文档内容
第 23 课 探索三角形相似的条件 相似三角形判定定理的证明
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定 AOB与 DOC相似的是（ ）
△ △
A．AB∥CD B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
【解析】解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
B、由∠AOB＝∠DOC、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
C、由 、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
D、已知两组对应边的比相等： ，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，
故本选项符合题意．
故选：D
【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，
且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
2．在 ABC中，直线DE分别与AB、AC相交于点D、E，下列条件不能推出 ABC与 ADE相似的是（
）△ △ △
A． B．∠ADE=∠ACB
C．AE﹒AC=AB﹒AD D．
【答案】D【分析】由题意可得一组对角相等，根据相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）
两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似添加条件即可．
【解析】解：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项A不符合题意；
两角对应相等，两三角形相似，故选项B不符合题意；
由AE﹒AC=AB﹒AD得 ，且∠A=∠A，故可得 ABC与 ADE相似，所以选项C不符合题意；
△ △
而D不是夹角相等，故选项D符合题意；
故选：D
【点睛】相似三角形的判定：
（1）两角对应相等，两三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
（3）三边对应成比例，两三角形相似；
（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那
么这两个直角三角形相似．
3．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定 ABC与 ADE相似的是（ ）
△ △
A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C． D．
【答案】C
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【解析】解：∵∠1＝∠2
∴∠DAE＝∠BAC
∴A，B，D都可判定 ABC∽△ADE
选项C中不是夹这两△个角的边，所以不相似，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相
似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形
的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．4．下列条件，能使 和 相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的判定定理进行判断．
【解析】解：A、 ，不能使 和△ 相似，错误；
B、 ，能使 和△ 相似，正确；
C、 ，不能使 和△ 相似，错误；
D、 ，不能使 和△ 相似，错误；
故选B.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定．识别三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出三角形
的对应边、对应角．
5．下列说法中，正确的是（ ）
①有两边成比例且一对内角相等的两个三角形相似；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似；③有两边
对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；④一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似．
A．①，② B．②，③ C．③，④ D．①，④.
【答案】B
【分析】根据三角形相似的判定判定即可；
【解析】①必须是夹角，故错误；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似，正确；③有两边对应成比例
且夹角相等的两个三角形相似，正确；④必须是第三边的平行线，故错误；
故答案选D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，准确判断是解题的关键．6．如图， 中，点 是边 上一点，下列条件中，不能判定 与 相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由图可知，∠B是 ABC与 ABD的公共角，所以再添加一组角相等或者添加夹∠B的两边成比
例即可判断． △ △
【解析】解：A．∵AB2=BD•BC，
∴ ，
∵∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
故A不符合题意；
B．∵∠BDA=∠BAC，∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
故B不符合题意；
C．∵∠ADC=∠C+∠B，∠ADC=∠BAD+∠B，
∴∠C=∠BAD，
∵∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
故C不符合题意；
D．∵AD•BC=AB•AC，
∴ ，
∵∠B≠∠BAD，
∴不能判定 ABC与 ABD相似，
故选：D．△ △【点睛】本题考查了相似三角形的判定，结合图形分析并熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
7．在Rt ABC和Rt DEF中，∠C=∠F=90°，由下列条件判定 ABC∽ DEF的是（ ）
①∠A=55△°，∠D=35°△；②AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；③AC△=9，BC=△12，DF=6，EF=8；④AB=10，
AC=8，EF=9，DE=15．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可．
【解析】解：如图示，在Rt ABC和Rt DEF中，∠C=∠F=90°，
△ △
①
，
，
故①是不正确的；
， ， ， ，
，
，
，
故③是正确的；
， ， ， ，
，
，
；
故④是正确的；∵ ， ， ， ，
∴ ，
有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似；
故②是错误的；
综上所述③④是正确的，正确的有2个，
故选：B．
【点睛】此题主要要求学生熟练掌握相似三角形的判定定理：两角对应相等，两组边对应成比例且夹角相
等，三边对应成比例．
8．如图，在四边形ABDC中，不等长的两对角线AD、BC相交于O点，且将四边形ABDC分成甲、乙、
丙、丁四个三角形．若OA：OB＝OC：OD＝2：3，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是（ ）
A．甲与丙相似，乙与丁相似
B．甲与丙相似，乙与丁不相似
C．甲与丙不相似，乙与丁相似
D．甲与丙不相似，乙与丁不相似
【答案】A
【分析】利用已知条件得到即 ，加上对顶角相等，则可判断△AOB∽△COD；再利用比例性质
得到 ，而∠AOC＝∠BOD，所以△AOC∽△BOD．
【解析】解：∵OA：OB＝OC：OD＝2：3，
即 ，
而∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∵ ，∴ ，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△BOD．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共
角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
9．在 ABC中，D为AB上一点，过点D作一条直线截 ABC，使截得的三角形与 ABC相似，这样的直
线可以△作（ ） △ △
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定方法分析，即可做出判断．
【解析】满足条件的直线有4条，如图所示：
如图1，过D作DE∥AC，则有△BDE∽△BAC；
如图2，过D作DE∥BC，则有△ADE∽△ABC；
如图3，过D作∠AED=∠B，又∠A=∠A，则有△ADE∽△ACB；
如图4，过D作∠BED=∠A，又∠B=∠B，则有△BED∽△BAC，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答的关键是对相似三角形的判定方法的理解与灵活运用．
10．如图，在正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点（与点A，D不重合），∠EBM＝45°，BE交对
角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交CD于点M，下列结论中错误的是（ ）A．△AEF∽△CBF B．△CMG∽△BFG C．△ABF∽△CBG D．△BDE∽△BCG
【答案】C
【分析】由正方形的性质可得AB∥CD，AD∥BC，∠DCA=∠ACB=∠DAC=∠CAB=∠EBM=45°，可以证明
△AEF∽△CBF，△CMG∽△BFG，△BDE∽△BCG，即可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∠DCA=∠ACB=∠DAC=∠CAB=∠EBM=45°，
∴△AEF∽△CBF，故选项A不合题意；
∵∠EBM=∠DCA ，∠MGC=∠BGF，
∴△CMG∽△BFG，故选项B不合题意；
∵∠CAB=∠ACB=∠FBG=45°，
∴∠ABF+∠CBG=45°，
∴∠ABF与∠CBG不一定相等，
∴△ABF与△CBG不一定相似，
故选项C符合题意；
△BDE∽△BCG，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质，熟练运用相似三角形的判定方法是本题的关键．
二、填空题
11．如图，已知 ，则 _______，理由是______．
【答案】 ABC 两角分别对应相等的两个三角形相似
【分析】结合相似三角形的判定即可求解．【解析】解：
（两角分别对应相等的两个三角形相似）
故答案是：①ABC；②两角分别对应相等的两个三角形相似．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，属于基础知识理解题型，难度不大．相似三角形的判定可以和
全等三角形的判定类比学习；全等强调边相等，而相似强调边成比例．
12．点D在 的边AB上，且 ，则 ，理由是_______．
【答案】有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
【分析】先依题意画出图形，再根据相似三角形的判定即可得．
【解析】依题意，画图如下：
，即 ，
又 ，
（有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
故答案为：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题关键．
13．如图，D是 的边AB上一点，若 ，则 ∽ ，若 ，则 ∽
．
【答案】
【分析】运用“两角对应相等，两三角形相似”进行解答.
【解析】若∠1=∠B，因∠A是公共角，可证明 ∽ ；若∠2=∠ACB，因∠A是公共角，可证明∽ .
【点睛】本题考查了有两角对应相等的三角形相似.
14．如图，若 ，则 ．
【答案】DE
【分析】结合相似三角形的性质即可求解
【解析】解：
（相似三角形对应边成比例）
故答案是：DE
【点睛】本题主要考察相似三角形的性质，属于基础理解题，难度不大．解题的关键是掌握相似三角形的
性质和相似三角形顶点的对应关系．注意：在相似三角形中，用相似符号（ ）连接的两个三角形，则相
同位置的顶点是对应顶点．
15．如图，在四边形ABCD中，DE∥BC交AB于点E，点F在AB上，请你再添加一个条件________(不再
添加辅助线及其他字母)，使 FCB∽△ADE.
△
【答案】答案不唯一，如CF∥DA
【解析】分析：在题中，由平行可知一对角相等，要想相似，再找一对角相等即可，因此可添加一组平行，
找同位角相等即可．
详解：添加条件：CF∥DA．理由如下：
∵CF∥DA，∴∠A=∠CFE．∵DE∥BC，∴∠DEA=∠B，∴ FCB∽△ADE．
故答案为答案不唯一，如CF∥DA． △点睛：这是一道考查相似三角形的判定的开放性的题，答案不唯一．
16．如图所示，在正方形网格上有6个斜三角形，①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，
⑤△FGH，⑥△EFK，在②～⑥中，与三角形①相似的有____（填序号）
【答案】③④⑤
【分析】两三角形三条边对应成比例，两三角形相似，据此即可解答．
【解析】解：设每个小正方形的边长为1，则△ABC的各边长分别为1、 、 ．则
②△BCD的各边长分别为1、 、2 ；
③△BDE的各边长分别为2、2 、2 （为△ABC各边长的2倍）；
④△BFG的各边长分别为5、 、 （为△ABC各边长的 倍）；
⑤△FGH的各边长分别为2、 、 （为△ABC各边长的 倍）；
⑥△EFK的各边长分别为3、 、 ．
根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到与三角形①相似的是③④⑤．
故答案为③④⑤．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，掌握三组对应边的比相等的两个三角形相似是解题的
关键．
17．如图，在矩形ABCD中， ， ，点E在边AD上， ，点F在边DC上，则当
________时， 与 相似．
【答案】5或
【分析】若要 与 相似,则需要对应直角边成比例,代入数值计算即可．
【解析】由题意,知 与 都是直角三角形,所以当 或 时, 与 相似,
由 , , ,得 , ,
∴ 或 ,
∴ 5或 ．
故答案为: 5或 ．
【点睛】 与 相似和 是有区别的,前者没有明确两个三角形的对应关系,后者已
给出了对应关系,因此前者要分类讨论．
18．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全
等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角
线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度
【答案】145
【分析】先画出示意图，由相似三角形的判定可知，在△ABD和△DBC中，已知∠ABD=∠CBD，所以需
另一组对应角相等，若∠A=∠C，则△ABD与△DBC全等不符合题意，所以必定有∠A=∠BDC,再根据四
边形的内角和为360°列式求解.
【解析】解：根据题意画出示意图，已知∠ABD=∠CBD，
△ABD与△DBC相似，但不全等，
∴∠A=∠BDC，∠ADB=∠C.
又∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，
∴2∠ADB+2∠BDC+∠ABC=360°，
∴∠ADB+∠BDC=145°，
即∠ADC=145°.
【点睛】对于新定义问题，读懂题意是关键.三、解答题
19．根据下列条件，判断 与 是否相似，并说明理由：
（l） ， ， ，
， ， ；
（2） ， ， ，
， ， ．
【答案】（1） ，理由见解析；（2） ，理由见解析．
【分析】（1）根据题意可得 ， ， ，即可推出
，由此即可得到答案；
（2）由题意可以证明 ，再由 ，即可证明 ．
【解析】解：（1）∵ ， ， ，
∴ ．
∴ ．
（2）∵ ， ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定方法．
20．如图， 中，CD是斜边AB上的高．求证：
（1） ；
（2） ．【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可．
（2）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可．
【解析】证明：（1）∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
（2）∵CD是斜边AB上的高，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BDC＝∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△CBD∽△ABC．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理；熟记有两组角对应相等的两个三角形相似是解决问题的关键．
21．如图，在 中，E是DC上一点，连接AE、F为AE上一点，且 .
求证： .
【答案】证明见解析.
【分析】本题要证明 ，根据题目给定的条件中没有给定与边对应成比例有关的信息，只有与
角有关的条件，故在方法选择上确定利用定理“两角对应相等，两三角形相似”，通过证明 ，
即可完成．
【解析】证明∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ， ，
∴
∵ ，且 ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ .【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，关键是根据题意利用“两角对应相等，两三角形相似”的方法
来证明两三角形相似．
22．如图，P是 的边 上的一点．
（1）如果 ， 与 是否相似？为什么？
（2）如果 ， 与 是否相似？为什么？如果 呢？
【答案】（1）相似．因为 ， ；（2）相似，因为 ， ；
不相似．因为虽然两边成比例，但它们的夹角不相等．
【分析】（1）直接根据有两角对应相等的两个三角形相似，即可求证；
（2）直接根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可求解．
【解析】解：（1）相似，理由如下：
∵ ， ，
∴ ；
（2）相似，理由如下：
∵ ， ，
∴ ；
不相似，理由如下：
因为虽然 ，但它们的夹角 与 不相等，
所以 与 不相似．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题1．如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且 ，AE=BE，则有（ ）
A． AED∽△BED B． AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD
【答△案】B △
【分析】本题可以采用排除法，即根据已知中正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上， ，
AE=BE，我们可以分别得到： AED、 BCD为锐角三角形， BED、 ABD为钝角三角形，然后根据锐
角三角形不可能与钝角三角形△相似排除△错误答案，得到正确答△案． △
【解析】解：由已知中正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上， ，AE=BE，
易判断出： AED为一个锐角三角形， BED为一个钝角三角形，故A错误；
ABD也是一△个钝角三角形，故C也错△误；
△但 BCD为一个锐角三角形，故D也错误；
故△选：B．
【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于可以直接根据相似三角形的定义，大小不同，形状相
同，排除错误答案，得到正确结论．
2．如图，正方形 中， 是 的中点， 是 边上的一点，下列条件中，不能推出 与
相似的是（ ）
A． B． C． 是 的中点 D．【答案】C
【分析】利用两三角形相似的判定定理逐一判断即可．
【解析】A． ，根据正方形性质得到∠B=∠C，可以得到 ∽ ，不合题意；
B. ，根据正方形性质得到∠B=∠C，根据同角的余角相等，得到 ，从而有
∽ ，不合题意；
C．P是BC的中点，无法判断 与 相似，符合题意；
D． ，根据正方形性质得到 ，又∵∠B=∠C，则 ∽ ，不
合题意．
故选：C
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角
形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】试题解析：如图①，∠OAB=∠ ，∠AOB=∠ 时， AOB∽△ ．
△
如图②，AO∥BC，BA⊥ ，则∠ =∠OAB，故 AOB∽△ ；
△如图③， ∥OB，∠ABC= ，则∠ABO=∠CAB，故 AOB∽△ ；
3
△
如图④，∠AOB=∠ = ，∠ABO=∠ ，则 AOB∽△ ．
△
故选D．
4．如图，正方形ABCD中，以BC为边向正方形内部作等边 BCE，连接AE并延长交CD于F，连接
DE，下列结论：①AE＝DE；②∠CEF＝45°；③AE＝EF；④△ DEF∽△ABE，其中正确的结论共有
（ ） △
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】利用正方形的性质、等边三角形的性质，求出相关角的度数，即可一一解决问题．【解析】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，
∵△EBC是等边三角形，
∴BC=BE=CE，∠EBC=∠EBC=∠ECB=60°，
∴∠ABE=∠ECF=30°，
∵BA=BE，EC=CD，
∴∠BAE=∠BEA=∠CED=∠CDE= （180°-30°）=75°，
∴∠EAD=∠EDA=15°，
∴EA=ED，故①正确，
∴∠DEF=∠EAD+∠ADE=30°，
∴∠CEF=∠CED-∠DEF=45°，故②正确，
∵∠EDF=∠AFD=75°，
∴ED=EF，
∴AE=EF，故③正确，
∵∠BAE=∠BEA=∠EDF=∠EFD=75°，
∴△DEF∽△ABE，故④正确，
故选D．
【点睛】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定、等腰三角形的判定等知识，解
题的关键是灵活应用正方形以及等边三角形的性质，通过计算角度解决问题，属于中考常考题型．
5．如图，在矩形 中，点 是 的中点， 的平分线交 于点 将 沿 折叠，点
恰好落在 上 点处，延长 、 交于点 ，有下列四个结论：① 垂直平分 ；② 平分
；③ ；④ ．其中，将正确结论的序号全部选对的是（ ）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF＝FM＝DF；易求得∠BFE＝∠BFN，
则可得BF⊥EN；证明∠EFM＝∠EBF即可证明 ；易求得BM＝2EM＝2DE，即可得EB＝
3EM，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可证明 ．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BCD＝90°，DF＝MF，
由折叠的性质可得：∠EMF＝∠D＝90°，
即FM⊥BE，CF⊥BC，
∵BF平分∠EBC，
∴CF＝MF，
∴DF＝CF，在△DEF与△CFN中，
∴△DFE≌△CFN，
∴EF＝FN，
∵∠BFM＝90°−∠EBF，∠BFC＝90°−∠CBF，
∴∠BFM＝∠BFC，
∴BF平分∠MFC；故②正确；
∵∠MFE＝∠DFE＝∠CFN，
∴∠BFE＝∠BFN，
∵∠BFE＋∠BFN＝180°，
∴∠BFE＝90°，即BF⊥EN，
∴BF垂直平分EN，故①正确；
∵∠BFE＝∠D＝∠FME＝90°，
∴∠EFM＋∠FEM＝∠FEM＋∠FBE＝90°，
∴∠EFM＝∠EBF，
∵∠DFE＝∠EFM，
∴∠DFE＝∠FBE，
∴ ；故③正确；
∵∠BFM＝∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，
∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM，
∴BE＝3EM，
∴S BEF＝3S EMF＝3S DEF；
△ △ △
故④正确．
综上所述：①②③④都正确，
故答案选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，相似三角
形的判断．此题难度适中，证得△DFE≌△CFN是解题的关键．
6．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，添加下列条件仍不
能判断△CEB与△CAD相似的是（ ）
A．∠CBA＝2∠A B．点B是DE的中点
C．CE•CD＝CA•CB D． ＝
【答案】D
【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
【解析】∵CE⊥CD，
∴∠EDC＝90°，
∵∠BCA＝90°，
∴∠BCE＝∠DCA＝90°-∠BCD，
∵CD是 斜边AB上的中线，∴DC＝DB＝DA，
∴∠DAC＝∠A，
∴∠BCE＝∠DCA＝∠A，
∵∠CBA＝2∠A，∠CBA+∠A＝90°，
∴∠A＝∠BCE＝∠DCA＝30°，∠CBA＝60°，
∴∠E＝∠CBA-∠BCE＝30°，
∴∠BCE＝∠DCA＝∠E＝∠A，
∴△CEB∽△CAD，
∴A不符合题意；
∵点B是DE的中点，
∴BE＝BC，
∴∠BCE＝∠E，
∴∠BCE＝∠E＝∠DCA＝∠A，
∴△CEB∽△CAD，
∴B不符合题意；
∵CE•CD＝CA•CB，
∴ ．
∵∠BCE＝∠DCA，
∴△CEB∽△CAD，
∴C不符合题意；
由 ，由于∠E和∠A不能判断相等，故不能判断△CEB与△CAD相似，
∴D符合题意.
故选：D．
【点睛】本题考查判断三角形相似，直角三角形的性质．掌握判定三角形相似的条件是解题关键．
二、填空题
7．如图，在 中， ，则图中相似三角形共有______对．【答案】6
【分析】根据平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似，可知图中 AEF、
AGH、 AIJ和 ABC任意两个三角形都相似． △
△【解析】△解：在 △ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC，
∴△AEF， AGH△， AIJ， ABC中的任意两个三角形都相似．
∴相似三角△形共有6△对． △
故答案为：6.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟记平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角
形相似是解题关键．
8．在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与
△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC
的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有________条．
【答案】3
【解析】试题分析：如图，易知，
当PD∥BC时，△APD∽△ABC．当PE∥AC时，△PBE∽A△BC．
连接PC，
∵∠A=36°，AB=AC，点P在AC的垂直平分线上，
∴AP=PC，∠ABC=∠ACB=72°．∴∠ACP=∠PAC=36°．∴∠PCB=36°．
∴∠B=∠B，∠PCB=∠A，∴△CBP∽△ABC．．
∴过点P的△ABC的相似线最多有3条．
9．如图，已知 ， ， ， ． 是射线 上的动点（点 与点 不重合），
是线段 的中点，连结 ，交线段 于点 ，如果以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，
则线段 的长为________．
【答案】 或
【分析】如果△ADN和△BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因为AD∥BC，如果两角相等，
那么M与D重合，显然不合题意．因此本题分①当∠ADN=∠BME时和②当∠AND=∠BEM时，两种情况
解答即可．
【解析】因为如果△ADN和△BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因为AD∥BC，如果两角
相等，那么M与D重合，显然不合题意，故应分两种情况进行讨论．
图1，当∠ADN=∠BEM时，那么∠ADB=∠BEM，∴tan∠ADB=tan∠BEM．
作DF⊥BE，垂足为F，可得四边形ABFD为矩形，则AB=DF，设BE=x，
∵tan∠ADB= AB：AD，tan∠BEM =DF：FE，
∴AB：AD=DF：FE=AB：（BE-AD）．
即2：4=2：（x-4）．
解得x=8．
即BE=8．②如图2，当∠ADB=∠BME，
而∠ADB=∠DBE，
∴∠DBE=∠BME，
∵∠E是公共角，
∴△BED∽△MEB，
∴ ，即BE2=DE•EM，
∵M是线段DE的中点，
∴EM= DE,
设BE=x，结合图1，根据勾股定理可得：
∴ = [22+（x-4）2]，
∴x=2，x=-10（舍去），
1 2
∴BE=2．
综上，线段BE的长为8或2，
故答案为8或2．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用
分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
10．如图，在△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；
③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，添加其中一个条件能满足△APC和△ACB相似的条件有 _____种情
况．
【答案】3【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对
应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．
【解析】①当∠ACP=∠B，
∵∠A=∠A，
∴ ，
∴①符合题意；
②当∠APC=∠ACB，
∵∠A=∠A，
∴ ，
∴②符合题意；
③当 ，
即 ，
∵∠A=∠A
∴ ，
∴③符合题意；
④∵当 ，即 ，
而∠PAC=∠CAB，
以上条件不能判断△APC和△ACB相似，
∴④不符合题意；
即有①②③这三种情况可得出 ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组
角对应相等的两个三角形相似．
11．如图，点E在 ABCD的边CD的延长线上，连接BE分别交AD、AC于F、G．图中相似的两个三角
形共有 _____对．▱
【答案】6【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可．
【解析】解：∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB∥DC
∵△ABG∽△CEG，△AGF∽△CGB，△EFD∽△EBC，△ABF∽△DEF，△ABF∽△EBC五对，还有一对
特殊的相似即△ABC≌△ADC，
∴共6对．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形的判断方
法，属于中考常考题型．
12．如图，在 中， ， ，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为 ；动点
Q从点B开始沿BC边运动，速度为 ；如果P、Q两动点同时运动，那么经过______秒时 与
相似．
【答案】 或 ## 或
【分析】设经过t秒时， 与 相似，则 , , ,利用两组对应边的
比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论： 时， ，即 ；当
时， ，即 ，然后解方程即可求出答案．
【解析】解：设经过t秒时， 与 相似，
则 , , ,
∵ ，
∴当 时， ，即 ，
解得： ；
当 时， ，
即 ，
解得： ；
综上所述：经过 或 秒时， 与 相似，
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是
准确分析题意列出方程求解．
三、解答题
13．已知：如图，在四边形ABCD中， ， ， ， .
求证：（1） ；
（2） .
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，据此进行证明即可；
（2）先根据相似三角形的性质，得出∠BAC=∠EDA， ，再根据两组对应边的比相等且夹角对应
相等的两个三角形相似，进行证明即可．
【解析】解：（1）∵ ， ， ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ .（2）由（1）知 ，
∴ .
∵ .
∴ .
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：两组对应边的比相等且夹角
对应相等的两个三角形相似．
14．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE =∠ACD，BE、CD交于点G．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）先证△ABE∽△ACD，得出 ，再利用∠A是公共角，即可求证；（2）
在BC上截取BF=BD，连接EF，先证△BDE≌△BFE，得出DE=FE，∠BDE=∠BFE，再证EF=EC即可.
解：（1）∵∠ABE =∠ACD，且∠A是公共角，
∴△ABE∽△ACD．∴ ，即 ，
又∵∠A是公共角，
∴△AED∽△ABC．
（2）在BC上截取BF=BD，连接EF，
在△BDE与△BFE中，BD=BF,∠DBE=∠FBE，BE=BE，
∴△BDE≌△BFE，
∴DE=FE，∠BDE=∠BFE，∴∠ADE=∠EFC，
∵△AED∽△ABC，∴∠ADE=∠ACB，
∴∠EFC=∠ACB，
∴EF=EC，
∴DE=CE．
15．如图，已知，在平行四边形ABCD中，E为射线CB上一点，联结DE交对角线AC于点F，∠ADE＝
∠BAC．
（1）求证：CF•CA＝CB•CE；
（2）如果AC＝DE，求证：四边形ABCD是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）利用平行四边形性质，得到∠ADE＝∠E．结合已知找到∠BAC＝∠E．即可证明
△ACB∽△ECF．从而得到结论．
（2）先证明△ADF∽△CEF．利用对应边成比例，结合已知AC＝DE和（1）的结论，即可证明AB＝BC，
从而得到结论．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AD∥BC．
∴∠ADE＝∠E．∵∠ADE＝∠BAC．
∴∠BAC＝∠E．
∵∠ACB＝∠ECF．
∴△ACB∽△ECF．
∴ ．
∴CF•CA＝CB•CE
（2）由（1）知∠ADE＝∠E．
∵∠ADF＝∠CFE．
∴△ADF∽△CEF．
∴ ．
∴ ．
∵AC＝DE．
∴EF＝CF．
∵△ACB∽△ECF．
∴AB＝BC
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形性质和菱形的判定等知识，关键在于熟悉各个知
识点在本题中运用．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．
（1）求证：△AEB∽△CFB；
（2）若CE＝5， ，BD＝6．求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似即可判断；（2）解直角三角形求出 ， ，利用相似三角形的性质求出 ， 即可．
【解析】（1）证明： ，
，
为 边上的高，
，
，
，
是 的平分线，
，
．
（2）解：如图，作 于 ．
∵∠BFD+∠ABE=90°，∠CEB+∠CBE=90°，∠ABE=∠CBE，
∴∠BFD=∠CEB，
∵∠BFD=∠CFE，
，
为等腰三角形，
，
，
∴点 为 的中点，
，
，
，
，
，
，， ，
，
，
根据 ，即 ，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
17．如图，点 是菱形 的对角线 上一点，连接 并延长，交 于点 ，交 的延长线于点
．
（1）求证： ；
（2）若菱形边长为8， ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【分析】（1）可由相似三角形 对应边成比例进行求解，也可由平行线分线段成比例定理进行
求解，两者均可；
（2）由题中已知线段的长度，结合（1）中的结论，再由平行线分线段成比例，即可得出结论．
【解析】（1）证明： 四边形 是菱形，
， ， ，
又 是公共边，
，
， ，
由 得， ，
，
又，∴PA：PF=PE：PA，
．
（2） ， ，
，
，
，
，
又 ，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及菱形的性质和相似三角形的判定及性质问题，能够
熟练掌握．
18．如图，在 中， 的平分线交边 于点 ，交 的延长线于点 ，点 在 上，联结
（1）求证： ；
（2）连结 ，如果 ，且 ，求 的长．
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，证明△GDF∽△DAF，对应边成比例即可得结论；
（2）根据已知条件可得BA＝BE＝6，EC＝CF＝3，DF＝AD＝9，得AG＝GE＝EF，结合 ，
即可求出AF的长．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，AD∥BC，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝∠F，
∴AD＝DF，
∵∠GDF＝∠F，
∴△GDF∽△DAF，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAF，
∵AD∥BC，
∴∠BEA＝∠DAF，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴ 是等腰三角形，
∴BA＝BE＝6，
∵BG⊥AE，
∴AG=EG，
∵∠BEA＝∠CEF，
∴∠CEF＝∠F，
∴EC＝CF＝3，DF＝AD＝9，
∴ ，
即AG＝GE＝EF，
∵△GDF∽△DAF，AD=FD，
∴DG=FG，∴DG= ，
∵ ，
∴ AF2＝81，
∴AF＝ ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，涉及的
知识较多，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．
19．如图，BE，CD是 的高，连接DE.
（1）求证： ；
（2）若 ，M为BC的中点，连接DM.求证： .
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）由BE、CD是△ABC的高得∠AEB=∠ADC=90°，加上∠EAB=∠DAC，根据相似三角形的
判定方法得到△AEB∽△ADC，则AB：AC=AE：AD，利用比例性质即可得到结论；
（2）由∠BAC=120゜得到∠BAE=60°，则∠EBA=30°，从而 ，然后证明 ，可得
，根据 中，M为BC的中点，可得 ，所以DE=DM．
【解析】解：（1）∵BE，CD是 的高，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
（2）∵ ，
∴ ，∴∠ABE=30°，
∴ .
由（1）得 ，即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ .
在 中，M为BC的中点，
∴ ，
∴ .
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应角相等的两个三角形相似；相似三角形对应边
的比等于相等，都等于相似比．也考查了直角三角形斜边上的中线性质以及含30°角的直角三角形的性质．
20．已知：如图，四边形 是菱形，点 、 分别在边 、 上，联结 、 交对角线 于
、 两点，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求证： ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）先根据菱形的性质和角的和差可证 ∽ ，再根据相似的性质得到 结合
即可证明；
（2）先根据菱形的性质得到 、 ，再根据平行线分线段成比例定理可得 ，再结
合 可得 即 即可证明．【解析】证明：（1）∵四边形 是菱形；
∴ ；
∴ ；
∵ ， ；
又∵ ；
∴ ；
∴ ∽ ；
∴ ，即 ；
∴ ；
（2）∵四边形 是菱形；
∴ ， ；
∴ ；
∵ ；
∴ ，
∴ ；
∴ ，即 ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及菱形的性质，灵活应用
相关性质定理成为解答本题的关键．
21．如图，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上， ．
（1）当BE=BF时，求证：AE=CF；
（2）若AB=4，求 的值；
（3）延长BF交CD于点G，连接EG．判断线段BE与EG的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）16；（3）EB=EG，理由见解析
【分析】（1）根据正方形的性质，等腰三角形的两个底角相等，等角的补角相等，证明 ABE ≌△CBF即
可； △
（2）证明EBF ∽ ECB∽ BAF，列出比例式计算即可；
△ △ △
（3）先证明 BEF∽△CGF，得到 ，根据∠EFG=∠BFC，证明 EFG∽△BFC即可．
△ △
【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAE=∠BCF= ．
∵BE= BF，
∴∠BEF=∠BFE．
∴∠AEB=∠CFB．
∴△ABE ≌△CBF．
∴AE=CF．
（2）∵∠BEC=∠BAE+∠ABE = +∠ABE，
∠ABF=∠EBF+∠ABE= +∠ABE，
∴∠BEC=∠ABF．
∵∠BAF=∠BCE= ，
∴△ABF∽△CEB．
∴ ．
∴ =16．
（3）如图2∠EBF=∠GCF=45°，
∠EFB=∠GFC，
∴△BEF∽△CGF.
∴ .
即 .
∵∠EFG=∠BFC，
∴△EFG∽△BFC.
∴∠EGF=∠BCF=45°.
∴∠EBF =∠EGF.
∴EB=EG.
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握三角
形全等的判定方法和三角形相似的判定方法是解题的关键．
22．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE
＝CF，连接EF交AC于点P，分别连接DE，DF，DP
（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）求证：△ADP∽△BDF；
（3）如图2，若PE＝BE，PC＝ ，求CF的值．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）CF＝ ﹣1，【分析】（1）根据SAS证明即可；
（2）如图1，作FH∥AB交AC的延长线于H．易证△APE≌△HPF（AAS），得PE＝PF，再证△DEF是等
腰直角三角形，得∠EDP＝∠FDP＝45°，进而得∠DAP＝∠DBF，∠ADP＝∠BDF即可得到结论；
（3）如图2，作PH⊥BC于H．首先证明∠EFB＝30°，由PC＝ ，得：HF＝ ，进而求出CF，即可解
决问题．
【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠DAE＝∠BCD＝∠DCF＝90°，
∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
（2）如图1，作FH∥AB交AC的延长线于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠FCH＝45°，
∵AB∥FH，
∴∠HFC＝∠ABC＝90°，
∴∠FCH＝∠H＝45°，
∴CF＝FH＝AE，
∵∠PAE＝∠H＝45°，∠APE＝∠FPH，
∴△APE≌△HPF（AAS），
∴PE＝PF，
∵△ADE≌△CDF，
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，
∴∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵EP＝PF，
∴∠EDP＝∠FDP＝45°，
∵ADP＝∠ADE+∠PDE＝∠ADE+45°，∠BDF＝∠CDF+∠BDC＝∠CDF+45°，
∴∠ADP＝∠BDF，
∵∠DAP＝∠DBF＝45°，
∴△ADP∽△BDF；
（3）如图2中，作PH⊥BC于H．∵∠ACB＝45°，PC＝ ，
∴PH＝CH＝1．
由（2）得：BE＝PE＝PF，
∴BE＝ EF，
∴∠BFE＝30°，
∴PF＝2，
∴HF＝ ，
∴CF＝ ﹣1，
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理，正方形的性质定理，全等三角形的判定和性质定理，等腰
直角三角形的性质定理以及含30°角的直角三角形的性质定理，添加辅助线，构造全等三角形和含30°角的
直角三角形，是解题的关键．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2015·湖北荆州·中考真题）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，
不正确的是（ ）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABCC． D．
【答案】D
【解析】解：A．当∠ABP=∠C时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
B．当∠APB=∠ABC时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
C．当 时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．
2．（2019·四川雅安·中考真题）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）
与 相似的是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
【解析】解：因为 中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角
相等，
故选B．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题
型．
3．（2016·广西河池·中考真题）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判
定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60°
【答案】A
【解析】∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴AB//CD，AB=CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴当AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
故选：A．
4．（2012·江苏徐州·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=
BC．图中相似三角形共有【 】A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【解析】根据正方形的性质，求出各边长，应用相似三角形的判定定理进行判定：
同已知，设CF=a，则CE=DE=2a，AB=BC=CD=DA=4a，BF=3a．
根据勾股定理，得EF= ，AE= ，AF=5a．
∴ ， ， ．
∴△CEF∽△DAE，△CEF∽△EAF，△DEA∽△EFA．共有3对相似三角形．
故选C．
5．（2013·贵州贵阳·中考真题）如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截
△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【分析】过点M作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可
以．
【解析】过点M作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可
以．因此，∵截得的三角形与△ABC相似，
∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意
∴过点M作直线l共有三条．
故选C．
二、填空题
6．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，在 中，点D，E分别为边 ， 上的点，试添加一个条件：
_____，使得 与 相似．（任意写出一个满足条件的即可）
【答案】
【分析】根据相似三角形的判定方法：两边成比例，夹角相等解题．
【解析】解：根据题意，添加条件 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
7．（2012·山东菏泽·中考真题）如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：________________，使ABC∽△ADE．
△
【答案】∠D=∠B（答案不唯一）
【分析】根据相似三角形的判定定理再补充一个相等的角即可．
【解析】解：∵∠DAB=∠CAE
∴∠DAE=∠BAC
∴当∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE时 ABC∽△ADE．
故答案为：∠D=∠B（答案不唯一）． △
8．（2016·湖南娄底·中考真题）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，∠A=∠D，要使
△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是______．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
【答案】∠B=∠DEC（不唯一）
【解析】可添加 ，理由如下：
故答案为：
9．（2017·山东潍坊·中考真题）如图，在 中， ， 分别为边 、AC上的点，
， ,点F为BC边上一点，添加一个条件:__________，可以使得 与 相似.
（只需写出一个）
【答案】DF∥AC，或∠BFD=∠A【解析】试题分析： DF//C，或∠BFD=∠A．
理由：∵ ， ,
∴
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴①当DF//AC时，△BDF∽△BAC，
∴△BDF∽△EAD．
②当∠BFD=∠A时，∵∠B=∠AED，
∴△FBD∽△AED．
故答案为DF//C，或∠BFD=∠A．
考点：相似三角形的判定
10．（2015·广东汕尾·中考真题）已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，
F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是____________．（写出一个即可）
【答案】AF= AC或∠AFE=∠ABC．
【解析】
分两种情况：
即
要使以A、E、F为顶点的三角形与 相似，则 或 ．故答案为： 或 ．
三、解答题
11．（2013·湖南益阳·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：
△ABD∽△CBE．
【答案】证明见解析．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应
相等的两个三角形相似证明．
【解析】∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
又∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，正确找到相似的条件是解题的关键．
12．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在 与 中，点 、 分别在边 、 上，且
，若___________，则 ．请从① ；② ；③
这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．【答案】见解析．
【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可．
【解析】解：若选① ，
证明：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ．
选择② ，不能证明 ．
若选③ ，
证明：∵ ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
13．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，在 的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应
格点图形．(1)如图1，作一条线段，使它是 向右平移一格后的图形；
(2)如图2，作一个轴对称图形，使 和 是它的两条边；
(3)如图3，作一个与 相似的三角形，相似比不等于1．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)画图见解析
【分析】（1）分别确定A，B平移后的对应点C，D，从而可得答案；
（2）确定线段AB，AC关于直线BC对称的线段即可；
（3）分别计算 的三边长度，再利用相似三角形的对应边成比例确定 的三边长度，再画出
即可．
（1）
解：如图，线段CD即为所求作的线段，
（2）
如图，四边形ABDC是所求作的轴对称图形，（3）
如图，如图， 即为所求作的三角形，
由勾股定理可得： 而
同理： 而
【点睛】本题考查的是平移的作图，轴对称的作图，相似三角形的作图，掌握平移轴对称的性质，相似三
角形的判定方法是解本题的关键．
14．（2015·湖南湘潭·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜
边AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．
【答案】（1）证明见试题解析；（2） ．【分析】（1）由折叠的性质可知∠C=∠AED=90°，因为∠DEB=∠C，∠B=∠B证明三角形相似即可；
（2）由折叠的性质知CD=DE，AC=AE．在Rt BDE中运用勾股定理求DE，进而得出AD即可．
【解析】（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠，△
∴∠C=∠AED=90°，
∴∠DEB=∠C=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC；
（2）由勾股定理得，AB=10，
由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°，
∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，
在Rt△BDE中，由勾股定理得， ，
即 ，
解得：CD=3，
在Rt△ACD中，由勾股定理得 ，
即 ，
解得：AD= ．
【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理，相似三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.
