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2.3 二次根式
16大知识点（基础）+能力提升题（8道）+拓展培优练（5道）
一、二次根式的判断
1．（24-25八年级下·河南濮阳·期中）下列各式中是二次根式的是（ ）
A．√3 8 B．❑√−1 C．❑√2 D．❑√x(x≤0)
2．（24-25八年级下·上海·假期作业）下列各式中，二次根式的个数有 （ ）
❑√x
❑√1.2；❑√x y2；❑√m2+n2； ；❑√x2−10x+30；❑√6x．
3
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）下列式子中，是二次根式的是（ ）
A．❑√−1 B．❑√3 C．√35 D．❑√a
二、二次根式的值
1．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）当x=1时，二次根式❑√1+3x的值是（ ）
A．2 B．±2 C．4 D．±4
2．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）当 时，二次根式 的值是 ．
x=1 ❑√5−x2
3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）当x=3时，二次根式❑√13−3x的值为 ．
4．（24-25八年级上·广东梅州·期中）当x=−3时，二次根式❑√1−x的值为 ．
5．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 a=2 时，求下列二次根式的值．
(1)❑√4a−8．
(2) ．
❑√a2−2a+5
三、二次根式有意义的条件
1．（2025·福建·中考真题）若❑√x−1在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ）
A．−2 B．−1 C．0 D．2
2．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）要使二次根式❑√x−5在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．
3．（2025年北京市中考数学真题）若❑√3x−3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
❑√x+1
4．（24-25八年级下·重庆忠县·期末）若二次根式 有意义，则x的取值范围是 ．
2
4．（24-25八年级下·重庆巴南·期末）若❑√3x+2在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
四、利用二次根式的性质化简求值
1．（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
❑√(−a) 2=−a √3 (−a) 3=−a
C．
a3 ⋅(−a) 2=a4
D．
(−a2) 3 =a6
2．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）实数 ， 在数轴上的位置如图所示，则化简
a b ❑√a2−❑√b2+❑√(a−b) 2
的结果为（ ）
A．2(b−a) B．−2b C．2a D．0
√−5
3．（24-25八年级下·河南周口·期中）将二次根式3a❑ 根号外的a移入根号内得到（ ）
a
A．2❑√5a B．3❑√5a C．−3❑√5a D．−3❑√−5a
4．（24-25八年级下·福建南平·期末）计算❑√8= ．
√12
5．（24-25八年级下·山东青岛·期中）化简：❑ = ．
5
6．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中） .
❑√(2−❑√5) 2=
五、复合二次根式的化简求值
1．（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简 的结果是（ ）
❑√ 23−6❑√10+4❑√3−2❑√2
A．3+❑√2 B．3−2❑√2 C．3+2❑√2 D．3−❑√2
2．（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ；
5+2❑√6=(2+3)+2❑√2×3=(❑√2) 2+(❑√3) 2+2❑√2×❑√3=(❑√2+❑√3) 2
．
8+2❑√7=(1+7)+2❑√1×7=12+(❑√7) 2+2×1×❑√7=(1+❑√7) 2
【类比归纳】
(1)小华仿照小明的方法将 化成了 ，则 __________， __________．
4+2❑√3 (1+❑√x) 2 x= ❑√4+2❑√3=
(2)请运用小明的方法化简❑√7−4❑√3．
3．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如❑√a±2❑√b，如
果你能找到两个数m、n，使m2+n2=a，且mn=❑√b，则❑√a±2❑√b可变形为
．从而达到化去一层根号的目的．例如化简 ：
❑√m2+n2±2mn=❑√(m±n) 2=|m±n) ❑√5−2❑√6
且 ， ．
∵ 5=3+2 6=3×2 ∴❑√5−2❑√6=❑√(❑√3−❑√2) 2=❑√3−❑√2
(1)填上适当的数： ｜__________｜ __________；
❑√9+2❑√14=❑√(______) 2= =
(2)当1≤x≤2时，化简❑√x+2❑√x−1+❑√x−2❑√x−1．
4．（23-24八年级下·全国·单元测试）先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式 及二次根
a2±2ab+b2=(a±b) 2
式的性质 化去一层根号．例如：
❑√a2=|a)
．
❑√3+2❑√2=❑√3+2×1×❑√2=❑√12+(❑√2) 2+2×1×❑√2=|1+❑√2)=1+❑√2
解决问题：
(1)在横线和括号内上填上适当的数：
；
❑√4+2❑√3=❑√4+2×1×❑√3=❑√() 2+2+2×1×❑√3=❑√() 2=|____)=____
(2)根据上述思路，试将❑√9−4❑√5予以化简．
六、最简二次根式的判断
1．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）√12
A．❑√0.5 B．❑ C．❑√18 D．❑√23
7
2．（24-25八年级下·广东云浮·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑√4 B．❑√5 C．❑√0.3 D．❑
3
3．（24-25八年级下·河南漯河·期末）下列各式中，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
❑√4 ❑√(a−1) 2 ❑√10 ❑√2x2
4．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑ B．❑√0.2 C．❑√5 D．❑√8
2
七、同类二次根式
1．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）下列二次根式中，与❑√2不是同类二次根式的是（ ）
√1
A．❑ B．❑√4 C．❑√8 D．❑√18
2
2．（24-25八年级下·云南临沧·阶段练习）已知最简二次根式❑√3x−4与❑√5能合并成一项，则x的值是
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）已知 是最简二次根式，且与 可以合并，则 的值为
❑√x2+1 ❑√5 x
（ ）
A．2 B．−4 C．4 D．±2
4．（24-25八年级下·吉林松原·期中）若3❑√6与最简二次根式❑√a−1可以合并，则a= ．
5．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知最简二次根式❑√a−1与❑√6能合并，则a= ．
八、二次根式的乘法
1．（24-25八年级下·广东江门·期中）计算：❑√3×❑√27= ．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）计算：
2 √5
(1)6❑√30× ❑ ；
3 2
(2)2❑√5a⋅❑√10a(a≥0)．
3．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）计算：√1
(1)(❑√12+❑√3)×❑√6−2❑
2
(2)
(3−2❑√5)(3+2❑√5)−(1+❑√5) 2
九、二次根式的除法
√ 1 √1
1．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）化简：❑ ÷❑ = ．
12 3
2．（2014·上海虹口·二模）计算：❑√8÷❑√2= ．
3．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算：
(1) ；
❑√27a4÷❑√3a2 (a>0)
√x
(2)4❑√6x3÷2❑ (x>0)．
3
十、二次根式的乘除混合运算
1．（24-25八年级下·广东汕头·期末）简化：❑√3a(√b √3)
❑ ÷2❑
2b a b
2．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）计算：
1
(1)2❑√3÷❑√2× ．
❑√2
√ 2 √ 1 √ 1
(2)❑1 ÷❑2 ×❑1
3 3 5
√1
3．（23-24八年级下·广西河池·期末）计算： ❑√12÷❑√3−❑√48×❑
3
十一、二次根式的加减运算
1．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）下列计算正确的个数是（ ）
❑√18−❑√8
①❑√2+❑√3=❑√5，②3❑√2−❑√2=3，③❑√12÷❑√3=2，④ =❑√9−❑√4=3−2=1，⑤
2
❑√8−❑√2=❑√2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（24-25八年级下·河南漯河·期末）下列各式计算正确的是（ ）A．4❑√3−3❑√3=1 B．❑√2+❑√3=❑√5
C．3+2❑√2=5❑√2 D．❑√12−❑√3=❑√3
3．（重庆市荣昌区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题）计算：( √1) ．
❑√48+❑ −(❑√50−❑√27)
2
4．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）计算：
√1 √ 1
(1)5❑ +2❑√20−❑4 ；
5 2
(2) ．
❑√2(4❑√3+❑√2)−❑√24
十二、二次根式的混合运算
1．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期中）计算：
(1)❑√3+3❑√3−6❑√3
(2)6×❑
√1
−√3−27+(❑√2) 2
9
√1
(3)❑√18−4❑ +2❑√24÷❑√3
2
(4)(7+4❑√3)(7−4❑√3)
2．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）计算：
(1)4❑√5+❑√45−❑√8+4❑√2；
√1
(2)❑√48÷❑√3−2❑ ×❑√30．
5
√1
(3)❑√12+❑ −❑√27；
3
(4)
(3❑√3−2❑√2) 2
3．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）计算：
√1
(1)❑√8÷❑√2+6❑ −❑√32；
2
(2) ．
(❑√5−1) 2+(❑√5+2)(❑√5−2)
十三、分母有理化1（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）数学小组在探究学习中，小组成员遇到这样一个问题：
1
已知a= ，求2a2−8a+1的值．经过思考他们是这样解答的：
2+❑√3
1 2−❑√3 ， ，∴ 即 ，
= =2−❑√3 a−2=−❑√3 (a−2) 2=3 a2−4a+4=3
2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3)
∴ ，∴ ．
a2−4a=−1 2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2×(−1)+1=−1
请你根据探究小组的解题方法和过程，解决以下问题：
1
(1) =________；
❑√3+❑√2
1 1 1 1
(2)计算按规律排列的式子： + + +⋯+ ；
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√99+❑√98
1
(3)若a= ；求2a4−8a3−8a+4的值．
❑√5−2
2．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是数
学老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题．
(1)小青编的题：观察下列等式：
1 ❑√3−1 ❑√3−1； 1 ❑√5−❑√3 ❑√5−❑√3．
= = = =
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) 2 ❑√5+❑√3 (❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3) 2
1
直接写出以下算式的结果： =_______．
5+❑√23
(2)小明编的题：由二次根式的乘法可知：
， ， ；
(❑√3+1) 2=4+2❑√3 (❑√5+❑√3) 2=8+2❑√15 (❑√a+❑√b) 2=a+b+2❑√ab(a≥0,b≥0)
再根据平方根的定义可得❑√4+2❑√3=❑√3+1，❑√8+2❑√15=❑√5+❑√3，
．
❑√a+b+2❑√ab=❑√a+❑√b(a≥0,b≥0)
直接写出以下算式的结果：❑√7+4❑√3=_______．
(3)数学老师编的题：根据你的发现，完成以下计算：
( 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ) ×❑√12+2❑√11 ．
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√9+❑√7 ❑√11+❑√9
31．（24-25八年级下·全国·课后作业）比较❑√2−1与❑√3−❑√2的大小可以采用下面的方法：(❑√2−1)(❑√2+1)
❑√2−1=
❑√2+1
2−1
=
❑√2+1
1
= ；
❑√2+1
(❑√3−❑√2)(❑√3+❑√2)
❑√3−❑√2=
❑√3+❑√2
3−2
=
❑√3+❑√2
1
= ．
❑√3+❑√2
1 1
显然❑√2+1<❑√3+❑√2，所以 > ．
❑√2+1 ❑√3+❑√2
仔细研读上面的解题方法，然后完成下列问题：
(1)猜想：❑√2011−❑√2010与❑√2012−❑√2011的大小关系；
1 1 1 1
(2)尝试计算： + + +⋯+ ．
❑√2+1 ❑√3+❑√2 2+❑√3 10+❑√99
十四、二次根式相关的化简求值
1．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）已知x=❑√5−2，y=❑√5+2，则xy= ．
2．（2025·江西吉安·一模）已知 1 ，那么√ x √ x 的值等于
❑√x+ =2 ❑ +❑
❑√x x2+3x+1 x2−x+1
x−3 x−3 1
3．（24-25八年级下·四川德阳·期中）先化简，再求值： ÷ − ，其中x=❑√2+1．
x−1 x2+2x+1 x−1
4．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）已知x=❑√3−1，y=❑√3+1，求代数式x2−y2的值．
1 1
5．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）已知x= ×(❑√3+❑√2)，y= ×(❑√3−❑√2)，求下列各代数式的
2 2
值．
(1)x2+3xy+ y2；
y x
(2) + ．
x y
√ y x √ x y
6．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果x2+ y2−8x−6 y+25=0，试求❑ + +2−❑ + −2的
x y y x
值．7．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）已知m=2❑√2−1，n=2❑√2+1，求下列代数式的值．
(1)m2n+mn2；
(2)m2+n2−mn．
十五、二次根式的大小比较
1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）比较大小：−❑√17 −3❑√2（填“>”或“<”或“=”）
2．（20-21八年级下·山东临沂·期中）比较大小：2❑√5 3❑√2．（填>，<或=）
3．（24-25八年级下·北京·期中）比较大小：3❑√7 4❑√6（填“>”“<”或“=”）．
十六、二次根式的应用
1．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，给出著名
的三斜求积公式，即一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为
S=❑ √ 1[ a2b2− (a2+b2−c2 ) 2 )．已知 △ABC 的三边长为2，5，❑√15 ，则利用公式求得 △ABC 的面积是
4 2
．
2．（24-25八年级下·云南文山·期中）如图，老李家有一块长方形空地ABCD，长BC为❑√72m，宽AB为
❑√50m，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的
长为 ，宽为 ．
(❑√5+1)m (❑√5−1)m
(1)求长方形空地ABCD的周长；（结果化为最简二次根式）
(2)已知老李家种植的草莓售价为10元/千克，且每平方米产草莓2千克，若李明家将所种的草莓全部销售
完，销售收入为多少元？
3．（24-25八年级下·山东青岛·期中）现有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在长方形木板上
截出两个面积分别为12dm2和27dm2的正方形木板A，B．(1)木板截出的正方形木板A的边长为_________，B的边长为__________；
(2)求木板中剩余部分（阴影部分）的面积．
1．（重庆市大足区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题）例如：
❑√2−1 (❑√2−1)(❑√2−1) ．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根
= =3−2❑√2
❑√2+1 (❑√2+1)(❑√2−1)
号中的分母化去，叫作分母有理化．有下列结论：
2
①若a是❑√3的小数部分，则 的值为❑√3+1；
a
1 1 1 1
② + + +⋯+ =❑√2025−1；
1+❑√3 ❑√3+❑√5 ❑√5+❑√7 ❑√2023+❑√2025
❑√2−1 ❑√2+1
③已知x= ，y= ，则x2+ y2=35；
❑√2+1 ❑√2−1
④设实数m，n满足 ，则 ．其中说法正确
(m+❑√m2+2025)(n+❑√n2+2025)=2025 (m+n) 2+2025=2025
的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下
操作：
例如： 时，移项得 ，两边平方得 ，所以 ，即得到整系数方
a=❑√3+1 a−1=❑√3 (a−1) 2=(❑√3) 2 a2−2a+1=3
程：a2−2a−2=0．
仿照上述操作方法，若a=❑√3+2，计算：a3−15a−2025= ．
3．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）数学课上，邱老师在黑板上给出了如下等式．
第1个等式：1 ❑√2−1 ❑√2−1 ；
= = =❑√2−1
❑√2+1 (❑√2+1)(❑√2−1) 2−1
第2个等式：
1 ❑√3−❑√2 ❑√3−❑√2 ；…
= = =❑√3−❑√2
❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) 3−2
请你根据上述方法完成下列题目：
1
(1)计算： =______________；
❑√10+❑√9
1
(2)计算： =______________；
❑√n+❑√n−1
(3)计算：( 1 1 1 1 ) ．
+ + +⋯+ (❑√2025+1)
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√2025+❑√2024
4．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）计算：
(1)2 √4 ❑√18
❑√12+❑√54−❑√8×❑√6−3❑ +
3 3 ❑√3
(2)已知x=2−❑√3，y=2+❑√3，求下列各式的值：
；
x2y−x y2 (2x−y) 2
① ②
5．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）计算：2❑√20+3❑√45−❑√125
（ ）计算：
2 (−❑√5+3)(3+❑√5)−(❑√3−1) 2
6．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题：
； ；
(❑√2+1)(❑√2−1)=1 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)=1
；
(❑√4+❑√3)(❑√4−❑√3)=1 (❑√5+❑√4)(❑√5−❑√4)=1
(1)观察以上规律，请写出第5个等式：______；
(2)观察以上规律，请写出第n个等式：______（n为正整数）；
(3)请利用上面的规律，比较❑√20−❑√19与❑√19−❑√18的大小．
7．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）阅读下面文字，解决问题：
大家知道❑√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此❑√2的小数部分我们不可能全部的写出来，于是小明用❑√2−1来表示❑√2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，
因为❑√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵❑√4<❑√7<❑√9，即
2<❑√7<3，∴❑√7的整数部分是2，小数部分是❑√7−2根据以上知识解答下列问题：
(1)如果❑√5的小数部分为a，❑√13的整数部分为b，求a+b+5的值；
(2)已知10+❑√3=x+ y，其中x是整数，且0
