 ，且 ，
当 绕点 转动时， 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，12．（2023•重庆模拟）已知向量 的夹角为 ， ，若对任意的 、
，且 ， ，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． D．
13．（2023•盐山县校级三模）在 中，若 ， ，
，则 的取值范围为
A． ， B． ， C． ， D． ，
14．（2022•滨州二模）在 中， 为 边上任意一点， 为线段 上任意一点，
若 ，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
15．（2023•姜堰区模拟）已知平面向量 ， ， 均为单位向量，且 ，
的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
16．（2023•迎江区校级模拟）已知点 为锐角 的外接圆 上任意一点， ，
，则 的取值范围为
A． ， B． ， C． ， D． ，
17．（2023•郑州三模）已知 中， ， ，
， ， ， ，则 的取值范围为A． B． C． D．
18．（2023•天津二模）在平面四边形 中， ， ，
．若 、 为边 上的动点，且 ，则 的取值范围为
A． B． C． D．
19．（2023•开封三模）等腰直角三角形 的直角顶点 在 轴的正半轴上，点 在
轴的正半轴上，点 在第一象限，且 ， 为坐标原点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
20．（2023•渝中区校级模拟）已知平面向量 ， ， 满足： ， ， ，
，则 的取值范围是
A． ， B． C． D．
二．多选题（共6小题）
21．（2023•浉河区校级模拟）已知曲线 上的动点满足 ， 为坐标原点，直线
过 和 两点， 为直线 上一动点，过点 作曲线 的两条切线 ， ， ，
为切点，则
A．点 与曲线 上点的最小距离为
B．线段 长度的最小值为C． 的最小值为3
D．存在点 ，使得 的面积为3
22．（2023•桐城市校级一模）在边长为4的正方形 中， 在正方形（含边）内，满
足 ，则下列结论正确的是
A．若点 在 上时，则
B． 的取值范围为 ，
C．若点 在 上时，
D．当 在线段 上时， 的最小值为
23．（2023•黄州区校级二模）如图，正方形 中， 为 中点， 为线段 上的
动点 ，则下列结论正确的是
A．当 为线段 上的中点时，
B． 的最大值为
C． 的取值范围为 ，
D． 的取值范围为
24．（2023•香坊区校级三模）已知 的三个内角 ， ， 所对边的长分别为 ， ，，若 ，则下列正确的是
A． 的取值范围是
B．若 是 边上的一点，且 ， ，则 的面积的最大值为
C．若 是锐角三角形，则 的取值范围是
D．若 是锐角三角形， 平分 交 于点 ，且 ，则 的最
小值为
25．（2023•湖南模拟）如图，正方形 的边长为2， 是正方形 的内切圆上任
意一点， ，则
A． 的最大值为4 B． 的最大值为
C． 的最大值为2 D． 的最大值为
26．（2023•葫芦岛二模）已知向量 满足 ， ， ，
．则下列说法正确的是
A．若点 在直线 上运动，当 取得最大值时， 的值为B．若点 在直线 上运动， 在 上的投影的数量的取值范围是
C．若点 在以 为半径且与直线 相切的圆上， 取得最大值时， 的
值为3
D．若点 在以 为半径且与直线 相切的圆上， 的范围是 ，
三．填空题（共9小题）
27．（2023•沈阳三模）已知 ， ，若 与 的夹角是锐角，则实数 的取
值范围是 ．
28．（2023•广陵区校级模拟）已知平面直角坐标系内的两个向量， ，
，且平面内的任一向量 都可以唯一的表示成 ， 为实数），
则 的取值范围是 ．
29．（2023•漳州模拟）已知 ，点 满足 ，点 为线段 上异于 ，
的动点，若 ，则 的取值范围是 ．
30．（2022•宝山区校级二模）已知单位向量 ， 的夹角为 ，若 ，则
的取值范围是 ．
31．（2023•海淀区校级模拟）已知点 是边长为 4 的正方形的中心，点 是正方形
所在平面内一点， ，若 ．
（1） 的取值范围是 ；
（2）当 取得最大值时， ．
32．（2023•盐城三模）在 中， ， ， ，则 的取值范围是 ．
33．（2023•虹口区校级三模）已知平面向量 满足 ，则
的取值范围是 ．
34．（2023•黄浦区模拟）已知单位向量 与 ，向量 在 方向上的投影向量为 ，且
，若 的取值范围是 ，则 的取值范围是 ．
35．（2023•武清区校级模拟）在四边形 中， ， ， ，
则 ；若 ， 分别是边 ， 上的点，且满足 ，则
当 时， 的取值范围是 ．
