文档内容
考点 14 直线和圆的方程（26 种题型 10 个易错考点）
一、 真题多维细目表
考题 考点 考向
2022新高考 直线与圆，圆与圆的位置关系 求切线方程
2022新高考 直线与圆，圆与圆的位置关系 由直线与圆有交点求参数的取值
范围
2022新高考 直线方程 求直线方程
2021新高考 直线与圆，圆与圆的位置关系 点到直线的距离公式，圆的方程
及应用
2021全国乙文 直线方程 点到直线的距离
2020课标 直线与圆，圆与圆的位置关系 直线与圆相切，直线方程
2020课标 直线与圆，圆与圆的位置关系 求弦长的最值
二、命题规律与备考策略
近几年对本章的内容的考查方式及题目难度变化不大，主要考查直线、圆的方程及位置关系，考查直线方
程的求解、直线过定点问题的求解、含参直线方程中参数的取值范围的求解、直线与圆的位置关系中涉及
弦长与切线方程的求解，以常规题型、常规解法为主要方向，常结合基本不等式、函数、三角形面积等知
识考查最值问题。
三、 2023 真题抢先刷，考向提前知
1．（2023•全国）O为原点，P在圆C（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上，OP与圆C相切，则|OP|＝（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】由题意利用勾股定理即可求解．
【解答】解：O为原点，P在圆C（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上，OP与圆C相切，
则|OP|＝ ＝ ＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了圆的切线长问题，属于基础题．
2．（2023•乙卷）已知实数x，y满足x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0，则x﹣y的最大值是（ ）
A．1+ B．4 C．1+3 D．7
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据题意，设z＝x﹣y，分析x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0和x﹣y﹣z＝0，结合直线与圆的位置关系可
得有 ≤3，解可得z的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9，其几何意义是以（2，1）
为圆心，半径为3的圆，
设z＝x﹣y，变形可得x﹣y﹣z＝0，其几何意义为直线x﹣y﹣z＝0，
直线y＝x﹣z与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9有公共点，则有 ≤3，解可得1﹣3 ≤z≤1+3
，
故x﹣y的最大值为1+3 ．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的一般方程，属于基础题．
3．（2023•乙卷）已知 O的半径为1，直线PA与 O相切于点A，直线PB与 O交于B，C两点，D为
⊙ ⊙ ⊙
BC的中点，若|PO|＝ ，则 • 的最大值为（ ）
A． B． C．1+ D．2+
【分析】设∠OPC＝ ，则 ，根据题意可得∠APO＝45°，再将 • 转化为 的函数，
最后通过函数思想，即α可求解． α
【解答】解：如图，设∠OPC＝ ，则 ，
根据题意可得：∠APO＝45°， α
∴
＝
＝cos2 ﹣sin cos
α α α
＝
＝ ，又 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴当 ， ＝ ，cos（ ）＝1时，
α
取得最大值 ．
故选：A．
【点评】本题考查向量数量积的最值的求解，函数思想，属中档题．
4．（2023•新高考Ⅰ）过点（0，﹣2）与圆 x2+y2﹣4x﹣1＝0相切的两条直线的夹角为 ，则 sin ＝
（ ） α α
A．1 B． C． D．
【分析】圆的方程化为（x﹣2）2+y2＝5，求出圆心和半径，利用直角三角形求出sin ，再计算cos
和sin 的值．
α
【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣1＝0可化为（x﹣2）2+y2＝5，则圆心C（2，0），半径为r＝ ；
设P（0，﹣2），切线为PA、PB，则PC＝ ＝2 ，
△PAC中，sin ＝ ，所以cos ＝ ＝ ，
所以sin ＝2sin cos ＝2× × ＝ ．
故选：Bα ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点评】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，也考查了三角函数求值问题，是基础题．
二．填空题（共4小题）
5．（2023•上海）已知圆x2+y2﹣4x﹣m＝0的面积为 ，则m＝ ﹣ 3 ．
【分析】先把圆的一般方程化为标准方程，再结合π圆的半径为1求解即可．
【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣m＝0化为标准方程为：（x﹣2）2+y2＝4+m，
∵圆的面积为 ，∴圆的半径为1，
∴4+m＝1， π
∴m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查了圆的标准方程，属于基础题．
6．（2023•天津）过原点的一条直线与圆C：（x+2）2+y2＝3相切，交曲线y2＝2px（p＞0）于点P，若|
OP|＝8，则p的值为 6 ．
【分析】不妨设直线方程为y＝kx（k＞0），由直线与圆相切求解k值，可得直线方程，联立直线与抛
物线方程，求得P点坐标，再由|OP|＝8列式求解p的值．
【解答】解：如图，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由题意，不妨设直线方程为y＝kx（k＞0），即kx﹣y＝0，
由圆C：（x+2）2+y2＝3的圆心C（﹣2，0）到kx﹣y＝0的距离为 ，
得 ，解得k＝ （k＞0），
则直线方程为y＝ ，
联立 ，得 或 ，即P（ ）．
可得|OP|＝ ，解得p＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查直线与圆、直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
7．（2023•新高考Ⅱ）已知直线x﹣my+1＝0与 C：（x﹣1）2+y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC
⊙
面积为 ”的m的一个值 2 （或﹣ 2 或 或﹣ ） ．
【分析】由“△ABC面积为 ，求得sin∠ACB＝ ，设 ∠ACB＝ ，得到cos ，进而求得圆心到直线
的距离，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解． θ θ
【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+y2＝4，可得圆心坐标为C（1，0），半径为r＝2，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为△ABC的面积为 ，可得S△ABC ＝ ×2×2×sin∠ACB＝ ，
解得sin∠ACB＝ ，设 ∠ACB＝ 所以∴2sin cos ＝ ，
θ θ θ
可得 ＝ ，∴ ＝ ，∴tan ＝ 或tan ＝2，
θ θ
∴cos ＝ 或cos ＝ ，
θ θ
∴圆心到直线x﹣my+1＝0的距离d＝ 或 ，
∴ ＝ 或 ＝ ，
解得m＝± 或m＝±2．
故答案为：2（或﹣2或 或﹣ ）．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
8．（2023•上海）已知圆C的一般方程为x2+2x+y2＝0，则圆C的半径为 1 ．
【分析】把圆C的一般方程化为标准方程，可得圆C的圆心和半径．
【解答】解：根据圆C的一般方程为x2+2x+y2＝0，可得圆C的标准方程为（x+1）2+y2＝1，
故圆C的圆心为（﹣1，0），半径为1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属基础题．
四、考点清单
一．直线的倾斜角
1.倾斜角的定义
（1）当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直
线l的倾斜角．
（2）当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
2.直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
二．直线的斜率
1.斜率的定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即
k=tanα.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2.斜率的计算公式：
定义
π
斜率的定义式 k=tanα(α≠ )
2
y −y
两点式 k= 2 1
P (x ，y ) P (x ，y )(x ≠x ) x −x
过两点 1 1 1 ， 2 2 2 1 2 的直线的斜率公式为 2 1
π
【注意】任何直线都有倾斜角，但当倾斜角等于2 时，直线的斜率不存在.
3.倾斜角与斜率的关系
图示
倾斜角
α=0∘ 0∘ <α<90∘ α=90∘ 90∘ <α<180∘
斜率 k=0 k>0 不存在 k<0
三．直线的平行于垂直
定义
k
k =k
当 存在时，两直线平行，则 1 2
平行
90∘
k
当 不存在时，则两直线的倾斜角都为
k
k ⋅k =−1
当 存在时，两直线垂直，则 1 2
垂直
k
90∘ 0∘
当 不存在时，则一条直线倾斜角为 ，另一条直线倾斜角为
【注意】在计算两直线平行的题时，注意考虑重合的情况.
四．直线的方程
直线方程 适用范围
点斜式 y−y =k(x−x ) 不能表示与x轴垂直的直线
0 0
斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线
y−y x−x
两点式 1 = 1 不能表示与x轴、y轴垂直的直线
y −y x −x
2 1 2 1
x y
截距式 + =1 不能表示与x轴垂直、y轴垂直以及过原点的直线
a b
一般式 Ax+By+C=0 无局限性
五．特殊的直线方程
P(x ，y )
已知点 0 0 ，则
类型 直线方程
与x轴垂直的直线 x=x
0
与y轴垂直的直线 y=y
0
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】六．方向向量与直线的参数方程
除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密
的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.
P(x ，y ) ⃗v=(m，n)
如图1，设直线l经过点 0 0 ， 是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，
⃗P P ⃗v ⃗P P=t⃗v
则 向 量 0 与 共 线 . 根 据 向 量 共 线 的 充 要 条 件 ， 存 在 唯 一 的 实 数 t， 使 0 ， 即
{x=x + mt ¿¿¿¿
(x−x ，y−y )=t(m，n) 0
0 0 ，所以 .
在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.
由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确
定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.
七．直线的平行与垂直
斜截式 一般式
l
1
：y=k
1
x+b
1
l ：A x+B y+C =0(A ，B 不同时为0)
1 1 1 1 1 1
直线方程
l ：y=k x+b l
2
：A
2
x+B
2
y+C
2
=0(A
2
，B
2
不同时为0)
2 2 2
平行 k =k 且b ≠b A B −A B =0
1 2 1 2 1 2 2 1 （注意可能重合）
垂直 k ⋅k =−1 A A +B B =0
1 2 1 2 1 2
八．利用平行与垂直解决问题
斜截式 一般式
直线方程 l ：y=kx+m l ：Ax+By+C=0(A，B不同时为0)
1 1
l //l l 若直线 l 2 //l 1，则可设 l 2的方程为：
若直线 2 1，则可设 2的方程为：
平行
y=kx+λ(λ≠m) l ：Ax+By+λ=0(λ≠C)
1
l ⊥l l
若直线 2 1，则可设 2的方程为： l ⊥l l
若直线 2 1，则可设 2的方程为：
垂直
1
y=− x+λ l ：Bx−Ay+λ=0
k 1
九．两条直线的交点
l ：A x+B y+C =0(A ，B 不同时为0) l ：A x+B y+C =0(A ，B 不同时为0)
对于直线 1 1 1 1 1 1 ， 2 2 2 2 2 2 ，求交点即解
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】{A x+B y+C =0 ¿¿¿¿
1 1 1
方程组 ，该方程组的解与两直线的位置关系如下：
方程组解的个数 位置关系
一个解 相交
无解 平行
无数解 重合
十．三个距离公式
条件 距离公式
两点之间的距离公式 P (x ，y ) P (x ，y ) |P P |= √ (x −x ) 2 +(y −y ) 2
已知两点 1 1 1 ， 2 2 2 1 2 1 2 1 2
P(x ，y ) |Ax +By +C|
点到直线的距离公式 已知一点 0 0 ，以及直线 d = 0 0
l:Ax+By+C=0 P→l √A2 +B2
已知直线 l 1 :Ax+By+C 1 =0 ， |Ax +By +C|
两平行线的距离公式 d = 0 0
l :Ax+By+C =0 l 1 →l 2 √A2 +B2
以及 2 2
十一．对称
条件 方法
P(x 1 ，y 1 ) ， P' (x 2 ，y 2 ) 两点关于 {2x =x +x ¿¿¿¿
两点关于另外一点对称
M(x ，y ) 0 1 2
0 0 对称
P(x ，y ) P' (x ，y ) 1.P，P' 两点的中点在直线 l 上；
1 1 ， 2 2 两点关于直线
两点关于一直线对称
l:Ax+By+C=0 对称（斜率存在） 2.PP'两点所在直线与直线 l 垂直
两直线关于另一直线对称 1.三条直线交于同一点；
（三直线不平行） 2.到角公式
十二．两点关于一直线特殊的对称
点的坐标 直线方程 对称点坐标
P(x ，y ) y=x P' (y ，x )
0 0 0 0
P(x ，y ) y=−x P' (−y ，−x )
0 0 0 0
P(x ，y ) y=x+m P' (y −m，x +m)
0 0 0 0
P(x ，y ) y=−x+m P' (−y +m，−x +m)
0 0 0 0
十三．到角公式
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】k −k π
tanθ= 2 1 (θ≠ )
设 l 1 ，l 2的斜率分别是 k 1 ，k 2， l 1到 l 2的角为θ，则 1+k 2 k 1 2 .
十四．圆的定义
圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).圆心决定
圆的位置,半径决定圆的大小.
十五．圆的标准方程
圆的标准方程 圆心 半径
(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2 (r>0) (a，b) r
十六．圆的一般方程
圆的一般方程 圆心 半径
x2 +y2 +Dx+Ey+F=0(D2 +E2 −4F>0) (−
D
，−
E
)
√D2 +E2 −4F
2 2 2
十七．二元二次方程与圆的方程
1.二元二次方程与圆的方程的关系：
Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx+Ey+F=0 x2 +y2 +Dx+Ey+F=0
二元二次方程 ，对比圆的一般方程 ，
D2 +E2 −4F>0
，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的
方程.
2.二元二次方程表示圆的条件：
&A=C≠0
{
Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx+Ey+F=0 &B=0
二元二次方程 表示圆的条件是 .
D E F
&( ) 2+( ) 2−4( )>0
A A A
十八．点与圆的位置关系
(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2 (r>0) x2 +y2 +Dx+Ey+F=0(D2 +E2 −4F>0)
圆的标准方程为 一般方程为 .
平
面内一点 P(x 0 ，y 0 ) 到圆心的距离为d.
判断方法
位置关系
几何法 代数法（标准方程） 代数法（一般方程）
点在圆上 d=r (x −a) 2 +(y −b) 2 =r2 x2 +y2 +Dx +Ey +F=0
0 0 0 0 0 0
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】点在圆外 d>r (x −a) 2 +(y −b) 2 >r2 x2 +y2 +Dx +Ey +F>0
0 0 0 0 0 0
点在圆内 d0
d
为圆心到直线的距离）
（
d>r
相离 Δ<0
d
为圆心到直线的距离）
（
二十一．相切→求切线方程
P(x ，y ) C:(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2
过定点 0 0 作圆 的切线，则切线方程为：
P与圆的位置关系 切线条数 切线方程（方法）
P在圆上 1条 (x −a)(x−a)+(y −b)(y−b)=r2
0 0
【分两种情况讨论】：
P在圆外
2条
d=r Δ=0
1.斜率存在，设为点斜式，再通过 或 求出斜率即可；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2.斜率不存在.
【说明】：若情况 1 有一解，则情况 2 必有一解；若情况 1 有两解，则
情况 2 必无解.
二十二．相交→求弦长
AB2
r2
=| |
+d2
弦长公式：直线与圆相交于A，B两点，则 2 （d为圆心到直线的距离）.
二十三．圆与圆的位置关系
两圆的半径分别为 r 1 ，r 2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系及其判断方法为：
位置关系 图示 几何法 公切线条数
外离 d>r +r 四条
1 2
外切 d=r +r 三条
1 2
相交
|r −r |r, 即 >,
化简得a2＋a＋9>0,Δ＝1－4×9＝－35<0,∴a∈R.
【错解】错解中只考虑了点A在圆C外部,而忽视了方程x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0表示圆的条件．
注意，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是D2＋E2－4F>0.
【正解】将圆C的方程配方有(x＋)2＋(y＋1)2＝, ∴>0,①
∴圆心C的坐标为(－,－1),半径r＝.
当点A在圆外时,过点A可作圆的两条切线,
∴|AC|>r,即 >,化简得a2＋a＋9>0.②，
由①②得－
