文档内容
综合训练 10 平面解析几何（24 种题型 60 题专练）
一．直线的倾斜角（共1小题）
1．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知直线l的一个方向向量为 ，则直线l的倾斜角
为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由方向向量的坐标得出直线的斜率，再求倾斜角即可．
【解答】解：由题意可得：直线l的斜率 ，
即直线l的倾斜角为 ．
故选：A．
【点评】本题主要考查了直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率关系，属于基础题．
二．直线的斜率（共2小题）
（多选）2．（2023•定远县校级模拟）如图所示，边长为 2的等边△OAB从起始位置（OA 与y轴重合）
1
绕着O点顺时针旋转至OB与x轴重合得到△OA B ，在旋转的过程中，下列说法正确的是（ ）
2 2
A．边AB所在直线的斜率的取值范围是
B．边AB所在直线在y轴上截距的取值范围是[2，4]
C．边A B 与边A B 所在直线的交点为
1 1 2 2
D．当AB的中垂线为x﹣y＝0时，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】求出直线A B 、A B 的斜率，可判断A选项的正误；设点 ，其中
1 1 2 2
，求出直线AB在y轴上的截距的取值范围，可判断B选项；求出边A B 与边A B 所
1 1 2 2
在直线的交点坐标，可判断C选项；求出直线OB的斜率，可判断D选项．
【解答】解：由题意可知，A （0，2）、 、 、B （2，0），
1 2
， ，
对于A选项，边AB所在直线斜率的取值范围是 ，A对；
对于B选项，设AB边的中点为E，则 ，且OE⊥AB，
设点 ，其中 为锐角，设∠xOB＝ ，则 ，
θ α
因为 ，则 ，k ＝tan ，则 ，
OE
θ
所以，直线AB的方程为 ，即 ，
所以，边AB所在直线在y轴上截距为 ，B错；
对于C选项，直线A B 的方程为 ，直线A B 的方程为 ，
1 1 2 2
联立 ，解得 ，
因此边A B 与边A B 所在直线的交点为 ，C对；
1 1 2 2
对于D选项，当AB的中垂线为x﹣y＝0时，即k ＝tan ＝1，则 ，
OE
θ
则 ，所以 ，D对．
故选：ACD．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点评】本题主要考查了直线的斜率，以及直线斜率与倾斜角的关系，考查了求两直线交点坐标，属于
中档题．
（多选）3．（2023•广东二模）在平面直角坐标系中，已知正方形 ABCD四边所在直线与x轴的交点分别
为（0，0），（1，0），（2，0），（4，0），则正方形ABCD四边所在直线中过点（0，0）的直线的
斜率可以是（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】假设AB所在的直线过点（0，0），分类讨论CD所在的直线所过的点，结合图象分析运算．
【解答】解：因为选项斜率均为正值，不妨假设AB所在的直线过点（0，0），
设直线AB的倾斜角为 ，斜率为k，
①若CD所在的直线过点（1，0），如图，可得BC＝sin ，CD＝2cos ，
因为BC＝CD，即sin ＝2cos ，则k＝tan ＝2； α α
α α α
②若CD所在的直线过点（2，0），如图，可得BC＝2sin ，CD＝3cos ，
α α
因为BC＝CD，即2sin ＝3cos ，则 ；
α α
③若CD所在的直线过点（4，0），如图，可得BC＝4sin ，CD＝cos ，
α α
因为BC＝CD，即4sin ＝cos ，则 ；
α α
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上所述：k的可能值为 ．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系的应用，属于中档题．
三．直线的截距式方程（共1小题）
4．（2023•武汉模拟）直线l ：y＝2x和l ：y＝kx+1与x轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足条件的k
1 2
的两个可能取值： ﹣ 2 和 ．
【分析】根据给定条件，按等腰三角形底边所在直线分类，结合斜率的意义及二倍角的正切求解作答即
可．
【解答】解：令直线l ，l 的倾斜角分别为 ， ，则tan ＝2，tan ＝k，
1 2
α θ α θ
当围成的等腰三角形底边在x轴上时， ＝ ﹣ ，k＝tan（ ﹣ ）＝﹣tan ＝﹣2；
θ π α π α α
当围成的等腰三角形底边在直线l 上时， ＝2 ， （0， ），tan ＝tan2 ＝ ＝2，
2
α θ θ∈ α θ
整理得k2+k﹣1＝0，而k＞0，解得k＝ ．
所以的两个可能取值﹣2， ．
故答案为：﹣2； ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点评】本题考查直线的斜率和倾斜角的关系，二倍角公式，属于基础题．
四．直线的一般式方程与直线的平行关系（共2小题）
5．（2023•青岛三模）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂
心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知△ABC的顶点A（﹣3，0），B（3，0），C（3，
3），若直线l：ax+（a2﹣3）y﹣9＝0与△ABC的欧拉线平行，则实数a的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．﹣1或3 D．3
【分析】根据三角形顶点坐标得出重心与外心，求出三角形欧拉线，根据直线平行得解．
【解答】解：由△ABC的顶点A（﹣3，0），B（3，0），C（3，3）知，
△ABC重心为 ，即（1，1），
又三角形为直角三角形，所以外心为斜边中点 ，即 ，
所以可得△ABC的欧拉线方程 ，即x+2y﹣3＝0，
因为ax+（a2﹣3）y﹣9＝0与x+2y﹣3＝0平行，
所以 ，
解得a＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
6．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知两条直线ax+2y+4＝0与3x+（a﹣1）y﹣6＝0平行，则a＝ 3 ．
【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解．
【解答】解：两条直线ax+2y+4＝0与3x+（a﹣1）y﹣6＝0平行，
由直线平行得a（a﹣1）﹣2×3＝0，解得a＝3或﹣2，
经检验，a＝﹣2时直线重合，舍去，故a＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
五．直线的一般式方程与直线的垂直关系（共3小题）
（多选）7．（2023•安徽模拟）已知直线l ：（sin ）x﹣（cos ）y+1＝0，l ：（sin ）x+（cos ）y+1＝
1 2
0，l ：（cos ）x﹣（sin ）y+1＝0，l ：（cos ）αx+（sin ）yα+1＝0．则（ ） α α
3 4
A．存在实数α ，使l ∥lα α α
1 2
α
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B．存在实数 ，使l ∥l
2 3
C．对任意实数α ，都有l ⊥l
1 4
D．存在点到四条α直线距离相等
【分析】利用直线平行、直线垂直的条件和点到直线的距离逐项检验即可求解．
【解答】解：当 ＝0时，l ：y＝1，l ：y＝﹣1，l ∥l ，故选项A正确；
1 2 1 2
∵sin ⋅（﹣sin ）α﹣cos2 ＝﹣1≠0，所以l 与l 不平行，故选项B错误；
2 3
∵sinα⋅cos +（α﹣cos ）⋅α（sin ）＝0恒成立，∴l ⊥l ，故选项C正确；
1 4
坐标原α点（α0，0）到四α 条直线距α离均为1，故选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查直线平行、垂直的性质，属于基础题．
8．（2023•湖北模拟）已知动直线l的方程为（1﹣a2）x+2ay﹣3a2﹣3＝0，a R， ，O为坐标
∈
原点，过点O作直线l的垂线，垂足为Q，则线段PQ长度的取值范围为（ ）
A．（0，5] B．[1，5] C．[5，+∞） D．（0，3]
【分析】解法一：利用万能公式将直线方程化为xcos +ysin ﹣3＝0，求出过原点与直线l垂直的直线方
程，进而得出点Q的轨迹为圆心为（0，0）半径为3的θ 圆，θ进而转化为点到圆的距离即可求解．
解法二：根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及|PO|的长度，即可求解．
【解答】解：解法一：由（1﹣a2）x+2ay﹣3a2﹣3＝0可得 ，
令 ， 由 万 能 公 式 可 得 ，
，
所以直线l的方程为xcos +ysin ﹣3＝0①，
由题意可知过原点与直线θl垂直θ的直线方程为xsin ﹣ycos ＝0②，①2+②2可得x2+y2＝9，即表示点
Q的轨迹为圆心为（0，0）半径为3的圆， θ θ
于是线段PQ长度的取值范围为[r﹣PO，r+PO]，因为|PO|＝2，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以线段PQ长度的取值范围为[1，5]．
解法二：直线l不过定点，
则原点O到直线距离d＝ ＝ ，
故原点O到直线l的距离为定值3，即垂足Q在以O（0，0）为圆心，半径为3的圆上，
于是线段PQ长度的取值范围为[r﹣PO，r+PO]，因为|PO|＝2，
所以线段PQ长度的取值范围为[1，5]．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，属于基础题．
9．（2023•长宁区校级三模）已知直线l ：x+y＝0和l ：2x﹣ay+3＝0（a R），若l ⊥l ，则a＝ 2 ．
1 2 1 2
【分析】根据题意，由直线垂直的判断方法可得关于a的方程，解可得∈答案．
【解答】解：根据题意，直线l ：x+y＝0和l ：2x﹣ay+3＝0（a R），
1 2
若l ⊥l ，则有2﹣a＝0，解可得a＝2． ∈
1 2
故答案为：2．
【点评】本题考查直线垂直的判断，涉及直线的一般式方程，属于基础题．
六．两条直线的交点坐标（共2小题）
10．（2023•东城区二模）已知三条直线l ：x﹣2y+2＝0，l ：x﹣2＝0，l ：x+ky＝0将平面分为六个部分，
1 2 3
则满足条件的k的值共有（ ）
A．1个 B．2 个 C．3个 D．无数个
【分析】由已知可得三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交，结合直线的位置关系可求．
【解答】解：因为三条直线l ：x﹣2y+2＝0，l ：x﹣2＝0，l ：x+ky＝0将平面分为六个部分，
1 2 3
所以三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交，
当三条直线交于一点时，联立 可得x＝y＝2，此时2+2k＝0，即k＝﹣1，
当两条平行线与第三条直线相交时，可得l ∥l 或l ∥l ，
1 3 2 3
所以k＝﹣2或k＝0．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直线位置关系的应用，属于基础题．
（多选）11．（2023•江宁区校级模拟）已知直线l ：2x+y﹣6＝0和点A（1，﹣1），过点A作直线l 与直
1 2
线l 相交于点B，且AB＝5，则直线l 的方程为（ ）
1 2
A．x＝1 B．y＝﹣1 C．3x+4y+1＝0 D．4x+3y﹣1＝0
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】设点B（x ，6﹣2x ），由A，B两点间的距离列出方程，解出点B，得直线l 的方程．
0 0 2
【解答】解：因为点B在直线l ：2x+y﹣6＝0上，设点B（x ，6﹣2x ），
1 0 0
因为A（1，﹣1），则 ，解得x ＝1或x ＝5，
0 0
则B点坐标为（1，4）或（5，﹣4），
当B点坐标为（1，4）时，直线l 的方程为x＝1，
2
当B点坐标为（5，﹣4）时，直线l 的方程为 ，即3x+4y+1＝0．
2
故选：AC．
【点评】本题主要考查两条直线的交点坐标，属于基础题．
七．恒过定点的直线（共2小题）
（多选）12．（2023•深圳模拟）设直线系M：xcos +ysin ＝1+2sin （0≤ ≤2 ），下列命题中的真命题
有（ ） θ θ θ θ π
A．M中所有直线均经过一个定点
B．存在定点P不在M中的任一条直线上
C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上
D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
【分析】由点到直线的距离公式说明M的集合判断A；举例说明B正确；由任意正n边形都有内切圆判
断C；画图说明D错误．
【 解 答 】 解 ： 点 P （ 0 ， 2 ） 到 M 中 每 条 直 线 xcos +ysin ﹣ 1﹣ 2sin ＝ 0 的 距 离 d ＝
θ θ θ
，
即M为圆C：x2+（y﹣2）2＝1的全体切线组成的集合，则M中存在两条平行直线，故A错误；
∵点（0，2）不适合直线xcos +ysin ﹣1﹣2sin ＝0，∴存在定点P不在M中的任一条直线上，故B正
确； θ θ θ
对任意n≥3、存在正n边形使其内切圆为圆C：x2+（y﹣2）2＝1，故C正确；
如图：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查恒过定点的直线，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是基础题．
13．（2023•江苏模拟）设k R，直线l ：kx+y﹣k＝0，I直线l ：x﹣ky+2k﹣3＝0，记l ，l 分别过定点
1 2 1 2
A，B，l 与l 的交点为C，∈则|AC|+|BC|的最大值为 4 ．
1 2
【分析】由动直线的方程可得动点A，B的坐标，并且可得两条直线互相垂直，由勾股定理可得|CA|2+|
CB|2的值，再由基本不等式可得|AC|+|BC|的最大值．
【解答】解：当k＝0时，l ：y＝0，l ，：x﹣3＝0，∴l ⊥l ．
1 2 1 2
当k≠0时，
对于直线l ：kx+y﹣k＝0，即k（x﹣1）+y＝0，过定点A（1，0），
1
对于直线l ：x﹣ky+2k﹣3＝0，即x﹣3﹣k（y﹣2）＝0，过定点B（3，2）．
2
直线l ：kx+y﹣k＝0的斜率为﹣k，直线l ：x﹣ky+2k﹣3＝0的斜率为 ，
1 2
∵﹣k• ﹣1，∴l ⊥l ．
1 2
综上可得，l ⊥l ．
1 2
∵l 与l 的交点为C，
1 2
∴CA2+CB2＝AB2＝4+4＝8，
∴ ≤ （CA2+CB2）＝4，
∴ ≤2，
∴CA+CB≤4，
当且仅当CA＝CB时，|CA|+|CB|的最大值为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查直线的位置关系的判断及直线恒过定点的求法，均值不等式性质的应用，属于中档题．
八．与直线关于点、直线对称的直线方程（共3小题）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】14．（2023•碑林区校级模拟）已知：A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），E（﹣1，0），F（1，
0），一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端
点）．则FD斜率的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2） B．（0，+∞） C．（1，+∞） D．（4，+∞）
【分析】先作出F关于BC的对称点P，再作P关于AC的对称点M，因为光线从F点出发射到BC上的
D点经BC反射后，入射光线和反射光线都经过F关于直线BC的对称点P点，又因为再经AC反射，反
射光线经过P关于直线AC的对称点，所以只需连接MA、ME交AC与点N，连接PN、PA分别交BC为
点G、H，则G，H之间即为点D 的变动范围．再求出直线FG，FH的斜率即可．
【解答】解：∵A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），∴直线BC方程为x+y﹣2＝0，直线AC方程为
x﹣y+2＝0
如图，作F关于BC的对称点P，∵F（1，0），∴P（2，1），
再作P关于AC的对称点M，则M（﹣1，4），
连接MA、ME交AC与点N，则直线ME方程为x＝﹣1，∴N（﹣1，1）
连接PN、PA分别交BC为点G、H，
则直线PN方程为y＝1，直线PA方程为x﹣4y+2＝0，
∴G（1，1），H（ ）
连接GF，HF，则G，H之间即为点D的变动范围．
∵直线FG方程为x＝1，直线FH的斜率为 ＝4
∴FD斜率的范围为（4，+∞）
故选：D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点评】本题考查入射光线与反射光线之间的关系，解题的关键是入射光线与反射光线都经过物体所成
的像，据此就可找到入射点的范围．
15．（2023•思明区校级四模）已知直线l ：3x﹣4y﹣4＝0关于直线l 的对称直线为y轴，则l 的方程为
1 2 2
y ＝ 2 x ﹣ 1 或 y ＝﹣ ﹣ 1 ．
【分析】求出直线l 与x轴、y轴的交点，设出直线l 的方程，根据点关于直线l 的对称点在y轴上，由
1 2 2
此列方程求出即可．
【解答】解：直线l ：3x﹣4y﹣4＝0交x轴于点M（ ，0），交y轴于点P（0，﹣1）；
1
设直线l 的方程为y＝kx﹣1，则点M关于直线l 的对称点N（a，b）在y轴上，所以a＝0，
2 2
所以MN的中点Q（ ， ）在直线l 上，所以 k﹣1＝ ①，
2
又﹣ ＝ ②，
由①②组成方程组，解得k＝2或k＝﹣ ，
所以直线l 的方程为y＝2x﹣1或y＝﹣ x﹣1．
2
故答案为：y＝2x﹣1或y＝﹣ x﹣1．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点评】本题考查了直线关于直线的对称问题，也考查了逻辑推理与运算求解能力，是中档题．
16．（2023•麒麟区校级模拟）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮
马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处
出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为
x2+（y+2）2≤3，若将军从点A（﹣4，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y﹣1＝0，并假定将军只要
到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 ．
【分析】设点A关于直线x+y﹣1＝0的对称点为A′（a，b），设军营所在区域的圆心为C，半径为
R，则C（0，﹣2），R＝ ，由题意可知，A′C﹣R＝A′C﹣ 即为“将军饮马”的最短总路程，
再结合对称直线的性质，求出对称点A′（a，b），再运用两点之间的距离公式，即可求解．
【解答】解：设点A关于直线x+y﹣1＝0的对称点为A′（a，b），
设军营所在区域的圆心为C，半径为R，则C（0，﹣2），R＝ ，
由题意可知，A′C﹣R＝A′C﹣ 即为“将军饮马”的最短总路程，
∵直线AA′与直线x+y﹣1＝0垂直，
∴直线AA′与此直线的斜率乘积为﹣1，
∴k
AA′
＝1，
∵点A（﹣4，0），A′（a，b），
∴直线AA′的方程为y＝x+4，
∵点A（﹣4，0），A'（a，b），
∴AA′的中点为（ ， ），
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，解得a＝1，b＝5，
∵C（0，﹣2），
∴|A′C|＝ ＝5 ，
故最短距离为5 ﹣ ．
故答案为：5 ﹣ ．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
九．两点间的距离公式（共2小题）
17．（2023•江西模拟）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角均
小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相
等 且 均 为 120° ． 根 据 以 上 性 质 ， 则
的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【分析】由两点距离公式可得F（x，y）表示点P（x，y）到点（2 ，0），（﹣1+ ，1﹣ ），
（0，2）的距离之和，由定义得F（x，y）的最小值点即为费马点，由解三角形可得所求最小值．
【解答】解：由两点间的距离公式得，
是点P（x，y）到点B
（2 ，0），
A（﹣1+ ，1﹣ ），C（0，2）的距离之和，
即求点P（x，y）到点（2 ，0），（﹣1+ ，1﹣ ），（0，2）的距离之和的最小值，
取最小值时的这个点即为这三个点构成的三角形的费马点，
如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2 ，BC＝4，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，
所以∠BPM＝∠CPM＝60°，
所以BP＝CP＝ ＝ ＝ ，PM＝BPsin30°＝ ，AP＝AM﹣PM＝2﹣ ，
所以最小值为BP+CP+AP＝ + +2﹣ ＝2+2 ．
故选：B．
【点评】本题考查了两点的距离公式应用问题，也考查了新定义的理解和运用以及运算能力，是中档题．
18．（2023•海淀区校级三模）如图所示，在8×6的长方形区域（含边界）中有A，B两点，对于该区域中
的点 P，若其到 A 的距离不超过到 B 距离的一半，则称 P 处于 A 的控制下，例如原点 O 满足
，即有O点处于A的控制下．同理可定义P处于B的控制下．
给出下列四个结论：
①点（4，2）处于A的控制下；
②若点P不处于A的控制下，则其必处于B的控制下；
③若P处于A的控制下，则 ；
④图中所有处于A的控制下的点构成的区域面积为8+5 ．
其中所有正确结论的序号是 ①③④ ． π
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据新定义，直接验证判断①，取特殊点判断②，根据定义求出点P所在区域，判断③，结
合图象求出面积判断④．
【解答】解：由图可知A（2，3），B（8，6），
设C（4，2），则 ， ，满足 ，故①正确；
点P不处于A的控制下则 ，即|PB|＜2|PA|，得不到 ，
例如取点P（5，3）， ， ， ，即
点P不处于A的控制下，也不处于B的控制下，故②错误；
若P处于A的控制下，则 ，设P（x，y）（0≤x≤8，0≤y≤6），
则 ，化简整理得x2+（y﹣2）2≤20，
作出图象如图，
由图可知，当点P在矩形且在圆及圆内部分满足P处于A的控制下，由图可知，当P处于O，C，D时，
|PA|有最大值 ，故③正确；
由③知P处于A的控制下点构成的区域面积，可以看作是 圆与矩形的面积之和，如图，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故面积为 ，故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查命题真假的判断，两点间的距离公式，考查运算求解能力，属于中档题．
一十．点到直线的距离公式（共2小题）
19．（2023•安庆模拟）已知点A（﹣4，1）在直线l：（2m+1）x﹣（m﹣1）y﹣m﹣5＝0（m R）上的射
影为点B，则点B到点P（3，﹣1）距离的最大值为（ ） ∈
A． B．5 C． D．
【分析】先判断直线l恒过点C（2，3），根据题意知点B在以线段AC为直径的圆上，再利用圆的几
何性质求解即可．
【解答】解：将直线l整理得到（2x﹣y﹣1）m+（x+y﹣5）＝0，
于是 ，解得 ，所以直线l恒过点C（2，3），
因为点A（﹣4，1）在直线l：（2m+1）x﹣（m﹣1）y﹣m﹣5＝0（m R）上的射影为点B，
所以AB⊥BC，则点B在以线段AC为直径的圆上，该圆的圆心坐标为∈D（﹣1，2），
半径大小为 ，
又 ，
所以点B到点P（3，﹣1）距离的最大值为 ．
故选：C．
【点评】本题考查点到直线的距离以及直线的一般式和垂直关系等相关知识，属于简单题．
20．（2023•南关区校级二模）直线l的方程为（ +2）x+（ ﹣1）y﹣3 ＝0（ R），当原点O到直线l的
λ λ λ λ∈
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】距离最大时， 的值为（ ）
A．﹣1 λ B．﹣5 C．1 D．5
【分析】首先求出直线l过定点A（1，2），然后当OA⊥l时，原点O到l的距离最大，即可求解．
【解答】解；由（ +2）x+（ ﹣1）y﹣3 ＝0（ R）可得（x+y﹣3） +2x﹣y＝0，
λ λ λ λ∈ λ
令 ，解得 ，
故直线l过定点A（1，2），
当OA⊥l时，原点O到l的距离最大，
因为k ＝2，
OA
所以直线l的斜率为﹣ ，即﹣ ＝﹣ ，解得 ＝﹣5，
故选：B． λ
【点评】本题主要考查恒过定点的直线，属于基础题．
一十一．两直线的夹角与到角问题（共1小题）
21．（2023•睢宁县校级模拟）在△ABC中，∠A的内角平分线方程为y＝x，B（1，4），C（4，3），则
角C的正切值为 3 ．
【分析】由题意可知，点B（1，4）关于y＝x的对称点B'（a，b）一定在直线AC上，根据对称性求出
点B'的坐标，进而得到直线AC的方程，再与y＝x联立即可求出点A的坐标，从而求出结果．
【解答】解：由题意可知，点B（1，4）关于y＝x的对称点B'（a，b）一定在直线AC上，
由 ，解得 ，
∴B'（4，1），又∵C（4，3），
∴直线B'C的方程为x＝4，
∴直线AC的方程为x＝4，
而直线AC与直线y＝x的交点即为点A，
联立方程 ，解得 ，∴A（4，4），
∴直线AB的方程为y＝4，
∴AB⊥AC，即△ABC为直角三角形，且|AB|＝3，|AC|＝1，
∴tanC＝ ＝ ＝3．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：3．
【点评】本题主要考查了直线关于直线的对称直线问题，考查了直线的一般方程，属于中档题．
一十二．与直线有关的动点轨迹方程（共1小题）
22．（2023•固镇县三模）如图，在平行四边形OABC中，点O是原点，点A和点C的坐标分别是（3，
0）、（1，3），点D是线段AB上的动点．
（1）求AB所在直线的一般式方程；
（2）当D在线段AB上运动时，求线段CD的中点M的轨迹方程．
【分析】（1）求出AB 所在直线的向量，然后求出AB所在的直线方程；
（2）设点M的坐标是（x，y），点D的坐标是（x ，y ），利用平行四边形，推出M与D坐标关系，
0 0
利用当D在线段AB上运动，求线段CD的中点M的轨迹方程．
【解答】（本小题满分10分）
解：（1）∵AB∥OC，∴AD所在直线的斜率为：K ＝K ＝ ＝3．
AB OC
∴AB所在直线方程是y﹣0＝3（x﹣3），即3x﹣y﹣9＝0．
（2）：设点M的坐标是（x，y），点D的坐标是（x ，y ），
0 0
由平行四边形的性质得点B的坐标是（4，6），
∵M是线段CD的中点，∴x＝ ，y＝ ，
于是有x ＝2x﹣1，y ＝2y﹣3，
0 0
∵点D在线段AB上运动，
∴3x ﹣y ﹣9＝0，（3≤x ≤4），
0 0 0
∴3（2x﹣1）﹣（2y﹣3）﹣9＝0
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即6x﹣2y﹣9＝0，（2≤x≤ ）．
【点评】本题考查直线方程的求法，与直线有关的动点的轨迹方程的求法，考查转化思想与计算能力．
一十三．轨迹方程（共2小题）
23．（2023•铜陵三模）已知平面上两定点A、B，则所有满足 （ ＞0且 ≠1）的点P的轨迹是
λ λ
一个圆心在AB上，半径为 的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故
称作阿氏圆．已知棱长为3的正方体ABCD﹣A B C D 表面上动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹长
1 1 1 1
度为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析π】根据阿氏圆性质求出阿氏圆圆心O位置及半径，P在空间内轨迹为以O为球心的球，球与面
ABCD，ABB A ，BCC B 交线为圆弧，求出截面圆的半径及圆心角，求出在截面内的圆弧的长度即可．
1 1 1 1
【解答】解：在平面中，图①中以B为原点以AB为x轴建系如图，设阿氏圆圆心O（a，0），半径为
r，
∵|PA|＝2|PB|，∴ ，∴ ，
设圆O与AB交于M，由阿氏圆性质知 ，
∵|BM|＝2﹣|BO|＝2﹣a，∴|AM|＝2|BM|＝4﹣2a，
∴4﹣2a+2﹣a＝6﹣3a＝3，∴a＝1，∴O（1，0），
P在空间内轨迹为以O为球心半径为2的球，
若P在四边形ABB A 内部时如图②，截面圆与AB，BB 分别交于M，R，∴P在四边形ABB A 内的轨
1 1 1 1 1
迹为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∵|RO|＝2，|BO|＝1，在Rt△RBO中∠ROB＝60°，
∴当P在面ABB A 内部的轨迹长为 ，
1 1
同理，当P在面ABCD内部的轨迹长为 ，
当P在面BCC B 时，如图③所示，
1 1
OB⊥面BCC B ，平面BCC B 截球所得小圆是以B为圆心，以BP为半径的圆，截面圆与BB ，BC分别
1 1 1 1 1
交于R，Q，且 ，
∴P在正方形BCC B 内的轨迹为 ，
1 1
∴ ＝ × ＝ ，
π
综上：P的轨迹长度为 ．
故选：C．
【点评】本题主要考查轨迹方程，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）24．（2023•香坊区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，已知定点A（0，1），B（3，1），动
点P满足|PA|＝2|PB|，记动点P的轨迹为曲线C，直线l：kx﹣y+2﹣3k＝0（k R），则下列结论中正确
的是（ ） ∈
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．曲线C的方程为（x﹣4）2+（y﹣1）2＝4
B．直线l与曲线C相交
C．若直线l被曲线C截得的弦长为 ，则k＝﹣2
D．|BP|的最大值为3
【分析】由题意设动点P（x，y），结合题意可得曲线C的方程为（x﹣4）2+（y﹣1）2＝4，逐一分析
选项，即可得出答案．
【解答】解：对于A：设动点P（x，y），且满足|PA|＝2|PB|，A（0，1），B（3，1），
则x2+（y﹣1）2＝4[（x﹣3）2+（y﹣1）2]，整理得（x﹣4）2+（y﹣1）2＝4，
∴曲线C的方程为（x﹣4）2+（y﹣1）2＝4，故A正确；
对于B：由选项A得C（4，1），直线l：kx﹣y+2﹣3k＝0（k R），即k（x﹣3）﹣y+2＝0，
∈
故直线l过定点D（3，2），则|DC|＝ ＜2，即点D在圆C内，直线l与圆C相交，故B正确；
对于C：直线l被曲线C截得的弦长为 ，圆C的半径为2，
故圆心C到直线l的距离d＝ ＝ ＝1，解得k＝0，故C错误；
对于D：曲线C的方程为（x﹣4）2+（y﹣1）2＝4，即圆心C（4，1），半径为2，
则|BP| ＝|BC|+2＝1+2＝3，故D正确．
max
故选：ABD．
【点评】本题考查轨迹方程，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
一十四．点与圆的位置关系（共1小题）
25．（2023•定西模拟）若点（2，1）在圆x2+y2﹣x+y+a＝0的外部，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用表示圆的条件和点和圆的位置关系进行计算．
【解答】解：依题意，方程x2+y2﹣x+y+a＝0可以表示圆，则（﹣1）2+12﹣4a＞0，得 ；
由点（2，1）在圆x2+y2﹣x+y+a＝0的外部可知：22+12﹣2+1+a＞0，得a＞﹣4．
故 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：C．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，属于基础题．
一十五．直线与圆的位置关系（共5小题）
26．（2023•海淀区校级模拟）直线 l：3x+4y﹣1＝0 被圆 C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣4＝0 所截得的弦长为
（ ）
A． B．4 C． D．
【分析】将圆C的方程化为标准形式，可得圆心坐标及半径，再结合点到直线的距离公式与勾股定理，
得解．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣4＝0化为标准形式为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝9，
所以圆心C（1，2），半径为3，
所以点C到直线l：3x+4y﹣1＝0的距离为 ，
因此所求弦长为 ．
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握几何法求弦长，点到直线的距离公式是解题的关键，
考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
27．（2023•阆中市校级二模）若点M是圆C：x2+y2﹣4x＝0上的任一点，直线l：x+y+2＝0与x轴、y轴
分别相交于A、B两点，则∠MAB的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意可知∠CAB＝ ，AM为圆C的切线时，∠MAB最小，求解即可．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解答】解：由题意可知∠CAB＝ ，
若∠MAB最小，则AM应为圆C的切线，
∵|AC|＝4，|MC|＝2，如图所示，可得∠CAM＝ ，
∴∠MAB的最小值为 ﹣ ＝ ．
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想，属中档题．
（多选）28．（2023•泉州模拟）已知AB为圆C：x2+y2＝4的直径，直线l：y＝kx+1与y轴交于点M，则
（ ）
A．l与C恒有公共点
B．△ABM是钝角三角形
C．△ABM的面积的最大值为1
D．l被C截得的弦的长度的最小值为
【分析】求得直线l过定点，判断定点在圆内可判断A，B；进而可求三角形的最大面积，以及最短弦长
判断C，D．
【解答】解：直线l：y＝kx+1过定点（0，1），又02+12＝1＜4，∴点（0，1）在圆内，故l与C恒有
公共点，故A正确；
∵点M（0，1）在圆内，∴∠AMB＞90°，故B正确；
当CM⊥AB时，S△ABM ＝ ×4×1＝2，故C错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∵C到直线l的距离d≤|CM|＝1，∴l被C截得的弦的长度的最小值为2 ≥ ，当d＝1时，等
号成立，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查直线与圆的方程，直线与圆位置关系等基础知识，考查推理论证，运算求解能力，考
查函数与方程思想，属中档题．
29．（2023•武功县校级模拟）已知圆O：x2+y2＝4，M（x ，y ）为圆O上位于第一象限的一点，过点M
0 0
作圆O的切线l．当l的横纵截距相等时，l的方程为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用过圆上点的切线的性质可得OM⊥l，利用点M（x ，y ）表示出切线方程，结合横纵截距
0 0
相等，即得解．
【解答】解：由题意，点M在第一象限，故过点M的的切线斜率存在，
点M（x ，y ）在圆上，故OM⊥l，即k k＝﹣1，
0 0 OM l
∵k ＝ ，∴k＝﹣ ，
OM l
故直线l的方程为：y﹣y ＝﹣ （x﹣x ），
0 0
则xx +yy ＝x 2+y 2＝4，
0 0 0 0
令x＝0，y＝ ；y＝0，x＝ ，
当l的横纵截距相等时， ＝ ，即x ＝y ，
0 0
又x 2+y 2＝4，x ＞0，y ＞0，解得：x ＝ ，y ＝ ，
0 0 0 0 0 0
即 x+ y＝4，即x+y﹣2 ＝0．
故选：A．
【点评】本题考查直线截距式方程及辨析，由直线与圆的位置关系求参数，过圆上一点的圆的切线方程，
属于中档题．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】30．（2023•天津模拟）设直线y＝x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0（a＞0）相交于A，B两点，若|AB|＝2
，则a＝ ．
【分析】圆C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0的圆心坐标为（0，a），半径为 ，利用圆的弦长公式，求出a
值．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0的圆心坐标为（0，a），半径为 ，
∵直线y＝x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0相交于A，B两点，且|AB|＝2 ，
∴圆心（0，a）到直线y＝x+2a的距离d＝ ，
即 +3＝a2+2，（a＞0）
解得：a2＝2，
解得a＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，难度中档．
一十六．圆与圆的位置关系及其判定（共1小题）
31．（2023•河南模拟）若圆 与圆 的公共弦AB的长为1，则
直线AB的方程为（ ）
A．2ax+by﹣1＝0 B．2ax+by﹣3＝0
C．2ax+2by﹣1＝0 D．2ax+2by﹣3＝0
【分析】将两圆方程相减得到直线AB的方程为a2+b2﹣2ax﹣2by＝0，然后再根据公共弦AB的长为1即
可求解．
【解答】解：将两圆方程相减可得直线AB的方程为a2+b2﹣2ax﹣2by＝0，
即2ax+2by﹣a2﹣b2＝0，
因为圆C 的圆心为（0，0），半径为1，且公共弦AB的长为1，
1
则C （0，0）到直线2ax+2by﹣a2﹣b2＝0的距离为 ，
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，解得a2+b2＝3，
所以直线AB的方程为2ax+2by﹣3＝0．
故选：D．
【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系，属于中档题．
一十七．椭圆的性质（共4小题）
32．（2023•淄博模拟）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的
一 个 焦 点 射 出 的 光 线 ， 经 椭 圆 反 射 ， 其 反 射 光 线 必 经 过 椭 圆 的 另 一 焦 点 ． 设 椭 圆
的左、右焦点分别为F ，F ，若从椭圆右焦点F 发出的光线经过椭圆上的点
1 2 2
A和点B反射后，满足AB⊥AD，且cos∠ABC＝ ，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意可知A，D，F 三点共线，B，C，F 三点共线，再由AB⊥AD，且cos∠ABC＝ ，可得
1 1
tan∠ABF ＝ ＝ ，设|AF |＝4k，|AB|＝3k，可得|BF |＝5k，由椭圆的定义可知k与a的关系，在
1 1 1
Rt△AF F 中，由勾股定理可得a，c的关系，进而求出椭圆的离心率．
1 2
【解答】解：连接AF ，BF ，由题意可知A，D，F 三点共线，B，C，F 三点共线，
1 1 1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在△ABF 中，因为AB⊥AD，且cos∠ABC＝ ，可得cos∠ABF ＝ ，sin∠ABF ＝ ，
1 1 1
tan∠ABF ＝ ＝ ，
1
设|AF |＝4k，|AB|＝3k，可得|BF |＝5k，
1 1
由椭圆的定义可知|BF |＝2a﹣|BF |＝2a﹣5k，|AF |＝|AB|﹣|BF |＝3k﹣（2a﹣5k）＝8k﹣2a，
2 1 2 2
又因为|AF |+|AF |＝2a，即4k+8k﹣2a＝2a，解得k＝ ，
1 2
所以|AF |＝ ，|AF |＝ ﹣2a＝ ，
1 2
在Rt△AF F 中，|AF |2+|AF |2＝|F F |2，即（ ）2+（ ）2＝（2c）2，
1 2 1 2 1 2
可得e＝ ＝ ，
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的性质的应用及光学的性质的应用，属于中档题．
33．（2023•海口模拟）已知F ，F 为椭圆 的两个焦点，P为椭圆上一点且|PF |＝2|PF |，则
1 2 1 2
△PF F 的面积为（ ）
1 2
A． B． C．4 D．
【分析】由题意易得|PF |＝4，|PF |＝2，求得等腰三角形底边上的高，可求△PF F 的面积．
1 2 1 2
【解答】解：由 ，可得a＝3，b＝ ，c＝2，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∵P为椭圆上一点，∴|PF |+|PF |＝2a＝6，又|PF |＝2|PF |，
1 2 1 2
∴|PF |＝4，|PF |＝2，
1 2
又|F F |＝2c＝4，∴△PF F 的面积为 ×2＝ ．
1 2 1 2
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属中档题．
34．（2023•铜仁市模拟）法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现
与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日
圆．若椭圆Γ′： ＝1（a＞b＞0）的蒙日圆为C：x2+y2＝ a2，过C上的动点M作Γ的两条切
线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交F于A，B两点，则下列结论不正确的是（ ）
A．椭圆Γ的离心率为
B．△MPQ面积的最大值为
C．M到Γ的左焦点的距离的最小值为
D．若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k ，k ，则k k ＝﹣
1 2 1 2
【分析】根据特殊位置的切线可得交点（a，b），代入可得a2+b2＝ a2，即可判断A，根据∠PMQ＝
90°，PQ为圆C的直径，即可求解B，根据两点距离以及范围即可判断C，根据点差法即可判断D．
【解答】解：对于A，依题意，过椭圆Γ′的上顶点作y轴的垂线，过椭圆Γ′的右顶点作x轴的垂线，
则这两条垂线的交点在圆C上，
∴a2+b2＝ a2，得a2＝3b2，∴椭圆Γ′的离心率e＝ ＝ ＝ ，故A正确；
对于B，∵点M，P，Q都在圆C上，且∠PMQ＝90°，∴PQ为圆C的直径，
∴|PQ|＝2× a，
当△MPQ的高为半径时，此时高最大，面积最大，最大值为 |PQ|× ＝ × ＝ a2，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故B错误；
对于C，M为圆上的动点，MM到左焦点的距离的最小值就是M到圆心O的距离减去O到左焦点的距
离，
即为 ﹣c＝ ，故C正确；
对于D，由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称，
设A（x ，y ），D（x ，y ），B（﹣x ，﹣y ），则k ＝ ，k ＝ ，
1 1 2 2 1 1 1 2
又 ，两式相减得 + ＝0，∴ ＝﹣ ，
又k k ＝ × ＝ ＝﹣ ，∴k k ＝﹣ ，故D正确．
1 2 1 2
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属中档题．
（多选）35．（2023•衡水模拟）已知椭圆C： ，F ，F 分别为它的左右焦点，A，B分别为它
1 2
的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．存在P使得
B．cos∠F PF 的最小值为
1 2
C．若PF ⊥PF ，则△F PF 的面积为9
1 2 1 2
D．直线PA与直线PB斜率乘积为定值
【分析】由椭圆的方程可得a，b的值，进而求出c的值，设P（x，y），若 ，可得 +
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】＝1，求解可判断A正确；设|PF |，|PF |长分别为p，q．利用cos∠F PF ＝ 可求
1 2 1 2
最小值，判断B正确，由勾股定理及椭圆的定义可得|PF ||PF |的值，进而求出三角形的面积，判断C正
1 2
确；设P的坐标，由题意可得P的横纵坐标的关系，求出直线PA，PB的斜率之积为定值，判断D正确．
【解答】解：由椭圆的方程： ，可得a＝5，b＝3，所以c＝ ＝ ＝4，
A中，设P（x，y），若 ，则直线PF ⊥PF ，
1 2
则 × ＝﹣1，即y2＝16﹣x2，
∵ ，所以 + ＝1，解得x＝± （﹣5，5），故A正确；
∈
B中，由题意得a＝5，
设|PF |，|PF |长分别为p，q．
1 2
∵cos∠F PF ＝ ＝ ＝ ＝ ﹣1≥ ﹣1＝ ﹣1
1 2
＝ ﹣1＝﹣ ，
当且仅当p＝q＝a，时取等号，∴cos∠F PF 的最小值为 ，故B正确；
1 2
C中，由∠F PF ＝90°，可得|PF |2+|PF |2＝|F F |2，即（|PF |+|PF |）2﹣2|PF ||PF |＝|F F |2，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
所以|PF ||PF |＝ ＝2（25﹣16）＝18，
1 2
所以S△PF1F2＝ |PF ||PF |＝ ×18＝9，故C正确；
1 2
D中，当P不为椭圆的左右顶点时，P（x ，y ），y ≠0，可得 + ＝1，由椭圆的方程可得A
0 0 0
（﹣5，0），B（5，0），
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则k •k ＝ • ＝ ＝ ＝﹣ ，故D不正确；
PA PB
故选：ABC．
【点评】本题考查椭圆的性质的应用，属中档题．
一十八．直线与椭圆的综合（共5小题）
36．（2023•全国模拟）已知椭圆E： ，的右焦点F（1，0），过F作直线AB交E于A，B两
点，E上有两点M，N满足：MF，NF分别为∠AMB，∠ANB的角平分线．当直线AB斜率为 时，
△MNF的外接圆面积为9
（1）求E的标准方程； π
（2）设直线MN：y＝kx+b，求k和b的代数关系．
【分析】（1）建立极坐标系，根据曲线的极坐标方程和圆的第二定义得到相关方程，解出即可；
（2）首先求出外接圆的圆心为 ，得到圆的方程，将其与直线MN联立，再将直线
方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，解出t即可．
【解答】解：（1）以F为极点，射线FO为极轴建立极坐标系，如图所示：
则E： ，e为离心率，P为右准线到右焦点距离，
由题意可知， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设|AF|＝a，|BF|＝b，△MFN外接圆半径为R，
， ，
则由圆的第二定义可知： ， ，①
⇒
因为直线AB的斜率为 ，所以 ，
∵ ，
∴ ， ，
则代入①解得p＝3，
而 ，则a2＝4，
代入①式解得b2＝3，
则E的标准方程为 ；
（2）由（1）知△MFN外接圆圆心 ，
于是圆 ，
与MN：y＝kx+b联立，得到（k2+1）x2+（2kb+3tan k﹣5）x+b2+3tan b+4＝0，
将MN与E联立，得到（4k2+3）x2+8kbx+4b2﹣12＝θ0， θ
设M（x ，y ），N（x ，y ），
1 1 2 2
则 ， kb2+（20k2+15）b+28k3+24k＝0，
Δ＝88k4+504k2+225＞0，⇒
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】于是k可以取到除了0外的所有实数．
【点评】本题考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
37．（2023•四川模拟）已知椭圆 的短轴长为 ，左顶点A到右焦点F的
距离为3．
（1）求椭圆C的方程及离心率；
（2）设直线l与椭圆C交于不同两点M，N（不同于A），且直线AM和AN的斜率之积与椭圆的离心
率互为相反数，求F在l上的射影H的轨迹方程．
【分析】（1）用待定系数法求出椭圆C的方程；
（2）运用“设而不求法“，结合韦达定理和直线恒过定点的求法，可得直线 l经过定点B（
），所以点H的轨迹是以BF为直径的圆，从而求出点H的轨迹方程．
【解答】解：（1）由题意可得 ，
解得 ，
所以椭圆方程为 ，
离心率 ，
证明：（2）当直线l的斜率存在时，可设l：y＝kx+m，
代入椭圆方程 ，
得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，
设M（x ，y ），N（x ，y ），
1 1 2 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
由（1）可知，点A（﹣2，0），离心率 ，
因为直线AM和AN的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，
所以 ，
所以 ，
把 代入，整理得5m2﹣8km﹣4k2＝0，
即（m﹣2k）（5m+2k）＝0，
所以m＝2k或 ，
由直线l：y＝kx+m，
当m＝2k时，y＝kx+2k＝k（x+2）经过定点（﹣2，0），与A重合，舍去，
当 时，y＝kx﹣ ＝k（x﹣ ），经过定点B ，
因为∠BHF＝90°，BF＝1﹣ ＝ ，
所以点H的轨迹是以BF为直径的圆，圆心坐标为（ ，0），半径为 ，
所以点H的轨迹为（x﹣ ）2+y2＝ ．
【点评】本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的综合，考查了直线过定点问题，属于中档题．
38．（2023•泸州模拟）已知椭圆 的焦点F（﹣1，0），点 在
椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（Ⅱ）若过点F的直线l与C交于A，B两点，过点F与l垂直的直线与C交于M，N两点，求
的取值范围．
【分析】（Ⅰ）将P的坐标代入椭圆的方程，可得a，b的关系，再由焦点的坐标，可得a，b的关系，
进而求出a，b的值，求出椭圆的方程；
（Ⅱ）分直线l的斜率为0，不存在和存在且不为0三种情况讨论，设直线l的方程，与椭圆的方程联立，
可得两根之和及两根之积，因为AB⊥MN，所以 • ＝ • ＝0，而 • ＝（ + ）•（ +
）＝ • + • + • + • ＝ • + • ，求出 • 代数式，同理可得 • 的表
达式，由均值不等式可得 • 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）因为 在椭圆C上，所以 ，
因为C的左焦点F（﹣1，0），所以a2﹣b2＝1，
所以a2＝2，b2＝1，
C的方程为 ；
（Ⅱ）（i）当直线l与x轴重合时，点 ， ， ， ，
， ，
所以 ；
（ii）当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝my﹣1，设点A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
联立 ，整理可得：（m2+2）y2﹣2my﹣1＝0，
因为F在椭圆内部，所以Δ＞0，且y +y ＝ ，y y ＝﹣ ，
1 2 1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当直线l⊥x轴时，即m＝0时，设A（﹣1， ），B（﹣1，﹣ ），
由题意直线MN为x轴，设M（﹣ ，0），N（ ，0），
则 • ＝（﹣ +1，﹣ ）•（ +1， ）＝（﹣ +1）（ +1）﹣ • ＝1﹣2﹣ ＝
﹣ ；
因为AB⊥MN，所以 • ＝ • ＝0，
因为 • ＝（ + ）•（ + ）＝ • + • + • + • ＝ • + • ，
因为 • ＝（﹣1﹣x ）（﹣1﹣x ）+（﹣y ）（﹣y ）＝（1+x ）（1+x ）+y y ＝my •my +y y ＝
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
（1+m2）y y ＝﹣ ，
1 2
同理可得 • ＝﹣ ＝﹣ ，
所以 • ＝﹣ ﹣ ＝﹣（1+m2）（ + ）＝﹣ ＝ •（
﹣1），
因为2m2+ ≥2 ＝4，当且仅当m2＝ 时，即m＝±1时取等号，
所以0＜ ≤ ＝ ，
所以﹣ ＜ • ≤ （ ﹣1）＝﹣ ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上所述： • [﹣ ，﹣ ]．
【点评】本题考查求∈椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，向量的运算性质的应用，属于中档题．
39．（2023•河北模拟）已知椭圆C： （a＞b＞0）的离心率为 ，三点 ，
， 中恰有两个点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若C的上顶点为E，右焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点（与椭圆顶点不重合），直线
EA，EB分别交直线x﹣y﹣4＝0于P，Q两点，求△EPQ面积的最小值．
【分析】（Ⅰ）由椭圆的对称性可知 ， 在椭圆上， ＝ ，可求椭圆
C的方程；
（Ⅱ）设A（x ，y ），B（x ，y ），直线AB的方程为x﹣my﹣2＝0（m≠±1），联立方程组，求得点
1 1 2 2
P，Q的横坐标，可求△EPQ面积的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的对称性可知 ， 在椭圆上，
设椭圆的半焦距为c，则 ＝ ，∴a＝ c，∴b＝c，
∴a＝ b，解得a＝2 ，b＝2，
∴椭圆C的方程为 + ＝1；
（Ⅱ）设A（x ，y ），B（x ，y ），直线AB的方程为x﹣my﹣2＝0（m≠±1），
1 1 2 2
由 ，消去x得（m2+2）y2+4my﹣4＝0，
∴y +y ＝﹣ ，y y ＝﹣ ，
1 2 1 2
设P（x ，y ），Q（x ，y ），
P P Q Q
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由题意知E（0，2），∴直线EA的方程为y﹣2＝ x，
由y﹣2＝ x与x﹣y﹣4＝0联立解得：x ＝ ＝ ，
P
同理可得x ＝ ，
Q
∴|PQ|＝ |x ﹣x |＝ | ﹣ |
P Q
＝12 | |
＝12 | |，
将y +y ＝﹣ ，y y ＝﹣ 代入整理得|PQ|＝ ，
1 2 1 2
∵点E到直线x﹣y﹣4＝0的距离为d＝ ＝3 ，
∴S△EPQ ＝ ×3 × ＝ ，
设m﹣7＝t，则m＝t+7，
∴S△EPQ ＝ ＝36 × ，
当 ＝﹣ 时，（S△EPQ ）
min
＝ ．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查三角形的面积，考查运
算求解能力，属中档题．
40．（2023•丹凤县校级模拟）已知椭圆C： ＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，长轴长
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】为短轴长的2倍，点P在C上运动，且△ABP面积的最大值为8．
（1）求C的方程；
（2）若直线l经过点Q（1，0），交C于M，N两点，直线AM，BN分别交直线x＝4于D，E两点，
试问△ABD与△AQE的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【分析】（1）利用椭圆的性质计算即可；
（2）利用韦达定理及面积公式计算即可．
【解答】解：（1）由题意得2a＝2×2b，即a＝2b①．
当点P为C的上顶点或下顶点时，△ABP的面积取得最大值，
所以 ，即ab＝8②．
联立①②，得a＝4，b＝2．
故C的方程为 ．
（2）△ABD与△AQE的面积之比为定值．
由（1）可得A（﹣2，0），B（2，0），
由题意设直线l：x＝my+1，M（x ，y ），N（x ，y ）．
1 1 2 2
联立 得（4m2+1）y2+8my﹣12＝0，
则Δ＝64m2+48（4m2+1）＞0，
，
所以 ．
直线AM的方程为 ，
令x＝4，得 ，即 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】同理可得 ．
故△ABD与△AQE的面积之比为
＝ ，
即△ABD与△AQE的面积之比为定值 ．
【点评】此题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆相交问题，考查了转化思想，属于难题．
一十九．抛物线的性质（共4小题）
41．（2023•成都模拟）已知点F（0，4）是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，点P（2，3），且点M为
抛物线C上任意一点，则|MF|+|MP|的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】由抛物线的焦点坐标可求出p的值，从而可得抛物线方程，再结合抛物线的定义即可得解．
【解答】解：由已知可得 ，则抛物线C的方程为：x2＝16y．
由抛物线的定义知：点M到点F（0，4）的距离等于点M到准线y＝﹣4的距离，
结合点P（2，3）与抛物线C的位置关系可知，
|MF|+|MP|的最小值是点P（2，3）到准线y＝﹣4的距离，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故|MF|+|MP|的最小值为7．
故选：C．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
42．（2023•宝鸡模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点T在C上，且|FT|＝ ，若点M的
坐标为（0，1），且MF⊥MT，则C的方程为（ ）
A．y2＝2x或y2＝8x B．y2＝x或y2＝8x
C．y2＝2x或y2＝4x D．y2＝x或y2＝4x
【分析】根据已知条件，结合斜率公式和抛物线的性质，即可求解．
【解答】解：设T（x ，y ），
0 0
∵抛物线C：y2＝2px（p＞0），
∴ ，
又∵M（0，1），
∴k ＝ ，
FM
∵MF⊥MT，
∴k •k ＝﹣1，
MF MT
∴k ＝ ＝ ，即 ①，
MT
∵ ，
∴由抛物线的定义可得， ②，
∵T（x ，y ），
0 0
∴ ，
∴ ③，将③代入①可得， ，解得y ＝2，
0
∴ 代入②式可得， ，即p2﹣5p+4＝0，解得p＝1或p＝4，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴抛物线方程为y2＝2x或y2＝8x．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
43．（2023•巴中模拟）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线
的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 y2＝
4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点A（5，4）射出，经过抛物线上的点B反射后，再经抛物线
上的另一点C射出，则|BC|＝ ．
【分析】由抛物线的方程可知焦点F的坐标，由题意可得过A点的入射光线与抛物线的交点B的坐标，
进而求出反射光线BF的方程，与抛物线的方程联立可得C点的坐标，再求出|BC|的值．
【解答】解：因为抛物线的方程为y2＝4x，可知焦点F（1，0），
过A（5，4）平行于对称轴的入射光线为：y＝4，代入抛物线的方程可得B（4，4），
由题意可知反射光线为BF，可得k ＝ ＝ ，
BF
所以直线BF的方程为x＝ y+1，
联立 ，整理可得：y2﹣3y﹣4＝0，
可得y＝4或y＝﹣1，将y＝﹣1代入抛物线的方程可得x＝ ，
即B（4，4），C（ ，﹣1），
可得|BC|＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
44．（2023•浉河区校级三模）已知抛物线C ：y2＝2px（p＞0）上一点Q（1，a）到焦点的距离为3，
1
（1）求a，p的值；
（Ⅱ）设P为直线x＝﹣1上除（﹣1，﹣ ），（﹣1， ）两点外的任意一点，过P作圆C ：（x
2
﹣2）2+y2＝3的两条切线，分别与曲线C 相交于点A，B和C，D，试判断A，B，C，D四点纵坐标之
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）根据抛物线的定义即可得到 ，求出p＝4，从而焦点坐标为（2，0），这便得到
，从而可求出a的值；
（Ⅱ）可设过点P的直线l方程为：y﹣y ＝k（x+1），联立抛物线方程消去x便可得到ky2﹣8y+8y +8k
0 0
＝0，可设直线AB，CD的斜率分别为k ，k ，A，B，C，D四点的纵坐标分别为y ，y ，y ，y ，从而
1 2 1 2 3 4
可以得到 ．可以求圆心C 到切线l的距离，从而可以得到
2
关于k的一元二次方程，由韦达定理得到k +k ＝﹣y ，这样即可求得y y y y ＝64，即得出A，B，C，D
1 2 0 1 2 3 4
四点纵坐标之积为定值．
【解答】解：（Ⅰ）根据抛物线的定义，Q（1，a）到准线x＝ 的距离为3；
∴ ；
∴p＝4；
∴抛物线的焦点坐标为（2，0）；
∴ ；
∴ ；
（Ⅱ）设P（﹣1，y ），过点P的直线方程设为l：y﹣y ＝k（x+1）；
0 0
由 得，ky2﹣8y+8y +8k＝0；
0
若直线AB，CD的斜率分别为k ，k ，设A，B，C，D的纵坐标分别为y ，y ，y ，y ；
1 2 1 2 3 4
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ；
∵C 到l的距离d＝ ；
2
∴ ；
∴ ；
∴ ＝ ；
∴A，B，C，D四点纵坐标之积为定值，且定值为64．
【点评】考查抛物线的定义，抛物线的标准方程，抛物线的焦点及准线方程，两点间距离公式，直线的
点斜式方程，以及韦达定理，圆心到切线距离和圆半径的关系，点到直线的距离公式．
二十．直线与抛物线的综合（共3小题）
45．（2023•碑林区校级模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A，B两点，
以AB为直径的圆与y轴交于D，E两点，且 ，则直线l的方程为（ ）
A． B．x±y﹣1＝0 C．2x±y﹣2＝0 D．x±2y﹣1＝0
【分析】设|AB|＝2r（2r≥4），AB的中点为M，根据 求出r，进而得到M点横坐标；
再设直线l：y＝k（x﹣1），A（x ，y ），B（x ，y ），由韦达定理得到k与M横坐标的关系，进而求
1 1 2 2
出k．
【解答】解：设|AB|＝2r（2r≥4），AB的中点为M，MN⊥y轴于点N，过A，B作准线x＝﹣1的垂线，
垂足分别为A ，B ，如图：
1 1
由抛物线的定义知2（|MN|+1）＝|AA |+|BB |＝|AF|+|BF|＝|AB|＝2r，
1 1
故|MN|＝r﹣1，
所以 ，
即16r2﹣50r+25＝0，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得 或 （舍去），
故M的横坐标为 ，
设直线l：y＝k（x﹣1），A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
将y＝k（x﹣1）代入y2＝4x，
得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
则 ，
解得k＝±2，
故直线l的方程为2x±y﹣2＝0．
故选：C．
【点评】本题解题的关键是要抓住圆的两要素：圆心和半径，用圆心的横坐标得到斜率的等量关系．
46．（2023•泸县校级模拟）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），直线 ，过点P（1，2）作直线
与C交于A，B两点，当AB∥l时，P为AB中点．
（1）求C的方程；
（2）作AA'⊥l，BB'⊥l，垂足分别为A'，B'两点，若BA'与AB'交于Q，求证：PQ∥AA'∥BB'．
【分析】（1）设A（x ，y ），B（x ，y ），作出AB的方程，与抛物线方程联立，结合根与系数的关
1 1 2 2
系及中点坐标公式求解p，则抛物线方程可求；
（2）当AB∥l时，知Q为AB'的中点，又P为AB的中点，得PQ∥AA'∥BB'；当AB与l不平行时，设
AB与l相交于M（x ，y ），不妨设从左至右依次为点A、B、M，由题意AA′∥BB′显然成立，只要
0 0
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】证PQ∥BB'，转化为证2x +2x x ﹣（x +x ）（x +1）＝0．联立两直线方程求解x ，联立直线方程与抛
0 1 2 1 2 0 0
物线方程求得，x +x 与x x ，代入整理即可证明．
1 2 1 2
【解答】（1）解：设A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
∵AB∥l，∴AB的方程为 ，即x﹣2y+3＝0，
联立 ，得x2﹣px﹣3p＝0，
Δ＝p2+12p＞0，x +x ＝p，
1 2
∵P（1，2）为AB的中点，∴ ，得p＝2，
∴抛物线C的方程为x2＝4y；
（2）证明：当AB∥l时，∵AA'⊥l，BB'⊥l，∴则四边形ABB'A'为矩形，可知Q为AB'的中点，
又已知P为AB的中点，∴PQ为△ABB'的中位线，得PQ∥AA'∥BB'；
当AB与l不平行时，设AB与l相交于M（x ，y ），不妨设从左至右依次为点A、B、M，
0 0
由题意AA′∥BB′显然成立，只要证PQ∥BB'，即证 ，
又AA′∥BB′，∴ ，则需要证 ，
即证 ，也就是证2x +2x x ﹣（x +x ）（x +1）＝0．
0 1 2 1 2 0
设直线AB的方程为y＝k（x﹣1）+2，则 ，
联立 ，解得 ．
联立 ，得x2﹣4kx+4k﹣8＝0，
∴x +x ＝4k，x x ＝4k﹣8，
1 2 1 2
∴ ．
∴PQ∥BB'．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上所述，PQ∥AA'∥BB'．
【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档
题．
47．（2023•香坊区校级二模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），F为其焦点，P（2，y）（y＞0），A，B
三点都在抛物线C上，且|PF|＝4，直线AB，PA，PB的斜率分别为k，k ，k ．
1 2
（1）求抛物线C的方程，并证明k +k ﹣k k ＝ ；
1 2 1 2
（2）已知M（﹣1，﹣1），且A，B，M三点共线，若PA⊥PB且k ＞k ，求直线PA的方程．
1 2
【分析】（1）根据已知条件，结合抛物线的定义，求出抛物线的方程，再结合直线的斜率公式，即可
求证；
（2）设出直线AB的方程，并与抛物线联立，再结合韦达定理，以及（1）的结论，即可求解．
【解答】解：（1）由题可知，抛物线C：y2＝2px，P（2，y）（y＞0），且|FP|＝4，
根据抛物线的定义，可得 ，解得p＝4，
所以抛物线C的方程为y2＝8x，且点P（2，4）．
证明：设点 A（x ，y ） B（x ，y ），
1 1 2 2
则 ＝ ＝ ，同理可得， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】＝ ＝ ，
∴ ， ，
，即 ；
（2）解：由M（﹣1，﹣1），且A，B，M三点共线，
设直线AB的方程为x+1＝m（y+1），其中m＝ ，
联立 ，消去x得y2﹣8my﹣8m+8＝0，
y +y ＝8m，
1 2
y y ＝8﹣8m，
1 2
又由Δ＝（8m）2﹣4（8﹣8m）＞0，解得m＜﹣1或 ，
因为PA⊥PB，所以 ，即 ，
则 ，解得 ，
由（1）知 ，
所以 ，即 ，且 k ＞k ，
1 2
所以 k ＝3，
1
所以直线PA的方程为y﹣4﹣3（x﹣2），即3x﹣y﹣2＝0．
【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合，考查转化能力，属于难题．
二十一．双曲线的性质（共4小题）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】48．（2023•巴中模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为F ，F ，过F
1 2 1
斜率为 的直线与C的右支交于点P，若线段PF 恰被y轴平分，则C的离心率为（ ）
1
A． B． C．2 D．3
【分析】设PF 交y轴与A，可推出AO∥PF ，从而PF ⊥F F ，结合PF 的斜率，设|PF |＝3t可推出
1 2 2 1 2 1 2
a，c之间的关系，即可求得答案．
【解答】解：如图，设PF 交y轴与A，A为PF 的中点，
1 1
因为O为F F 的中点，
1 2
故AO为△PF F 的中位线，
1 2
则AO∥PF ，
2
而AO⊥F F ，
1 2
则PF ⊥F F ，
2 1 2
因为直线PF 的斜率为 ，
1
故在Rt△PF F 中， ，
2 1
设|PF |＝3t，
2
则|F F |＝4t，|PF |＝5t，
1 2 1
结合双曲线定义以及P在双曲线右支上，
则4t＝2c，|PF |﹣|PF |＝2a＝2t，
1 2
则2a＝c，
∴ ．
故选：C．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点评】本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线的定义及离心率的求法，属基础题．
49．（2023•辽宁模拟）如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反
射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E： ＝1（a＞0，b＞0）的左、右
焦点分别为 F ，F ，从 F 发出的光线经过图 2 中的 A，B 两点反射后，分别经过点 C 和 D，且
1 2 2
cos∠BAC＝﹣ ，AB⊥BD，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设|AF |＝m，|BF |＝n，由双曲线的定义可得|AF |，|BF |，在直角三角形AF B中，在△AF F
2 2 1 1 1 1 2
中，运用锐角三角函数的定义、勾股定理和余弦定理，化简整理，结合离心率公式，可得所求值．
【解答】解：设|AF |＝m，|BF |＝n，
2 2
由双曲线的定义可得|AF |＝2a+m，|BF |＝2a+n，
1 1
由 ，可得 ，
在直角三角形AF B中， ①，
1
（2a+n）2+（m+n）2＝（2a+m）2②，
在△AF F 中，可得 ③，
1 2
由①②可得 ， ，
代入③可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即为9c2＝17a2，
则 ，
故选：B．
【点评】本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率的求解等知识，属于中等题．
50．（2023•红山区模拟）如图所示，F ，F 是双曲线C： ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，C
1 2
的右支上存在一点B满足BF ⊥BF ，BF 与C的左支的交点A满足 ，则双曲
1 2 1
线C的离心率为（ ）
A．3 B． C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】在△ABF 和△AF F 中，由正弦定理结合条 ，则|AB|＝|AF |，设|AB|
2 1 2 1
＝|AF |＝x（x＞0），由双曲线的定义和勾股定理得到x＝3a，结合|F F |2＝|BF |2+|BF |2即可求解．
1 1 2 1 2
【解答】解：在△ABF ，由正弦定理得： ＝ ①，
2
在△AF F 中，由正弦定理得： ＝ ②，
1 2
又∠BAF +∠F AF ＝ ，则sin∠BAF ＝sin∠F AF ，
2 1 2 2 1 2
π
∴ 得： • ＝ ，
又 ，则 • ＝ ，即|AB|＝|AF |，
1
设|AB|＝|AF |＝x（x＞0），由双曲线的定义得：|BF |＝2x，|BF |＝2x﹣2a，|AF |＝x+2a，
1 1 2 2
由BF ⊥BF ，得|AF |2＝|AB|2+|BF |2，∴（x+2a）2＝x2+（2x﹣2a）2，解得x＝3a，
1 2 2 2
∴|BF |＝6a，|BF |＝4a，
1 2
在△BF F 中，由勾股定理得：|F F |2＝|BF |2+|BF |2，∴（2c）2＝（6a）2+（4a）2，
1 2 1 2 1 2
整理得c2＝13a2，∴双曲线C的离心率e＝ ＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的离心率的求法，属中档题．
51．（2023•山西模拟）已知双曲线 （a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F ，F ，A为双曲
1 2
线C的右支上一点，点A关于原点O的对称点为B，满足∠F AF ＝60°，且|BF |＝2|AF |，则双曲线C
1 2 2 2
的离心率为 ．
【分析】根据题意及对称性易知：四边形 AF BF 为平行四边形，从而可得|AF |＝|BF |＝2|AF |，又
1 2 1 2 2
∠F AF ＝60°，从而由余弦定理可得|F F |＝ |AF |，再根据勾股定理可得F F ⊥AF ，再将x＝c代入
1 2 1 2 2 1 2 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】双曲线方程中，可求出|AF |＝ ，从而建立方程，再化归转化，即可求解．
2
【解答】解：根据题意及对称性易知：四边形AF BF 为平行四边形，
1 2
∴|AF |＝|BF |＝2|AF |，又∠F AF ＝60°，
1 2 2 1 2
∴由余弦定理易得|F F |＝ |AF |，∴ ，
1 2 2
∴F F ⊥AF ，
1 2 2
将x＝c代入双曲线 （a＞0，b＞0）中，可得|y|＝ ，
∴|AF |＝ ，又|F F |＝2c，且|F F |＝ |AF |，
2 1 2 1 2 2
∴ ，
∴ ，
∴ ，又e＞1，
解得e＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，余弦定理的应用，勾股定理的应用，方程思想，化归转化思想，
属中档题．
二十二．直线与双曲线的综合（共2小题）
52．（2023•武汉模拟）已知双曲线C： 的焦距为8．过左焦点F的直线与C
的左半支交于A，B两点，过A，B作直线l：x＝﹣1的垂线，垂足分别为M，N，且当AB垂直于x轴时，
|MN|＝12．
（1）求C的标准方程；
（2）设点 ，判断是否存在t＞0，使得 为定值？若存在，求出t的
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由题意可得2c＝8，解得c，则a2+b2＝16，设A（x ，y ），B（x ，y ），当AB与x轴
1 1 2 2
垂直时，M（﹣1，y ），N（﹣1，y ），当AB与x轴垂直时，可得|y |＝|y |＝6，将（4，6）代入双曲
1 2 1 2
线的方程，可得 ﹣ ＝1，解得a，b，即可得出答案．
（2）由（1）可知，M（﹣1，y ），N（﹣1，y ），设直线AB的方程为x＝my﹣4，联立双曲线的方程，
1 2
结合韦达定理可得y +y ，y y ，x +x ，x x ，由直线AB与双曲线左支相交于两点，得x +x ＜0，x x ＞
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
0，解得﹣ ＜m＜ ，计算|PM|，|PN|，再化简 + ，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意可得2c＝8，可得c＝4，
所以a2+b2＝16，
设A（x ，y ），B（x ，y ），则M（﹣1，y ），N（﹣1，y ），
1 1 2 2 1 2
当AB与x轴垂直时，
因为|AB|＝|MN|＝12，则|y |＝|y |＝6，
1 2
所以 ﹣ ＝1，解得a＝2，b＝2 ，
所以双曲线C的标准方程为 ﹣ ＝1．
（2）由（1）可知，M（﹣1，y ），N（﹣1，y ），设直线AB的方程为x＝my﹣4，
1 2
联立 ，得（3m2﹣1）y2﹣24my+36＝0，
所以Δ＝（﹣24m）2﹣4（3m2﹣1）×36＝144m2+144＞0，
y +y ＝ ，y y ＝ ，
1 2 1 2
x +x ＝m（y +y ）﹣8＝m• ﹣8＝ ，
1 2 1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】x x ＝（my ﹣4）（my ﹣4）＝m2y y ﹣4m（y +y ）+16＝m2× ﹣4m× +16＝
1 2 1 2 1 2 1 2
，
因为直线AB与双曲线左支相交于两点，
所以x +x ＜0，x x ＞0，
1 2 1 2
解得﹣ ＜m＜ ，
|PM|＝ ＝ ，
因为 ﹣ ＝1，
所以 +12＝3 ，且x ＜0，
1
所以|PM|＝﹣ x ，
1
同理可得|PN|＝﹣ x ，
2
所以 + ＝﹣（ + ）＝﹣（ + ），
整理得 + ＝﹣ ，
所以 + ＝﹣ ，
所以 + ＝﹣ ，
因为 + 为定值，
所以 ＝ 或t＝4 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得t＝ 或t＝4 ．
【点评】本题考查曲线的方程，直线与双曲线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
53．（2023•梅河口市校级一模）已知双曲线C： ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F （﹣
1
c，0），F （c，0），离心率为 ，点P（x ，2）是C右支上一点，△PF F 的面积为4．
2 1 1 2
（1）求C的方程；
（2）点A是C在第一象限的渐近线上的一点，AF ⊥x轴，点Q是C右支在第一象限上的一点，且C在
2
点Q处的切线l与直线AF 相交于点M，与直线x＝ 相交于点N．试判断 的值是否为定值？
2
若为定值，求出它的值；若不为定值，请说明理由．
【分析】（1）通过双曲线的离心率，三角形的面积，可求得a、b，从而可得双曲线C的方程；
（2）求出A，设出Q的坐标，求解l的方程，直线l与直线AF相交于点M，与准线相交于点N，可求
得M，N的坐标，于是化简 的值，即可得到结果．
【解答】解：（1）双曲线C： ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F （﹣c，0），F （c，
1 2
0），
离心率为 ，点P（x ，2）是C右支上一点，△PF F 的面积为4．
1 1 2
可得e＝ ， ，解得c＝2，a＝ ，则b＝1，
∴双曲线C的方程为 ﹣y2＝1；
（2）点A是C在第一象限的渐近线上的一点，AF ⊥x轴，知A（2， ），点Q是C右支在第一象
2
限上的一点，且C在点Q处的切线l，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设Q（x ，y ），则切线l的方程为： ﹣y y＝1，
0 0 0
又F （2，0），直线l： ﹣y y＝1与直线AF相交于点M，与直线直线x＝ ＝ 相交于点N．
2 0
于是可得M（2， ），N（ ， ），
又因为Q（x ，y ）在C上，所以有 ＝1，
0 0
∴ ＝
＝
＝
＝
＝ ．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，推理
论证能力、运算求解能力、函数与方程思想，属于难题．
二十三．曲线与方程（共2小题）
54．（2023•江西模拟）关于曲线C：（x﹣m）2+（y﹣m）2＝（m﹣1）2，下列说法正确的是（ ）
A．曲线C可能经过点（0，2）
B．若m＞1，过原点与曲线C相切的直线有两条
C．若m＝1，曲线C表示两条直线
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D．若m＝2，则直线y＝x被曲线C截得弦长等于
【分析】直接将点（0，2）代入曲线C方程，由方程无解即可判断A选项；先由原点到圆心的距离判断
出原点在圆外即可判断B选项；
m＝1代入曲线C解出 即可判断C选项；先求出圆心（2，2）在直线y＝x上结合直径即可判断D
选项．
【解答】解：将点（0，2）代入曲线C：（x﹣m）2+（y﹣m）2＝（m﹣1）2可得（﹣m）2+（2﹣m）2
＝（m﹣1）2，
整理得m2﹣2m+3＝0，即（m﹣1）2+2＝0，显然此方程无解，即曲线C一定不过点（0，2），A错误；
m＞1时，易得曲线C是圆心为（m，m），半径为m﹣1的圆，
此时原点和圆心之间的距离为 ， ，
故原点在圆外，过原点有两条直线与曲线C相切，B正确；
m＝1时，曲线C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝0，则 ，解得 ，
则曲线C表示一个点，C错误；
m＝2时，曲线C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1，圆心（2，2）在直线y＝x上，
则直线y＝x被曲线C截得弦长即为圆的直径等于2，D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了曲线与方程，属于中档题．
55．（2023•兴庆区校级二模）曲线 ，要使直线y＝m（m R）与曲线Γ
∈
有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ）
A．
B．
C．（3，3）
D．
【分析】结合x2+y2≥9可确定曲线上的点的位置，结合双曲线和圆的图象可确定曲线 Γ的图象，采用数
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】形结合的方式可求得结果．
【解答】解：由题意得：x2+y2﹣9≥0，即x2+y2≥9，即曲线Γ上的点（x，y）为圆x2+y2＝9上或圆x2+y2
＝9外的点，
由 得： 或x2+y2＝9，
由 ，得 或 或 或 ，
由此可得曲线Γ的图象如下图所示，
由图象可知：当 时，直线y＝m与曲线Γ有四个不同交点；
∴实数m的取值范围为 ．
故选：B．
【点评】本题主要考查曲线与方程，直线与圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
二十四．直线与圆锥曲线的综合（共5小题）
56．（2023•河南模拟）若直线l： 与曲线C： 有两个公共点，则实数m的取值范
围为（ ）
A． B．
C．（﹣2，0）∪（0，2） D．（0，2）
【分析】依题意作出曲线C的图象，作出直线 的图象，平行移动直线 ，即可得到当直线
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】l介于 与l 之间时，直线l与曲线C有两个公共点，结合图象，即可求出实数m的取值范围．
1
【解答】解：当x≥0时，曲线C的方程为 ，轨迹为椭圆 的右半部分；
当x＜0时，曲线C的方程为 ，轨迹为双曲线 的左半部分，其渐近线为 ，
作出图象如图，直线l（图中虚线）是与直线 平行的直线，平行移动直线 ，可得直线l，
如图可知，当直线l介于直线 和l （l 与l平行且与椭圆相切，切点在第一象限）之间时，直线l
1 1
与曲线C有两个公共点．
设l 的方程为 ，（m ＞0），则有0＜m＜m ，
1 0 0
联立 ，消去x并整理得 ，
由 ，解得 或 （舍），
故m的取值范围为 ．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
57．（2023•李沧区校级一模）已知m，n，s，t R*，m+n＝4， + ＝9，其中m，n是常数，且s+t的最
∈
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】小值是 ，点M（m，n）是曲线 ﹣ ＝1的一条弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为（ ）
A．x﹣4y+6＝0 B．4x﹣y﹣6＝0 C．4x+y﹣10＝0 D．x+4y﹣10＝0
【分析】由已知 求出s+t取得最小值时m，n满足的条件，再结合m+n＝4求出m，n，再用点
差法求出直线的斜率，从而得直线方程．
【解答】解：∵ ，
当且仅当 ，即 取等号，
∴ ，又m+n＝4，又m，n为正数，
∴可解得 ，
设弦两端点分别为（x ，y ），（x ，y ），则 ，
1 1 2 2
两式相减得 ，
∵x +x ＝4，y +y ＝4，
1 2 1 2
∴ ，
∴直线方程为 ，即x﹣4y+6＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了直线与双曲线的综合运用，属于中档题．
58．（2023•吉林模拟）已知点F（0，1），动点M在直线l：y＝﹣1上，过点M且垂直于x轴的直线与线
段MF的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知圆x2+（y+2）2＝4的一条直径为AB，延长AO，BO分别交曲线C于S，T两点，求四边形
ABST面积的最小值．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）法一：设点P（x，y），由题意可知|PF|＝|PM|，将该式转化为方程，化简可得答案；
法二：利用抛物线的定义即可求得答案．
（2）法一：设直线OA方程为y＝kx，分别联立抛物线方程和圆的方程，求得交点坐标，即可求得|AS|
的表达式，同理得|BT|的表达式，即可求得四边形ABST面积的表达式，结合函数的单调性，即可求得
答案；
法二：设直线OA方程为x＝my，下面方法和法一相同．
【解答】解：（1）法一：设点P（x，y），则M（x，﹣1）．
由题意知|PF|＝|PM|，即 ，
整理得：x2＝4y，
则曲线C的方程为x2＝4y．
法二：由题意知，点P到点F（0，1）的距离等于其到直线y＝﹣1的距离相等，
则点P的轨迹为以F（0，1）为焦点，以y＝﹣1为准线的抛物线，
则曲线C的方程为x2＝4y．
（2）法一：由题意知，AB为圆x2+（y+2）2＝4的直径，则OA⊥OB．
由题意知直线OA存在斜率，设为k，且k≠0，则直线OB的斜率为 ．
又OA所在直线为y＝kx，
联立 ，解得：x ＝0或x ＝4k，则不妨取S点横坐标为x ＝4k，
1 2 2
联立 ，解得：x ＝0或 ，则不妨取A点横坐标为 ，
3
所以 ．
同理可得 ，
四 边 形 ABST 的 面 积 ＝
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
令 ，t [2，+∞），则 ，
∈
因为S在[2，+∞）上单调递增，所以当t＝2时，S有最小值36．
即当k＝±1时，四边形ABST面积的最小值为36
法二：设OA方程为x＝my，
由 ，得 ．
由 ，得 ，
∴ ，
同 理 可 得 ： ．
令 ，
则 在t [2，+∞）上单调递增．
∈
∴ ，
当t＝2即k＝±1时，四边形ABST面积的最小值为36
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即四边形ABST面积的最小值为36．
【点评】本题考查抛物线的标准方程及其性质，考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属
于中档题．
59．（2023•盐山县校级三模）已知P为圆M： 上任一点， ， ，
（0，1），且满足 ．
λ（∈ 1）求动点Q的轨迹Γ的方程；
（2）直线l：y＝kx+1与轨迹Γ相交于A，B两点，与x轴交于点D，过AB的中点且斜率为 的直线
与x轴交于点E，记 ，若 ，求 的取值范围．
μ
【分析】（1）根据向量的几何性质由 得|QN|＝|QP|，推出|NQ|+|QM|＝4，可得动点Q
的轨迹为椭圆，进而可得轨迹方程；
（2）根据弦长公式得 ，根据中垂线的方程可得 ，
，由函数的单调性可得 ．
【解答】解：（1）因为 ，
所以|QN|＝|QP|，
又|MQ|+|QP|＝|MP|＝4，
可得|NQ|+|QM|＝4，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以动点Q的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，
则动点Q的轨迹Γ的方程为 ；
（2）直线l：y＝kx+1与轨迹Γ相交于A，B两点，与x轴交于点D，
联立 ，消去y并整理得（2k2+1）x2+4kx﹣2＝0，
此时Δ＝32k2+8＞0，
不妨设A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
由韦达定理得 ， ，
此时 ，
所以线段AB的中点坐标为 ，
而线段AB垂直平分线的方程为 ，
令y＝0，
解得 ，
对于直线y＝kx+1，
令y＝0，
解得 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，
所以 ，
不妨令 ，
此时 ，
易得 ，
当 时，y′＞0，
所以函数 在 上单调递增，
则 ，
故 ．
【点评】本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
60．（2023•梅州一模）已知动圆M经过定点 ，且与圆F ： 内切．
2
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设PB交直线x＝
4于点T，连结AT交轨迹C于点Q．直线AP、AQ的斜率分别为k 、k ．
AP AQ
（i）求证：k •k 为定值；
AP AQ
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（ii）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标．
【分析】（1）根据定点F 和圆心F 的位置关系，利用两圆内切即可得出半径之和等于圆心距，再根据
1 2
椭圆定义即可求得轨迹C的方程；（2）（i）易知A，B即为椭圆的左右顶点，设出点P，Q坐标，利
用共线时斜率相等即可得出k ⋅k 的表达式，化简即可得出 ；（ii）根据（i）中的结论，
AP AQ
写出直线PQ的方程，将表达式化简即可得出直线PQ经过定点（1，0）．
【解答】解：（1）设动圆的半径为r，由题意得圆F 的圆心为 ，半径R＝4；
2
所以|MF |＝r，|MF |＝R﹣r，
1 2
则 ．
所以动点M的轨迹C是以F ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆，
1 2
因此轨迹C方程为 ．
（2）证明：（i）设P（x ，y ），Q（x ，y ），T（4，m）．
1 1 2 2
由题可知A（﹣2，0），B（2，0），如下图所示：
则 ， ，
而 ，于是 ，
所以 ＝ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，则 ＝ ，
因此k ⋅k ＝ ＝ 为定值．
Ap AQ
（ii）设直线PQ的方程为x＝ty+n，P（x ，y ），Q（x ，y ）．
1 1 2 2
由 ，得（t2+4）y2+2tny+n2﹣4＝0，
所以 ．
由（i）可知， ，即 ，
化简得 ，解得n＝1或n＝﹣2（舍去），
所以直线PQ的方程为x＝ty+1，
因此直线PQ经过定点（1，0）．
【点评】本题主要考查轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，考查圆锥曲线中的定值定点问题，解
决定值或定点问题时，经常会用到设而不求的方法，即首先设出点坐标或直线方程，再根据题目条件寻
找等量关系即可实现整体代换求得定值或定点，属于难题．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
