文档内容
专题 13 双曲线
目录一览
2023真题展现
考向一 双曲线的离心率
真题考查解读
近年真题对比
考向一 双曲线的渐近线方程
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 双曲线的离心率
x2 y2
1．（2023•新高考Ⅰ•第16题）已知双曲线C： - =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F ，F ．点
a2 b2 1 2
→ → → 2 →
A在C上，点B在y轴上，F A⊥F B，F A=- F B，则C的离心率为 ．
1 1 2 3 2
3√5
【答案】
5
解：（法一）如图，设F（﹣c，0），F（c，0），B（0，n），
1 2
→ →
设A（x，y），则F A=(x-c，y)，F B=(-c，n) ，
2 2
2
{x-c= c
→ 2 → 3 5 2
又F A=- F B，则 ，可得A( c，- n)，
2 3 2 2 3 3
y=- n
3
→ → → 8 2 →
又F A⊥F B，且F A=( c，- n)，F B=(c，n)，
1 1 1 3 3 1
→ → 8 2
则F A⋅F B= c2- n2=0，化简得n2＝4c2．
1 1 3 3
25 4
c2 n2 25c2 4n2
又点A在C上，则 9 9 ，整理可得 - =1，
- =1 9a2 9b2
a2 b2
25c2 16c2 16e2
代n2＝4c2，可得 - =9，即25e2- =9，
a2 b2 e2-1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】9 1
解得e2=
或 （舍去），
5 5
3√5
故e= ．
5
→
→ 2 → |F A| 2
（法二）由F A=- F B，得 2 = ，
2 3 2 → 3
|F B|
2
→ → → → →
设|F A|=2t，|F B|=3t，由对称性可得|F B|=3t，则|AF |=2t+2a，|AB|=5t，
2 2 1 1
3t 3 4 2t+2a
设∠FAF＝ ，则sinθ= = ，所以cosθ= = ，解得t＝a，
1 2 5t 5 5 5t
→ θ →
所以|AF |=2t+2a=4a，|AF |=2a，
1 2
16a2+4a2-4c2 4
在△AFF 中，由余弦定理可得cosθ= = ，
1 2 16a2 5
3√5
即5c2＝9a2，则e= ．
5
【命题意图】
考查双曲线的定义、标准方程、几何性质、直线与双曲线．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析
问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．
【考查要点】
双曲线的定义、方程、性质是高考常考内容，以小题出现，常规题，难度中等．
【得分要点】
一、双曲线的定义
把平面内与两个定点F ，F 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F F |)的点的轨迹叫做双曲线．这
1 2 1 2
两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
注：1、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合: .常数要小于两个定点的距离．
2、对双曲线定义中限制条件的理解
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)当||MF |－|MF ||＝2a＞|F F |时，M的轨迹不存在．
1 2 1 2
(2)当||MF |－|MF ||＝2a＝|F F |时，M的轨迹是分别以F ，F 为端点的两条射线．
1 2 1 2 1 2
(3)当||MF |－|MF ||＝0，即|MF |＝|MF |时，M的轨迹是线段F F 的垂直平分线．
1 2 1 2 1 2
(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于
与 的大小.
①若 ,则 ,点 的轨迹是靠近定点 的那一支;
②若 ,则 ,点 的轨迹是靠近定点 的那一支.
二、双曲线的方程及简单几何性质
－＝1 －＝1
标准方程
(a>0，b>0) (a>0，b>0)
图形
焦点 F ( － c , 0) ， F ( c , 0) F (0 ，－ c ) ， F (0 ， c )
1 2 1 2
焦距 | F F | ＝ 2 c
1 2
范围 x ≤ － a 或 x ≥ a ，y∈ y ≤ － a 或 y ≥ a ，x∈
性质
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A ( － a , 0) ， A ( a , 0) A (0 ，－ a ) ， A (0 ， a )
1 2 1 2
实轴：线段A A ，长：；
1 2
轴 虚轴：线段B B ，长：；
1 2
半实轴长：，半虚轴长：
离心率 e＝∈ (1 ，＋ ∞ )
渐近线 y＝±x y＝±x
三、双曲线的焦点三角形
双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义
和正弦定理、余弦定理．
x2 y2
− =1(a>0,b>0)
a2 b2
以双曲线 上一点P(x ，y)(y≠0)和焦点F (－c,0)，F (c,0)为顶点的△PF F
0 0 0 1 2 1 2
中，若∠F PF ＝θ，则
1 2
||PF|−|PF ||=2a
(1)双曲线的定义： 1 2
|F F | 2
(2)余弦定理： 1 2 ＝|PF |2＋|PF |2－2|PF ||PF |·cos θ.
1 2 1 2
(3)面积公式：S ＝|PF ||PF |·sin θ，
△PF1F2 1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】b2
θ
tan
2
重要结论：S =
△PF1F2
推导过程：由余弦定理得|FF|2=|PF |2＋|PF |2－2|PF ||PF |·cos θ得
1 2 1 2 1 2
由三角形的面积公式可得
S =
△PF1F2
=
四、直线与双曲线的位置关系
1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察
方程的判别式．
(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．
注：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支．
2、弦长公式
直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于 ， 两点，则
（ 为直线斜率）
a=±1
3、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于 、 两点，则弦长 .
考向一 双曲线的渐近线方程
2．（2021•新高考Ⅱ）已知双曲线 ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的离心率e＝2，则该双曲线的渐近线方程
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】为 ．
【解答】解：∵双曲线的方程是 ，
∴双曲线渐近线为y＝
又∵离心率为e＝ ＝2，可得c＝2a
∴c2＝4a2，即a2+b2＝4a2，可得b＝ a
由此可得双曲线渐近线为y＝
故答案为：y＝
查考近几年真题推测以小题出现，常规题，难度中等．双曲线的定义、方程、性质是高考常考内容，
一．双曲线的标准方程（共5小题）
1．（2023•郑州模拟）已知双曲线 （a＞0，b＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为
（ ）
A．x±y＝0 B． C． D．2x±y＝0
【解答】解：∵双曲线的方程是 （a＞0，b＞0），
∴双曲线渐近线为y＝± x．
又∵离心率为e＝ ＝2，
∴c＝2a，
∴b＝ ＝ a，
由此可得双曲线渐近线为y＝± x＝± x，即：
故答案为： ．
故选：C．
2．（2023•宝山区校级模拟）若双曲线经过点 ，且渐近线方程是 ，则这条双曲线的方
程是 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线方程是 ，
则可设双曲线的标准方程为 ，（ ≠0）；
又因为双曲线经过点 ， λ
代入方程可得， ＝﹣1；
λ
故这条双曲线的方程是 ；
故答案为： ．
3．（2023•通州区模拟）双曲线 的焦点坐标为（ ）
A．（±1，0） B．（± ，0） C．（± ，0） D．（± ，0）
【解答】解：双曲线 ，可知a＝ ，b＝1，c＝ ，所以双曲线的焦点坐标为（ ，
0）．
故选：C．
4．（2023•西山区校级模拟）已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则双曲线的离心率为
（ ）
A． B． C． D．2
【解答】解：双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，
则tan ＝ ，
所以该条渐近线方程为y＝ x；
所以 ＝ ，
解得a＝ ；
所以c＝ ＝ ＝2 ，
所以双曲线的离心率为e＝ ＝ ＝ ．
故选：A．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5．（2023•青羊区校级模拟）已知双曲线 的右焦点为F，O为坐标原点，
以 OF 为直径的圆与双曲线 C 的一条渐近线交于点 O 及点 ，则双曲线 C 的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程：y＝ x，因为A（ ， ） 在渐近线上，故
＝ 所以a＝ ，
又A在以OF 为直径的圆上，所以OA⊥AF，
所以AF2+OA2＝OF2，即（ ﹣c）2+（ ）2+（ ）2+（ ）2＝c2 解得：c＝2，a＝ ，b＝1，
所以双曲线的方程为： ﹣y2＝1，
故选：C．
二．双曲线的性质（共33小题）
6．（2023•天山区校级模拟）已知双曲线 （a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F 、F ，过F 且垂
1 2 2
直于x轴的直线与双曲线交于 A、B两点，若△F AB为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为
1
（ ）
A．2 B． C． D．
【解答】解：已知双曲线 的左右焦点分别为F 、F ，
1 2
过F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，
2
若△F AB为等腰直角三角形，
1
此时|AF |＝|BF |，且∠AF B＝90°，
1 1 1
因为∠AF F ＝∠BF F ＝45°，
1 2 1 2
而|AF |＝|F F |，
2 1 2
则 ，
即b2＝2ac，①
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又b2＝c2﹣a2，②
联立①②，解得 ，
因为e＞1，
所以 ．
故选：C．
7．（2023•朝阳区一模）过双曲线 的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为
A．若∠AFO＝2∠AOF（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D． 或2
【解答】解：在Rt△AFO中，因为∠AFO＝2∠AOF，
所以∠AOF＝30°，则 ，
所以 ，
故选：B．
8．（2023•博白县模拟）已知F ，F 分别是双曲线C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为
1 2
双曲线右支上一点，若∠F PF ＝60°， ＝ ac，则双曲线的离心率为（ ）
1 2
A． B． C． D．2
【解答】解：设PF ＝m，PF ＝n，则 ＝ ＝ ac，
1 2
∴mn＝4ac，
由余弦定理可得：|F F |2＝4c2＝m2+n2﹣mn＝（m﹣n）2+mn，
1 2
由双曲线的定义可知m﹣n＝2a，
∴4c2＝4a2+4ac，即c2﹣a2＝ac，
∴e2﹣e﹣1＝0，解得e＝ 或e＝ （舍）．
故选：A．
9．（2023•郑州模拟）点（4，0）到双曲线Γ： 的一条渐近线的距离为 ，
则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．5
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解答】解：由题意可得双曲线的一条渐近线为：ay﹣bx＝0，
所以（4，0）到ay﹣bx＝0的距离为 ，
不妨设b＝4m（m＞0），
则 ．
故选：C．
10．（2023•武鸣区校级二模）双曲线x2﹣ ＝1的焦点坐标为（ ）
A．（±1，0） B．（0，± ） C．（± ，0） D．（0，±1）
【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x2﹣ ＝1，
其中a＝1，b＝ ，其焦点在x轴上，
则c＝ ＝ ，
所以双曲线的焦点坐标为（± ，0）；
故选：C．
11．（2023•河南模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为F ，F ，P是双
1 2
曲线C的一条渐近线上的点，且线段PF 的中点M在另一条渐近线上．若∠PF F ＝45°，则双曲线C的
1 2 1
离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【解答】解：因为M，O分别是PF ，F F 的中点，
1 1 2
所以MO∥PF ，又∠PF F ＝45°，
2 2 1
所以∠MOF ＝45°，即 ，
1
所以a＝b，故 ．
故选：A．
12．（2023•源汇区校级模拟）已知F 、F 分别为双曲线 ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为
1 2
双曲线右支上任意一点，若 的最小值为2c，c＝ ，则该双曲线的离心率是（ ）
A．3 B．4 C． D．
【解答】解：由双曲线的性质可得|PF |＝2a+|PF |，
1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以|PF |2＝4a2+4a|PF |+|PF |2，
1 2 2
所以 ＝|PF |+ +4a≥2 +4a＝8a，
2
由题意可2c＝8a，即c＝4a，
所以双曲线的离心率为e＝ ＝4．
故选：B．
13．（2023•四川模拟）已知双曲线C：x2﹣ ＝1（a＞b＞0）的左，右顶点分别为A，B，点P在双曲线
C上，过点B作x轴的垂线BM，交PA于点M．若∠PAB＝∠PBM，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【解答】解：设P（m，n），可得m2﹣ ＝1，
双曲线C：x2﹣ ＝1（a＞b＞0）的左，右顶点分别为A，B，点P在双曲线C上，
过点B作x轴的垂线BM，交PA于点M．∠PAB＝∠PBM，
过P作x轴的垂线，垂足为N，所以△PAN∽△BPN，
可得 ，结合m2﹣ ＝1，
可得b＝1，又a＝1，所以双曲线的离心率为：e＝ ＝ ．
故选：A．
14．（2023•贺兰县校级模拟）人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．从双曲线右
焦点F 发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点 F .已知双曲
2 1
线的方程为x2﹣y2＝1，则当入射光线F P和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），∠F F P的
2 1 2
余弦值大小为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【解答】解：设|PF |＝m，|PF |＝n，
1 2
则m﹣n＝2，m2+n2＝ ，
解得m＝ +1，n＝ ﹣1，
∴cos∠F F P＝ ＝ ，
1 2
故选：D．
15．（2023•海淀区校级模拟）若双曲线 的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截
得的弦长为 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由双曲线 的方程可得渐近线的方程为：y＝± x，
即ax±2y＝0，
由圆（x﹣2）2+y2＝4的方程可得圆心C（2，0），半径r＝2，
可得d＝ ，
所以可得弦长2 ＝2 ＝ ，解得a2＝ ，
可得离心率e＝ ＝ ＝ ＝ ，
故选：B．
16．（2023•广西模拟）双曲线C： （a＞0，b＞0）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于
y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【解答】解：由题意知双曲线左顶点为A（﹣a，0），设P（x ，y ），则Q（﹣x ，y ），
0 0 0 0
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则有 ，
又 ，将 代入 中，得 ，
即a2＝4b2，所以 ，故 ，
故选：A．
17．（2023•未央区模拟）设O为坐标原点，F ，F 是双曲线C： 的左、右焦
1 2
点，已知双曲线C的离心率为 ，过F 作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，则 ＝（ ）
2
A． B．2 C． D．
【解答】解：设双曲线的一条渐近线为y＝ ，
过F 作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，则|PF |＝b，
2 2
则|OP|＝a，cos∠PF O＝ ，
2
在△PF F 中，cos∠PF O＝ ＝ ，
1 2 2
得|PF |2＝4c2﹣3b2＝4（a2+b）2﹣3b2＝4a2+b2，
1
∵e＝ ，得 ＝1+ ＝3，
得 ＝2，
则 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ，
故选：A．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】18．（2023•贵阳模拟）已知双曲线C：mx2﹣ny2＝1（m＞0，n＞0）的离心率为 ，虚轴长为4，则C
的方程为（ ）
A．3x2﹣4y2＝1 B．
C． D．
【解答】解：由双曲线C：mx2﹣ny2＝1（m＞0，n＞0），
得 ，可得a＝ ，b＝ ，c＝ ，
∵双曲线的离心率为 ，虚轴长为4，
∴ ，解得 ．
∴C的方程为 ．
故选：D．
19．（2023•郑州模拟）已知双曲线 的左焦点为F，过原点O的直线与C交于点A，B，若|
OF|＝|OA|，则|AF||BF|＝（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【解答】解：双曲线 ，则a＝2，b＝1， ，
由|OF|＝|OA|可得AF⊥BF，设A为右支上一点，F 为右焦点，连接AF 、BF ，
2 2 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则四边形AFBF 为矩形，所以|AF |＝|BF|，
2 2
设|AF|＝m，|BF|＝n，则m﹣n＝4，m2+n2＝20，
所以 ．
故选：A．
20．（2023•蕉城区校级二模）已知双曲线 的左、右焦点分别为F 、F ，
1 2
过 F 的直线 l 交双曲线的右支于 A、B 两点．点 M 满足 ，且 ，者
2
，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如下图所示，取线段BF 的中点E，连接AE，
1
因为 ，则 ，
因为E为BF 的中点，则AE⊥BF ，且∠ABF ＝∠AF B，
1 1 1 1
由双曲线的定义可得2a＝|AF |﹣|AF |＝|AB|﹣|AF |＝|BF |，
1 2 2 2
所以|BF |＝|BF |+2a＝4a，则|BE|＝|EF |＝2a，
1 2 1
由余弦定理可得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】＝ ＝ ，
所以 ，因此该双曲线的离心率为 ．
故选：C．
21．（2023•凉山州模拟）已知以直线y＝±2x为渐近线的双曲线，经过直线x+y﹣3＝0与直线2x﹣y+6＝0
的交点，则双曲线的实轴长为（ ）
A．6 B． C． D．8
【解答】解：由 ，解得 ，则双曲线过点（﹣1，4）．
若双曲线的焦点在x轴，设为 ，
由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，得 ，即b＝2a，
将（﹣1，4）代入方程 ，得 ，
有 ，无解，不符合题意；
若双曲线的焦点在y轴，设为 ，
由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，得 ，即a＝2b，
将（﹣1，4）代入方程 ，得 ，
有 ，解得 ，
所以双曲线的实轴长为 ．
故选：C．
22．（2023•滨海新区校级三模）点F是抛物线x2＝8y的焦点，A为双曲线C： 的左顶点，直线
AF平行于双曲线C的一条渐近线，则实数b的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【解答】解：抛物线x2＝8y的焦点为（0，2）．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设A为双曲线C： 的左顶点（﹣2 ，0），渐近线方程为y＝± x，
因为直线AF平行于双曲线C的一条渐近线，
所以 ＝ ，解得b＝4，
故选：B．
23．（2023•恩施市校级模拟）已知F ，F 分别为双曲线C： 的左右焦点，且F 到渐
1 2 1
近线的距离为1，过F 的直线l与C的左、右两支曲线分别交于A，B两点，且l⊥AF ，则下列说法正
2 1
确的为（ ）
A．△AF F 的面积为2 B．双曲线C的离心率为
1 2
C． D．
【解答】解：设双曲线C的半焦距为c＞0，因为双曲线C的焦点在x轴上，且a＝2，
则其中一条渐近线方程为 ，即bx﹣2y＝0，且F （﹣c，0），
1
则F 到渐近线的距离为 ，可得 ，
1
对于A：因为|AF |﹣|AF |＝4且 ，
2 1
可得 ，解得|AF
1
|⋅|AF
2
|＝2，
所以△AF F 的面积为 ，故A错误；
1 2
对于B：双曲线C的离心率为 ，故B错误；
对于C：因为 ，可得 ，
所以 • ＝ • ＝ •（ •+ ）＝ 2+ • ＝ 2＝10﹣4 ，故C错误；
对于D：设|BF |＝m，则 ，
2
因为 ，即 ，解得 ，
所以 ＝ + ＝ ，故D正确．
故选：D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】24．（2023•郑州模拟）已知F ，F 分别是双曲线Γ： 的左、右焦点，过F
1 2 1
的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上， ，BF 平分∠F BC，则双曲线
2 1
Γ的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，则CB∥F A，
2
所以△F AF ∽△F BC，
1 2 1
设|F F |＝2c，则|F C|＝8c，
1 2 2
设|AF |＝t，则|BF |＝5t，|AB|＝4t．
1 1
因为BF 平分∠F BC，由角平分线定理可知， ，
2 1
所以|BC|＝4|BF |＝20t，
1
所以 ，
由双曲线定义知|AF |﹣|AF |＝2a，即4t﹣t＝2a， ，①
2 1
又由|BF |﹣|BF |＝2a得|BF |＝5t﹣2a＝2t，
1 2 2
在△ABF 中，由余弦定理知 ，
2
在△F BF 中，由余弦定理知 ，
1 2
即 ，
化简得c2＝6t2，
把①代入上式得 ，
解得 ．
故选：A．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】25．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知双曲线C： 的左、右焦点分别为F ，
1
F ，过双曲线C上一点P向y轴作垂线，垂足为Q，若|PQ|＝|F F |且PF 与QF 垂直，则双曲线C的离
2 1 2 1 2
心率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设双曲线 焦距为2c，不妨设点P在第一象限，
由题意知PQ∥F F ，由|PQ|＝|F F |且PF 与QF 垂直可知，四边形PQF F 为菱形，
1 2 1 2 1 2 1 2
且边长为2c，而△QF O为直角三角形，|QF |＝2c，|F O|＝c，
1 1 1
故∠F QO＝30°，∴∠QF O＝60°，则∠F QP＝120°
1 1 1
则 ，|PF |＝2c，
2
故 ，
即离心率 ．
故选：B．
26．（2023•林芝市二模）已知双曲线 的左、右焦点分别是F ，F ，双曲
1 2
线C上有两点 A，B满足 ，且 ，若四边形 F AF B的周长l与面积S满足
1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：不妨设|AF |＝m，|AF |＝n（m＞n），由双曲线的定义可知，m﹣n＝2a，则m2+n2﹣2mn＝
1 2
4a2①，又 ，
所以由余弦定理可得m2+n2+mn＝4c2②，由①②可得 ，
所以 ．又四边形F AF B为平行四边形，故四边形F AF B的周长l＝2（m+n），
1 2 1 2
则 ，面积 ，因为 ，
所以 ，整理得2c2＝3a2，
故双曲线C的离心率为 ，
故选：A．
27．（2023•安徽模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 的左、右
焦点分别为F ，F ，过F 的直线与双曲线C的右支相交于点P，过点O，F 作ON⊥PF ，F M⊥PF ，
1 2 1 2 1 2 1
垂足分别为N，M，且M为线段PN的中点，|ON|＝a，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【解答】解：因为F ，F 为双曲线C的左、右焦点，
1 2
所以|F F |＝2c，
1 2
因为ON⊥PF ，F M⊥PF
1 2 1
所以ON∥F M，又O为线段F F 的中点，
2 1 2
所以N为线段F M的中点，且 ，
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又M为线段PN的中点，
所以 ，
在Rt△OF N中，|ON|＝a，|OF |＝b，
1 1
所以 ，
所以|PF |＝3b，|MP|＝b，
1
因为点P在双曲线的右支上，
所以|PF |﹣|PF |＝2a，
1 2
故|PF |＝3b﹣2a，
2
在Rt△MF P中，|MF |＝2a，|MP|＝b，|PF |＝3b﹣2a，
2 2 2
由勾股定理可得：（2a）2+b2＝（3b﹣2a）2，
所以8b2＝12ab，即2b＝3a，
所以4b2＝9a2，又b2＝c2﹣a2，
故4c2＝13a2，
所以 ，
故选：D．
28．（2023•长沙模拟）已知双曲线4x2﹣ ＝1的左、右焦点分别为F ，F ，点M是双曲线右支上一点，
1 2
满足 • ＝0，点N是线段F F 上一点，满足 ＝ ．现将△MF F 沿MN折成直二面角
1 2 1 2
F 1 ﹣MN﹣F 2 ，若使折叠后点F 1 ，F 2 距离最小，则 ＝（ λ ）
λ
A． B． C． D．
【解答】解：易知双曲线 中， ，
则 ，
又 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，
∴ ，
如图，设∠NMF ＝ ，F G⊥MN，F H⊥MN，
2 2 1
θ
则 ，
∴ ＝4sin2 +（2cos ﹣3sin ）2+9cos2 ＝13（sin2 +cos2 ）﹣12sin cos ＝13
﹣6sin2 ，
θ θ θ θ θ θ θ θ
θ
由三角函数知识可知，当 时，F F 取得最小值，此时MN为△MF F 的角平分线，
1 2 1 2
由角平分线性质可知，此时 ，则 ，
∴ ．
故选：C．
29．（2023•濠江区校级模拟）已知双曲线 的右焦点为F，过点F且斜率为k
（k≠0）的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D．若 ，则双
曲线的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设双曲线的右焦点为F（c，0），A（x ，y ），B（x ，y ），则直线l：y＝k（x﹣c），
1 1 2 2
联立方程 ，消去y得：（b2﹣a2k2）x2+2a2k2cx﹣a2（k2c2+b2）＝0，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则可得 ，
则 ，
设 线 段 AB 的 中 点 M （ x ， y ） ， 则
0 0
，
即 ，
且k≠0，线段AB的中垂线的斜率为 ，
则线段AB的中垂线所在直线方程为 ，
令y＝0，则 ，解得 ，
即 ，则 ，
由题意可得： ，即 ，
整理得 ，则 ，
注意到双曲线的离心率e＞1，
∴双曲线的离心率取值范围是 ．
故选：A．
30．（2023•洛阳模拟）已知双曲线C： 的左、右焦点分别为F （﹣c，0），
1
F （c，0），过点F 的直线l与双曲线C的左支交于点A，与双曲线C的一条渐近线在第一象限交于点
2 1
B，且|F F |＝2|OB|（O为坐标原点）．下列四个结论正确的是（ ）
1 2
① ；
②若 ，则双曲线C的离心率 ；
③|BF |﹣|BF |＞2a；
1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】④ ．
A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④
【解答】解：如图，∵|F F |＝2|OB|，O为F F 的中点，∴|OF |＝|OF |＝|OB|，得BF ⊥BF ，
1 2 1 2 1 2 1 2
则 ，即|BF |＝ ，故①正确；
1
设∠BOF ＝ ，则tan ＝ ，cos ＝ ，sin ＝ ，
2
作AA 1 ⊥x轴 θ ，垂足为 θA 1 ，BB 1 ⊥ θx轴，垂足 θ 为B 1 ，
则|OB |＝|OB|cos ＝c• ＝a，|BB |＝|OB|sin ＝c• ＝b，
1 1
θ θ
∵ ，∴ ＝ ，得|AA |＝ b，|A F |＝ （a+c），
1 1 1
则A（ （a﹣2c）， b），
∴ ，得 （2c﹣a）＝ a，则e＝ ，故②正确；
设直线l与C右支的交点为M，则|MF |﹣|MF |＝2a，
1 2
∵||MB|﹣|MF ||＜|BF |，∴|MB|﹣|MF |＞﹣|BF |，
2 2 2 2
则|MF |﹣|MF |＝|BF |+|MB|﹣|MF |＞|BF |﹣|BF |，则|BF |﹣|BF |＜2a，故③错误；
1 2 1 2 1 2 1 2
设A（x ，y ），则|AF |＝ ＝
0 0 1
＝ ＝| |，得|AF |＝﹣（ +a），由题意可知，0＜y ＜|BB |＝b，
1 0 1
则a2＜ ＝a2（1+ ）＜2a2，则﹣ a＜x ＜﹣a，
0
故c﹣a＜|AF |＝﹣ ﹣a＜ c﹣a，故④正确．
1
故选：C．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】31．（2023•江西二模）已知双曲线E： ，其左右顶点分别为A ，A ，P在双曲线右支上运动，
1 2
若∠A PA 的角平分线交x轴于D点，A 关于PD的对称点为A ，若仅存在2个P使直线A D与E仅有
1 2 2 3 3
一个交点，则E离心率的范围为（ ）
A． B． C． D．（2，+∞）
【解答】解：设直线PA 的倾斜角为 ，直线PA 的倾斜角为 ，由题设可得P不为右顶点．
1 2
α β
设P（x ，y ），则 ．
0 0
双曲线在P（x ，y ）处的切线斜率必存在，设切线方程为y＝k（x﹣x ）+y ，
0 0 0 0
由 可得 ，
整理得到： ，
故 ，
整理得： 即 ，
故 ，故切线方程为： 即 ．
因为存在2个P使直线A D与E仅有一个交点，
3
故由双曲线的对称性不妨设P在第一象限，
此时 ， 均为锐角且存在唯一的P满足题设条件．
α β
故直线PD与渐近线平行或与双曲线相切或 ．
若直线PD与渐近线平行，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】而PD为∠A PA 的平分线，故其倾斜角 满足 ﹣ ＝ ﹣ ，故 ，
1 2
γ γ α β γ
故 ，
故 ，但 ，
故 ，
而 ，由基本不等式可得 ，
当且仅当tan ＝tan 即 ＝ 时等号成立，此时PA ∥PA ，这不可能，
1 2
故直线PD与渐近线不平行．
α β α β
若直线PD与双曲线相切，且切点为P（x ，y ），
0 0
双曲线在P的切线方程为： ，
故 且该切线的斜率为 ，所以直线A D的斜率为 ．
3
此时 ，
而 ，
即
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，故a2＝a2+b2，矛盾．
故直线 ，所以 ，
而直线A D的倾斜角为 + ，
3
α β
因为直线A D与双曲线有且只有一个交点，且D在OA 之间，故 ，
3 2
由P在第一象限内的唯一性可得存在唯一的 ， ，使得 ，
α β
而 ，故 ，
所以 即b2＞3a2，
所以 ，
故选：D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】32．（2023•江西模拟）双曲线 的左焦点为F，过点F的直线l与双曲线C交于A，B两点，
若过A，B和点 的圆的圆心在y轴上，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C．±1 D．
【解答】解：由题意可知：F（﹣2，0），设A（x ，y ），B（x ，y ），AB的中点为P，
1 1 2 2
过点A，B，M的圆的圆心坐标为G（0，t），则 ，
由题意知：直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为：x＝my﹣2，
联立方程组 化简整理可得，（m2﹣3）y2﹣4my+1＝0，
则m2﹣3≠0，Δ＝16m2﹣4（m2﹣3）＝12m2+12＞0， ，
故AB的中点P的纵坐标 ，横坐标 ，
则 ，
由圆的性质可知：圆心与弦中点连线的斜率垂直于弦所在的直线，
所以 ，化简整理可得： ①，
则圆心G（0，t）到直线AB的距离 ，
，
，即 ，
将①代入可得： ，
即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】整理可得：m4﹣5m2+6＝0，则（m2﹣2）（m2﹣3）＝0，
因为m2﹣3≠0，所以m2﹣2＝0，解得 ，
所以 ．
故选：A．
33．（多选）（2023•宜章县模拟）已知F ，F 分别为双曲线C： ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦
1 2
点，P为双曲线C的渐近线在第一象限部分上的一点，线段PF 与双曲线交点为Q，且|F P|＝|F F |＝2|
2 1 1 2
PF |，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
2
A．|OP|＝2a
B．双曲线C的离心率e＝
C．|QF |＝ a
1
D．若△QF F 的内心的横坐标为3，则双曲线C的方程为 ＝1
1 2
【解答】解：对于A，如图，过F 作F H⊥PO，垂足点为H，
2 2
∵F （c，0）到直线y＝ x的距离d＝ ＝b，
2
∴|F H|＝b，又|OF |＝c，tan∠POF ＝ ，
2 2 2
∴易得|OH|＝a，又|F F |＝2|PF |＝2|OF |，
1 2 2 2
∴|PF |＝|OF |，∴H为PO的中点，
2 2
∴|OP|＝2|OH|＝2a，故A正确；
对于B，设∠POF ＝ ，则tan ＝ ，∴cos ＝ ，sin ＝ ，
2
θ θ θ θ
又由A知|OP|＝2a，∴P（2acos ，2asin ），即P（ ， ），
θ θ
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又F （﹣c，0），|F P|＝|F F |＝2c，∴ ＝2c，
1 1 1 2
两边平方化简，可得4a4+c4+4a2c2+4a2b2＝4c4，
∴4a4+c4+4a2c2+4a2（c2﹣a2）＝4c4，∴8a2＝3c2，
∴e2＝ ＝ ，∴e＝ ，故B错误；
对于C，设|QF |＝t，则QF |＝t﹣2a，
1 2
又|F P|＝|F F |＝2|PF |＝2c，∴cos∠QF F ＝ ＝ ，
1 1 2 2 2 1
∴在△QF F 中，由余弦定理，可得 ＝ ，
2 1
∴t＝ ，又由B知c＝ a，
∴t＝ ＝ ，故C正确；
对于D，设△QF F 的内心为I，且内切圆I与F F 切于点E，
1 2 1 2
则根据双曲线的定义及内切圆的几何性质，
可得|QF |﹣|QF |＝|F E|﹣|F E|＝2a，又|F E|+|F E|＝2c，
1 2 1 2 1 2
∴|F E|＝c+a，|F E|＝c﹣a，
1 2
∴切点E为右顶点，又△QF F 的内心的横坐标为3，
1 2
∴a＝3，又由B知e＝ ，
∴c＝2 ，∴b2＝c2﹣a2＝24﹣9＝15，
∴双曲线C的方程为 ＝1，故D正确，
故选：ACD．
34．（2023•万州区校级模拟）已知F ，F 为双曲线C： ＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过点F
1 2 1
作一条渐近线的垂线交双曲线右支于点P，直线PF 与y轴交于点Q（P，Q在x轴同侧），连接QF ，
2 1
如图，若△PQF 内切圆圆心恰好落在以F F 为直径的圆上，则∠F PF ＝ ；双曲线的离心率e
1 1 2 1 2
＝ ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解答】解：设F （﹣c，0），F （c，0），
1 2
如图可得△QF F 为等腰三角形，则△PQF 的内切圆圆心I在y轴上，又I恰好落在以F F 为直径的圆
1 2 1 1 2
上，
可设I（0，c），双曲线的一条渐近线方程设为bx+ay＝0，
则直线PF 的方程设为ax﹣by+ac＝0，
1
则I到直线PF 的距离为 ＝|a﹣b|，
1
由图象可得a＜b，则|a﹣b|＝b﹣a，
设Q（0，t），且t＞c，则直线QF 的方程为tx﹣cy+tc＝0，
2
由内心的性质可得I到直线QF 的距离为b﹣a，
2
即有 ＝b﹣a，化简可得abt2﹣tc3+abc2＝0，由Δ＝c6﹣4a2b2c2＝c2（a2﹣b2）2，
解得t＝ 或 ＜c（舍去），
则Q（0， ），直线QF 的斜率为 ＝﹣ ，
2
可得直线QF 与渐近线OM：bx+ay＝0平行，可得∠F PF ＝ ，
2 1 2
由F 到渐近线OM的距离为 ＝b，|OM|＝ ＝a，
1
由OM为△PF F 的中位线，可得|PF |＝2|OM|＝2a，|PF |＝2|MF |＝2b，
1 2 2 1 1
又|PF |﹣|PF |＝2a，则b＝2a，e＝ ＝ ＝ ．
1 2
故答案为： ， ．
另解：设由F 向渐近线y＝﹣ x所作垂线的垂足为M，△PQF 的内心为I，
1 1
由于|QF |＝|QF |，所以内心I在y轴上．
1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又内心I在以线段F ，F 为直径的圆上，
1 2
所以|OF |＝|OF |＝c，连接IF ．IF ，
1 2 1 2
则∠IF O＝∠IF O＝45°，设∠QF I＝∠QF I＝ ，
1 2 1 2
则∠IF 1 P＝∠QF 1 I＝ ，因此∠PF 1 F 2 ＝45°﹣ ， α
而∠PF 2 F 1 ＝∠QF 2 I+α ∠IF 2 O＝45°+ ， α
因此∠PF
1
F
2
+∠PF
2
F
1
＝45°﹣ +45α°+ ＝90°，故∠F
1
PF
2
＝90°．
又F
1
M⊥OM，所以OM∥PF
2
，
α
所以Mα 为PF的中点，易求得|OM|＝a，
于是|PF |＝2a．由双曲线定义可得|PF |＝2a+2a＝4a，
2 1
在Rt△PF F 中，由勾股定理可得（4a）2+（2a）2＝（2c）2，
1 2
于是c2＝5a2，故得双曲线的离心率e＝ ．
故答案为： ， ．
35．（2023•淮北一模）已知双曲线 C： 过点 ，则其方程为
，设F ，F 分别为双曲线C的左右焦点，E为右顶点，过F 的直线与双曲线C的右支交于A，B两点
1 2 2
（其中点A在第一象限），设M，N分别为△AF F ，△BF F 的内心，则|ME|﹣|NE|的取值范围是
1 2 1 2
．
【解答】解：①因为双曲线C： 过点 ，所以 ，
所以双曲线C的方程为 ．
②如图：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设△AF F 的内切圆与AF ，AF ，F F 分别切于H，D，G，
1 2 1 2 1 2
所以|AH|＝|AD|，|HF |＝|GF |，|DF |＝|GF |，
1 1 2 2
所以|AF |﹣|AF |＝|AH|+|HF |﹣|AD|﹣|DF |＝|HF |﹣|DF |＝|GF |﹣|GF |＝2a，
1 2 1 2 1 2 1 2
又|GF |+|GF |＝2c，所以|GF |＝a+c，|GF |＝c﹣a，
1 2 1 2
又|EF |＝a+c，|EF |＝c﹣a，所以G与E（a，0）重合，所以M的横坐标为a，同理可得N的横坐标也
1 2
为a，
设直线AB的倾斜角为 ．则 ， ，
θ
＝ ＝
＝ ＝ ，
当 时，|ME|﹣|NE|＝0，
当 时，由题知，a＝2．c＝4， ．
因为 A，B 两点在双曲线的右支上，∴ ，且 ，所以 或
，
∴ ． 且 ，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上所述， ．
故答案为： ； ．
36．（多选）（2023•芜湖模拟）双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，
反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知 O为坐标原点，F ，F 分别是双曲线C：
1 2
的左右焦点，过F 的直线交双曲线C的右支于M，N两点，且M（x ，y ）在第一象限，
2 1 1
△MF F ，△NF F 的内心分别为I ，I ，其内切圆半径分别为r ，r ，△MF N的内心为I．双曲线C在
1 2 1 2 1 2 1 2 1
M处的切线方程为 ，则下列说法正确的有（ ）
A．点I 、I 均在直线x＝3上
1 2
B．直线MI的方程为
C．
D．
【解答】解：由双曲线 得a＝3，b＝4，c＝5，
设△MF F 的内切圆I 与MF ，MF ，F F 分别切于点A，B，H，
1 2 1 1 2 1 2
则|MA|＝|MB|，|F A|＝|F H|，|F B|＝|F H|，
1 1 2 2
所以|MF |﹣|MF |+|F F |＝|F A|+|MA|﹣|F B|﹣|MB|﹣|F H+F H|＝2a+2c＝16，
1 2 1 2 1 2 1 2
又|OF |＝5，所以|OH|＝3，即圆I 与x轴的切点是双曲线的右顶点，即I 在直线x＝3上，
1 1 1
同理可得圆I 与x轴的切点也是双曲线的右顶点，即I 也在直线x＝3上，故选项A正确；
2 2
因为△MF N的内心为I，所以MI平分∠F MF ，根据双曲线的光学性质，双曲线C在M处的切线就平
1 1 2
分∠F MF ，故直线MI的方程为 ，故B正确；
1 2
设△NF F 的内切圆I 与MN切于点D，连接I B，I D，I F ，I F ，
1 2 2 1 2 1 2 2 2
设∠I I F ＝ ，∠I I F ＝ ，
2 1 2 1 2 1
θ α
因为IB⊥MN，I D⊥MN，所以I B∥I D，所以2 +2 ＝ ，即 ，所以tan •tan ＝1，
2 1 2
θ α π θ α
又|F H|＝2，所以tan ，tan ，即tan ＝1，所以r r ＝4，故C不正确；
2 1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由B可得MI的方程为 ，①
设N（x ，y ），同理可得NI的方程为 ，②
2 2
联立①②可得x＝ ，
可设MN的方程为x＝my+5，可得x ＝my +5，x ＝my +5，
1 1 2 2
则x＝ ＝ ，所以I在直线x＝ 上，
所以I到I I 的距离为d ＝3﹣ ＝ ，
1 2 3
F 到I I 的距离为d ＝5﹣3＝2，
2 1 2 4
所以 ＝ ＝ ．故D正确．
故选：ABD．
37．（多选）（2023•广东模拟）双曲线 的左右焦点分别为F ，F ，P为双曲线右支上异于顶
1 2
点的一点，△PF F 的内切圆记为圆I，圆I的半径为r，过F 作PI的垂线，交PI的延长线于Q，则（
1 2 1
）
A．动点I的轨迹方程为x＝4（y≠0）
B．r的取值范围为（0，3）
C．若r＝1，则tan∠F PF ＝
1 2
D．动点Q的轨迹方程为x2+y2＝16（x≠4且x＞﹣ ）
【解答】解：设Ⅰ（x，y），设△PF F 的内切圆分别与边PF ，PF ，F F 切于A，B，C三点，如图
1 2 1 2 1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所示，
对于A：由题知，a＝4，b＝3，c＝5，F （﹣5，0），F （5，0），
1 2
8＝|PF |﹣|PF |＝（|PA|+|F A|）﹣（PB|+|F B|）＝|F A|﹣|F B|＝|F C|﹣|F C|，
1 2 1 2 1 2 1 2
所以（x+5）﹣（5﹣x）＝8，x＝4，显然y≠0，故A正确；
对于B：根据对称性，不妨假设P点在x轴上方，根据A选项可设Ⅰ（4，r），双曲线的一条渐近线为
，
考虑P点在无穷远时，直线PF 的斜率趋近于 ，此时PF 的方程为 ，
1 1
圆心到直线的距离为 ＝3，
所以r的取值范围为（0，3），故B正确；
对于C：r＝1时，|IB|＝|IC|＝1，|F C|＝1，此时PF ⊥F F ，
2 2 1 2
所以 ， ，
因为|F F |＝10，PF ⊥F F ，
1 2 2 1 2
所以 ，故C错误；
对于D：分别延长 F Q，PF 交于点M，因为PQ过内切圆圆心I，
1 2
所以PQ为角平分线，且PQ⊥F M，
1
所以|PF |＝|PM|，且Q为F M的中点，
1 1
所以|PF |﹣|PF |＝|PM|﹣|PF |＝|MF |＝8，
1 2 2 2
又因为点O为F F 的中点，Q为F M 的中点，
1 2 1
所以 ，
所以动点Q的轨迹方程为 x2+y2＝16，显然x≠4，
又考虑P点在无穷远时，此时直线OP趋近于渐近线 ，直线F Q为 ，
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】联立方程组 ，解得 ，则 ，
所以点Q的横坐标 ，动点Q的轨迹方程为 ，故D正确；
故选：ABD．
38．（2023•赤峰模拟）初中时代我们就说反比例函数 的图像是双曲线，建立适当的平面直角坐标系
可以求得这个双曲线的标准方程，比如，把 的图象顺时针旋转 可以得到双曲线 ．已
知函数 ，在适当的平面直角坐标系中，其标准方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：对函数 ，其定义域为{x|x≠0}，定义域关于原点对称，
用﹣x，﹣y替换x，y，方程 不变，故其图象关于原点对称．
又当x＞0，且x趋近于0时，y趋近于正无穷，
当x趋近于正无穷时， 趋近于0，
此时 的图象与y＝ 无限靠近，
故 的两条渐近线为y轴与y＝ ，
为使其双曲线的方程为标准方程，故应建立的坐标轴x′，y′必须平分两条渐近线的夹角，
又y＝ ，其斜率为k＝ ，
此时其在原坐标系中其倾斜角为30°，与y轴夹角为60°，
故新坐标系中，x′轴与x轴的夹角应为60°，
故x′轴所在直线在原坐标系中的方程为y＝ x，y′轴与其垂直，
在如图所示的新坐标系中，设双曲线的方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】联立 ，可得x2＝3，y2＝9，
则a2＝x2+y2＝12，
又在新坐标系下，双曲线的渐近线x＝0与x轴的夹角为30°，
故 ＝ ，即 ，
故在新坐标系下双曲线方程为 ．
故选：A．
三．直线与双曲线的综合（共22小题）
39．（2023•射洪市校级模拟）已知双曲线 的右焦点为F，点A（0，m），若直线AF与C
只有一个交点，则m＝（ ）
A．±2 B． C． D．±4
【解答】解：双曲线 的右焦点为F（4，0），点A（0，m），
双曲线的渐近线方程：y＝ x，
直线AF与C只有一个交点，
可得 ，解得m＝ ．
故选：B．
40．（2023•赤峰三模）2022年卡塔尔世界杯中的数字元素——会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线．
定义：在平面直角坐标系xOy中，把到定点F （﹣a，0）F （a，0）的距离之积等于a2（a＞0）的点的
1 2
轨迹称为双纽线C．已知P（x ，y ）是双纽线C上的一点，下列说法错误的是（ ）
0 0
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．双纽线C关于原点O成中心对称
B．
C．双曲线C上满足|PF |＝|PF |的点P有两个
1 2
D．|OP|的最大值为
【解答】解：对于A，因为定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点F （﹣a，0），F （a，0），距离
1 2
之积等于a2（a＞0）的点的轨迹称为双纽线C，
所以 ，
用（﹣x，﹣y）替换方程中的（x，y），原方程不变，所以双纽线C关于原点O中心对称，所以A正确；
对于B，根据三角形的等面积法可知 ＝ ，
即|y |＝ sin∠F PF ，所以 ，所以B正确；
0 1 2
对于C，若双纽线C上的点P满足|PF |＝|PF |，则点P在y轴上，即x＝0，
1 2
所以 ，得y＝0，所以这样的点P只有一个，所以C错误；
对于D，因为 ，
所以| |2＝ （ ﹣ cos∠F PF + ），
1 2
由余弦定理得4a2＝ ﹣ cos∠F PF + ，
1 2
所以| |2＝a2+ cos∠F PF ＝a2+a2cos∠F PF ≤2a2，
1 2 1 2
所以|PO|的最大值为 ，所以D正确．
故选：C．
41．（2023•淮北二模）已知A（﹣2，0），B（2，0），过P（0，﹣1）斜率为k的直线上存在不同的两
个点M，N满足： ．则k的取值范围是（ ）
A．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B．
C．
D．
【解答】解：因为 ，
所以M，N是以A（﹣2，0）、B（2，0）为焦点的双曲线的右支上的两点，且c＝2， ，
所以 ，
∴双曲线方程为 ，
则过P（0，﹣1）斜率为k的直线方程为y＝kx﹣1，
由 ，消去y整理得（1﹣3k2）x2+6kx﹣6＝0，
所以 ，解得 ，即k的取值范围为 ．
故选：C．
42．（2023•河南模拟）设双曲线 的左、右焦点分别为F ，F ，B为双曲
1 2
线E上在第一象限内的点，线段F B与双曲线E相交于另一点A，AB的中点为M，且F M⊥AB，若
1 2
∠AF F ＝30°，则双曲线E的离心率为（ ）
1 2
A． B．2 C． D．
【解答】解：双曲线 的左、右焦点分别为 F （﹣c，0），F （c，
1 2
0），
∠AF F ＝30°，可得AB的方程为：y＝ （x+c），
1 2
代入双曲线方程化简可得：（3b2﹣a2）x2﹣2a2cx﹣a2c2﹣3a2b2＝0，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以x ＝ ，y ＝ （ +c）， ＝ ，
M M
解得a2＝b2，
所以双曲线的离心率为：e＝ ＝ ＝ ．
故选：D．
43．（2023•天津模拟）双曲线 的左右焦点分别是F ，F ，离心率为e，过点
1 2
F 的直线交双曲线的左支于M，N两点．若△MF N是以M为直角顶点的等腰直角三角形，则e2等于（
1 2
）
A． B． C． D．
【解答】解：设|MF |＝m，
2
因为△MNF 是以M为直角顶点的等腰直角三角形，
2
所以|MN|＝m，|NF |＝ m，|MF |＝ ，|NF |＝m﹣ ，
2 1 1
由双曲线的定义知，|MF |﹣|MF |＝2a，|NF |﹣|NF |＝2a，
2 1 2 1
又|MF |＝m﹣2a，|NF |＝ m﹣2a，
1 1
，
解得m＝2 a，
则 ，
解得 ，
双曲线的离心率为e，可得e2＝5﹣2 ．
故选：A．
44．（2023•让胡路区校级模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为F ，
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】F ，过F 的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段BF 的中点，且BF ⊥BF ，则C的
2 1 1 1 2
离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
【解答】解：由题意可知，过F 的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，当两个交点分别在第二
1
和第三象限时不符合，
A为线段BF 的中点，当交点在x轴上方或x轴下方时，根据对称性结果是一样的，选择一种即可，如
1
图．
根据双曲线可得，F （﹣c，0），F （c，0），两条渐近线方程 ，
1 2
∵BF ⊥BF ，O为F F 的中点，
1 2 1 2
∴BO＝OF ＝OF ＝c，
1 2
又∵A为线段BF 的中点，
1
∴OA垂直平分BF ，
1
可设直线BF 为 ①，直线BF 为 ②，直线BO为 ③，
1 2
由②③得，交点坐标 ，点B还在直线BF 上，
1
∴ ，可得b2＝3a2，c2＝a2+b2＝4a2，
所以双曲线C的离心率 ，
故选：B．
45．（2023•江西模拟）已知双曲线C： ＝1，若直线l：y＝kx+t（kt≠0）与双曲线C交于不同的两
点P，Q，且P，Q与M（0，1）构成的三角形中有∠MPQ＝∠MQP，则t的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞） B．
C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解答】解：联立直线y＝kx+t（kt≠0）与双曲线C： ＝1，可得（1﹣2k2）x2﹣4ktx﹣2t2﹣2＝
0，
则Δ＝16k2t2﹣4（1﹣2k2）（﹣2t2﹣2）＝8t2+8﹣16k2＞0，即1+t2＞2k2，且1﹣2k2≠0，①
设P（x ，y ），Q（x ，y ），可得x +x ＝ ，
1 1 2 2 1 2
由P，Q与M（0，1）构成的三角形中有∠MPQ＝∠MQP，可得△MPQ为等腰三角形，且MP＝MQ，
设PQ的中点为N，则MN⊥PQ，
又PQ的中点N的坐标为（ ， ），
直线MN的斜率为 ，
所以 ＝﹣ ，
化为3t﹣1+2k2＝0，②
1﹣3t＞0，③
由①②③解得 ＞t＞0或t＜﹣3，
故选：B．
46．（2023•咸阳一模）直线l过双曲线C： ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F，与双曲线C的两条渐
近线分别交于A，B两点，O为原点，且 • ＝0，3 ＝ ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，设渐近线l ：y＝ x，即bx﹣ay＝0，
1
设渐近线线l 的倾斜角为 ，则tan ＝ ，∠AOF＝∠BOF＝ ，
1
θ θ θ
∴双曲线的焦点F（c，0）到渐近线l ：bx﹣ay＝0的距离为 ＝b，
1
∵ • ＝0，∴OA⊥AF，
∴|AF|＝b，又|OF|＝c，∴|OA|＝a，
又3 ＝ ，∴|FB|＝3|AF|＝3b，
∴tan∠AOB＝ ＝ ＝tan2 ＝ ，又tan ＝ ，
θ θ
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，
化简可得a2＝2b2，∴ ，
∴双曲线C的离心率为 ＝ ＝ ＝ ，
故选：D．
47．（2023•包河区校级模拟）设点F为双曲线 的左焦点，经过原点O且斜率 的
直线与双曲线C交于A、B两点，AF的中点为P，BF的中点为Q．若OP⊥OQ，则双曲线C的离心率e
的取值范围是 ．
【解答】解：点F为双曲线 的左焦点，
设双曲线的右焦点为F ，根据双曲线方程知，c＝2．
2
原点O平分线段FF ，
2
又∵经过原点O且斜率 的直线与双曲线C交于A、B两点，
由对称性，原点O平分线段AB，
∴四边形AFBF 为平行四边形．
2
△ABF和△ABF 中，分别有中位线，OQ∥AF，OP∥BF，
2
∵OP⊥OQ，∴AF⊥BF，∴四边形AFBF 为矩形，∴△BFF 为直角三角形．
2 2
不妨设B在第一象限，设直线AB倾斜角为2 ，则 ，且∠OFB＝∠OBF＝ ，
在Rt△BFF 中可得：2a＝|BF|﹣|BF |＝4cos ﹣4sin ，
2 2 θ θ
θ θ
∴ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∵ ，∴ ，
易知 在 上为增函数，
∴ ．
故答案为：[ ，+∞）．
48．（2023•宜宾模拟）已知双曲线C： 的左，右焦点分别为F ，F ，离心率
1 2
为 ，过F 作渐近线 的垂线交C于A，B两点，点A在第一象限，若 ，则
2
△ABF 的周长为 ．
1
【解答】解：∵e＝ ＝ ，则 ＝1+ ＝ ，得 ＝ ﹣1＝ ，得 ＝ ，即渐
近线为y＝ x，
不妨设a＝ m，b＝m，c＝2m，
则双曲线方程为 ，
A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
则AB：x＝2m﹣ ，即y＝﹣ （x﹣2m），代入 整理得8y2+4 my﹣3m2＝0，
解得y ＝ ，y ＝ ，
1 2
则 ＝ ＝ ，BF ＝ ，AB＝AF +BF ＝3＝ |y ﹣y |＝ ＝ m，
2 2 2 1 2
得m＝ ，则a＝3，
则周长为AF +BF +AB＝2（AF +BF ）+4a＝6+12＝18．
1 1 2 2
故答案为：18．
49．（2023•山东模拟）过双曲线x2﹣y2＝1的左、右焦点作两条相互平行的弦AB，CD，其中A，B在双曲
线的左支上，A，C在x轴上方，则|AF
1
|⋅|CF
2
|的最小值为 1 ，当AB的倾斜角为 时，四边形
AF F C的面积为 ．
1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解答】解：x2﹣y2＝1的a＝b＝1，c＝ ，
设|AF |＝m，|CF |＝n，由对称性可得|BF |＝|CF |＝n，
1 2 1 2
由双曲线的定义可得|AF |＝|AF |+2a＝m+2a，
2 1
|BF |＝|BF |+2a＝n+2a，
2 1
在△AF F 中，cos∠AF F ＝ ＝ ，
1 2 1 2
在△BF F 中，cos∠BF F ＝ ＝ ，
1 2 1 2
又∠AF F +∠BF F ＝ ，
1 2 1 2
π
所以cos∠AF F +cos∠BF F ＝ + ＝0，
1 2 1 2
化为 + ＝2，
由 + ≥2 ，可得mn≥1，当且仅当m＝n＝1，
可得|AF
1
|⋅|CF
2
|的最小值为1；
当AB的倾斜角为 时，设直线AB的方程为y＝ （x+ ），
联立双曲线的方程x2﹣y2＝1，可得2x2+6 x+7＝0，
解得A（1﹣ ， ﹣ ），
由直线CD的方程y＝ （x﹣ ），与双曲线的方程联立，可得2x2﹣6 x+7＝0，
解得A（1+ ， + ），
所以四边形AF
1
F
2
C的面积为 +S△AHC ＝2 ×（ ﹣ ）+ 2 × ＝2 ．
故答案为：1；2 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】50．（2023•黄石模拟）三等分角是古希腊三大几何难题之一．公元3世纪末，古希腊数学家帕普斯利用双
曲线解决了三等分角问题如图，已知圆心角ACB是待三等分的角（0＜∠ACB＜ ）具体操作方法如下：
在弦AB上取一点D，满足AD＝2DB，以AD为实轴， 为虚轴作双曲线，交π 圆弧AB于点M，则
∠ACM＝2∠MCB，即CM为∠ACB的三等分线已知双曲线E的方程为 ，点A，D分别为双
曲线E的左，右顶点，点B为其右焦点，点C为双曲线E的右准线上一点，且不在x轴上，线段CB交
双曲线E于点P若扇形CMB的面积为 ，则 的值为 ．
【解答】解：设C（1，y ），∠ACB＝2a，则圆C： ，
c
易知 ，又有 ，即 ，
可得y ＝﹣3，则BC：y＝x﹣4，联立 ，可得
c
所以 ＝ ．
故答案为： ．
51．（2023•九江模拟）过点A（0，1）作斜率为k的直线l交双曲线 于P ，P 两点，线段P P
1 2 1 2
的中点在直线 上，则实数k的值为 ．
【解答】解：设P （x ，y ），P （x ，y ），线段P P 的中点坐标为（ ，y ），则x +x ＝2× ＝1，
1 1 1 2 2 2 1 2 0 1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为P ，P 两点在双曲线上，
1 2
所以 ，两式相减得，k＝ ＝ ＝ ，
又直线l过点A（0，1），所以k＝ ＝2（y ﹣1），
0
所以 ＝2（y ﹣1），解得y ＝ ，
0 0
所以k＝2（y ﹣1）＝± ﹣1，
0
联立 ，得（2﹣k2）x2﹣2kx﹣3＝0，
因为直线l与双曲线有两个交点，所以Δ＝4k2+12（2﹣k2）＞0，即﹣ ＜k＜ ，
所以k＝ ﹣1．
故答案为： ﹣1．
52．（2023•嘉定区模拟）定义两个点集S、T之间的距离集为d（S，T）＝{|PQ||P S，Q T}，其中|PQ|表
示 两 点 P 、 Q 之 间 的 距 离 ， 已 知 k 、 t R ， S ＝ { （ x ， y ） |y ＝ kx+t ， x R} ，
∈ ∈
，若d（S，T）∈＝（1，+∞），则t的值为 ． ∈
【解答】解：∵ ，可化为：y2﹣4x2＝1，y≥0，
∴集合T表示双曲线y2﹣4x2＝1上支的点，
集合S表示直线y＝kx+t上的点，d（S，T）＝（1，+∞），
∴直线与渐近线平行，在渐近线下方，即t＜0，且与渐近线的距离为1．
又双曲线的渐近线为y＝±2x，取2x+y＝0，
则y＝﹣2x+t，即2x+y﹣t＝0，
∴平行线的距离 ，
∴ 或 （舍去），
故答案为： ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】53．（2023•思明区校级模拟）设F为双曲线E： ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，A，B分别为双曲
线E的左右顶点，点P为双曲线E上异于A，B的动点，直线l：x＝t使得过F作直线AP的垂线交直线
l于点Q时总有B，P，Q三点共线，则 的最大值为 ．
【解答】解：由题意可得A（﹣a，0），B（a，0），设直线AP的斜率为k，直线AP的方程为y＝k
（x+a），
与双曲线方程b2x2﹣a2y2＝a2b，联立，可得（b2﹣a2k2）x2﹣2k2a3x﹣a4k2﹣a2b2＝0，
则﹣a•x ＝ ，解得x ＝ ，y ＝k（x +a）＝ ，
P P P P
设过F（ ，0）与直线AP垂直的直线为l ，方程为y＝﹣ （x﹣ ），
1
由题意可得Q为直线l 与直线BP的交点，
1
直线BP的方程为y＝ （x﹣a）＝ （x﹣a），与直线l 联立，可得t＝ ，
1
＝ ＝ ，
令q＝ （q＞1），则 ＝ ＝﹣ + +1＝﹣（ ﹣ ）2+ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当q＝2，即 ＝ 时， 取得最大值 ．
故答案为： ．
54．（多选）（2023•广州二模）已知双曲线Γ：x2﹣y2＝a2（a＞0）的左，右焦点分别为F ，F ，过F 的
1 2 2
直线l与双曲线Γ的右支交于点B，C，与双曲线Γ的渐近线交于点A，D（A，B在第一象限，C，D在
第四象限），O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．若BC⊥x轴，则△BCF 的周长为6a
1
B．若直线OB交双曲线Γ的左支于点E，则BC∥EF
1
C．△AOD面积的最小值为4a2
D．|AB|+|BF |的取值范围为（3a，+∞）
1
【解答】解：因为双曲线Γ的标准方程为x2﹣y2＝a2（a＞0），则c＝ a，
易知点F （﹣ a，0）、F （ a，0），双曲线Γ的渐近线方程为y＝±x，
1 2
对于A选项，当BC⊥x轴，直线BC的方程为x＝ a，
联立 ，可得 ，此时，|BC|＝2a，
则|BF |+|CF |＝（|BF |+2a）+（|CF |+2a）＝|BC|+4a＝6a，
1 1 2 2
此时，△BCF 的周长为|BC|+|BF |+|CF |＝8a，故A错误；
1 1 1
对于B选项，因为双曲线Γ关于原点对称，则点B关于原点O的对称点也在双曲线Γ上，
因为若直线OB交双曲线Γ的左支于点E，则点B、E关于原点对称，
即BE、F F 的中点均为原点，故四边形BF EF 为平行四边形，
1 2 1 2
所以BF ∥EF ，即BC∥EF ，故B对；
2 1 1
对于C选项，易知OA的方程为y＝x，OD的方程为y＝﹣x，所以OA⊥OD，
因为直线l与双曲线Γ的右支交于点B、C，则直线l不与x轴重合，
设直线l的方程为x＝my+ a，设点B（x ，y ）、C（x ，y ），
1 1 2 2
联立 ，可得（m2﹣1）y2+2 may+a2＝0，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，解得m≠±1，
由韦达定理可得y +y ＝﹣ ，y y ＝ ＜0，可得﹣1＜m＜1，
1 2 1 2
联立 ，可得x＝y＝ ，即点A（ ， ），
联立 ，可得x＝ ，y＝﹣ ，即点D（ ，﹣ ），
所以|OA|＝ •|x |＝ ，|OD|＝ •|x |＝ ，
A D
所以S△AOD ＝ •|OA|•|OD|＝ ＝ ≥2a2，当且仅当m＝0时，等号成立，故C错；
对于D选项，|AB|+|BF |＝|AB|+|BF |+2a＝|AF |+2a＝ • +2a＝ a• +2a＝ •
1 2 2
+2a＝ a• +2a，
当m＝0时，|AB|+|BF |＝2a+ a，
1
当0＜m＜1时，|AB|+|BF |＝ a• +2a＝ a• +2a，
1
因为函数y＝m+ ﹣2在（0，1）上单调递减，
此时|AB|+|BF |＝ a• +2a （2a+ a，+∞），
1
∈
当﹣1＜m＜0时，因为函数y＝m+ ﹣2在（﹣1，0）上单调递减，
此时|AB|+|BF |＝ a• +2a （3a，2a+ a），
1
综上所述，|AB|+|BF
1
|的取值范围是（3a，
∈
+∞），故D对．
故选：BD．
55．（2023•海珠区校级三模）在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上且满足 ＝ ，当
＞0且 ≠1时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆
λ λ
λ
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】为阿波罗尼斯圆．现有双曲线 ＝1（a＞0，b＞0），F ，F 分别为双曲线的左、右焦点，A，B
1 2
为双曲线虚轴的上、下端点，动点P满足 ＝2，△PAB面积的最大值为4．点S，T在双曲线上，
且关于原点O对称，Q是双曲线上一点，直线QS和QT的斜率满足k •k ＝3，则双曲线方程是
QS QT
；过F 的直线与双曲线右支交于C，D两点（其中C点在第一象限），设点M、N分别为△CF F 、
2 1 2
△DF F 的内心，则|MN|的范围是 ．
1 2
【解答】解：设A（0，b），B（0，﹣b），P（x，y），
由题意知 ＝2，即|PB|＝2|PA|，即 ＝2 ，
整理得x2+（y﹣ ）2＝（ ）2，则圆心为（0， ），半径为r＝ ，
∴△PAB的最大面积为 ×2b× ＝4，解得b2＝3，即 + ＝1，
设Q（x，y），S（x ，y ），则T（﹣x ，﹣y ），
1 1 1 1
则 ﹣ ＝1，可得 ＝ ，同理y2＝ ，
则k ＝ ，k ＝ ，
QS QT
则k •k ＝ ＝ ＝ ，∴a2＝1，
QS QT
∴双曲线方程为x2﹣ ＝1，
设边CF ，CF ，F F 上的切点分别为R，S，T，
1 2 1 2
则M，T横坐标相等，则|CR|＝|CS|，|F M|＝|F T|，|F S|＝|F T|，
1 1 2 2
由|CF |﹣|AF |＝2，即|CR|+|RF |﹣（|CS|+|SF |）＝2，即|RF |﹣|SF |＝2，
1 2 1 2 1 2
即|F T|﹣|F T|＝2，即点M的横坐标为x ，则T（x ，0），
1 2 0 0
于是x +c﹣（c﹣x ）＝2，可得x ＝1，
0 0 0
同样内心N的横坐标也为1，则MN⊥x轴，
设直线CD的倾斜角为 ，则∠OF N＝ ，∠MF O＝90°﹣ ，
2 2
θ
在△MF N中，|MN|＝（c﹣a）[tan +tan（90°﹣ ）]
2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】＝（c﹣a）（ + ）＝（c﹣a）• ＝（c﹣a）• ，
由双曲线的方程可得a＝1，b＝ ，则c＝ ＝2，
可得|MN|＝ ，
又由直线CD为双曲线右支上的点，且渐近线的斜率为 ＝ ，倾斜角为60°，
可得60°＜ ≤90°，即 ＜sin ≤1，
θ θ
可得|MN|的取值范围为[2， ）．
故答案为：x2﹣ ＝1；[2， ）．
56．（2023•贵州模拟）已知双曲线E的焦点为F （﹣1，0），F （1，0），过F 的直线l 与E的左支相
1 2 1 1
交于A，B两点，过F 的直线l 与E的右支相交于C，D两点，若四边形ABCD为平行四边形，以AD
2 2
为直径的圆过F ，|DF |＝|AF |，则E的方程为（ ）
1 1 1
A．2x2﹣2y2＝1 B．
C． D．
【解答】解：设|DF |＝|AF |＝x，则|DF |＝x﹣2a，
1 1 2
由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：|CF |＝|AF |＝x，
2 1
连接CF ，则有|CF |＝x+2a，|DC|＝|DF |+|CF |＝2x﹣2a，
1 1 2 2
∵F 在以AD为直径的圆周上，
1
∴DF ⊥AF ，
1 1
∵ABCD为平行四边形，AB∥CD，
∴DF ⊥DC，
1
在直角三角形CDF 中， ，
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即（x+2a）2＝x2+（2x﹣2a）2，解得x＝3a，
∴|DF |＝3a，|DF |＝a，
1 2
在直角三角形F F D中， ，
1 2
即（3a）2+a2＝（2c）2，得5a2＝2c2，
又∵c＝1，
∴ ， ，
故双曲线的方程为 ．
故选：D．
57．（2023•江西模拟）已知F双曲线 的右焦点，A ，A 分别是双曲线C
1 2
的左右顶点，过F作双曲线渐近线的垂线与该渐近线在第一象限的交点为M，直线A M交C的右支于
1
点P，若|MP|＝|MA |，且 ，则C的离心率为（ ）
2
A． B． C．2 D．
【解答】解：双曲线C： 的右焦点F（c，0），渐近线 ，即
bx﹣ay＝0，
显 然 A （ ﹣ a ， 0 ） ， A （ a ， 0 ） ， 由 FM⊥ OM ， 得 ，
1 2
，
则点 ，直线A M 的方程为 ，即 ，
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】直线A M 的斜率k ＝ ＝ ，
2
因此直线 A P 的斜率 ＝ ，于是直线A P 的方程为 ，
2 2
设点P（x ，y ），则 ，由 ，得 ，
0 0
从而 ，解得 ，
即有 ，则 ，
此时M（ ，a）， ，
由 解得： ，y ＝a，
0
即 ， ＝ ，满足|MP|＝|MA |，
2
所以C的离心率为 ．
故选：A．
58．（2023•福建模拟）双曲线 的下焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，若过A，
B和点 的圆的圆心在x轴上，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C．±1 D．
【解答】解：由题意可知：F（0，﹣2），设A（x ，y ），B（x ，y ），AB的中点为P，
1 1 2 2
过点A，B，M的圆的圆心坐标为G（t，0），
则 ，
由题意知：直线AB的斜率存在且不为0，
设直线AB的方程为：y＝kx﹣2，
联立方程组 ，化简整理可得，（k2﹣3）x2﹣4kx+1＝0，
则k2﹣3≠0，Δ＝16k2﹣4（k2﹣3）＝12k2+12＞0，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，
故AB的中点P的坐标 ，则 ，
由圆的性质可知：圆心与弦中点连线的斜率垂直于弦所在的直线，
所以 ，化简整理可得： ①，
则圆心G（t，0）到直线AB的距离 ，
， ，即
，
将①代入可得： ，即
，
整理可得：k4﹣5k2+6＝0，则（k2﹣2）（k2﹣3）＝0，
因为k2﹣3≠0，
所以k2﹣2＝0，解得 ．
故选：B．
59．（多选）（2023•合肥模拟）如图，O为坐标原点，F ，F 分别为双曲线 的左
1 2
右焦点，过双曲线C右支上一点P作双曲线的切线l分别交两渐近线于A、B两点，交x轴于点D，则下
列结论正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．|AB| ＝2b
min
B．S△AOB ＝2S△AOP
C．S△AOB ＝2b
D．若存在点P，使得 ，且 ，则双曲线C的离心率为2或
【解答】解：对于选项A，先求双曲线 上一点P（x ，y ）的切线方程，
0 0
不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）．
由 得： ，所以 ，
则在点P（x ，y ）的切线斜率为 ，
0 0
所以在点P（x ，y ）的切线方程为： ，
0 0
又因为 ，所以在点P（x ，y ）的切线方程为： ，
0 0
当P为右顶点（1，0）时，切线方程为x＝1，易得也满足 ，
不失一般性，设点P（x ，y ）是双曲线在第一象限的一点或双曲线的右顶点，A（x ，y ）是切线与渐
0 0 1 1
近线在第一象限的交点，B（x ，y ）是切线与渐近线在第四象限的交点，双曲线的渐近线方程为 y＝
2 2
±bx，
联立 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以点 ，同理可得： ，
则 ，
又因为x ≥1，所以 ，即：|AB| ＝2b，故A项正确；
0 min
对于选项B，由A项知， ，
所以点P（x
0
，y
0
）是线段AB的中点，所以S△AOP ＝S△BOP ，S△AOB ＝2S△AOP ，故B项正确；
对于选项C，因为在点P（x ，y ）的切线方程为： ，
0 0
令y＝0得 ，所以点 ，
则 ，
当点P（x
0
，y
0
）在顶点（1，0）时，仍然满足S△AOB ＝b，故C项错误；
对 于 选 项 D ， 因 为 ， 所 以
，
又因为 ，所以 ，解得： ，
即： ，代入 得 ，
所以
＝ ，
＝ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以 ，
所以 ，
解得：c2＝4或6，所以离心率为 或 ，故D项错误．
故选：AB．
60．（多选）（2023•南通模拟）已知F ，F 是双曲线 的左、右焦点，
1 2
是C上一点，若C的离心率为 ，连结AF 交C于点B，则（ ）
2
A．C的方程为
B．∠F AF ＝90°
1 2
C．△F AF 的周长为
1 2
D．△ABF 的内切圆半径为
1
【解答】解：， 是C上一点，C的离心率为 ，
则 ，解得 ，
∴双曲线 ，故A正确；
∵F （﹣2，0），F （2，0）， ，
1 2
∴ ， ， ，
∴F A⊥F A，故B正确；
1 2
，
，|F F |＝2c＝4，周长＝ ，故C错
1 2
误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令|BF |＝m，
2
则 ， ，
在Rt△ABF 中， ，
1
∴ ，
设△ABF 的周长为l，内切圆半径为r，
1
则l＝|AF |+|AB|+|BF |，
1 1
，
∴ ，故D正确；
故选：ABD．
双曲线常用结论：
(1)如图：①动点P到同侧焦点F的距离最小值为：|PF| ＝|AF|＝c－a ；
2 2 最小 2 2
②焦点到渐近线的距离为：|FM|＝b；
2
(2)渐近线求法结论：可直接令方程－＝λ(λ≠0)等号右边的常数为0，化简解得；
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