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2.3 不等式的解集
课堂知识梳理
1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等
式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.
2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.
3. 不等式的解集在数轴上的表示:
用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:
①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;
②方向:大向右,小向左
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级练
培优第一阶——基础过关练
1．下列解集中，包括2的是（ ）
A．x<2 B．x≥3 C．x≤3 D．x>2
【答案】C
【详解】解：A．x<2表示比2小的数，不包含2，故A不符合题意；
B．x≥3表示比3大或与3相等的数，不包含2，故B不符合题意；
C．x≤3表示比3小或与3相等的数，包含2，故C符合题意；
D．x>2表示比2大的数，不包含2，故D不符合题意．
故选：C．
2．下列各数中，满足不等式x<0的是（ ）
A．−4 B．0 C．1 D．3
【答案】A
【详解】∵-4＜0，0＜1＜3，x＜0，
∴满足条件的只有-4，
故选：A．
3．下列说法错误的是（ ）
A．不等式5x−10>0的解是3 B．3是不等式5x−10>0的解
C．不等式5x−10>0的解集是x>2 D．x>2是不等式5x−10>0的解集
【答案】A
【详解】解∶A、3是不等式5x−10>0的解，但是不等式5x−10>0的解集不是3，故本
选项错误，符合题意；
B、3是不等式5x−10>0的解，说法正确，故本选项不符合题意；
1C、不等式5x−10>0的解集是x>2，说法正确，故本选项不符合题意；
D、x>2是不等式5x−10>0的解集，说法正确，故本选项不符合题意．
故选∶ A．
2
4．已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为x< ，则a的取值范围是（ ）
a−1
A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0
【答案】A
2
【详解】解：∵关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为x< ，，
a−1
∴a﹣1＜0，
∴a＜1，
故选：A．
5．关于的不等式3x−2a≤−2的解集如图所示，则a的值为
1 1
A．1 B． C．-1 D．−
3 2
【答案】D
【详解】解：根据图示知，原不等式的解集是：x≤-1；
又∵3x-2a≤-2，
−2+2a
∴x≤ ，
3
−2+2a
∴ =-1，
3
1
解得，a=- ；
2
故选D．
6．如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则物体A的质量m克的取值范围表示
在数轴上为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
2【分析】根据天平知2＜A＜3，然后观察数轴即可．
【详解】解：根据题意，知2＜A＜3．
故选C．
7．x=2__________不等式x+1>0的一个解（填“是”或“不是”）．
【答案】是
【详解】试题解析:当x=2时,
x+1=2+1=3>0.
则x=2是不等式x+1>0的一个解
故答案为:是.
8．（2022春·山东菏泽·八年级统考期中）写一个解集为x<−2的不等式为________．
【答案】x+2<0
【详解】解：∵x+2＜0的解集是x＜-2，
故答案为：x+2＜0．
9．琥珀中学教育集团某生物兴趣小组要在恒温箱中培养A，B两种菌种，A菌种生长的温
度在20~28℃之间（不包括20℃、28℃），B菌种生长的温度在25~33℃之间（不
包括25℃、33℃），若设恒温箱的温度为t℃，则t所满足的不等式为______．
【答案】25＜t＜28
【详解】解：由题意得：¿，
∴25＜t＜28，
∴t所满足的不等式为：25＜t＜28，
故答案为：25＜t＜28．
10．如图所示的不等式的解集是________．
【答案】x≤2
【详解】解：由图得，x≤2.
故答案为x≤2.
5 5 5
11．有下列说法:①x= 是不等式4x-5>0的解;②x= 是不等式4x-5>0的一个解;③x> 是不
4 2 4
等式4x-5>0的解集;④x>2中任何一个数都可以使不等式4x-5>0成立,所以x>2也是它的解
集.其中正确的是__.(填序号)
【答案】②③
5 5
【详解】①4x-5>0 4x>5∴x> 故x= 不是不等式4x-5>0的解;
4 4
35 5 5
② > ，∴ x= 是不等式4x-5>0的一个解;
2 4 2
5
③x> 是不等式4x-5>0的解集;
4
④x>2中任何一个数都可以使不等式4x-5>0成立,但不是它的解集.
培优第二阶——拓展培优练
12．如图，表示了某个不等式的解集，该解集中所含的自然数解有( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【详解】解：由图可知，不等式组的解集为-2＜x≤4，该解集中所含的自然数有0，1，2，
3，4，共5个．故选B．
13．关于x的不等式－x+a≥1的解集如图所示，则a的值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【详解】解不等式得：x≤a−1 ，由图形可知，不等式的解集为，x≤1 ，则a−1=1, 得：
a=2.
故选D.
14．如果不等式ax＋4＜0的解集在数轴上表示如图，那么a的值为____.
【答案】-2
4
【详解】解不等式ax＋4＜0得，x>− , 由数轴上可得：不等式的解集为：x>2,则
a
4
− =2, 解得：a=−2. .
a
故答案为a=−2.
15．满足不等式x≥2的x的最小值是a，满足不等式x≤－6的x的最大值是b，则a＋b＝
______.
【答案】-4
【详解】根据题意得，a=2，b=-6,
4∴a+b=2+(-6)=-4.
故答案为-6.
16．已知关于x的不等式3x-5k>-7的解集是x>1，则k的值为________.
【答案】2
【详解】试题分析：不等式可变形为：3x＞5k－7，
5k−7
x＞ ，
3
∵关于x的不等式3x－5k>－7的解集是x>1，
5k−7
∴ ＝1，
3
解得：k＝2．
故答案为2．
17．把下列不等式的解集在数轴上表示出来．
3
(1)x≥－3；(2)x＞－1；(3)x≤3；(4)x<－ .
2
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】试题分析：
将上述不等式的解集规范的表示在数轴上即可.
试题解析：
（1）将x≥−3表示在数轴上为：
（2）将x>−1表示在数轴上为：
（3）将x≤3表示在数轴上为：
3
（4）将x<− 表示在数轴上为：
2
518．小光在一条东西方向的马路上行走，向东走5米记作+5米．
(1)则向西走10米记作___________米；
(2)小光从出发点出发，前4次行走依次记作+5，−8，−7，+6（单位：米），则他第5
次需要向___________走___________米，才能恰好回到出发点；
(3)小光从出发点出发，将连续的4次行走依次记作m，2m−1，m−3，2(2−m)（单位：
米）．如果此时他位于出发点西侧，则m的取值范围是___________．此时小光共行走了多
少米？（用含m的代数式表示，并化简）
【答案】(1)−10；(2)东，4；(3)m<0，小光共行走了(8−6m)米
【详解】（1）解：已知向东走5米记作+5米，
∵东西方向相反，向东为正，向西则为负，
∴向西走10米记作−10米，
故答案为：−10
（2）解：设第5次行走，记作x米，
则5−8−7+6+x=0
解方程得x=4
则第5次需要向东走4米，
故答案为：东，4．
（3）解：根据题意得
m+2m−1+m−3+2(2−m)<0
解得，m<0
∴m的取值范围是m<0
|m|+|2m−1|+|m−3|+|2(2−m)|
=−m+1−2m+3−m+2(2−m)
=8−6m
则小光共行走了(8−6m)米．
19．已知a,b,c是△ABC的三边长，a=4,b=6，设三角形的周长是x．
尝试：分别写出c及x的取值范围．
发现：当c为奇数时，求x的最大值和最小值．
联想：若x是小于18的偶数，判断△ABC的形状．
【答案】尝试：2<c<10，12<x<20；发现：x的最大值为19，x的最小值为13；联想：
△ABC是等腰三角形．
【详解】解：尝试：∵a=4,b=6，
∴2<c<10，
∴周长x的取值范围为12<x<20；
发现：∵a=4,b=6，且c为奇数，
6∴x也为奇数，
∵x的范围为12<x<20，
∴x的最大值为19，最小值为13；
联想：∵周长x为小于18的偶数，且取值范围为12<x<20，
∴x=16或x=14，
当x为16时，c=16−4−6=6，
当x为14时，c=14−4−6=4，
当c=6时，b=c，ΔABC为等腰三角形；
当c=4时，a=c，ΔABC为等腰三角形，
综上所述，ΔABC是等腰三角形．
20．阅读以下结论：
（1）若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．
（2）若|x|＞a（a＞0），则x＞a或x＜﹣a；
若|x|＜a（a＞0），则﹣a＜x＜a．
（3）若（x﹣a）（x﹣b）＞0（0＜a＜b），则x＞b或x＜a；
若（x﹣a）（x﹣b）＜0（0＜a＜b），则a＜x＜b．
根据上述结论，解答下面问题：
（1）解方程：|3x﹣2|﹣4＝0．
（2）解不等式：|3x﹣2|﹣4＞0．
（3）解不等式：|3x﹣2|﹣4＜0．
（4）解不等式：（x﹣2）（x﹣5）＞0．
（5）解不等式：（2x﹣3）（2x﹣5）＜0．
2 2 2
【答案】（1）x＝2或x＝﹣ ；（2）x＞2或x＜﹣ ；（3）﹣ ＜x＜2；（4）x＞5或x
3 3 3
3 5
＜2；（5） ＜x＜ ．
2 2
【详解】（1）解：|3x﹣2|﹣4＝0，
3x﹣2＝4或3x﹣2＝﹣4，
2
解得x＝2或x＝− ；
3
（2）解：|3x﹣2|﹣4＞0，
3x﹣2＞4或3x﹣2＜﹣4，
2
解得x＞2或x＜− ；
3
（3）解：|3x﹣2|﹣4＜0，
﹣4＜3x﹣2＜4，
72
解得− ＜x＜2；
3
（4）解：（x﹣2）（x﹣5）＞0，
x﹣5＞0或x﹣2＜0，
解得x＞5或x＜2；
（5）解不等式：（2x﹣3）（2x﹣5）＜0，
3＜2x＜5，
3 5
解得 ＜x＜ ．
2 2
21．阅读下列材料解决问题：
两个多位正整数，若它们各数位上的数字和相等，则称这两个多位数互为“调和数”．例
如： 37与82，它们各数位上的数字和分别为3+7，8+2，∵3+7=8+2=10，∴37与82
互为“调和数”；又如：123与51，它们各数位上的数字和分别为1+2+3，5+1，∵
1+2+3=5+1=6，∴123与51互为“调和数”．
（1）若两个三位数a43、2bc（0⩽b⩽a⩽9，0⩽c⩽9且a，b，c为整数）互为“调
和数”，且这两个三位数之和是17的倍数，求这两个“调和数”；
（2）若A、B是两个不相等的两位数，A=xy，B=mn，A、B互为“调和数”，且A与B
之和是B与A之差的3倍，求证：y=−x+9．
【答案】（1）243，216或343，235；（2）见解析
【详解】解：（1）∵两个三位数a43、2bc互为“调和数”，
∴c＝a−b＋5，
∴a43+2bc=100a+43+200+10b+c=100a+10b+a−b+5+243=102a+17b+225
−(a+8b+7)= 17(6a+b+15) −(a+8b+7)，为17的倍数，
∵0≤b≤a≤9，∴7≤a＋8b＋7≤88，
∴a＋8b＋7＝17或34或51或68或85
10−a 27−a 44−a 61−a 78−a
∴b= 或 或 或 或 ，
8 8 8 8 8
∴¿或¿或¿或¿或¿，
∵0≤b≤a≤9，
∴¿或¿，
∴¿或¿，
∴a43=243，,2bc=216或a43=343，,2bc=235，
即：这两个“调和数”为：243，216或343，235；
（2）A=xy，B=mn，A、B互为“调和数”，
∴x＋y＝m＋n①，
∵A与B之和是B与A之差的3倍，
∴10m＋n＝20x＋2y②，
88m−n
由①②知，x= ，
18
∵ m，n是两位数的十位数字和个位数字，
∴1≤m≤9，1≤n≤9，
∴1≤8m−n≤72，
∵x是两位数的十位数字，
∴1≤x≤9，
8m−n
∴1≤ ≤9，
18
∴18≤8m−n≤72，且8m−n是18的倍数，
∴8m−n＝18或36或54或72，
18+n 36+n 54+n 72+n
∴m= 或m= 或m= 或m= ，
8 8 8 8
∵1≤m≤9，0≤n≤9，
∴¿或¿或¿或¿，
∴m+n=9，
∴ x+y＝m+n，
∴ y＝﹣x+9．
培优第三阶——中考沙场点兵
22．（2022·山东临沂·统考中考真题）满足m>|√10−1|的整数m的值可能是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【详解】∵3<√10<4，
∴2<√10−1<3，
∵|√10−1|=√10−1，m>|√10−1|，
∴m≥3，
故选：A．
23．（2021·四川南充·统考中考真题）满足x⩽3的最大整数x是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】A选项，1<3，但不是满足x⩽3的最大整数，故该选项不符合题意，
B选项，2<3，但不是满足x⩽3的最大整数，故该选项不符合题意，
C选项，3=3，满足x⩽3的最大整数，故该选项符合题意，
D选项，4>3，不满足x⩽3，故该选项不符合题意，
9故选：C．
24．（2019·黑龙江·统考中考真题）已知x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，x=2不是不等式
ax-3a-1＜0的解，则实数a的取值范围是____．
【答案】a≤-1.
【详解】解：∵x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，
∴4a-3a-1＜0，
解得：a＜1，
∵x=2不是这个不等式的解，
∴2a-3a-1≥0，
解得：a≤-1，
∴a≤-1，
故答案为a≤-1．
10
