考点14直线和圆的方程（26种题型10个易错考点）（解析版）_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_一轮复习资料_一轮复习讲义2024年高考数学复习全程规划（新高考）

考点 14 直线和圆的方程（26 种题型 10 个易错考点）
一、 真题多维细目表
考题 考点 考向
2022新高考 直线与圆，圆与圆的位置关系 求切线方程
2022新高考 直线与圆，圆与圆的位置关系 由直线与圆有交点求参数的取值
范围
2022新高考 直线方程 求直线方程
2021新高考 直线与圆，圆与圆的位置关系 点到直线的距离公式，圆的方程
及应用
2021全国乙文 直线方程 点到直线的距离
2020课标 直线与圆，圆与圆的位置关系 直线与圆相切，直线方程
2020课标 直线与圆，圆与圆的位置关系 求弦长的最值
二、命题规律与备考策略
近几年对本章的内容的考查方式及题目难度变化不大，主要考查直线、圆的方程及位置关系，考查直线方
程的求解、直线过定点问题的求解、含参直线方程中参数的取值范围的求解、直线与圆的位置关系中涉及
弦长与切线方程的求解，以常规题型、常规解法为主要方向，常结合基本不等式、函数、三角形面积等知
识考查最值问题。
三、 2023 真题抢先刷，考向提前知
1．（2023•全国）O为原点，P在圆C（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上，OP与圆C相切，则|OP|＝（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】由题意利用勾股定理即可求解．
【解答】解：O为原点，P在圆C（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上，OP与圆C相切，
则|OP|＝ ＝ ＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了圆的切线长问题，属于基础题．
2．（2023•乙卷）已知实数x，y满足x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0，则x﹣y的最大值是（ ）
A．1+ B．4 C．1+3 D．7
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据题意，设z＝x﹣y，分析x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0和x﹣y﹣z＝0，结合直线与圆的位置关系可
得有 ≤3，解可得z的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9，其几何意义是以（2，1）
为圆心，半径为3的圆，
设z＝x﹣y，变形可得x﹣y﹣z＝0，其几何意义为直线x﹣y﹣z＝0，
直线y＝x﹣z与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9有公共点，则有 ≤3，解可得1﹣3 ≤z≤1+3
，
故x﹣y的最大值为1+3 ．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的一般方程，属于基础题．
3．（2023•乙卷）已知 O的半径为1，直线PA与 O相切于点A，直线PB与 O交于B，C两点，D为
⊙ ⊙ ⊙
BC的中点，若|PO|＝ ，则 • 的最大值为（ ）
A． B． C．1+ D．2+
【分析】设∠OPC＝ ，则 ，根据题意可得∠APO＝45°，再将 • 转化为 的函数，
最后通过函数思想，即α可求解． α
【解答】解：如图，设∠OPC＝ ，则 ，
根据题意可得：∠APO＝45°， α
∴
＝
＝cos2 ﹣sin cos
α α α
＝
＝ ，又 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴当 ， ＝ ，cos（ ）＝1时，
α
取得最大值 ．
故选：A．
【点评】本题考查向量数量积的最值的求解，函数思想，属中档题．
4．（2023•新高考Ⅰ）过点（0，﹣2）与圆 x2+y2﹣4x﹣1＝0相切的两条直线的夹角为 ，则 sin ＝
（ ） α α
A．1 B． C． D．
【分析】圆的方程化为（x﹣2）2+y2＝5，求出圆心和半径，利用直角三角形求出sin ，再计算cos
和sin 的值．
α
【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣1＝0可化为（x﹣2）2+y2＝5，则圆心C（2，0），半径为r＝ ；
设P（0，﹣2），切线为PA、PB，则PC＝ ＝2 ，
△PAC中，sin ＝ ，所以cos ＝ ＝ ，
所以sin ＝2sin cos ＝2× × ＝ ．
故选：Bα ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点评】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，也考查了三角函数求值问题，是基础题．
二．填空题（共4小题）
5．（2023•上海）已知圆x2+y2﹣4x﹣m＝0的面积为 ，则m＝ ﹣ 3 ．
【分析】先把圆的一般方程化为标准方程，再结合π圆的半径为1求解即可．
【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣m＝0化为标准方程为：（x﹣2）2+y2＝4+m，
∵圆的面积为 ，∴圆的半径为1，
∴4+m＝1， π
∴m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查了圆的标准方程，属于基础题．
6．（2023•天津）过原点的一条直线与圆C：（x+2）2+y2＝3相切，交曲线y2＝2px（p＞0）于点P，若|
OP|＝8，则p的值为 6 ．
【分析】不妨设直线方程为y＝kx（k＞0），由直线与圆相切求解k值，可得直线方程，联立直线与抛
物线方程，求得P点坐标，再由|OP|＝8列式求解p的值．
【解答】解：如图，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由题意，不妨设直线方程为y＝kx（k＞0），即kx﹣y＝0，
由圆C：（x+2）2+y2＝3的圆心C（﹣2，0）到kx﹣y＝0的距离为 ，
得 ，解得k＝ （k＞0），
则直线方程为y＝ ，
联立 ，得 或 ，即P（ ）．
可得|OP|＝ ，解得p＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查直线与圆、直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
7．（2023•新高考Ⅱ）已知直线x﹣my+1＝0与 C：（x﹣1）2+y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC
⊙
面积为 ”的m的一个值 2 （或﹣ 2 或 或﹣ ） ．
【分析】由“△ABC面积为 ，求得sin∠ACB＝ ，设 ∠ACB＝ ，得到cos ，进而求得圆心到直线
的距离，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解． θ θ
【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+y2＝4，可得圆心坐标为C（1，0），半径为r＝2，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为△ABC的面积为 ，可得S△ABC ＝ ×2×2×sin∠ACB＝ ，
解得sin∠ACB＝ ，设 ∠ACB＝ 所以∴2sin cos ＝ ，
θ θ θ
可得 ＝ ，∴ ＝ ，∴tan ＝ 或tan ＝2，
θ θ
∴cos ＝ 或cos ＝ ，
θ θ
∴圆心到直线x﹣my+1＝0的距离d＝ 或 ，
∴ ＝ 或 ＝ ，
解得m＝± 或m＝±2．
故答案为：2（或﹣2或 或﹣ ）．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
8．（2023•上海）已知圆C的一般方程为x2+2x+y2＝0，则圆C的半径为 1 ．
【分析】把圆C的一般方程化为标准方程，可得圆C的圆心和半径．
【解答】解：根据圆C的一般方程为x2+2x+y2＝0，可得圆C的标准方程为（x+1）2+y2＝1，
故圆C的圆心为（﹣1，0），半径为1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属基础题．
四、考点清单
一．直线的倾斜角
1.倾斜角的定义
（1）当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直
线l的倾斜角．
（2）当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
2.直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
二．直线的斜率
1.斜率的定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即
k=tanα.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2.斜率的计算公式：
定义
π
斜率的定义式 k=tanα(α≠ )
2
y −y
两点式 k= 2 1
P (x ，y ) P (x ，y )(x ≠x ) x −x
过两点 1 1 1 ， 2 2 2 1 2 的直线的斜率公式为 2 1
π
【注意】任何直线都有倾斜角，但当倾斜角等于2 时，直线的斜率不存在.
3.倾斜角与斜率的关系
图示
倾斜角
α=0∘ 0∘ <α<90∘ α=90∘ 90∘ <α<180∘
斜率 k=0 k>0 不存在 k<0
三．直线的平行于垂直
定义
k
k =k
当 存在时，两直线平行，则 1 2
平行
90∘
k
当 不存在时，则两直线的倾斜角都为
k
k ⋅k =−1
当 存在时，两直线垂直，则 1 2
垂直
k
90∘ 0∘
当 不存在时，则一条直线倾斜角为 ，另一条直线倾斜角为
【注意】在计算两直线平行的题时，注意考虑重合的情况.
四．直线的方程
直线方程 适用范围
点斜式 y−y =k(x−x ) 不能表示与x轴垂直的直线
0 0
斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线
y−y x−x
两点式 1 = 1 不能表示与x轴、y轴垂直的直线
y −y x −x
2 1 2 1
x y
截距式 + =1 不能表示与x轴垂直、y轴垂直以及过原点的直线
a b
一般式 Ax+By+C=0 无局限性
五．特殊的直线方程
P(x ，y )
已知点 0 0 ，则
类型 直线方程
与x轴垂直的直线 x=x
0
与y轴垂直的直线 y=y
0
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】六．方向向量与直线的参数方程
除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密
的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.
P(x ，y ) ⃗v=(m，n)
如图1，设直线l经过点 0 0 ， 是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，
⃗P P ⃗v ⃗P P=t⃗v
则 向 量 0 与 共 线 . 根 据 向 量 共 线 的 充 要 条 件 ， 存 在 唯 一 的 实 数 t， 使 0 ， 即
{x=x + mt ¿¿¿¿
(x−x ，y−y )=t(m，n) 0
0 0 ，所以 .
在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.
由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确
定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.
七．直线的平行与垂直
斜截式 一般式
l
1
：y=k
1
x+b
1
l ：A x+B y+C =0(A ，B 不同时为0)
1 1 1 1 1 1
直线方程
l ：y=k x+b l
2
：A
2
x+B
2
y+C
2
=0(A
2
，B
2
不同时为0)
2 2 2
平行 k =k 且b ≠b A B −A B =0
1 2 1 2 1 2 2 1 （注意可能重合）
垂直 k ⋅k =−1 A A +B B =0
1 2 1 2 1 2
八．利用平行与垂直解决问题
斜截式 一般式
直线方程 l ：y=kx+m l ：Ax+By+C=0(A，B不同时为0)
1 1
l //l l 若直线 l 2 //l 1，则可设 l 2的方程为：
若直线 2 1，则可设 2的方程为：
平行
y=kx+λ(λ≠m) l ：Ax+By+λ=0(λ≠C)
1
l ⊥l l
若直线 2 1，则可设 2的方程为： l ⊥l l
若直线 2 1，则可设 2的方程为：
垂直
1
y=− x+λ l ：Bx−Ay+λ=0
k 1
九．两条直线的交点
l ：A x+B y+C =0(A ，B 不同时为0) l ：A x+B y+C =0(A ，B 不同时为0)
对于直线 1 1 1 1 1 1 ， 2 2 2 2 2 2 ，求交点即解
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】{A x+B y+C =0 ¿¿¿¿
1 1 1
方程组 ，该方程组的解与两直线的位置关系如下：
方程组解的个数 位置关系
一个解 相交
无解 平行
无数解 重合
十．三个距离公式
条件 距离公式
两点之间的距离公式 P (x ，y ) P (x ，y ) |P P |= √ (x −x ) 2 +(y −y ) 2
已知两点 1 1 1 ， 2 2 2 1 2 1 2 1 2
P(x ，y ) |Ax +By +C|
点到直线的距离公式 已知一点 0 0 ，以及直线 d = 0 0
l:Ax+By+C=0 P→l √A2 +B2
已知直线 l 1 :Ax+By+C 1 =0 ， |Ax +By +C|
两平行线的距离公式 d = 0 0
l :Ax+By+C =0 l 1 →l 2 √A2 +B2
以及 2 2
十一．对称
条件 方法
P(x 1 ，y 1 ) ， P' (x 2 ，y 2 ) 两点关于 {2x =x +x ¿¿¿¿
两点关于另外一点对称
M(x ，y ) 0 1 2
0 0 对称
P(x ，y ) P' (x ，y ) 1.P，P' 两点的中点在直线 l 上；
1 1 ， 2 2 两点关于直线
两点关于一直线对称
l:Ax+By+C=0 对称（斜率存在） 2.PP'两点所在直线与直线 l 垂直
两直线关于另一直线对称 1.三条直线交于同一点；
（三直线不平行） 2.到角公式
十二．两点关于一直线特殊的对称
点的坐标 直线方程 对称点坐标
P(x ，y ) y=x P' (y ，x )
0 0 0 0
P(x ，y ) y=−x P' (−y ，−x )
0 0 0 0
P(x ，y ) y=x+m P' (y −m，x +m)
0 0 0 0
P(x ，y ) y=−x+m P' (−y +m，−x +m)
0 0 0 0
十三．到角公式
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】k −k π
tanθ= 2 1 (θ≠ )
设 l 1 ，l 2的斜率分别是 k 1 ，k 2， l 1到 l 2的角为θ，则 1+k 2 k 1 2 .
十四．圆的定义
圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).圆心决定
圆的位置,半径决定圆的大小.
十五．圆的标准方程
圆的标准方程 圆心 半径
(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2 (r>0) (a，b) r
十六．圆的一般方程
圆的一般方程 圆心 半径
x2 +y2 +Dx+Ey+F=0(D2 +E2 −4F>0) (−
D
，−
E
)
√D2 +E2 −4F
2 2 2
十七．二元二次方程与圆的方程
1.二元二次方程与圆的方程的关系：
Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx+Ey+F=0 x2 +y2 +Dx+Ey+F=0
二元二次方程 ，对比圆的一般方程 ，
D2 +E2 −4F>0
，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的
方程.
2.二元二次方程表示圆的条件：
&A=C≠0
{
Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx+Ey+F=0 &B=0
二元二次方程 表示圆的条件是 .
D E F
&( ) 2+( ) 2−4( )>0
A A A
十八．点与圆的位置关系
(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2 (r>0) x2 +y2 +Dx+Ey+F=0(D2 +E2 −4F>0)
圆的标准方程为 一般方程为 .
平
面内一点 P(x 0 ，y 0 ) 到圆心的距离为d.
判断方法
位置关系
几何法 代数法（标准方程） 代数法（一般方程）
点在圆上 d=r (x −a) 2 +(y −b) 2 =r2 x2 +y2 +Dx +Ey +F=0
0 0 0 0 0 0
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】点在圆外 d>r (x −a) 2 +(y −b) 2 >r2 x2 +y2 +Dx +Ey +F>0
0 0 0 0 0 0
点在圆内 d<r (x −a) 2 +(y −b) 2 <r2 x2 +y2 +Dx +Ey +F<0
0 0 0 0 0 0
十九．与圆有关的最值问题
1.与圆的几何性质有关的最值问题
类型 方法
最大值：
d+r
；最小值：
d−r
（
d
为该定点到圆心的距
圆外一定点到圆上一动点距离的最值
离）
圆上一动点到圆外一定直线距离的最值 最大值： d+r ；最小值： d−r （ d 为圆心到直线的距离）
过园内一定点的弦的最值 最大值：直径；最小值：与过该点的直径垂直的弦
2.与圆的代数结构有关的最值问题
类型 代数表达 方法
截距式 求形如 mx+ny 的最值 转化为动直线斜率的最值问题
y−m
斜率式 转化为动直线截距的最值问题
求形如
x−n
的最值
(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2
距离式 的最值 转化为动点到定点的距离的平方的最值问题
求形如
【注意】 截距式与斜率式在学习直线与圆的位置关系后，都可转化为动直线与圆相切时取得最值 . 同时，需
要注意若是斜率式，则需考虑斜率是否存在.
二十．直线与圆的位置关系
位置关系 图示 几何法 代数法
d=r
相切 Δ=0
d
为圆心到直线的距离）
（
d<r
相交 Δ>0
d
为圆心到直线的距离）
（
d>r
相离 Δ<0
d
为圆心到直线的距离）
（
二十一．相切→求切线方程
P(x ，y ) C:(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2
过定点 0 0 作圆 的切线，则切线方程为：
P与圆的位置关系 切线条数 切线方程（方法）
P在圆上 1条 (x −a)(x−a)+(y −b)(y−b)=r2
0 0
【分两种情况讨论】：
P在圆外
2条
d=r Δ=0
1.斜率存在，设为点斜式，再通过 或 求出斜率即可；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2.斜率不存在.
【说明】：若情况 1 有一解，则情况 2 必有一解；若情况 1 有两解，则
情况 2 必无解.
二十二．相交→求弦长
AB2
r2
=| |
+d2
弦长公式：直线与圆相交于A，B两点，则 2 （d为圆心到直线的距离）.
二十三．圆与圆的位置关系
两圆的半径分别为 r 1 ，r 2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系及其判断方法为：
位置关系 图示 几何法 公切线条数
外离 d>r +r 四条
1 2
外切 d=r +r 三条
1 2
相交
|r −r |<d<r +r
两条
1 2 1 2
内切 d=|r 1 −r 2 | 一条
内含 0≤d<r 1 −r 2 无
二十四．两圆的公共弦
1.公共弦方程：将两圆的方程作差，所得到的直线方程就是两圆的公共弦方程.
2.公共弦长：取其中一个圆，利用圆的弦长公式即可求出.
二十五、直线与圆的综合应用的一般步骤：
步骤 具体内容
第一步 设直线方程，注意讨论直线斜率是否存在
第二步 联立直线与圆方程消元化简
第三步 根据韦达定理写出两根之和与两根之积
第四步 根据题中所给的条件，带入韦达定理
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】五、题型方法
一．直线的倾斜角（共1小题）
1．（2023•二七区校级模拟）已知直线l的方程为 ， R，则直线l的倾斜角范围是（
α∈
）
A． B．
C． D．
【分析】计算 ，再考虑 和 两种情况，得到倾斜角
范围．
【解答】解： ，则 ，
设直线l的倾斜角为 ，故 ，
所以当 时，直线l的倾斜角 ；
当 时，直线l的倾斜角 ；
综上所述：直线l的倾斜角
故选：B．
【点评】本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系的应用，考查了正切函数的性质，属于基础题．
二．直线的斜率（共2小题）
2．（2023•湖北模拟）已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）与直线l：kx﹣y﹣k+1＝0，且直线l与线段AB
相交，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A．k≥2或 B． 或
C． D．
【分析】直线l经过定点M（1，1），求得MA、MB的斜率，可得直线l的斜率k的取值范围．
【解答】解：已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）与直线l：kx﹣y﹣k+1＝0，且直线l与线段AB相交，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】直线l：kx﹣y﹣k+1＝0，即直线l：k（x﹣1）﹣y+1＝0，它经过定点M（1，1），
MA的斜率为 ＝2，MB的斜率为 ＝ ，
则直线l的斜率k的取值范围为 k≥2 或 k≤ ，
故选：A．
【点评】本题主要考查直线的斜率，属于基础题．
3．（2023•定远县校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，将点 绕原点O逆时针旋转90°到点
B，那么点B坐标为 （﹣ 1 ， ） ，若直线OB的倾斜角为 ，则其斜率为 ﹣ ．
α
【分析】根据点A的坐标可确定直线OA的倾斜角，由题意可得OB的倾斜角，利用三角函数定义可求
得B的坐标，继而求出OB的斜率．
【解答】解：设点 为角 终边上一点，如图所示，|OA|＝2，
θ
由三角函数的定义可知： ， ，
则 ＝k•360°+30°，（k Z），则直线OA的倾斜角为30°，
θ ∈
将点 绕原点O逆时针旋转90°到点B，
得直线OB的倾斜角为120°，
且点B在120°角的终边上，由三角函数定义可得点B的坐标为（2cos120°，2sin120°），
即 ，且 ＝120°，则 ．
α
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，考查了直线的斜率公式，属于基础题．
三．直线的截距式方程（共2小题）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．（2023•定远县校级模拟）直线l ：y＝2x和l ：y＝kx+1与x轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足
1 2
条件的k的两个可能取值： ﹣ 2 和 ．
【分析】根据给定条件，按等腰三角形底边所在直线分类，结合斜率的意义及二倍角的正切求解作答即
可．
【解答】解：令直线l ，l 的倾斜角分别为 ， ，则tan ＝2，tan ＝k，
1 2
α θ α θ
当围成的等腰三角形底边在x轴上时， ＝ ﹣ ，k＝tan（ ﹣ ）＝﹣tan ＝﹣2；
θ π α π α α
当围成的等腰三角形底边在直线l 上时， ＝2 ， （0， ），tan ＝tan2 ＝ ＝2，
2
α θ θ∈ α θ
整理得k2+k﹣1＝0，而k＞0，解得k＝ ．
所以的两个可能取值﹣2， ．
故答案为：﹣2； ．
【点评】本题考查直线的斜率和倾斜角的关系，二倍角公式，属于基础题．
5．（2023•高新区校级模拟）若直线ax+by＝ab（a＞0，b＞0）过点（1，1），则该直线在x轴与y轴上的
截距之和的最小值为 4 ．
【分析】由直线过定点，得出a+b＝ab，利用“1“的代换结合基本不等式，求出该直线在x轴与y轴上
的截距之和的最小值．
【解答】解：由题意，a+b＝ab，即 + ＝1，
直线ax+by＝ab（a＞0，b＞0），
令x＝0，y＝a；令y＝0，x＝b，
该直线在x轴与y轴上的截距之和a+b＝（ + ）•（a+b）＝2+ + ≥2+2 ＝4，
当且仅当a＝b＝2时取等号，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：4．
【点评】本题考查直线的方程，考查基本不等式的应用，属于基础题．
四．直线的一般式方程与直线的性质（共2小题）
6．（2023•丰台区二模）已知点P（0，2），直线l：x+2y﹣1＝0，则过点P且与直线l相交的一条直线的
方程是 y ＝ x + 2 （答案不唯一） ．
【分析】求出过P（0，2）且与l：x+2y﹣1＝0不平行的方程即可．
【解答】解：直线l：x+2y﹣1＝0的斜率为 ，故只需所求直线方程斜率不是 即可，
可设过点P且与直线l相交的一条直线的方程为y＝x+2．
故答案为：y＝x+2（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
7．（2023•山东模拟）如图，P是抛物线C：y＝ x2上一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂
直，l与抛物线C相交于另一点Q．
（Ⅰ）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；
（Ⅱ）当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离．
【分析】（1）由于直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，要求求直线l的方程，我们可以根据
点P的横坐标为2，求出点P的坐标，并求出P点处函数的导数值，即过P点切线的斜率，进而得到直
线l的斜率，代入点斜式方程进行求解．
（2）方法一，求线段PQ中点M的轨迹方程，我们可以分别求出直线与抛物线两交点的坐标，代入中
点公式进行化简，得到变量x，y之间的关系，即轨迹方程；
方法二：将直线方程代入抛物线的方程，再结合韦达定理（根与系数关系）对式子进行化简，探究变量
x，y之间的关系，即轨迹方程．
【解答】解：（Ⅰ）把x＝2代入 ，得y＝2，
∴点P坐标为（2，2）．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，①
得y'＝x，
∴过点P的切线的斜率k切 ＝2，
直线l的斜率k＝﹣ ＝ ，
l
∴直线l的方程为y﹣2＝﹣ （x﹣2），
即x+2y﹣6＝0．
（Ⅱ）设 ．
∵过点P的切线斜率k切 ＝x
0
，
当x ＝0时不合题意，x ≠0．
0 0
∴直线l的斜率k＝﹣ ＝ ，
l
直线l的方程为 ．②
方法一：联立①②消去y，得x2+ x﹣x 2﹣2＝0．设Q（x ，y ），M（x，y）．
0 1 1
∵M是PQ的中点，
∴
消去x ，得y＝x2+ （x≠0）就是所求的轨迹方程．
0
由x≠0知x2＞0，∴ ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】上式等号仅当 时成立，所以点M到x轴的最短距离是 ．
方法二：
设Q（x ，y ），M（x，y）．则
1 1
由y ＝ x 2，y ＝ x 2，x＝ ，
0 0 1 1
∴y ﹣y ＝ x 2﹣ x 2＝ （x +x ）（x ﹣x ）＝x（x ﹣x ），
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
∴ ，∴ ，
将上式代入②并整理，得y＝x2+ （x≠0）就是所求的轨迹方程．
由x≠0知x2＞0，∴ ．
上式等号仅当 时成立，所以点M到x轴的最短距离是 ．
【点评】本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和
综合解题能力．在使用点斜式表示过定点的直线方程时，一定要注意它不能表示斜率不存在的直线，此
时与它垂直的直线斜率为0，故在使用前要对这种情况进行讨论．
五．直线的一般式方程与直线的平行关系（共3小题）
8．（2023•丹东模拟）直线x+ay﹣3＝0与直线（a+1）x+2y﹣6＝0平行，则a＝（ ）
A．﹣2 B．1 C．﹣2或1 D．﹣1或2
【分析】根据题意，由直线平行的判断方法可得2＝a（a+1），解可得a的值，验证可得答案．
【解答】解：根据题意，直线x+ay﹣3＝0与直线（a+1）x+2y﹣6＝0平行，
则有2＝a（a+1），解可得a＝1或﹣2，
当a＝1时，两直线的方程为x+y﹣3＝0和2x+2y﹣6＝0，两直线重合，不符合题意；
当a＝﹣2时，两直线的方程为x﹣2y﹣3＝0和﹣x+2y﹣6＝0，两直线平行，符合题意；
综合可得：a＝﹣2．
故选：A．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点评】本题考查直线平行的判断，涉及直线的一般式方程，属于基础题．
9．（2023•河北三模）直线l ：ax+y+1＝0 与l ：x+ay﹣1＝0平行的充要条件是（ ）
1 2
A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a＝1或﹣1 D．0
【分析】由已知结合直线平行的条件即可求解．
【解答】解：直线l ：ax+y+1＝0与l ：x+ay﹣1＝0平行的充要条件是：k ＝k 且不重合，
1 2 1 2
由 得a＝±1，又a＝﹣1时两直线重合，直线l ：ax+y+1＝0与l ：x+ay﹣1＝0
1 2
平行的充要条件是 a＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了直线平行条件的应用，属于基础题．
10．（2023•大庆模拟）直线l经过点A（m，2），B（﹣1，m），若直线l与直线y＝x+1平行，则m＝
【分析】由题意，利用两直线平行的性质，直线的斜率公式，求得m的值．
【解答】解：∵直线l经过点A（m，2），B（﹣1，m），且与直线y＝x+1平行，
∴ ＝1，求得m＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查两直线平行的性质，直线的斜率公式，属于基础题．
六．直线的一般式方程与直线的垂直关系（共3小题）
11．（2023•固镇县三模）已知直线 l ：ax+2y+1＝0，l ：（3﹣a）x﹣y+a＝0，则条件“a＝1”是
1 2
“l ⊥l “的（ ）
1 2
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不必要也不充分条件
【分析】结合线面垂直的条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：若l ⊥l ，则（3﹣a）a﹣2×1＝0，解得a＝1或a＝2．
1 2
所以a＝1是l ⊥l 的充分不必要条件．
1 2
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，以及直线垂直的应用，要熟练掌握直线垂直的等价
条件．a x+b y+c ＝0和a x+b y+c ＝0垂直的等价条件为：a a +b b ＝0
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
12．（2023•吉林模拟）已知a＞0，b＞0，若直线l ：ax+by﹣2＝0与直线l ：2x+（1﹣a）y+1＝0垂直，
1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则a+2b的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．8 D．9
【分析】根据两直线方程表达式及其位置关系，可得 ，再利用基本不等式，求出a+2b的最小
值即可．
【解答】解：由题可知，两条直线斜率一定存在．
因为两直线垂直，所以斜率乘积为﹣1，
即 ，即2a+b＝ab，整理可得 ，
所以 ，
当且仅当a＝b＝3时，等号成立，
因此a+2b的最小值为9．
故选：D．
【点评】本题主要考查了直线垂直的性质和利用基本不等式求解最值，属于基础题．
13．（2023•吉林模拟）△ABC中，A（3，2），B（1，1），C（2，3），则AB边上的高所在的直线方程
是（ ）
A．2x+y﹣7＝0 B．2x﹣y﹣1＝0 C．x+2y﹣8＝0 D．x﹣2y+4＝0
【分析】由题意，根据两直线垂直的性质，求出要求直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程．
【解答】解：∵△ABC中，A（3，2），B（1，1），C（2，3），
∴直线AB的斜率为 ＝ ，则AB边上的高所在的直线的斜率为﹣2，
故AB边上的高所在的直线方程是y﹣3＝﹣2（x﹣2），即 2x+y﹣7＝0．
故选：A．
【点评】本题主要考查两直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题．
七．两条直线的交点坐标（共2小题）
14．（2023•龙华区校级模拟）若直线 y＝﹣2x+4与直线 y＝kx的交点在直线 y＝x+2上，则实数 k＝
（ ）
A．4 B．2 C． D．
【分析】首先利用直线的交点建立方程组，进一步求出交点的坐标，进一步利用该点的坐标满足直线的
方程求出k的值．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解答】解：直线y＝﹣2x+4与直线y＝kx的交点，
满足： ，解得 ，
由于该点在直线y＝x+2上，
故 ，解得k＝4．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：直线的交点，方程组的解法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属
于基础题．
（多选）15．（2023•江宁区校级模拟）已知直线l ：2x+y﹣6＝0和点A（1，﹣1），过点A作直线l 与直
1 2
线l 相交于点B，且AB＝5，则直线l 的方程为（ ）
1 2
A．x＝1 B．y＝﹣1 C．3x+4y+1＝0 D．4x+3y﹣1＝0
【分析】设点B（x ，6﹣2x ），由A，B两点间的距离列出方程，解出点B，得直线l 的方程．
0 0 2
【解答】解：因为点B在直线l ：2x+y﹣6＝0上，设点B（x ，6﹣2x ），
1 0 0
因为A（1，﹣1），则 ，解得x ＝1或x ＝5，
0 0
则B点坐标为（1，4）或（5，﹣4），
当B点坐标为（1，4）时，直线l 的方程为x＝1，
2
当B点坐标为（5，﹣4）时，直线l 的方程为 ，即3x+4y+1＝0．
2
故选：AC．
【点评】本题主要考查两条直线的交点坐标，属于基础题．
八．恒过定点的直线（共2小题）
16．（2023•山东模拟）方程（1+4k）x﹣（2﹣3k）y+（2﹣14k）＝0所确定的直线必经过点（ ）
A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣6，2） D．（ ）
【分析】直线过定点，直线是直线系，按k集项；解方程组，求得交点坐标即定点的坐标．
【解答】解：方程（1+4k）x﹣（2﹣3k）y+（2﹣14k）＝0，化为（x﹣2y+2）+k（4x+3y﹣14）＝0
解 得
故选：A．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点评】本题考查过定点的直线系方程，是基础题．
17．（2023•江苏模拟）设k R，直线l ：kx+y﹣k＝0，I直线l ：x﹣ky+2k﹣3＝0，记l ，l 分别过定点
1 2 1 2
A，B，l 与l 的交点为C，∈则|AC|+|BC|的最大值为 4 ．
1 2
【分析】由动直线的方程可得动点A，B的坐标，并且可得两条直线互相垂直，由勾股定理可得|CA|2+|
CB|2的值，再由基本不等式可得|AC|+|BC|的最大值．
【解答】解：当k＝0时，l ：y＝0，l ，：x﹣3＝0，∴l ⊥l ．
1 2 1 2
当k≠0时，
对于直线l ：kx+y﹣k＝0，即k（x﹣1）+y＝0，过定点A（1，0），
1
对于直线l ：x﹣ky+2k﹣3＝0，即x﹣3﹣k（y﹣2）＝0，过定点B（3，2）．
2
直线l ：kx+y﹣k＝0的斜率为﹣k，直线l ：x﹣ky+2k﹣3＝0的斜率为 ，
1 2
∵﹣k• ﹣1，∴l ⊥l ．
1 2
综上可得，l ⊥l ．
1 2
∵l 与l 的交点为C，
1 2
∴CA2+CB2＝AB2＝4+4＝8，
∴ ≤ （CA2+CB2）＝4，
∴ ≤2，
∴CA+CB≤4，
当且仅当CA＝CB时，|CA|+|CB|的最大值为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查直线的位置关系的判断及直线恒过定点的求法，均值不等式性质的应用，属于中档题．
九．与直线关于点、直线对称的直线方程（共3小题）
18．（2023•琼山区校级一模）点（1，2）关于直线x+y﹣2＝0的对称点是（ ）
A．（1，0） B．（0，1） C．（0，﹣1） D．（2，1）
【分析】利用待定系数法设出对称点的坐标，然后利用中点在直线上以及两点的连线与直线垂直，列出
方程组，求解即可．
【解答】解：设点A（1，2）关于直线x+y﹣2＝0的对称点是B（a，b），
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则有 ，解得a＝0，b＝1，
故点（1，2）关于直线x+y﹣2＝0的对称点是（0，1）．
故选：B．
【点评】本题考查了点关于直线的对称点的求解，考查了中点坐标公式的应用，两点间斜率公式的运用，
垂直的充要条件的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
19．（2023•大连模拟）已知点A（﹣1，2），C（﹣1，0），点A关于直线x﹣y+1＝0的对称点为点B，
在△PBC中， ，则△PBC面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据对称的性质求出点B的坐标，设P（x，y），再由 可求出点P的轨迹
方程，由图可知△PBC中BC边上的高为圆的半径时，△PBC面积最大，从而可求得结果．
【解答】解：设B的坐标为（x ，y ），则 ，则B的坐标为（1，0），
0 0
设P（x，y）， x2+y2﹣6x+1＝0，
即（x﹣3）2+y2＝8． ⇒
所以 ．
故选：C．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点评】本题主要考查了动点轨迹方程，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
20．（2023•思明区校级四模）已知直线l ：3x﹣4y﹣4＝0关于直线l 的对称直线为y轴，则l 的方程为
1 2 2
y ＝ 2 x ﹣ 1 或 y ＝﹣ ﹣ 1 ．
【分析】求出直线l 与x轴、y轴的交点，设出直线l 的方程，根据点关于直线l 的对称点在y轴上，由
1 2 2
此列方程求出即可．
【解答】解：直线l ：3x﹣4y﹣4＝0交x轴于点M（ ，0），交y轴于点P（0，﹣1）；
1
设直线l 的方程为y＝kx﹣1，则点M关于直线l 的对称点N（a，b）在y轴上，所以a＝0，
2 2
所以MN的中点Q（ ， ）在直线l 上，所以 k﹣1＝ ①，
2
又﹣ ＝ ②，
由①②组成方程组，解得k＝2或k＝﹣ ，
所以直线l 的方程为y＝2x﹣1或y＝﹣ x﹣1．
2
故答案为：y＝2x﹣1或y＝﹣ x﹣1．
【点评】本题考查了直线关于直线的对称问题，也考查了逻辑推理与运算求解能力，是中档题．
一十．两点间的距离公式（共3小题）
21．（2023•昌平区二模）已知点P在直线 上，点Q（2cos ，2sin ）（ R），则|PQ|的最
θ θ θ∈
小值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据Q的轨迹为圆，利用圆的几何性质，转化为圆心到直线的距离得解．
【解答】解：设Q（x，y），
由Q（2cos ，2sin ）（ R）可知x＝2cos ，y＝2sin ，
所以x2+y2＝θ4，即θQ在圆θ心∈为（0，0），半θ径为2的圆θ上的动点，
圆心到直线的距离 ，
所以|PQ| ＝5﹣2＝3．
min
故选：B．
【点评】本题主要考查圆的几何性质，转化为圆心到直线的距离公式，属于基础题．
22．（2023•西城区校级三模）设m R，过定点A的动直线x+my＝0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3＝0
交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的∈取值范围是（ ）
A．[ ，2 ] B．[2 ，4 ] C．[ ，4 ] D．[ ，2 ]
【分析】动直线x+my＝0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3＝0定点B（1，3），由此能求出|
PA|+|PB|的取值范围．
【解答】解：由题意可知，动直线x+my＝0经过定点A（0，0），
动直线mx﹣y﹣m+3＝0即 m（x﹣1）﹣y+3＝0，经过定点B（1，3），
∵动直线x+my＝0和动直线mx﹣y﹣m+3＝0始终垂直，P又是两条直线的交点，
∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝10．
由基本不等式可得|PA|2+|PB|2≤（|PA|+|PB|）2≤2（|PA|2+|PB|2），
即10≤（|PA|+|PB|）2≤20，可得 ≤|PA|+|PB|≤2 ．
故选：D．
【点评】本题考查动点到两个定点的距离之和的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意
直线、基本不等式性质的合理运用，是中档题．
23．（2023•邯郸三模）在平面直角坐标系内，已知A（﹣3，4），B（﹣3，1），动点P（x，y）满足|PA|
＝2|PB|，则（x﹣1）2+（y﹣t）2（t R）的最小值是（ ）
∈
A． B．2 C．4 D．16
【分析】由题意求出点P的轨迹方程，则 可以看成圆（x+3）2+y2＝4上动点P
（x，y）与定直线x＝1上动点Q（1，t）的距离，求得其最小值，即可求得答案．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解答】解：因为A（﹣3，4），B（﹣3，1），动点P（x，y）满足|PA|＝2|PB|，
则（x+3）2+（y﹣4）2＝4（x+3）2+4（y﹣1）2，整理得（x+3）2+y2＝4，
可以看成圆（x+3）2+y2＝4上动点P（x，y）与定直线x＝1上动点Q（1，t）的距
离，
其最小值为圆心M（﹣3，0）到直线x＝1的距离减去圆的半径2，即|PQ|≥4﹣2＝2，
因此，（x﹣1）2+（y﹣t）2的最小值是22＝4，
故选：C．
【点评】本题主要考查了点的轨迹方程的求解，还考查圆的性质的求解，属于中档题．
一十一．点到直线的距离公式（共2小题）
24．（2023•开福区校级二模）点P在单位圆上运动，则P点到直线l：（1+3 ）x+（1﹣2 ）y﹣（7+ ）
＝0（ 为任意实数）的距离的最大值为（ ） λ λ λ
λ
A． B．6 C． D．5
【分析】先求出直线的定点，再根据两点间距离公式求圆心到定点距离，最后可求圆上点到直线的最大
距离．
【解答】解：将直线方程变形为l：（x+y﹣7）+（3x﹣2y﹣1） ＝0，由 ，解得直线过定
λ
点Q（3，4），
P在单位圆上运动，圆O（0，0），圆的半径r＝1
故原点到直线l距离的最大值为 ，
则P点到直线l的距离的最大值为r+|OQ|＝1+|OQ|＝1+5＝6．
故选：B．
【点评】本题主要考查点到直线的距离，属于基础题．
25．（2023•南关区校级二模）直线l的方程为（ +2）x+（ ﹣1）y﹣3 ＝0（ R），当原点O到直线l的
距离最大时， 的值为（ ） λ λ λ λ∈
A．﹣1 λ B．﹣5 C．1 D．5
【分析】首先求出直线l过定点A（1，2），然后当OA⊥l时，原点O到l的距离最大，即可求解．
【解答】解；由（ +2）x+（ ﹣1）y﹣3 ＝0（ R）可得（x+y﹣3） +2x﹣y＝0，
λ λ λ λ∈ λ
令 ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故直线l过定点A（1，2），
当OA⊥l时，原点O到l的距离最大，
因为k ＝2，
OA
所以直线l的斜率为﹣ ，即﹣ ＝﹣ ，解得 ＝﹣5，
故选：B． λ
【点评】本题主要考查恒过定点的直线，属于基础题．
一十二．两直线的夹角与到角问题（共3小题）
26．（2023•延庆区一模）O为坐标原点，点A，B的坐标分别为（2，﹣1），（﹣1，3），则tan∠AOB
等于（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
【分析】求出OA，OB的斜率，然后利用夹角公式求解即可．
【解答】解：O为坐标原点，点A，B的坐标分别为（2，﹣1），（﹣1，3），
可得k ＝ ，k ＝﹣3，
OA OB
tan∠AOB＝ ＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查夹角公式的灵活应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
27．（2023•道里区校级一模）已知A（﹣1，0），B（1，0），若直线y＝k（x﹣2）上存在点P，使得
∠APB＝90°，则实数k的取值范围为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．
【分析】根据题意，可得直线y＝k（x﹣2）与圆O：x2+y2＝1有公共点（公共点不能是A、B），结合
直线与圆的位置关系求解即可．
【解答】解：若∠APB＝90°，则点P在以A（﹣1，0），B（1，0）为直径的圆上（点P不能是A、
B），
∵以A（﹣1，0），B（1，0）为直径的圆的圆心为O（0，0），半径r＝1，则圆O的方程为x2+y2＝
1，
即直线y＝k（x﹣2）与圆O：x2+y2＝1有公共点（公共点不能是A、B），
当直线y＝k（x﹣2）与圆O：x2+y2＝1有公共点时， ，解得 ；
当直线y＝k（x﹣2）与圆O：x2+y2＝1的公共点为A或B时，k＝0，不符合题意；
综上，实数k的取值范围为 ．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线的斜率，直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
28．（2023•睢宁县校级模拟）在△ABC中，∠A的内角平分线方程为y＝x，B（1，4），C（4，3），则
角C的正切值为 3 ．
【分析】由题意可知，点B（1，4）关于y＝x的对称点B'（a，b）一定在直线AC上，根据对称性求出
点B'的坐标，进而得到直线AC的方程，再与y＝x联立即可求出点A的坐标，从而求出结果．
【解答】解：由题意可知，点B（1，4）关于y＝x的对称点B'（a，b）一定在直线AC上，
由 ，解得 ，
∴B'（4，1），又∵C（4，3），
∴直线B'C的方程为x＝4，
∴直线AC的方程为x＝4，
而直线AC与直线y＝x的交点即为点A，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】联立方程 ，解得 ，∴A（4，4），
∴直线AB的方程为y＝4，
∴AB⊥AC，即△ABC为直角三角形，且|AB|＝3，|AC|＝1，
∴tanC＝ ＝ ＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了直线关于直线的对称直线问题，考查了直线的一般方程，属于中档题．
一十三．与直线有关的动点轨迹方程（共1小题）
29．（2023•固镇县三模）如图，在平行四边形OABC中，点O是原点，点A和点C的坐标分别是（3，
0）、（1，3），点D是线段AB上的动点．
（1）求AB所在直线的一般式方程；
（2）当D在线段AB上运动时，求线段CD的中点M的轨迹方程．
【分析】（1）求出AB 所在直线的向量，然后求出AB所在的直线方程；
（2）设点M的坐标是（x，y），点D的坐标是（x ，y ），利用平行四边形，推出M与D坐标关系，
0 0
利用当D在线段AB上运动，求线段CD的中点M的轨迹方程．
【解答】（本小题满分10分）
解：（1）∵AB∥OC，∴AD所在直线的斜率为：K ＝K ＝ ＝3．
AB OC
∴AB所在直线方程是y﹣0＝3（x﹣3），即3x﹣y﹣9＝0．
（2）：设点M的坐标是（x，y），点D的坐标是（x ，y ），
0 0
由平行四边形的性质得点B的坐标是（4，6），
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∵M是线段CD的中点，∴x＝ ，y＝ ，
于是有x ＝2x﹣1，y ＝2y﹣3，
0 0
∵点D在线段AB上运动，
∴3x ﹣y ﹣9＝0，（3≤x ≤4），
0 0 0
∴3（2x﹣1）﹣（2y﹣3）﹣9＝0
即6x﹣2y﹣9＝0，（2≤x≤ ）．
【点评】本题考查直线方程的求法，与直线有关的动点的轨迹方程的求法，考查转化思想与计算能力．
一十四．圆的标准方程（共2小题）
30．（2023•湖南模拟）若圆C与y轴相切，则圆C的方程可以为（ ）
A．x2+y2＝1 B．x2+（y﹣1）2＝1
C．（x﹣1）2+y2＝1 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2
【分析】求出圆的圆心和半径，判断是否符合题意，即得答案．
【解答】解：依题意可得圆C的圆心到y轴的距离应等于圆心横坐标的绝对值，
x2+y2＝1的圆心为原点，不符合题意，A错误；
x2+（y﹣1）2＝1的圆心为（0，1），不符合题意，B错误；
（x﹣1）2+y2＝1的圆心为（1，0），半径为1，符合题意，C正确；
（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2圆心为（1，1），半径为 ，不符合题意，D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查圆的标准方程，考查转化能力，属于中档题．
31．（2023•江西模拟）已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x，所有满足f（m）+f（n﹣1）＝0的点（m，n）中，有
且只有一个在圆C上，则圆C的方程可以是 x 2 + y 2 ＝ 2 ．（写出一个满足条件的圆的方程即可）
【分析】由题意可得f（x）是单调递增的奇函数，点（m，n）在直线x+y﹣1＝0上，再根据直线与圆相
切，可得一个圆C的方程．
【解答】解：∵函数f（x）＝ex﹣e﹣x，是R上的增函数，且是奇函数，
故满足f（m）+f（n﹣1）＝0的点（m，n），
满足f（m）＝﹣f（n﹣1），即f（m）＝f（1﹣n），故有m＝1﹣n，即m+n﹣1＝0，
故点（m，n）在直线x+y﹣1＝0上．
再根据有且只有一个点（m，n）在圆C上，故圆C和直线x+y﹣1＝0相切，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故圆的方程可以为x2+y2＝2，
故答案案为：x2+y2＝2．
【点评】本题考查函数的性质及导数的综合运用，训练了利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化
思想，是中档题．
一十五．圆的一般方程（共1小题）
32．（2023•平江县校级模拟）若点A（m，n）在圆C：x2+y2﹣2x﹣8y+1＝0 上，则 的取值范围为（
）
A． B． C．[0，4] D．
【分析】 的几何意义为圆上点与定点P（﹣4，0）的斜率，然后结合直线与圆相切的性质可求．
【解答】解：因为点A（m，n）在圆C：x2+y2﹣2x﹣8y+1＝0 上，
则 的几何意义为圆上点与定点P（﹣4，0）的斜率，
因为圆C：x2+y2﹣2x﹣8y+1＝0 化为标准方程为（x﹣1）2+（y﹣4）2＝16，
由题意可知切线的斜率存在且PB的斜率为0，
设圆C的切线方程为y＝k（x+4），
则 ＝4，
解得k＝0或k＝ ，
故k的范围为[0， ]．
故选：B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．
一十六．轨迹方程（共5小题）
33．（2023•广西模拟）已知线段AB，则平面上全体满足|AP|2+|BP|2为定值 的点P的轨迹是（
）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线
【分析】由题意，建立坐标系，结合所给信息再进行求解即可．
【解答】解：已知线段AB，且平面上全体满足|AP|2+|BP|2为定值 ，
因为|PA|2+|PB|2 为定值，所以以AB所在直线为x轴，中垂线为y轴，
设A（﹣1，0），则B（1，0），
|AP|2+|BP|2＝（x+1）2+y2+（x﹣1）2+y2＝2x2+2y2+2＝
＝2，所以x2+y2＞0，
以其一定在AB中点M为圆心，确定半径的一个圆上运动，
则点P的轨迹为圆．
故选：B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点评】本题考查轨迹方程，考查了逻辑推理和运算能力．
34．（2023•枣强县校级模拟）已知定点B（3，0），点A在圆（x+1）2+y2＝4上运动，则线段AB的中点
M的轨迹方程是（ ）
A．（x+1）2+y2＝1 B．（x﹣2）2+y2＝4
C．（x﹣1）2+y2＝1 D．（x+2）2+y2＝4
【分析】设出动点坐标，利用已知条件确定坐标之间的关系，利用P在圆上，可得结论．
【解答】解：设点M的坐标为（x，y），点A（m，n），则（m+1）2+n2＝4．
∵M是线段AB上的中点，
∴（x﹣m，y﹣n）＝（3﹣x，﹣y）
∴m＝2x﹣3，n＝2y，
∵（m+1）2+n2＝4，
∴（2x﹣2）2+（2y）2＝4，
∴（x﹣1）2+y2＝1．
故选：C．
【点评】本题考查点的轨迹方程、中点坐标公式、代入法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想，
属于基础题．
35．（2023•淄博三模）设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且∠AOB＝60°，球体O表面上动点
P满足PA＝2PB，则点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【分析】建立直角坐标系，根据|PA|＝2|PB|确定轨迹为圆，转化到空间得到轨迹为两球的交线，计算球
心距 ，对应圆的半径为 ，再计算周长得到答案．
【解答】解：以AOB所在的平面建立直角坐标系，AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】|AB|＝3，则 ，设P（x，y），|PA|＝2|PB|，
则 ，整理得到 ，
故P轨迹是以 为圆心，半径r＝2的圆，
转化到空间中：当P绕AB为轴旋转一周时，|PA|，|PB|不变，依然满足|PA|＝2|PB|，
故空间中P的轨迹为以C为球心，半径为r＝2的球，
同时P在球O上，故P在两球的交线上，为圆．
球心距为 ，
△OCP为直角三角形，对应圆的半径为 ，
周长为 ．
故选：D．
【点评】本题考查了空间中点的轨迹长度的计算，属于中档题．
36．（2023•惠州模拟）已知圆F ：x2+y2+4x＝0，圆F ：x2+y2﹣4x﹣12＝0，一动圆与圆F 和圆F 同时内
1 2 1 2
切．
（1）求动圆圆心M的轨迹方程；
（2）设点M的轨迹为曲线C，两互相垂直的直线l ，l 相交于点F ，l 交曲线C于M，N两点，l 交圆
1 2 2 1 2
F 于P，Q两点，求△PQM与△PQN的面积之和的取值范围．
1
【分析】（1）根据动圆圆心到两定点距离的关系可以判断其为双曲线；
（2）分两种情况讨论，每一种情况中计算|MN|、|PQ|，从而求得面积的表达式，再求范围即可．
【解答】解：（1）由 ，得 （x+2）2+y2＝4，可知 F （﹣2，0），其半径为 2，
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，得 （x﹣2）2+y2＝16，可知 F （2，0），其半径为 4．
2
设动圆半径为 r，动圆圆心到 F 的距离为 n，到 F 的距离为 m，则有
1 2
n﹣m＝2 或 m﹣n＝2，即|n﹣m|＝2＝2a，得 a＝1，
又|F
1
F
2
|＝⇒4＝2c＞2a，所以动圆圆⇒心 M 的轨迹是以F
1
，F
2
为焦点的双曲线，由c2＝a2+b2，可得b2＝
3．所以动圆圆心 M 的轨迹方程为 ．
（2）①当直线l，的斜率存在时，由题意，k≠0，设l ：y＝kx﹣2k，
1
与双曲线联立 （3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3＝0，
⇒
由于其与双曲线有两个不同的交点，
所以 ，得k2≠3 且 k2≠0，
且 ．
设 ，即x+ky﹣2＝0．
设圆F 到直线l 的距离为d，则 ，
1 2
因为l 交圆F 于P，Q两点，故d＜2，得k2＞3．
2 1
且 ，
由题意可知MN⊥PQ，
所以 ，
因为k2＞3，可得S△PQM +S△PQN ＞12．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）当直线l 的斜率不存在时，|PQ|＝4，|MN|＝6，
1
所以 ，
所以S△PQM +S△PQN ≥12．
即S△PQM +S△PQN [12，+∞）．
【点评】本题考∈查双曲线的轨迹方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档
题．
37．（2023•河北三模）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣16x＝0过点P的动直线l与圆C交于A、B两点，
线段AB的中点为M，O为坐标原点．
（1）求M的轨迹方程；
（2）当|OP|＝|OM|，求l的方程及△POM的面积．
【分析】（1）由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出M坐标，由 与 数量积等于0列式得M的
轨迹方程；
（2）设M的轨迹的圆心为N，由|OP|＝|OM|得到ON⊥PM．求出ON所在直线的斜率，由直线方程的点
斜式得到PM所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长
间的关系求出PM的长度，代入三角形面积公式得答案．
【解答】解：（1）设点M（x，y），当点M不与点P重合时，即当x≠2 且y≠2 时，
由垂径定理可知CM⊥AB，即CM⊥PM，
设点M（x，y），又圆C的圆心为（8，0），P（2，2），
则 ，
，即（x﹣5）2+（y﹣1）2＝10，
当点M与点P重合时，点P的坐标也满足方程（x﹣5）2+（y﹣1）2＝10，
故点M的轨迹方程为圆 N：（x﹣5）2+（y﹣1）2＝10，
（2）当 时，点M与点P满足圆O的方程 x2+y2＝8，
又点M与点P在圆N：（x﹣5）2+（y﹣1）2＝10，
∴直线MP为圆O和圆N的交线，圆O与圆N的方程相减得，
直线MP的方程为（x2+y2）﹣[（x﹣5）2+（y﹣1）2]＝8﹣10，即5x+y﹣12＝0，
∴l的方程为：5x+y﹣12＝0，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】点O到直线MP的距离 ，
又圆O的半径 ，
∴弦长 ＝11，
∴△POM的面积 ．
【点评】本题考查圆的轨迹方程的求法，训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系，训练了点到
直线的距离公式的应用，是中档题．
一十七．点与圆的位置关系（共1小题）
38．（2023•海淀区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，已知P是圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1上的动
点．若A（﹣a，0），B（a，0），a≠0，则 的最大值为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．6
【分析】根据题意得到 ， ，即可得到答案．
【解答】解：因为 ， ，
所以 ．
故选：B．
【点评】本题主要考查了向量数量积的性质在最值求解中的应用，还考查了圆的性质的应用，属于基础
题．
一十八．关于点、直线对称的圆的方程（共3小题）
39．（2023•汕头二模）与圆C：x2+y2﹣x+2y＝0关于直线l：x+y＝0对称的圆的标准方程是 （ x ﹣ 1 ） 2 +
（ y + ） 2 ＝ ．
【分析】先求得所求圆的圆心坐标，进而得到该圆的标准方程．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣x+2y＝0的圆心 ，半径 ，
点 关于直线l：x+y＝0对称的点坐标为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则所求圆的标准方程为（x﹣1）2+（y+ ）2＝ ．
故答案为：（x﹣1）2+（y+ ）2＝ ．
【点评】此本题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，弄清题意是解本题的关键．
40．（2023•济南一模）在平面直角坐标系xOy中，圆C ：x2+y2＝2关于直线l对称的圆为C ：x2+y2+2x﹣
1 2
4y+3＝0，则l的方程为 2 x ﹣ 4 y + 5 ＝ 0 ．
【分析】先找出两圆的圆心坐标，再结合中点坐标公式与两条直线垂直的条件，即可得直线l的方程．
【解答】解：圆C ：x2+y2＝2表示圆心为C （0，0），半径为 的圆，
1 1
圆C ：x2+y2+2x﹣4y+3＝0化成标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝2，表示圆心为C （﹣1，2），半径为
2 2
的圆，
所以两圆心所在直线的斜率为 ＝﹣2，线段C C 的中点为（﹣ ，1），
1 2
因为直线l是线段C C 的中垂线所在直线的方程，
1 2
所以直线l的斜率为 ，其方程为y﹣1＝ （x+ ），即2x﹣4y+5＝0．
故答案为：2x﹣4y+5＝0．
【点评】本题考查关于直线对称的圆的方程，熟练掌握圆的标准方程与一般方程的互化，两条直线垂直
的条件是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
41．（2023•大理州模拟）已知直线l：x﹣y+1＝0，圆C：x2+y2＝1，则圆C关于直线l对称的圆的方程为
（ x + 1 ） 2 + （ y ﹣ 1 ） 2 ＝ 1 ．
【分析】求出圆心C关于直线l的对称点即为对称圆的圆心，从而可得对称圆的方程．
【解答】解：设圆心C（0，0）关于直线l对称圆心为C′（a，b），
根据对称性可知，直线l为线段CC′的垂直平分线，
所以有 ，解得a＝﹣1，b＝1，
所以对称圆心为C′（﹣1，1），
又圆的半径为1，
所以圆C关于直线l对称的圆的方程为（x+1）2+（y﹣1）2＝1．
故答案为：（x+1）2+（y﹣1）2＝1．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点评】本题考查了圆关于直线的对称圆的方程的计算问题，属于基础题．
一十九．圆的切线方程（共2小题）
42．（2023•延边州二模）经过P（2，3）向圆x2+y2＝4作切线，切线方程为（ ）
A．5x﹣12y+26＝0 B．13x﹣12y+10＝0
C．5x﹣12y+26＝0或x＝2 D．13x﹣12y+10＝0或x＝2
【分析】根据切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得正确答案．
【解答】解：（1）当切线的斜率不存在时，直线x＝2是圆的切线；
（2）当切线斜率存在时，设切线方程为l：y﹣3＝k（x﹣2），
由（0，0）到切线距离为 ，得 ，
此时切线方程为 ，即5x﹣12y+26＝0．
故选：C．
【点评】本题考查圆的切线方程的求解，方程思想，化归转化思想，属中档题．
43．（2023•晋安区校级模拟）在平面直角坐标系中，过点P（3，0）作圆 ＝4
的两条切线，切点分别为A，B．则直线AB的方程为（ ）
A． B． C． D．
【分析】求出以（3，0）、 为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程．
【解答】解：圆 的圆心为 ，半径为2，
以 P （ 3 ， 0 ） 、 为 直 径 ， 则 PO 的 中 点 坐 标 为 ，
，
∴以N为圆心，PO为直径的圆的方程为 ，
因为过点P（3，0）圆 的两条切线切点分别为A，B，
∴AB是两圆的公共弦，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程为： ．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
二十．直线与圆相交的性质（共3小题）
44．（2023•思南县校级模拟）若直线2x+y+m＝0与圆x2+2x+y2﹣2y﹣3＝0相交所得弦长为 ，则m＝
（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【分析】将圆的方程化简成标准方程，得圆心坐标（﹣1，1），半径为 ，所以直线2x+y+m＝0过圆
心，即可得出答案．
【解答】解：圆x2+2x+y2﹣2y﹣3＝0的标准方程（x+1）2+（y﹣1）2＝5，
圆心坐标为（﹣1，1），半径为 ，
因为直线2x+y+m＝0与圆x2+2x+y2﹣2y﹣3＝0相交所得弦长为 ，
所以直线2x+y+m＝0过圆心，
得2×（﹣1）+1+m＝0，即m＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法，属于基础题．
45．（2023•红桥区二模）已知直线x﹣ y+8＝0和圆x2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B两点．若|AB|＝6，
则r的值为 5 ．
【分析】根据题意，分析圆的圆心，由点到直线的距离公式可得圆心到直线 x﹣ y+8＝0的距离，结
合直线与圆相交的性质可得r2＝d2+（ ）2，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，圆x2+y2＝r2的圆心为（0，0），半径为r；
则圆心到直线x﹣ y+8＝0的距离d＝ ＝4，
若|AB|＝6，则有r2＝d2+（ ）2＝16+9＝25，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故r＝5；
故答案为：5
【点评】本题考查直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题．
46．（2023•南关区校级模拟）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4（a＞0）及直线l：x﹣y+3＝0，当直线
l被C截得弦长为 时，则a＝ ．
【分析】由题意可得圆心C（a，2）半径r＝2，则圆心（a，2）到直线x﹣y+3＝0得距离d＝
＝ ，在Rt△CBM中由勾股定理可得，d2+BM2＝BC2结合a＞0可求
【解答】解：由题意可得圆心C（a，2）半径r＝2
则圆心（a，2）到直线x﹣y+3＝0的距离d＝ ＝
Rt△CBM中由勾股定理可得，d2+BM2＝BC2
∵a＞0
∴ 或a＝ （舍去）
故答案为：
【点评】本题主要考查了直线与圆相交的 弦的应用，出了此类问题一般有两个方法：①直接利用弦长
公式求解，该方法思路清晰但需要一定的计算②利用本题中的解法，结合弦长及弦心距及半径三者之
间的关系进行求解．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】二十一．直线与圆的位置关系（共3小题）
47．（2023•历下区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y＝2x﹣4．设圆C的半
径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求得圆C的方程，再利用|MA|＝2|MO|求得点M满足的圆的方程，进而利用两圆有公共点列
出关于a的不等式，解之即可求得a的取值范围．
【解答】解：圆心C的横坐标为a，则圆心C的坐标为（a，2a﹣4），
则圆C的方程（x﹣a）2+（y﹣2a+4）2＝1，
设M（x，y），由|MA|＝2|MO|，
可得 ，整理得x2+（y+1）2＝4，
则圆（x﹣a）2+（y﹣2a+4）2＝1与圆x2+（y+1）2＝4有公共点，
则 ，
即1≤5a2﹣12a+9≤9，解之得 ．
故选：D．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
48．（2023•涪城区校级模拟）已知动圆C过M（4，0），N（0，2）两点，圆心C关于直线x﹣y＝0的对
称点为E，过点E的直线交圆于A，B两点，当圆C的面积最小时，|AB|的最小值是（ ）
A．4 B．2 C．2 D．2
【分析】当该圆的面积最小时，MN是圆C的一条直径；点C是线段AB的中点（过定圆内一定点作圆
的弦，以该定点为中点的弦最短）时，|AB|最小．
【解答】解：根据题意知，∵动圆C的半径不小于 |MN|＝ ＝ ，
即当该圆的面积最小时，MN是圆C的一条直径，
∴此时点C是线段MN的中点，即点C（2，1），点E的坐标是（1，2），
∴|CE|＝ ＝ ，
∴点E位于圆C内，点E是线段AB的中点（过定圆内一定点作圆的弦，以该定点为中点的弦最短）时，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】|AB|最小，其最小值等于 ＝2 ．
故选：D．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是找到当圆C的面积最小时，该圆的直径是
线段MN，是中档题．
49．（2023•武汉模拟）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1上两动点A，B满足△ABC为正三角形，O为
坐标原点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合弦长公式，即可求解点AB的中点N的轨迹方程，根据向量的运算可得，
＝2| |，再结合点与圆的位置关系，即可求解．
【解答】解：∵圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，∴圆C的圆心坐标C（1，1），半径R＝1，
设圆心到直线l的距离为d，
∵△ABC为正三角形，∴|AB|＝r＝1，由圆的弦长公式，
可得|AB|＝2 ，即2 ＝1，解得d＝ ，
设AB的中点为N，|CN|＝ ，
∴点N的轨迹表示以C（1，1）为圆心，以 为半径的圆，
∴点M的轨迹方程为（x﹣2）2+y2＝ ，
根据向量的运算可得， ＝2| |，
又∵|OC|＝ ，
∴|OC|− ≤| |≤|OC|+ ，即 ﹣ ≤| |≤ + ，
即 的取值范围为[2 ﹣ ，2 + ]．
故选：D．
【点评】本题主要考查轨迹方程的求解，需要学生较强的综合能力，属中档题．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】二十二．圆与圆的位置关系及其判定（共2小题）
50．（2023•沙坪坝区校级模拟）圆C ：x2+y2+4x﹣2y﹣10＝0与圆C ：x2+y2＝r2（r＞0）的公共弦恰为圆
1 2
C 的直径，则圆C 的面积是（ ）
1 2
A．2 B．4 C．10 D．20
【分析π】对两圆的方程作差π即可得到两圆的公共弦所π在的直线方程，据题π意，C
1
（﹣2，1）经过该直线，
可求出r，即可求解．
【解答】解：因为圆C ：x2+y2+4x﹣2y﹣10＝0，①
1
圆C ：x2+y2＝r2，②
2
①﹣②可得：4x﹣2y﹣10+r2＝0，此即两圆的公共弦所在直线方程，
由题意，公共弦所在直线为圆C 的直径，
1
则圆心C （﹣2，1）满足直线方程，即﹣8﹣2﹣10+r2＝0，即r2＝20，
1
则圆C 的面积为 r2＝20 ．
2
故选：D． π π
【点评】本题考查两圆的相交弦问题，属基础题．
51．（2023•山西模拟）已知圆O：x2+y2＝1与圆C：（x﹣3）2+y2＝r2外切，直线l：x﹣y﹣5＝0与圆C相
交于A，B两点，则|AB|＝（ ）
A．4 B．2 C． D．
【分析】由两圆外切列方程求r，再求圆心C到直线l的距离，结合弦长公式求弦长．
【解答】解：圆O：x2+y2＝1的圆心O的坐标为（0，0），半径为1，
圆C：（x﹣3）2+y2＝r2的圆心C的坐标为（3，0），半径为|r|，
因为圆O与圆C外切，所以|OC|＝1+|r|，所以r2＝4，
设圆心C（3，0）到直线l的距离为d，则 ，
所以 ．
故选：D．
【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
二十三．两圆的公切线条数及方程的确定（共2小题）
52．（2023•荔湾区校级模拟）经过直线y＝2x+1上的点作圆x2+y2﹣4x+3＝0的切线，则切线长的最小值为
（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．2 B． C．1 D．
【分析】根据题意，求出圆的圆心，设其圆心为M，P为直线y＝2x+1上任意一点，分析可得当直线
MP与直线y＝2x+1垂直时，|MP|最小，此时切线长最小，由此计算可得答案．
【解答】解：根据题意，圆x2+y2﹣4x+3＝0，即（x﹣2）2+y2＝1，
其圆心为（2，0），半径r＝1，设点M（2，0），P为直线y＝2x+1上任意一点，
当直线MP与直线y＝2x+1垂直时，|MP|最小，此时切线长最小，
此时|MP|的值就是点M到直线y＝2x+1的距离，故|MP| ＝d＝ ＝ ，
min
且切线长的最小值为 ＝2；
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及切线的长的计算，属于基础题．
53．（2023•渝中区校级模拟）已知圆O ：x2+y2＝1，圆O ：（x﹣4）2+y2＝4，请写出一条与两圆都相切
1 2
的直线的方程： 或 或 或
（答案不唯一） ．
【分析】由题可知：两圆外离，所以两圆有 4条公切线，设切线与两圆圆心连线的交点为 A（x ，
0
y ），分①当切线为外公切线和②当切线为内公切线两种情况分别计算即可．
0
【解答】解：由题可知：两圆外离，所以两圆有4条公切线，设切线与两圆圆心连线的交点为A（x ，
0
y ）．
0
①当切线为外公切线时： ，所以 ，
得 ，所以A（﹣4，0），设公切线l：y＝k（x+4），所以圆心O 到切线l的距离 ，
1
解得 ，所以公切线为 或 ；
②当切线为内公切线时： ，所以 ，所以
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
设公切线 ，所以圆心O 到切线l的距离 ，解得 ，
1
所以公切线为 或 ．
故答案为： 或 或 或 （答案不
唯一）．
【点评】本题考查了两圆的公切线方程的计算，属于中档题．
二十四．相交弦所在直线的方程（共3小题）
54．（2023•山西模拟）已知圆 和 交于A，B两点，则|AB|＝
（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求得相交弦所在直线方程，然后根据圆的弦长的求法求得|AB|．
【解答】解：将x2+（y﹣2）2＝5和（x+2）2+y2＝5相减得直线AB：y＝﹣x，
点（0，2）到直线x+y＝0的距离 ，
所以 ．
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
55．（2023•和平区校级一模）圆x2+y2﹣4＝0与圆x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦的长为 2 ．
【分析】两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式，求出第一个圆心到直线的距离，再由第一个圆的
半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长．
【解答】解：圆x2+y2﹣4＝0与圆x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的方程相减得：x﹣y+2＝0，
由圆x2+y2﹣4＝0的圆心（0，0），半径r为2，
且圆心（0，0）到直线x﹣y+2＝0的距离d＝ ＝ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则公共弦长为2 ＝2 ＝2 ．
故答案为：2 ．
【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键．
56．（2023•红桥区一模）已知两圆x2+y2＝10和（x﹣1）2+（y﹣3）2＝20相交于A，B两点，则直线AB
的方程是 x + 3 y ＝ 0 ．
【分析】当判断出两圆相交时，直接将两个圆方程作差，即得两圆的公共弦所在的直线方程．
【解答】解：因为两圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标坐标既满足第一个圆的方程，又满足第
二个圆的方程
将两个圆方程作差，得直线AB的方程是：x+3y＝0，
故答案为 x+3y＝0．
【点评】本题考查相交弦所在的直线的方程，当两圆相交时，将两个圆方程作差，即得公共弦所在的直
线方程．
二十五．直线和圆的方程的应用（共2小题）
57．（2023•河西区一模）与直线x﹣y﹣4＝0和圆x2+y2+2x﹣2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是 （ x
﹣ 1 ） 2 + （ y + 1 ） 2 ＝ 2 ．
【分析】由题意先确定圆心的位置，再结合选项进行排除，并得到圆心坐标，再求出所求圆的半径．
【解答】解：由题意圆x2+y2+2x﹣2y＝0的圆心为（﹣1，1），半径为 ，
∴过圆心（﹣1，1）与直线x﹣y﹣4＝0垂直的直线方程为x+y＝0，
所求的圆的圆心在此直线上，
又圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4＝0的距离为 ＝3 ，
则所求的圆的半径为 ，
设所求圆心坐标为（a，b）
则 ，且a+b＝0
解得a＝1，b＝﹣1
故答案为（x﹣1）2+（y+1）2＝2
【点评】本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，数形结合的思想，考查计算能力．
58．（2023•南关区校级模拟）平面直角坐标系xOy中，已知MN是 C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2的一条
⊙
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】弦，且CM⊥CN，P是MN的中点．当弦MN在圆C上运动时，直线l：x﹣3y﹣5＝0上存在两点A，
B，使得∠APB≥ 恒成立，则线段AB长度的最小值是 2 +2 ．
【分析】依题意，点P在以C为圆心以1为半径的圆上，要使得∠APB≥ 恒成立，则点P在以AB为
直径的圆内部，所以AB的最小值为圆的直径的最小值．
【解答】解：因为P为MN的中点，所以CP⊥MN，又因为CM⊥CN，所以三角形CMN为等腰直角三
角形，所以CP＝1，即点P在以C为圆心，以1为半径的圆上，点P所在圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣
2）2＝1，
要使得∠APB≥ 恒成立，则点P所在的圆在以AB为直径的圆的内部，
而AB在直线l：x﹣3y﹣5＝0上，
C到直线l：x﹣3y﹣5＝0的距离d＝ ＝ ．
所以以AB为直径的圆的半径的最小值为r＝ +1，
所以AB的最小值为2r＝2 +2．
故答案为：2 +2．
【点评】本题考查了直线和圆的关系的应用，考查了点与圆的位置关系，圆的性质等，属于难题．
二十六．圆方程的综合应用（共2小题）
59．（2023•和平区校级一模）已知圆C ：（x+3）2+y2＝a2（a＞7）和C ：（x﹣3）2+y2＝1，动圆M与圆
1 2
C ，圆C 均相切，P是△MC C 的内心，且 ，则a的值为（ ）
1 2 1 2
A．9 B．11 C．17或19 D．19
【分析】根据题意，由圆的方程求出两个圆的圆心和半径，由动圆M与圆C ，圆C 均相切，可得
1 2
C M+C M＝a+1或3C C ＝18＝a﹣1，由 ，可得C M+C M＝3C C ，从
1 2 1 2 1 2 1 2
而可求得a的值．
【解答】解：根据题意：圆C ：（x+3）2+y2＝a2（a＞7），其圆心C （﹣3，0），半径R ＝a，
1 1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】圆C ：（x﹣3）2+y2＝1，其圆心C （﹣3，0），半径R ＝1，
2 2 2
又因为a＞7，所以圆心距|C C |＝6＜R +R ＝a+1，所以圆C 内含于圆C ，如图1，
1 2 1 2 2 1
因为动圆M与圆C ，圆C 均相切，设圆M的半径为r，
1 2
分2种情况讨论：
①动圆M与圆C 内切，与圆C 外切（r＜a），
1 2
则有C M＝R ﹣r＝a﹣r，C M＝R +r＝1+r，
1 1 2 2
所以C M+C M＝a+1，
1 2
即M的轨迹为以C ，C 为焦点，长轴长为a+1的椭圆，
1 2
因为P为△MC C 的内心，设内切圆的半径为r ，
1 2 0
又由 ，
则有所以 ×C M×r + ×C M×r ＝3× ×C C ×r ，
1 0 2 0 1 2 0
所以C M+C M＝3C C ，
1 2 1 2
所以3C C ＝18＝a+1，
1 2
所以a＝17，
②圆C 内切于动圆M，动圆M内切于圆C ，
2 1
则有C M＝R ﹣r＝a﹣r，C M＝R +r＝r﹣1，
1 1 2 2
所以C M+C M＝a﹣1，
1 2
同理可得：3C C ＝18＝a﹣1，则有a＝19；
1 2
综合可得：a＝17或19；
故选：C．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点评】本题考查圆与圆的位置关系，涉及轨迹方程的求法以及椭圆的定义，属于难题．
60 ． （ 2023• 浑 南 区 校 级 模 拟 ） 已 知
， C 与
1
⊙
C 相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则r r 为 ．
2 1 2
⊙【分析】设两圆的公切线为y＝7x+t，求得两圆的圆心，由直线和圆相切的条件：d＝r，两圆相切的条
件，可得t＝12或﹣18，计算可得所求值．
【解答】解：设两圆的公切线为y＝7x+t，即7x﹣y+t＝0，
已知圆心C （2，2），C （﹣1，﹣1），
1 2
设C ，C 到公切线的距离为d ，d ，
1 2 1 2
可得d ＝r ＝ ，d ＝r ＝ ，
1 1 2 2
由于公切线在两圆的同侧，
r +r ＝ ﹣ ＝ ＝|C C |＝3 ，
1 2 1 2
即|t+3|＝15，可得t＝12或﹣18，
当t＝12时，r r ＝ ＝ ；
1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当t＝﹣18时，r r ＝ ．
1 2
综上可得r r ＝ ．
1 2
故答案为： ．
【点评】本题考查直线和圆的位置关系，主要是相切的条件：d＝r，考查化简运算能力，属于中档题．
六、易错分析
易错点1：使用两平行线间距离公式忽略系数相等致错
1． 求两条平行直线y=3x+5与6x―2y+3=0间的距离．
【错解】直线方程y=3x+5可化为3x―y+5=0，
则直线3x―y+5=0与6x―2y+3=0间的距离 ．
【错因】6x―2y+10=0与6x―2y+3=0中x、y的系数不对应相等，不能直接用公式。在使用两条平行直线
间的距离公式时，一定要注意：两条直线方程均为一般式，且x、y的系数对应相等，而不是对应
成比例，因此当直线方程不满足此条件时，应先将方程变形．
【正解】 经变形得两条平行直线的方程为6x―2y+10=0和6x―2y+3=0，
故它们之间的距离为 ．
易错点2：有关截距相等问题忽略截距为零致错
2、直线l过点 ,且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为
【错解】因为直线l过点 ,且在两坐标轴上的截距相等,设直线l的方程为 ,
则 ,所以 ,故直线l的方程为 ,即 .【答案】
。
【错因】错误原因是忽略直线l过原点,截距为零的情况.
【正解】若直线l过原点,满足题意,此时直线l的方程为 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若直线l不过原点,设直线l的方程为 ,则 ,所以 ,
故直线l的方程为 ,即 .
综上，直线l的方程为 或 .
易错点3：已知两直线平行求参数的值未验证致错
3．已知直线ax＋3y＋1＝0与x＋(a－2)y＋a＝0平行，则a的值为________．
【错解】令3×1＝a(a－2)，解得a＝－1或a＝3. 答案：－1或3
【错因】未验证a的值会不会使两直线平行。
【正解】令3×1＝a(a－2)，解得a＝－1或a＝3.
当a＝－1时，两条直线的方程都为x－3y－1＝0，即两条直线重合，故舍去；
当a＝3时，两条直线的方程分别为3x＋3y＋1＝0，x＋y＋3＝0，两条直线平行．
∴a的值为3.
易错点4：未讨论参数的取值致错
:4.已知直线 ： ， ： ， ，则“ ”是“ ”的（
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【错解】C，因为 ，则 ，即 ，解得 ，
所以“ ”是“ 或 ”的充要条件.
【错因】未考虑 的情况，
【正解】A，（1）当 时， 因为 ，则 ，即 ，解得 ，
（2）当 时， 直线 的方程分别为 ，显然 ，
由上可知，若 ，则 或 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以“ ”是“ 或 ”的充分不必要条件.
易错点5；误用点线距离公式致错
5.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是 ( )
A． B． C． D．
|11(1)11| 2
 .故选C
1212 2
【错解】由点到直线的距离公式知
【错因】在运用点到直线的距离公式时，没有理解直线Ax+By+C=0中，B的取值，B应取-1,而不是取1.
|11(1)(1)1| 3 2
 故选D.
1212 2
【正解】由点到直线的距离公式知
易错点6：忽视切线斜率不存在致错
6．过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为( )
A．3x＋4y－4＝0
B．4x－3y＋4＝0
C．x＝2或4x－3y＋4＝0
D．y＝4或3x＋4y－4＝0
【错解】选B，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，则＝1，
解得k＝，得切线方程为4x－3y＋4＝0.
【错因】没考虑斜率不存在的情况。
【正解】（1）当斜率不存在时，直线x＝2与圆相切；
（2）当斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，
则＝1，解得k＝，得切线方程为4x－3y＋4＝0.
综上，得切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
易错点7：混淆直线与圆有公共点与直线与圆相交致错
7.若曲线C：x2+(y+1)2=1与直线 ：x+y+a=0有公共点，则实数a的取值范围为__________．
x2(y1)2 1

xya0
【错解】因为曲线C与直线 有公共点，故联立方程得 ，
0 21a 21.
消去x，化简得2y2+2(a+1)y+a2=0,则
.
则实数a的取值范围为 。
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【错因】忽略了直线与圆相切时的情况。
x2(y1)2 1

xya0
【正解】因为曲线C与直线 有公共点，故联立方程得 ，
消去x，化简得2y2+2(a+1)y+a2=0,则 ，
.
则实数a的取值范围为 。
易错点8：忽略方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件致错
8.已知圆C的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0,过点A(1,2)作圆的切线有两条,求a的取值范围．
【错解】将圆C的方程配方有(x＋)2＋(y＋1)2＝.
∴圆心C的坐标为(－,－1),半径r＝.
当点A在圆外时,过点A可以作圆的两条切线,
∴|AC|>r, 即 >,
化简得a2＋a＋9>0,Δ＝1－4×9＝－35<0,∴a∈R.
【错解】错解中只考虑了点A在圆C外部,而忽视了方程x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0表示圆的条件．
注意，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是D2＋E2－4F>0.
【正解】将圆C的方程配方有(x＋)2＋(y＋1)2＝, ∴>0,①
∴圆心C的坐标为(－,－1),半径r＝.
当点A在圆外时,过点A可作圆的两条切线,
∴|AC|>r,即 >,化简得a2＋a＋9>0.②，
由①②得－<a<,∴a的取值范围是－<a<.
易错点9：忽视隐含条件致错
9．若点(1,2)在圆(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2的外部，则实数a的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.
【错解】选A，∵点(1,2)在圆的外部，∴(1＋a)2＋(2－a)2＞2a2，即5－2a＞0，a＜，
∴实数a的取值范围为
【错因】忽略了隐含条件a≠0，
【正解】选B ∵点(1,2)在圆的外部，∴(1＋a)2＋(2－a)2＞2a2，即5－2a＞0，a＜，又2a2＞0，∴a≠0，∴实
数a的取值范围为(－∞，0)∪.
易错点10：由直线的一般式方程求斜率时忽略符号致错
10．已知过点A(-2,m)和B(M,4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为 ( )
A.0 B.-8 C.2 D.10
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】m4
2
2m
【错解】A，两直线平行故斜率相等可得： ∴m=0.故选A.
【错因】直线2x+y-1=0的斜率是 ，而不是2，注意移项时要变号。
m4
2m8故选B.
2m
【正解】B，利用两直线平行斜率相等可得：
七、刷常考
一．选择题（共6小题）
1．（2023•大兴区模拟）点P在函数y＝ex的图象上．若满足到直线y＝x+a的距离为 的点P有且仅有3
个，则实数a的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【分析】要满足到直线y＝x+a的距离为 的点P有且仅有3个，则需要直线与函数y＝ex的图象相交，
而且点P在函数y＝ex的图象上满足在直线一侧一个点到直线距离为 ，另外一侧两个点到直线距离为
．于是就涉及到切线问题，需要求导数，求切点．从而解决问题．
【解答】解：过函数y＝ex的图象上点P（x ，y ）作切线，使得此切线与直线y＝x+a平行，
0 0
又y′＝ex，于是 ，则x ＝0，y ＝1；
0 0
∴P（0，1），
于是当点P到直线y＝x+a的距离为 时，则满足到直线y＝x+a的距离为 的点P有且仅有3个，
∴ ，解得a＝﹣1或a＝3
又当a＝﹣1时，函数y＝ex的图象与直线y＝x﹣1没有交点，从而只有两个点到直线距离为 ，所以
不满足；
故a＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了两个函数图象位置关系、求曲线切线方程和点到直线距离，考查了学生的数形结合
思想和转化能力，属于中档题．
2．（2023•苍梧县校级模拟）若圆x2+y2﹣ax+2y+1＝0与圆x2+y2＝1关于直线y＝x﹣1对称，过点C（﹣
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】a，a）的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（ ）
A．y2﹣4x+4y+8＝0 B．y2﹣2x﹣2y+2＝0
C．y2+4x﹣4y+8＝0 D．y2﹣2x﹣y﹣1＝0
【分析】求出两个圆的圆心坐标，两个半径，利用两个圆关于直线的对称知识，求出a的值，然后求出
过点C（﹣a，a）的圆P与y轴相切，就是圆心到C的距离等于圆心到y轴的距离，即可求出圆心P的
轨迹方程．
【解答】解：圆x2+y2﹣ax+2y+1＝0的圆心（ ），
因为圆x2+y2﹣ax+2y+1＝0与圆x2+y2＝1关于直线y＝x﹣1对称，
所以（ ）满足直线y＝x﹣1方程，解得a＝2，
过点C（﹣2，2）的圆P与y轴相切，圆心P的坐标为（x，y），
所以 解得：y2+4x﹣4y+8＝0，
故选：C．
【点评】本题是中档题，考查圆关于直线对称的圆的方程，动圆圆心的轨迹方程问题，考查转化思想，
按照轨迹方程求法步骤解答，是常考题．
3．（2023•海淀区二模）已知动直线l与圆O：x2+y2＝4交于A，B两点，且∠AOB＝120°．若l与圆（x﹣
2）2+y2＝25相交所得的弦长为t，则t的最大值与最小值之差为（ ）
A． B．1 C． D．2
【分析】根据题意当动直线经过圆（x﹣2）2+y2＝25的圆心时，可得到弦长的最大值为该圆的直径，再
设线段AB的中点为C，从而得到动直线l在圆x2+y2＝1上做切线运动，当动直线l与x轴垂直且点C的
坐标为（﹣1，0）时，即可得到弦长的最小值，进而即可求解．
【解答】解：由题意可知圆（x﹣2）2+y2＝25的圆心（2，0）在圆O：x2+y2＝4上，
则当动直线经过圆心，即点A或B与圆心（2，0）重合时，如图1，
此时弦长t取得最大值，且最大值为t ＝2×5＝10；
max
设线段AB的中点为C，
在△AOB中，由OA＝OB＝2，且∠AOB＝120°，则OC＝1，
则动直线l在圆x2+y2＝1上做切线运动，
所以当动直线l与x轴垂直，且点C的坐标为（﹣1，0）时，如图2，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】此时弦长t取得最小值，且最小值为 ，
所以t的最大值与最小值之差为2．
故选：D．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
4．（2023•武功县校级模拟）已知圆O：x2+y2＝4，M（x ，y ）为圆O上位于第一象限的一点，过点M作
0 0
圆O的切线l．当l的横纵截距相等时，l的方程为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用过圆上点的切线的性质可得OM⊥l，利用点M（x ，y ）表示出切线方程，结合横纵截距
0 0
相等，即得解．
【解答】解：由题意，点M在第一象限，故过点M的的切线斜率存在，
点M（x ，y ）在圆上，故OM⊥l，即k k＝﹣1，
0 0 OM l
∵k ＝ ，∴k＝﹣ ，
OM l
故直线l的方程为：y﹣y ＝﹣ （x﹣x ），
0 0
则xx +yy ＝x 2+y 2＝4，
0 0 0 0
令x＝0，y＝ ；y＝0，x＝ ，
当l的横纵截距相等时， ＝ ，即x ＝y ，
0 0
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又x 2+y 2＝4，x ＞0，y ＞0，解得：x ＝ ，y ＝ ，
0 0 0 0 0 0
即 x+ y＝4，即x+y﹣2 ＝0．
故选：A．
【点评】本题考查直线截距式方程及辨析，由直线与圆的位置关系求参数，过圆上一点的圆的切线方程，
属于中档题．
5．（2023•海淀区校级模拟）已知直线l：y＝mx﹣m﹣1，P为圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0上一动点，设P
到直线l距离的最大值为d（m），当d（m）最大时，m的值为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】先得出直线过定点A（1，﹣1），再求出圆心坐标，由圆的对称性以及斜率公式得出m的值．
【解答】解：因为l：y﹣（﹣1）＝m（x﹣1），所以直线l过定点A（1，﹣1），
圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0可化为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，
则圆心C（2，1），r＝2，
由圆的对称性可知，当AC⊥l时，P到直线l距离的最大，则 ．
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．
6．（2023•阳泉二模）已知圆C：x2+y2﹣2x＝0，过直线l：y＝x+2上的动点M作圆C的切线，切点为N，
则|MN|的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】根据题意易知当圆心C到直线l上点的距离最小时，|MN|最小，利用点到直线的距离公式计算
即可．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x＝0，圆心C（1，0），半径r＝1，
设圆心C到直线l：x﹣y+2＝0的距离为d，则d≤|CM|，
易得CN⊥MN，则|MN|2＝|CM|2﹣r2，
故当圆心C到直线l上点的距离最小时，即圆心到直线的距离d，此时|MN|最小，
因为 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故|MN|最小值是 ．
故选：D．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的弦长公式的应用，化归转化思想，属中档题．
二．多选题（共13小题）
（多选）7．（2022•潍坊一模）已知圆C：x2+y2﹣4y+3＝0，一条光线从点P（2，1）射出经x轴反射，下
列结论正确的是（ ）
A．圆C关于x轴的对称圆的方程为x2+y2+4y+3＝0
B．若反射光线平分圆C的周长，则入射光线所在直线方程为3x﹣2y﹣4＝0
C．若反射光线与圆C相切于A，与x轴相交于点B，则|PB|+|BA|＝2
D．若反射光线与圆C交于M、N两点，则△CNM面积的最大值为
【分析】直接利用点关于线的对称，直线与圆的位置关系，两点间的距离公式和三角形的面积公式的应
用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：由于圆C的方程为：x2+y2﹣4y+3＝0，转换为标准式为x2+（y﹣2）2＝1，则圆C
关于x轴对称的圆的方程为x2+（y+2）2＝1，即x2+y2+4y+3＝0，故A正确；
对于 B：反射光线平分圆 C 的周长，故该反射光线经过圆心（0，2），故入射光线的斜率 k＝
，所以入射光线的方程为 ，整理得3x﹣2y﹣4＝0，故B正确；
对于C：由于反射光线经过点P（2，1）的关于x轴的对称点P′（2，﹣1），则|PB|+|BA|＝|P′A|+|BA|
＝|P′A|，
如图所示：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以|P'A|＝ ，所以|PB|+|BA|＝|2 ，故C错误；
对于D：设∠CMN＝ ， ，则圆心C（0，2）到直线y+1＝k（x﹣2）的距离d＝sin ；
|MN|＝2cos ， θ θ
θ
所以 ，当 时，△CNM面积的最大值为 ，故D
正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查的知识要点：直线和圆的位置关系，直线的方程的求法，点关于线的对称，两点间的
距离公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
（多选）8．（2023•广陵区校级模拟）点P是直线y＝3上的一个动点，A，B是圆x2+y2＝4上的两点．则
（ ）
A．存在P，A，B，使得∠APB＝90°
B．若PA，PB均与圆O相切，则弦长AB的最小值为
C．若PA，PB均与圆O相切，则直线AB经过一个定点
D．若存在A，B，使得 ，则P点的横坐标的取值范围是
【分析】根据每个选项的条件结合圆的几何性质逐项计算可求解．
【解答】解：当直线PA，PB均与圆O相切，且OP是点O到直线y＝3的距离最大，∠APB最大，
此时cos∠APB＝1﹣2sin2∠APO＝1﹣2×（ ）2＝ ＞0，所以∠APB为锐角，
所以不存在P，A，B，使得∠APB＝90°，故A错误；
若PA，PB均与圆O相切，S四边形OAPB ＝ |AB|•|OP|，又S四边形OAPB ＝ ×|PA|•|OA|×2＝|PA|•|OA|，
∴|AB|＝2× ＝4 ＝4 ＝，当|OP|最小时，|AB最小，
又|OP|的最小值即为O到直线y＝3的距离3，∴|AB|的最小值为 ，故B正确；
设P（m，3），由O，A，P，B四点共圆可得以OP为直线径的圆的方程为（x﹣ ）2+（y﹣ ）2＝
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
即x2+y2﹣mx﹣3y＝0，∴公共弦AB所在直线方程为mx+3y＝4，
直线mx+3y＝4过定点（0， ），故C正确；
若存在A，B，使得 ，则需PA，PB均与圆相切时， ，
则1﹣2sin2∠APO＝ ，可得sin∠APO＝ ，则|OP|＝3|OA|＝6，
设P（m，3），可得 ≤3×2＝6，解得﹣3 ≤m≤3 ，
所以P点的横坐标的取值范围是 ，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的几何性质，考查转化思想与运算能力，属中档题．
（多选）9．（2023•蕉城区校级二模）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，
0）（m＞0）若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的可能取值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．8
【分析】由圆C的方程求得圆心坐标与半径，可得圆心C到O（0，0）的距离为5，得到圆C上的点到
点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB＝90°，可得PO＝ |AB|＝m，从而得到m的取值范
围，结合选项得答案．
【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（3，4），半径为1，
∵圆心C到O（0，0）的距离为5，
∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，
再由∠APB＝90°，可得以AB为直径的圆和圆C有交点，
得PO＝ |AB|＝m，即4≤m≤6，
结合选项可得，m的值可能取6和5．
故选：BC．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点评】本题考查直线与圆、圆与圆位置关系的应用，考查化归与转化思想、数形结合的解题思想，是
中档题．
（多选）10．（2023•山西模拟）如图，在平面直角坐标系 xOy中，线段AB过点P（1，0），且|AO|＝|
AB|，若 ，则下列说法正确的是（ ）
A．点A的轨迹是一个圆
B．∠AOP的最大值为
C．当A，O，B三点不共线时，△ABO面积的最大值为2
D． 的最小值为
【分析】由条件可得 ，设A（x，y），由此可化得（x﹣4）2+y2＝12，即可判断A，当直线
OA与圆（x﹣4）2+y2＝12相切时，∠AOP最大，由此可判断B， ，求出S△APO 的
最大值可判断C，当A，O，P三点共线且点P位于A，O之间时， 最小，求出最小值可判断D．
【解答】解：因为|AO|＝|AB|、 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，设A（x，y），则 ，
化简得（x﹣4）2+y2＝12，所以点A的轨迹是以（4，0）为圆心， 为半径的圆，故A正确，
当直线OA与圆（x﹣4）2+y2＝12相切时，∠AOP最大，
设直线OA的方程为y＝kx，则有 ，解得 ，
所以此时直线OA的倾斜角为 ，即∠AOP的最大值为 ，故B正确，
因为 ，所以 ，
因为 ，|y |的最大值为 ，
A
所以S△APO 的最大值为 ，S△ABO 的最大值为2，故C正确，
当A，O，P三点共线且点P位于A，O之间时， 最小，最小值为 ，故D错误，
故选：ABC．
【点评】本题考查动点的轨迹方程，考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）11．（2023•濠江区校级模拟）如图，点 M是棱长为 1的正方体 ABCD﹣A B C D 中的侧面
1 1 1 1
ADD A 上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．不存在点M满足CM⊥平面C BD
1
B．存在无数个点M满足CM⊥AD
1
C．当点M满足 时，平面BD M截正方体所得截面的面积为
1
D．满足|MD|＝2|MD |的点M的轨迹长度是
1
【分析】对于A：根据线面垂直关系可得A C⊥平面C BD，分析判断；对于B：根据线面垂直关系可得
1 1
AD ⊥平面A DCB ，分析判断；对于C：根据平行线的性质以及利用空间向量分析运算求截面，进而可
1 1 1
求截面面积；对于D：利用空间向量求点M的轨迹，进而求点M的轨迹长度．
【解答】解：对于选项A：连接AC，A C ，
1 1
因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，
因为AA ⊥平面ABCD，且BD 平面ABCD，
1
所以A A⊥BD，AC∩A A＝A，⊂AC，A A 平面A AC，
1 1 1 1
所以BD⊥平面A ACC ，且A C 平面A⊂ACC ，
1 1 1 1 1
可得BD⊥A C， ⊂
1
同理可证BC ⊥A C，
1 1
又BD∩BC ＝B，BD 平面C BD，BC 平面C BD，
1 1 1 1
所以A C⊥平面C BD⊂， ⊂
1 1
又点M是面ADD A 上的一个动点（包含边界），
1 1
所以当M与A 重合时，CM⊥平面C BD，故A错误；
1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于选项B：连接A D，B C，CD⊥侧面ADD A ，AD 侧面ADD A ，则CD⊥AD ，
1 1 1 1 1 1 1 1
又因为AD ⊥A D，A D∩DC＝D，A D 平面A DCB ，⊂DC 平面A DCB ，
1 1 1 1 1 1 1 1
所以AD ⊥平面A DCB ， ⊂ ⊂
1 1 1
可知当M在线段A D上时，有CM⊥AD ，
1 1
故存在无数个点满足CM⊥AD ，故B正确；
1
对于选项C：延长D M交D E于点E，
1 1
又 ，则M为线段A D靠近点A 的三等分点，且A A∥D D，则 ，
1 1 1 1
则E为线段A A的中点，
1
如图，以D点为原点建立空间直角坐标系，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
所以 ，
设平面BD M的法向量为 ，则 ，则 ，
1
则可取 ，
设平面BD M∩CC ＝F，点F（0，1，c），则 ，
1 1
则 ，解得 ，
则 ，故 ，
可得 ，即 ，
且 ，
故截面BED F面积 ，故C正确；
1
对于选项D：
因为正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为1，
1 1 1 1
所以设M（x，0，z），D（0，0，0），D （0，0，1），
1
所以 ， ，
因为|MD|＝2|MD |，
1
所以 ，
化简得 ，
所以点M的轨迹是一段以 为圆心，半径为 的圆弧，
设圆弧与A D ，DD 分别交于点P，Q，
1 1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】取x＝0，则 ，即 ；取z＝1，则 ，即 ；
则 ，则 ，
又 ，
则 ，
∴轨迹长度是 ，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查空间向量在立体几何中的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
（多选）12．（2023•安徽模拟）已知O为坐标原点，动点P满足|PO|＝1，记动点P的轨迹为 ，设A，B
为轨迹 上的两点，M（2，0），N（0，2），Q为直线 MN 上一动点，则下列结论中Ω正确的是
（ ）Ω
A．直线MN与轨迹 有两个公共点
B．若直线QA为轨迹Ω 的一条切线，则|QA|的最小值为1
Ω
C．当 时， 的最大值是
D．若QA，QB为轨迹 的两条切线，则四边形QAOB面积的最小值为1
【分析】由条件求出点ΩP的轨迹方程，由此确定其轨迹，结合直线与圆的位置关系判断A，再求切线长
的最小值，由此判断BD，结合向量的运算判断C．
【解答】解：依题意，动点P的轨迹为以原点O（0，0）为圆心，1为半径的圆，
因为M（2，0），N（0，2），
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以直线MN的方程为x+y﹣2＝0，
因为圆心O（0，0）到直线的距离 ，
所以直线MN与轨迹 没有公共点，A错误；
因为直线QA为轨迹 Ω的一条切线，
所以OA⊥QA， Ω
所以 ，
因为点O（0，0）到直线的距离 ，
所以 ，当且仅当OQ⊥MN且Q在线段MN上时取等号，
又|OA|＝1，所以|QA|≥1，当且仅当OQ⊥MN且Q在线段MN上时取等号，
故|QA|的最小值为1，
所以△AOQ的面积 ，
同理可得△BOQ的面积 ，
所以四边形QAOB面积S＝S△AOQ +S△BOQ ≥1，
当且仅当OQ⊥MN且Q在线段MN上时取等号，
所以四边形QAOB面积的最小值为1，所以B，D 正确；
若 ，设圆心O（0，0）到直线AB的距离为d′，
则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设AB的中点为E，则 ，
所以 ，
因为Q为直线MN上一动点，所以 无最大值，
所以 无最大值，C错误．
故选：BD．
【点评】本题考查动点的轨迹方程，考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）13．（2023•泉州模拟）若直线y＝kx+1与圆C：（x﹣2）2+y2＝9相交于A，B两点，则|AB|的长
度可能等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】求得圆心与半径，直线过的定点坐标，可求直线与圆相交的弦|AB|的取值范围．
【解答】解：由圆C：（x﹣2）2+y2＝9，可得圆心C（2，0），半径r＝3，
由直线l方程y＝kx+1，可知直线l过定点D（0，1），
由（0﹣2）2+12＝5＜9，∴点D在圆内，
∴当CD垂直直线l时，|AB|的长最短，
又|CD|＝ ＝ ，∴|AB| ＝2 ＝4，
min
直线l过圆心时，|AB|的最大值为圆的直径2r＝6，
∴|AB|的长度的取值范围为[4，6]．
故选：CD．
【点评】本题考查直线圆的位置关系，考查圆中的弦长的求法，属中档题．
（多选）14．（2023•深圳模拟）设直线系M：xcos +ysin ＝1+2sin （0≤ ≤2 ），下列命题中的真命题
有（ ） θ θ θ θ π
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．M中所有直线均经过一个定点
B．存在定点P不在M中的任一条直线上
C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上
D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
【分析】由点到直线的距离公式说明M的集合判断A；举例说明B正确；由任意正n边形都有内切圆判
断C；画图说明D错误．
【 解 答 】 解 ： 点 P （ 0 ， 2 ） 到 M 中 每 条 直 线 xcos +ysin ﹣ 1﹣ 2sin ＝ 0 的 距 离 d ＝
θ θ θ
，
即M为圆C：x2+（y﹣2）2＝1的全体切线组成的集合，则M中存在两条平行直线，故A错误；
∵点（0，2）不适合直线xcos +ysin ﹣1﹣2sin ＝0，∴存在定点P不在M中的任一条直线上，故B正
确； θ θ θ
对任意n≥3、存在正n边形使其内切圆为圆C：x2+（y﹣2）2＝1，故C正确；
如图：
M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查恒过定点的直线，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是基础题．
（多选）15．（2023•晋中三模）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣ea）2＝1，则（ ）
A．存在两个不同的a，使得圆C经过坐标原点
B．存在两个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段长相等
C．存在唯一的a，使得圆C的面积被直线y＝ex平分
D．存在三个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切
【分析】对于A，等价于判断方程a2+（ea）2＝1的解的个数，等价于判断y＝ex与x2+y2＝1交点个数，
结合图象判断即可，
对于B，由弦长公式可得等价于判断方程ea＝±a的解的个数，利用导数研究函数性质判断即可，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于C，等价于判断方程ea＝ea的解，利用导数研究函数的性质即可判断，
对于D，等价于判断|a|＝1或|ea|＝1的解的个数，解方程即可判断．
【解答】解：圆（x﹣a）2+（y﹣ea）2＝1的圆心坐标为（a，ea），半径为1，
对于A：设圆C过原点（0，0），则a2+（ea）2＝1，
方程a2+（ea）2＝1的解的个数等价于函数y＝ex的图象与曲线x2+y2＝1的交点个数，
作函数y＝ex与圆x2+y2＝1的图象可得：
所以函数y＝ex的图象与曲线x2+y2＝1的交点个数为2，
所以存在两个不同的a，使得圆C经过坐标原点，A正确；
对于B：圆C在x轴和y轴上截得的线段长相等等价于 ，
即a2＝（ea）2，即ea±a＝0，
方程ea±a＝0的解的个数函数g（x）＝ex+x和h（x）＝ex﹣x的零点的个数和相等，
因为g′（x）＝ex+1＞0，又g（﹣1）＝e﹣1﹣1＜0，g（0）＝1﹣0＞0，
所以函数g（x）在区间（0，1）上存在一个零点，即函数g（x）存在一个零点，
因为h′（x）＝ex﹣1，
当x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增，
当x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
又h（0）＝1＞0，所以h（x）＞0，故函数h（x）没有零点，
所以方程ea±a＝0的解的个数为1，
即存在一个a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段长相等，B错误；
对于C：圆C的面积被直线y＝ex平分等价于y＝ex过圆心，
所以ea＝ea，令f（a）＝ea﹣ea，
求导可得f′（a）＝ea﹣e，令f′（a）＝0，可得a＝1，
当a＞1时，f′（a）＞0，函数f（a）在（1，+∞）上单调递增，
当a＜1时，f′（a）＜0，函数f（a）在（﹣∞，1）上单调递减，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又f（1）＝0，所以函数f（a）＝ea﹣ea只有一个零点，
即方程ea＝ea只有一解，
所以存在唯一的a，使得圆C的面积被直线y＝ex平分，C正确；
对于D：圆C与x轴或y轴相切等价于|a|＝1或|ea|＝1，
则a＝±1或a＝0，共3解，
所以存在三个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切，D正确；
故选：ACD．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，方程与函数的综合问题，利用导数研究函数的零点等知识，考
查数形结合，逻辑推理的能力．
（多选）16．（2023•建华区模拟）已知直线l：mx﹣y﹣m+2＝0与圆C：x2+y2＝9相交于A，B两点，则（
）
A．直线l过定点（1，2）
B．若△ABC的面积取得最大值，则m＝﹣1
C． 的最小值为8
D．线段AB的中点在定圆上
【分析】由直线系方程求得直线所过定点坐标判断A；由三角形面积取得最大值，可得原点到直线的距
离，利用点到直线的距离公式求解m值判断B；求出向量数量积的最小值判断C；联立直线方程与圆的
方程，利用根与系数的关系求出AB的中点的轨迹方程判断D．
【解答】解：直线l：mx﹣y﹣m+2＝0即直线m（x﹣1）﹣y+2＝0，
联立 ，解得x＝1，y＝2，
∴直线l过定点（1，2），故A正确；
若△ABC的面积取得最大值，则AC⊥BC，可得C（0，0）到直线l：mx﹣y﹣m+2＝0的距离为 ，
即 ，解得m＝﹣1或m＝﹣ ，故B错误；
＝ ＝9+ ，
原点C到点（1，2）的距离为 ，此时cos∠ACB＝ ＝ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，可得 的最小值为8，故C正确；
联立 ，得（1+m2）x2﹣2m（m﹣2）x+（m﹣2）2﹣9＝0，
设A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
则 ，y +y ＝m（x +x ）﹣2m+4＝ ，
1 2 1 2
设AB的中点坐标为（x，y），则 ，消去m，可得x2+y2﹣x﹣2y＝0．
∴线段AB的中点在定圆上，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．
（多选）17．（2023•河北模拟）已知正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为2，棱AB的中点为M，点N在正
1 1 1 1
方体的内部及其表面运动，使得MN∥平面A C B，则（ ）
1 1
A．三棱锥N﹣A BC 的体积为定值
1 1
B．当|MN|最大时，MN与BC所成的角为
C．正方体的每个面与点N的轨迹所在平面所成角都相等
D．若DN＝2，则点N的轨迹长度为2
【分析】首先利用平面的基本性质确定πN点所在平面MEFGHI，且面MEFGHI∥面A
1
BC
1
，构建空间直
角坐标系，求面A BC 的一个法向量，应用向量法求N到面A BC 的距离，进而求三棱锥N﹣A BC 的
1 1 1 1 1 1
体积判断A；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】找到|MN|最大时MN与BC所成角的平面角即可判断B；
判断 与 的夹角余弦值的绝对
值是否相等即可判断C；
N的轨迹是以N为球心的球体被面MEFGHI所截的圆，进而求周长判断D．
【解答】解：过AB中点M作ME∥A B与A A交E，作EF∥BC 与A D 交F，重复上述步骤，依次作
1 1 1 1 1
A C ，A B，BC 的平行线与D C ，C C，BC分别交于G，H，I（注意各交点均为各棱上的中点），最
1 1 1 1 1 1 1
后依次连接各交点，得到如下图示的正六边形MEFGHI，
因为ME∥A B，ME 面A BC ，A B 面A BC ，
1 1 1 1 1 1
所以ME∥面A BC ，⊄同理可得EF∥⊂面A BC ，
1 1 1 1
因为ME∩EF＝E，ME，EF 面A BC ，所以面MEFGHI∥面A BC ，
1 1 1 1
所以面MEFGHI中直线都平⊂行于面A BC ，又M 面MEFGHI，且MN∥平面A BC ，
1 1 1 1
所以MN 面MEFGHI，即N 面MEFGHI， ∈
根据正方⊂体性质，可构建如下∈图示的空间直角坐标系，
则A（2，0，0），A （2，0，2），B（2，2，0），C （0，2，2），M（2，1，0），E（2，0，1），
1 1
F（1，0，2），G（0，1，2），H（0，2，1），I（1，2，0），
A：由以上分析知：面MEFGHI任意一点到面A BC 的距离，即为N到面A BC 的距离，
1 1 1 1
而 ，
设 ＝（x，y，z）为面A BC 的一个法向量，
1 1
所以 ，令z＝1，则 ，
而 ，
所以M到面A BC 的距离，即N到面A BC 的距离为 ，
1 1 1 1
又△A BC 为等边三角形，则 ，
1 1
所以三棱锥N﹣A BC 的体积为定值 ，A正确；
1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B：由图知：当 N 与 G 重合时，|MN|最大为 ，且 MG∥BC ，所以 MN 与 BC 所成的角，即为
1
，B错误；
C ： 由 正 方 体 性 质 ， 只 需 判 断 各 侧 面 的 法 向 量
与 的夹角余弦值的绝对值是
否相等即可，
又 ，
同理可得 ，
所以正方体的每个面与点N的轨迹所在平面所成角都相等，C正确；
D：若DN＝2，则点N的轨迹是以N为球心的球体被面MEFGHI所截的圆，
因为面MEFGHI∥面A BC ，故 ＝（1，1，1）也是面MEFGHI的法向量，
1 1
而 ，
所以D到面MEFGHI的距离为 ，故轨迹圆的半径 ，
故点N的轨迹长度为2 r＝2 ，D正确．
故选：ACD． π π
【点评】本题考查了立体几何中的动点轨迹问题，空间角和几何体体积的计算问题，考查了推理能力与
计算能力，属于难题．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（多选）18．（2022•龙岩模拟）已知点P（x ，y ）是直线l：x+y＝4上的一点，过点P作圆O：x2+y2＝2
0 0
的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，则（ ）
A．当四边形OAPB为正方形时，点P的坐标为（2，2）
B．|PA|的取值范围为[ ，+∞）
C．当△PAB为等边三角形时，点P的坐标为（1，3）
D．直线AB过定点（ ， ）
【分析】根据距离公式及圆心切点构成的直角三角形求解，再利用过定点的判断法则进行判断即可．
【解答】解：
对于A选项：当四边形OAPB为正方形时，则|OA|＝|OB|＝|AP|＝|BP|，
则圆 ，
∴ ，
又点P（x ，y ）是直线l：x+y＝4 上的一点，
0 0
设P（x ，4﹣x ），
0 0
∴ ，即 ，
该方程Δ＜0，x 无解，
0
故不存在点P 使得OAPB为正方形，A错误；
对于B选项：由A知， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，
∴|PO|2﹣2≥6，则 ，即PA的取值范围是[ ，
故B正确；
对于选项C：若三角形△PAB为等边三角形为等边三角形，易知∠APB＝60°，
又 OP平分∠APB，
∴∠APO＝∠BPO＝30°，
在Rt△PAO中，由于 ，
∴ ，
又 P点坐标为：（x ，4﹣x ），
0 0
∴ ，即 ，
∴x ＝2，y ＝2，故C错误；
0 0
对于选项D：∵P（x ，4﹣x ），
0 0
∴ ，
记OP中点为 ，
则以D为圆心， 为半径的圆与圆O的公共弦为AB，
∴圆D方程为 ，
整理得x2+y2﹣x x﹣（4﹣x ）y＝0，
0 0
联立 ，化简得x x+（4﹣x ）y＝2，
0 0
即得直线方程为x x+（4﹣x ）y﹣2＝0，
0 0
将 代入方程恒成立；故直线 AB 过定点 ，D正确．
故选：BD．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于难题．
（多选）19．（2022•茂名模拟）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创辞汇，定义如下：
在直角坐标平面上任意两点A（x ，y ）B（x ，y ）的曼哈顿距离为：d（A，B）＝|x ﹣x |+|y ﹣y |．在
1 1 2 2 1 2 1 2
此定义下以下结论正确的是（ ）
A．已知点O（0，0），满足d（O，M）＝1的点M轨迹围成的图形面积为2
B．已知点F （﹣1，0），F （1，0），满足d（M，F ）+d（M，F ）＝4的点M轨迹的形状为六边形
1 2 1 2
C．已知点F （﹣1，0），F （1，0），不存在动点M满足方程：|d（M，F ）﹣d（M，F ）|＝1
1 2 1 2
D．已知点M在圆O：x2+y2＝1上，点N在直线l：2x+y﹣6＝0上，则d（M、N）的最小值为3﹣
【分析】A，B直线去绝对值作图；C解绝对值方程；D先通过固定圆的点来d（M，N）何时最小值，
进而让圆上的点动起来再求出d（M，N）的最小值．
【解答】解：对于 A，设 M（x，y），因为 d（O，M）＝1，所 以|x|+|y|＝1，
①当 xy≠0 时，
② 当 x ＝ 0 时 ， y ＝ ±1 ； 当 y ＝ 0 时 ， x ＝ ±1 ； 作 出 图 象 如 下 图 所 示 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】易知这是一个边长为 的正方形，所以面积为 ，故 A 正确
对于 B，设 M（x，y），因为 d（M，F ）+d（M，F ）＝4，所以|x﹣1|+|x+1|+2|y|＝4，
1 2
①当 x≠±1 且 y≠0 时，
，
②当x＝1 时，y＝±1；当 x＝﹣1 时，y＝±﹣1；当 y＝0 时，x＝±2；
作出图象如下图所示，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 M 点轨迹是一个六边形，故 B 正确．
对于 C，设 M（x，y），因为|d（M，F ）﹣d（M，F ）|＝1，
1 2
所以|x+1|﹣|x﹣1|＝1，解得 ，所以 M点的轨迹为两条直线，故 C 错误；
对于 D，如下图所示，M 为圆 O 上一点，N 为直线 l 上一点，过 M 点作 x 轴的平行线交直 线 l
与 点 D ， 过 N 点 作 x 轴 的 垂 线 交 MD 于 点 C ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 M 点固定时，显然当 N 在 D，点上方时 d（M，N）＝CM+CN 最小，则
d（M，N）＝CM+CN＝MD﹣CD+CN，
又因为 NC⩾CD，所以 d（M，N）＝CM+CN＝MD﹣CD+CN⩾MD，
由 几 何 关 系 易 得 当 OM⊥ l 时 此 时 MD 取 得 最 小 值 ， 如 下 图 所 示
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由点到直线的距离公式得 ，所以
所以 ，故 D 正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查新定义问题，考查分类讨论思想，考查绝对值方程的解法，考查点到直线的距离公式，
综合性比较强，属于难题．
三．填空题（共9小题）
20．（2023•麒麟区校级模拟）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮
马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处
出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为
x2+（y+2）2≤3，若将军从点A（﹣4，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y﹣1＝0，并假定将军只要
到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 ．
【分析】设点A关于直线x+y﹣1＝0的对称点为A′（a，b），设军营所在区域的圆心为C，半径为
R，则C（0，﹣2），R＝ ，由题意可知，A′C﹣R＝A′C﹣ 即为“将军饮马”的最短总路程，
再结合对称直线的性质，求出对称点A′（a，b），再运用两点之间的距离公式，即可求解．
【解答】解：设点A关于直线x+y﹣1＝0的对称点为A′（a，b），
设军营所在区域的圆心为C，半径为R，则C（0，﹣2），R＝ ，
由题意可知，A′C﹣R＝A′C﹣ 即为“将军饮马”的最短总路程，
∵直线AA′与直线x+y﹣1＝0垂直，
∴直线AA′与此直线的斜率乘积为﹣1，
∴k
AA′
＝1，
∵点A（﹣4，0），A′（a，b），
∴直线AA′的方程为y＝x+4，
∵点A（﹣4，0），A'（a，b），
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴AA′的中点为（ ， ），
∴ ，解得a＝1，b＝5，
∵C（0，﹣2），
∴|A′C|＝ ＝5 ，
故最短距离为5 ﹣ ．
故答案为：5 ﹣ ．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
21．（2023•泰州模拟）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0），设直线x+ ＝0与两坐标轴的交点分别为
A，B，若圆O上有且只有一个点P满足|AP|＝|BP|，则r的值为 ．
【分析】根据|AP|＝|BP|可得P在AB的垂直平分线上，且垂直平分线与圆相切可求解．
【解答】解：根据题意易得 ，
∴P在AB的垂直平分线上，又 ，
∴AB中垂线的斜率为 ，又AB的中点为 ，
由点斜式方程得 ，
化简得 ，
又P在圆O：x2+y2＝r2满足条件的P有且仅有一个，
∴直线 与圆相切，∴ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，方程思想，化归转化思想，属中档题．
22．（2023•滁州模拟）已知圆C：（x﹣3）2+y2＝25，直线l：（m+1）x+（m﹣1）y﹣2＝0（m是参数）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则直线l被圆C截得的弦长的最小值为 4 ．
【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，由直线方程可得直线过定点P（1，﹣1），求得|PC|，再由
垂径定理求得直线l被圆C截得的弦长的最小值．
【解答】解：圆C：（x﹣3）2+y2＝25的圆心坐标为C（3，0），半径为5．
由直线l：（m+1）x+（m﹣1）y﹣2＝0，得m（x+y）+x﹣y﹣2＝0，
联立 ，解得 ．
∴直线l过定点P（1，﹣1），又（1﹣3）2+12＝5＜25，
∴点P（1，﹣1）在圆内部，则当直线l与线段PC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小．
此时|PC|＝ ＝ ．
∴直线l被圆C截得的弦长的最小值为2 ＝4 ．
故答案为：4 ．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查了垂径定理的应用，属中档题．
23．（2023•北辰区三模）直线l经过点P（2，﹣3），与圆C：x2+y2+2x+2y﹣14＝0相交截得的弦长为
，则直线l的方程为 5 x ﹣ 1 2 y ﹣ 4 6 ＝ 0 或 x ＝ 2 ．
【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，根据弦长求出圆心到直线的距离，分斜率
存在与不存在两种情况讨论，分别求出直线方程．
【解答】解：圆C：x2+y2+2x+2y﹣14＝0，即（x+1）2+（y+1）2＝16，圆心为C（﹣1，﹣1），半径r
＝4，
因为直线与圆相交截得的弦长为 ，
所以圆心到直线的距离 ，
若直线的斜率不存在，此时直线方程为x＝2，满足圆心C（﹣1，﹣1）到直线x＝2的距离为3，符合题
意；
若直线的斜率存在，设斜率为k，则直线方程为y+3＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣3＝0，
则 ，解得 ，所以直线方程为 ，即5x﹣12y﹣46＝0，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上可得直线方程为5x﹣12y﹣46＝0或x＝2．
故答案为：5x﹣12y﹣46＝0或x＝2．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
24．（2023•天津模拟）过点（1，1）的直线l与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝9相交于A，B两点，当|AB|＝4
时，直线l的方程为 x + 2 y ﹣ 3 ＝ 0 ．
【分析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x＝1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，圆心
到直线kx﹣y﹣k+1＝0的距离d＝ ＝ ，解得k＝﹣ ，由此能求出直线l的方程．
【解答】解：直线l：经过点（1，1）与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝9相交于A，B两点，|AB|＝4，则圆心
到直线的距离为 ，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x＝1，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝k（x﹣1）+1，即kx﹣y﹣k+1＝0
圆心到直线kx﹣y﹣k+1＝0的距离d＝ ＝ ，解得k＝﹣ ，
∴直线l的方程为x+2y﹣3＝0．
故答案为：x+2y﹣3＝0．
【点评】本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线的距离公
式的合理运用．
25．（2023•罗湖区校级模拟）定义两个点集S，T之间的距离集为d（S，T）＝{|PQ||P S，Q T}，其中|
PQ| 表 示 两 点 P ， Q 之 间 的 距 离 ∈ ． ∈ 已 知
， d
（S，T）＝（1，+∞），则 的一个可能值为 ．
θ
【分析】方程 ，即y2﹣4x2＝1，y≥0，故集合T表示双曲线y2﹣4x2＝1上支的点，d（S，
T）＝（1，+∞），直线 与渐近线平行，且与渐近线的距离为1，可求 的值．
θ
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解答】解： ，即y2﹣4x2＝1，y≥0，故集合T表示双曲线y2﹣4x2＝1上支的点，
集合S表示直线 上的点，d（S，T）＝（1，+∞），
故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即tan ＜0，且与渐近线的距离为1．
θ
双 曲 线 的 渐 近 线 为 y ＝ ±2x ， 不 妨 取 2x+y ＝ 0 ， 则 ， 平 行 线 的 距 离
，
故tan ＝﹣1， ，k Z．
θ ∈
故答案为： （可填 中任何一个）．
【点评】本题考查了双曲线的渐近线，平行线间的距离公式，特殊角的三角函数值，属中档题．
26．（2023•2月份模拟）若P，Q分别是抛物线x2＝y与圆（x﹣3）2+y2＝1上的点，则|PQ|的最小值为
﹣ 1 ．
【分析】设圆（x﹣3）2+y2＝1的圆心为C（3，0），半径为r＝1，当PC垂直于抛物线在点P处的切线
时，|PQ|取得最小值，为|PC|﹣r，利用导数的几何意义求得切线的斜率，再根据两直线垂直的条件，求
得点P的坐标，然后计算|PC|﹣r的值，即可．
【解答】解：设圆（x﹣3）2+y2＝1的圆心为C（3，0），半径为r＝1，
当PC垂直于抛物线在点P处的切线时，|PQ|取得最小值，为|PC|﹣r，如图所示，
设点P（m，n），则直线PC的斜率为k ＝ ，且m2＝n，
PC
由x2＝y知，y'＝2x，
所以过点P的切线的斜率为k＝2m，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为直线PC与切线垂直，所以 •2m＝﹣1，所以2m3＝3﹣m，
所以（3m3﹣3）﹣（m3﹣m）＝0，即（m﹣1）（2m2+2m+3）＝0，
因为2m2+2m+3＞0恒成立，所以m﹣1＝0，即m＝1，
此时P（1，1），
所以|PC|﹣r＝ ﹣1＝ ﹣1，即|PQ|的最小值为 ﹣1．
故答案为： ﹣1．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，导数的几何意义等，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档
题．
27．（2023•长沙模拟）在正四棱柱ABCD﹣A B C D 中，AB＝1，AA ＝4，E为DD 中点，P为正四棱柱
1 1 1 1 1 1
表面上一点，且C P⊥B E，则点P的轨迹的长为 + ．
1 1
【分析】过C 作与直线B E垂直的平面 ，则点P的轨迹的长即为平面 与正四棱柱的交线长．
1 1
【解答】解：如图，连接B D ，A C ， α α
1 1 1 1
由题可知，A C ⊥B D ，ED ⊥平面A B C D ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
因A C 平面A B C D ，则ED ⊥A C ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
又B D⊂平面EB D ，ED 平面EB D ，ED ∩B D ＝D ，则A C ⊥平面EB D ．
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
又B E ⊂平面EB D ， ⊂
1 1 1
则C A⊂⊥B E，
1 1 1
如图，过E做D C 平行线，交CC 于F，则F为CC 中点．
1 1 1 1
连接EF，B F，过C 作B F垂线，交BB 于G．
1 1 1 1
由题可得，D C ⊥平面BCC B ，
1 1 1 1
又EF∥D C ，则EF⊥平面BCC B ，
1 1 1 1
因C G 平面BCC B ，则C G⊥EF，
1 1 1 1
又B F⊂平面B FE，FE 平面B FE，FE∩B F＝F，则C G⊥平面B FE，
1 1 1 1 1 1
因为B⊂E 平面B FE，则⊂C G⊥B E，
1 1 1 1
因为C G⊂平面C GA ，C A 平面C GA ，C A ∩C G＝C ，则B E⊥平面C GA ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
连接A G，⊂则点P轨迹为平面⊂C GA 与四棱柱的交线，即△A C G，
1 1 1 1 1
注意到∠B C G+∠GC F＝∠GC F+∠B FC ，
1 1 1 1 1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故∠B C G＝∠B FC ，∠C B G＝∠FC B ，
1 1 1 1 1 1 1 1
则△C B F∽△FC B ，
1 1 1 1
故 ＝ ＝2，
B G＝ ，
1
则点P的轨迹的长为A G+C G+A C ＝2 + ＝ + ．
1 1 1 1
故答案为： + ．
【点评】本题为立体几何中的轨迹问题，根据题意作出空间轨迹是解题关键，属于难题．
28．（2022•河西区校级模拟）函数y＝log （x﹣1）+3（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，过点A的直线l
a
与圆（x﹣1）2+y2＝1相切，则直线l的方程是 4 x ﹣ 3 y + 1 ＝ 0 或 x ＝ 2 ．
【分析】求出定点坐标，利用直线和圆相切即可得到结论．
【解答】解：当x﹣1＝1，即x＝2时，y＝log 1+3＝3，即函数过定点A（2，3）．
a
由圆的方程可得圆心C（1，0），半径r＝1，
当切线l的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时直线和圆相切，
当直线斜率k存在时，直线方程为y﹣3＝k（x﹣2），
即kx﹣y+3﹣2k＝0，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】圆心（1，0）到直线的距离d＝ ，
即|k﹣3|＝ ，
平方的k2﹣6k+9＝1+k2，
即k＝ ，此时对应的直线方程为4x﹣3y+1＝0，
综上切线方程为4x﹣3y+1＝0或x＝2．
故答案为：4x﹣3y+1＝0或x＝2．
【点评】本题主要考查直线和圆相切的应用，根据点到直线的距离等于半径是解决本题的关键．
四．解答题（共3小题）
29．（2020•金凤区校级二模）已知圆M：（x+2）2+y2＝1，圆N：（x﹣2）2+y2＝49，动圆P与圆M外切
并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设不经过点Q（0，2 ）的直线l与曲线C相交于A，B两点，直线QA与直线QB的斜率均存在
且斜率之和为﹣2，证明：直线l过定点．
【分析】（1）由圆M：（x+2）2+y2＝1，可知圆心M（﹣2，0），半径1；圆N：（x﹣2）2+y2＝49，
圆心N（2，0），半径7．设动圆的半径为R，根据动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|＝
R+1+（7﹣R）＝8，而|NM|＝4，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为半长轴长的
椭圆，
（2）直线l的斜率不存在时，设直线 l的方程为：x＝t，（﹣4≤t≤4）．A（t，y ），B（t，y ），
1 2
y +y ＝0．根据k +k ＝﹣2．解得t．此时直线l的方程为：x＝2 ．直线l的斜率存在时，设直线l
1 2 AQ BQ
的方程为：y＝kx+m，设A（x ，y ），B（x ，y ），与椭圆方程联立化为：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣48
1 1 2 2
＝0．k +k ＝ + ＝﹣2，y ＝kx +m，y ＝kx +m．及其根与系数的关系化简即可得
AQ BQ 1 1 2 2
出．
【解答】解：（1）由圆M：（x+2）2+y2＝1，可知圆心M（﹣2，0），半径1；圆N：（x﹣2）2+y2＝
49，圆心N（2，0），半径7．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设动圆的半径为R，
∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|＝R+1+（7﹣R）＝8，
而|NM|＝4，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为半长轴长的椭圆，
∴a＝4，c＝2，b2＝a2﹣c2＝12．
∴曲线C的方程为 + ＝1．
（2）证明：
直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为：x＝t，（﹣4≤t≤4）．
A（t，y ），B（t，y ），y +y ＝0．
1 2 1 2
k +k ＝ + ＝ ＝ ＝﹣2．
AQ BQ
解得t＝2 ．
此时直线l的方程为：x＝2 ．
直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为：y＝kx+m，
设A（x ，y ），B（x ，y ）．
1 1 2 2
联立 ，化为：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣48＝0．
则x +x ＝﹣ ，x x ＝ ，
1 2 1 2
k +k ＝ + ＝﹣2，y ＝kx +m，y ＝kx +m．
AQ BQ 1 1 2 2
化为：（2k+2）x x +（m﹣2 ）（x +x ）＝0，
1 2 1 2
代入化为：k＝﹣ ．
∴直线l的方程为：y＝﹣ x+m．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令x＝2 ，可得y＝﹣2 ．
可得直线l过定点（2 ，﹣2 ）．
【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、圆与圆的位置关系及其应用、一元二次方程的根与
系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
30．（2020•杭州模拟）已知直线x＝﹣2上有一动点Q，过点Q作直线l，垂直于y轴，动点P在l 上，且
1
满足 （O为坐标原点），记点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知定点M（ ，0），N（ ，0），点A为曲线C上一点，直线AM交曲线C于另一点B，且
点A在线段MB上，直线AN交曲线C于另一点D，求△MBD的内切圆半径r的取值范围．
【分析】（1）设点P的坐标为（x，y），结合题意得出点Q的坐标，再利用向量数量积的运算可得出
点P的轨迹方程；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）设A（x ，y ）、B（x ，y ）、D（x ，y ），设直线AM的方程为 ，将该直线方程与
1 1 2 2 3 3
曲线C的方程联立，结合韦达定理进行计算得出点 B和点D的横坐标相等，于是得出BD⊥x轴，根据
几何性质得出△MBD的内切圆圆心H在x轴上，且该点与切点的连线与AB垂直．
方法一是计算出△MBD的面积和周长，利用等面积法可得出其内切圆的半径的表达式；
方法二是设H（x ﹣r，0），直线BD的方程为x＝x ，写出直线AM的方程，利用点H到直线AB和AM
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的距离相等得出r的表达式；
方法三是利用△MTH∽△MEB，得出 ，然后通过计算得出△MBD内切圆半径r的表达式．
通过化简得到r关于x 的函数表达式，并换元 ，将函数关系式转化为r关于t的函数关系
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式，然后利用单调性可求出r的取值范围．
【解答】解：（1）设点P（x，y），则Q（﹣2，y），∴ 、 ，
∵ ，所以， ，即y2＝2x．
因此，点P的轨迹方程为y2＝2x；
（2）设A（x ，y ）、B（x ，y ）、D（x ，y ），直线BD与x轴的交点为E，内切圆与AB切于点T，
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设直线AM的方程为 ，联立方程 ，得 ，
∴ ，且0＜x ＜x ，∴ ，所以，直线AN的方程为 ，
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与 方 程 y2 ＝ 2x 联 立 得 ： ， 化 简 得
，
解得 或x＝x ，∵ ，∴BD⊥x轴，
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设△MBD的内切圆圆心为H，则H在x轴上，且HT⊥AB．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】方法一：∴ ，且△MBD的周长为：
∴
∴ ；
方法二：设H（x ﹣r，0），直线BD的方程为x＝x ，其中 ．
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直线AM的方程为： ，即 ，且点H与点O在直线AB的同
侧，
∴ ， 解 得 ：
．
方法三：∵△MTH∽△MEB，∴ ，即 ，
解 得 ： ＝
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令 ，则t＞1，∴ 在（1，+∞）上单调递增，则 ，
即r的取值范围是 ．
【点评】本题考查轨迹方程以及直线与抛物线的综合问题，考查计算能力与化简变形能力，属于难题．
31．（2020•南通二模）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29＝0
相切．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）设直线ax﹣y+5＝0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求
出实数a的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29＝0相切，且半径为5，所以
∈
，由此能求了圆的方程．
（Ⅱ）把直线ax﹣y+5＝0代入圆的方程，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1＝0，由于直线ax﹣y+5＝0交圆
于A，B两点，故Δ＝4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，由此能求出实数a的取值范围．
（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为 ，l的方程为 ，由于l垂直平分
弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，由此推导出存在实数 使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分
弦AB．
【解答】（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m Z）．
由于圆与直线4x+3y﹣29＝0相切，且∈半径为5，
所以 ，
即|4m﹣29|＝25．因为m为整数，故m＝1．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2＝25． …（4分）
（Ⅱ）把直线ax﹣y+5＝0，即y＝ax+5，
代入圆的方程，消去y，
整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1＝0，
由于直线ax﹣y+5＝0交圆于A，B两点，
故Δ＝4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，
即12a2﹣5a＞0，
由于a＞0，解得a＞ ，
所以实数a的取值范围是（ ）．
（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，
则直线l的斜率为 ，
l的方程为 ，
即x+ay+2﹣4a＝0
由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，
所以1+0+2﹣4a＝0，解得 ．
由于 ，故存在实数
使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．…（14分）
【点评】本题考查圆的方程的求法，考查实数的取值范围的求法，探索满足条件的实数是否存在．对数
学思维要求较高，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
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