文档内容
综合训练 10 平面解析几何（24 种题型 60 题专练）
一．直线的倾斜角（共1小题）
1．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知直线l的一个方向向量为 ，则直线l的倾斜角
为（ ）
A． B． C． D．
二．直线的斜率（共2小题）
（多选）2．（2023•定远县校级模拟）如图所示，边长为 2的等边△OAB从起始位置（OA 与y轴重合）
1
绕着O点顺时针旋转至OB与x轴重合得到△OA B ，在旋转的过程中，下列说法正确的是（ ）
2 2
A．边AB所在直线的斜率的取值范围是
B．边AB所在直线在y轴上截距的取值范围是[2，4]
C．边A B 与边A B 所在直线的交点为
1 1 2 2
D．当AB的中垂线为x﹣y＝0时，
（多选）3．（2023•广东二模）在平面直角坐标系中，已知正方形 ABCD四边所在直线与x轴的交点分别
为（0，0），（1，0），（2，0），（4，0），则正方形ABCD四边所在直线中过点（0，0）的直线的
斜率可以是（ ）
A．2 B． C． D．
三．直线的截距式方程（共1小题）
4．（2023•武汉模拟）直线l ：y＝2x和l ：y＝kx+1与x轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足条件的k
1 2
的两个可能取值： 和 ．四．直线的一般式方程与直线的平行关系（共2小题）
5．（2023•青岛三模）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂
心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知△ABC的顶点A（﹣3，0），B（3，0），C（3，
3），若直线l：ax+（a2﹣3）y﹣9＝0与△ABC的欧拉线平行，则实数a的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．﹣1或3 D．3
6．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知两条直线ax+2y+4＝0与3x+（a﹣1）y﹣6＝0平行，则a＝ ．
五．直线的一般式方程与直线的垂直关系（共3小题）
（多选）7．（2023•安徽模拟）已知直线l ：（sin ）x﹣（cos ）y+1＝0，l ：（sin ）x+（cos ）y+1＝
1 2
0，l ：（cos ）x﹣（sin ）y+1＝0，l ：（cos ）αx+（sin ）yα+1＝0．则（ ） α α
3 4
A．存在实数α ，使l ∥lα α α
1 2
B．存在实数α，使l ∥l
2 3
C．对任意实数α ，都有l ⊥l
1 4
D．存在点到四条α直线距离相等
8．（2023•湖北模拟）已知动直线l的方程为（1﹣a2）x+2ay﹣3a2﹣3＝0，a R， ，O为坐标
∈
原点，过点O作直线l的垂线，垂足为Q，则线段PQ长度的取值范围为（ ）
A．（0，5] B．[1，5] C．[5，+∞） D．（0，3]
9．（2023•长宁区校级三模）已知直线 l ：x+y＝0和l ：2x﹣ay+3＝0（a R），若 l ⊥l ，则 a＝
1 2 1 2
． ∈
六．两条直线的交点坐标（共2小题）
10．（2023•东城区二模）已知三条直线l ：x﹣2y+2＝0，l ：x﹣2＝0，l ：x+ky＝0将平面分为六个部分，
1 2 3
则满足条件的k的值共有（ ）
A．1个 B．2 个 C．3个 D．无数个
（多选）11．（2023•江宁区校级模拟）已知直线l ：2x+y﹣6＝0和点A（1，﹣1），过点A作直线l 与直
1 2
线l 相交于点B，且AB＝5，则直线l 的方程为（ ）
1 2
A．x＝1 B．y＝﹣1 C．3x+4y+1＝0 D．4x+3y﹣1＝0
七．恒过定点的直线（共2小题）
（多选）12．（2023•深圳模拟）设直线系M：xcos +ysin ＝1+2sin （0≤ ≤2 ），下列命题中的真命题
有（ ） θ θ θ θ π
A．M中所有直线均经过一个定点B．存在定点P不在M中的任一条直线上
C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上
D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
13．（2023•江苏模拟）设k R，直线l ：kx+y﹣k＝0，I直线l ：x﹣ky+2k﹣3＝0，记l ，l 分别过定点
1 2 1 2
A，B，l 与l 的交点为C，∈则|AC|+|BC|的最大值为 ．
1 2
八．与直线关于点、直线对称的直线方程（共3小题）
14．（2023•碑林区校级模拟）已知：A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），E（﹣1，0），F（1，
0），一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端
点）．则FD斜率的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2） B．（0，+∞） C．（1，+∞） D．（4，+∞）
15．（2023•思明区校级四模）已知直线l ：3x﹣4y﹣4＝0关于直线l 的对称直线为y轴，则l 的方程为
1 2 2
．
16．（2023•麒麟区校级模拟）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮
马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处
出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为
x2+（y+2）2≤3，若将军从点A（﹣4，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y﹣1＝0，并假定将军只要
到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 ．
九．两点间的距离公式（共2小题）
17．（2023•江西模拟）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角均
小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相
等 且 均 为 120° ． 根 据 以 上 性 质 ， 则
的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．18．（2023•海淀区校级三模）如图所示，在8×6的长方形区域（含边界）中有A，B两点，对于该区域中
的点 P，若其到 A 的距离不超过到 B 距离的一半，则称 P 处于 A 的控制下，例如原点 O 满足
，即有O点处于A的控制下．同理可定义P处于B的控制下．
给出下列四个结论：
①点（4，2）处于A的控制下；
②若点P不处于A的控制下，则其必处于B的控制下；
③若P处于A的控制下，则 ；
④图中所有处于A的控制下的点构成的区域面积为8+5 ．
其中所有正确结论的序号是 ． π
一十．点到直线的距离公式（共2小题）
19．（2023•安庆模拟）已知点A（﹣4，1）在直线l：（2m+1）x﹣（m﹣1）y﹣m﹣5＝0（m R）上的射
影为点B，则点B到点P（3，﹣1）距离的最大值为（ ） ∈
A． B．5 C． D．
20．（2023•南关区校级二模）直线l的方程为（ +2）x+（ ﹣1）y﹣3 ＝0（ R），当原点O到直线l的
距离最大时， 的值为（ ） λ λ λ λ∈
A．﹣1 λ B．﹣5 C．1 D．5
一十一．两直线的夹角与到角问题（共1小题）
21．（2023•睢宁县校级模拟）在△ABC中，∠A的内角平分线方程为y＝x，B（1，4），C（4，3），则
角C的正切值为 ．
一十二．与直线有关的动点轨迹方程（共1小题）
22．（2023•固镇县三模）如图，在平行四边形OABC中，点O是原点，点A和点C的坐标分别是（3，
0）、（1，3），点D是线段AB上的动点．（1）求AB所在直线的一般式方程；
（2）当D在线段AB上运动时，求线段CD的中点M的轨迹方程．
一十三．轨迹方程（共2小题）
23．（2023•铜陵三模）已知平面上两定点A、B，则所有满足 （ ＞0且 ≠1）的点P的轨迹是
λ λ
一个圆心在AB上，半径为 的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故
称作阿氏圆．已知棱长为3的正方体ABCD﹣A B C D 表面上动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹长
1 1 1 1
度为（ ）
A．2 B． C． D．
（多选）π24．（2023•香坊区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，已知定点A（0，1），B（3，1），动
点P满足|PA|＝2|PB|，记动点P的轨迹为曲线C，直线l：kx﹣y+2﹣3k＝0（k R），则下列结论中正确
的是（ ） ∈
A．曲线C的方程为（x﹣4）2+（y﹣1）2＝4
B．直线l与曲线C相交
C．若直线l被曲线C截得的弦长为 ，则k＝﹣2
D．|BP|的最大值为3
一十四．点与圆的位置关系（共1小题）25．（2023•定西模拟）若点（2，1）在圆x2+y2﹣x+y+a＝0的外部，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
一十五．直线与圆的位置关系（共5小题）
26．（2023•海淀区校级模拟）直线 l：3x+4y﹣1＝0 被圆 C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣4＝0 所截得的弦长为
（ ）
A． B．4 C． D．
27．（2023•阆中市校级二模）若点M是圆C：x2+y2﹣4x＝0上的任一点，直线l：x+y+2＝0与x轴、y轴
分别相交于A、B两点，则∠MAB的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（多选）28．（2023•泉州模拟）已知AB为圆C：x2+y2＝4的直径，直线l：y＝kx+1与y轴交于点M，则
（ ）
A．l与C恒有公共点
B．△ABM是钝角三角形
C．△ABM的面积的最大值为1
D．l被C截得的弦的长度的最小值为
29．（2023•武功县校级模拟）已知圆O：x2+y2＝4，M（x ，y ）为圆O上位于第一象限的一点，过点M
0 0
作圆O的切线l．当l的横纵截距相等时，l的方程为（ ）A． B． C． D．
30．（2023•天津模拟）设直线y＝x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0（a＞0）相交于A，B两点，若|AB|＝2
，则a＝ ．
一十六．圆与圆的位置关系及其判定（共1小题）
31．（2023•河南模拟）若圆 与圆 的公共弦AB的长为1，则
直线AB的方程为（ ）
A．2ax+by﹣1＝0 B．2ax+by﹣3＝0
C．2ax+2by﹣1＝0 D．2ax+2by﹣3＝0
一十七．椭圆的性质（共4小题）
32．（2023•淄博模拟）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的
一 个 焦 点 射 出 的 光 线 ， 经 椭 圆 反 射 ， 其 反 射 光 线 必 经 过 椭 圆 的 另 一 焦 点 ． 设 椭 圆
的左、右焦点分别为F ，F ，若从椭圆右焦点F 发出的光线经过椭圆上的点
1 2 2
A和点B反射后，满足AB⊥AD，且cos∠ABC＝ ，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
33．（2023•海口模拟）已知F ，F 为椭圆 的两个焦点，P为椭圆上一点且|PF |＝2|PF |，则
1 2 1 2△PF F 的面积为（ ）
1 2
A． B． C．4 D．
34．（2023•铜仁市模拟）法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现
与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日
圆．若椭圆Γ′： ＝1（a＞b＞0）的蒙日圆为C：x2+y2＝ a2，过C上的动点M作Γ的两条切
线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交F于A，B两点，则下列结论不正确的是（ ）
A．椭圆Γ的离心率为
B．△MPQ面积的最大值为
C．M到Γ的左焦点的距离的最小值为
D．若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k ，k ，则k k ＝﹣
1 2 1 2
（多选）35．（2023•衡水模拟）已知椭圆C： ，F ，F 分别为它的左右焦点，A，B分别为它
1 2
的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．存在P使得
B．cos∠F PF 的最小值为
1 2
C．若PF ⊥PF ，则△F PF 的面积为9
1 2 1 2
D．直线PA与直线PB斜率乘积为定值
一十八．直线与椭圆的综合（共5小题）
36．（2023•全国模拟）已知椭圆E： ，的右焦点F（1，0），过F作直线AB交E于A，B两
点，E上有两点M，N满足：MF，NF分别为∠AMB，∠ANB的角平分线．当直线AB斜率为 时，△MNF的外接圆面积为9
（1）求E的标准方程； π
（2）设直线MN：y＝kx+b，求k和b的代数关系．
37．（2023•四川模拟）已知椭圆 的短轴长为 ，左顶点A到右焦点F的
距离为3．
（1）求椭圆C的方程及离心率；
（2）设直线l与椭圆C交于不同两点M，N（不同于A），且直线AM和AN的斜率之积与椭圆的离心
率互为相反数，求F在l上的射影H的轨迹方程．
38．（2023•泸州模拟）已知椭圆 的焦点F（﹣1，0），点 在
椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点F的直线l与C交于A，B两点，过点F与l垂直的直线与C交于M，N两点，求
的取值范围．
39．（2023•河北模拟）已知椭圆C： （a＞b＞0）的离心率为 ，三点 ，
， 中恰有两个点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若C的上顶点为E，右焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点（与椭圆顶点不重合），直线
EA，EB分别交直线x﹣y﹣4＝0于P，Q两点，求△EPQ面积的最小值．
40．（2023•丹凤县校级模拟）已知椭圆C： ＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，长轴长
为短轴长的2倍，点P在C上运动，且△ABP面积的最大值为8．
（1）求C的方程；
（2）若直线l经过点Q（1，0），交C于M，N两点，直线AM，BN分别交直线x＝4于D，E两点，试问△ABD与△AQE的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
一十九．抛物线的性质（共4小题）
41．（2023•成都模拟）已知点F（0，4）是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，点P（2，3），且点M为
抛物线C上任意一点，则|MF|+|MP|的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
42．（2023•宝鸡模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点T在C上，且|FT|＝ ，若点M的
坐标为（0，1），且MF⊥MT，则C的方程为（ ）
A．y2＝2x或y2＝8x B．y2＝x或y2＝8x
C．y2＝2x或y2＝4x D．y2＝x或y2＝4x
43．（2023•巴中模拟）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线
的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 y2＝
4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点A（5，4）射出，经过抛物线上的点B反射后，再经抛物线
上的另一点C射出，则|BC|＝ ．
44．（2023•浉河区校级三模）已知抛物线C ：y2＝2px（p＞0）上一点Q（1，a）到焦点的距离为3，
1
（1）求a，p的值；
（Ⅱ）设P为直线x＝﹣1上除（﹣1，﹣ ），（﹣1， ）两点外的任意一点，过P作圆C ：（x
2
﹣2）2+y2＝3的两条切线，分别与曲线C 相交于点A，B和C，D，试判断A，B，C，D四点纵坐标之
1
积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由．二十．直线与抛物线的综合（共3小题）
45．（2023•碑林区校级模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A，B两点，
以AB为直径的圆与y轴交于D，E两点，且 ，则直线l的方程为（ ）
A． B．x±y﹣1＝0 C．2x±y﹣2＝0 D．x±2y﹣1＝0
46．（2023•泸县校级模拟）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），直线 ，过点P（1，2）作直线
与C交于A，B两点，当AB∥l时，P为AB中点．
（1）求C的方程；
（2）作AA'⊥l，BB'⊥l，垂足分别为A'，B'两点，若BA'与AB'交于Q，求证：PQ∥AA'∥BB'．
47．（2023•香坊区校级二模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），F为其焦点，P（2，y）（y＞0），A，B
三点都在抛物线C上，且|PF|＝4，直线AB，PA，PB的斜率分别为k，k ，k ．
1 2（1）求抛物线C的方程，并证明k +k ﹣k k ＝ ；
1 2 1 2
（2）已知M（﹣1，﹣1），且A，B，M三点共线，若PA⊥PB且k ＞k ，求直线PA的方程．
1 2
二十一．双曲线的性质（共4小题）
48．（2023•巴中模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为F ，F ，过F
1 2 1
斜率为 的直线与C的右支交于点P，若线段PF 恰被y轴平分，则C的离心率为（ ）
1
A． B． C．2 D．3
49．（2023•辽宁模拟）如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反
射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E： ＝1（a＞0，b＞0）的左、右
焦点分别为 F ，F ，从 F 发出的光线经过图 2 中的 A，B 两点反射后，分别经过点 C 和 D，且
1 2 2
cos∠BAC＝﹣ ，AB⊥BD，则E的离心率为（ ）A． B． C． D．
50．（2023•红山区模拟）如图所示，F ，F 是双曲线C： ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，C
1 2
的右支上存在一点B满足BF ⊥BF ，BF 与C的左支的交点A满足 ，则双曲
1 2 1
线C的离心率为（ ）
A．3 B． C． D．
51．（2023•山西模拟）已知双曲线 （a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F ，F ，A为双曲
1 2
线C的右支上一点，点A关于原点O的对称点为B，满足∠F AF ＝60°，且|BF |＝2|AF |，则双曲线C
1 2 2 2
的离心率为 ．
二十二．直线与双曲线的综合（共2小题）
52．（2023•武汉模拟）已知双曲线C： 的焦距为8．过左焦点F的直线与C
的左半支交于A，B两点，过A，B作直线l：x＝﹣1的垂线，垂足分别为M，N，且当AB垂直于x轴时，
|MN|＝12．
（1）求C的标准方程；
（2）设点 ，判断是否存在t＞0，使得 为定值？若存在，求出t的
值；若不存在，说明理由．53．（2023•梅河口市校级一模）已知双曲线C： ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F （﹣
1
c，0），F （c，0），离心率为 ，点P（x ，2）是C右支上一点，△PF F 的面积为4．
2 1 1 2
（1）求C的方程；
（2）点A是C在第一象限的渐近线上的一点，AF ⊥x轴，点Q是C右支在第一象限上的一点，且C在
2
点Q处的切线l与直线AF 相交于点M，与直线x＝ 相交于点N．试判断 的值是否为定值？
2
若为定值，求出它的值；若不为定值，请说明理由．二十三．曲线与方程（共2小题）
54．（2023•江西模拟）关于曲线C：（x﹣m）2+（y﹣m）2＝（m﹣1）2，下列说法正确的是（ ）
A．曲线C可能经过点（0，2）
B．若m＞1，过原点与曲线C相切的直线有两条
C．若m＝1，曲线C表示两条直线
D．若m＝2，则直线y＝x被曲线C截得弦长等于
55．（2023•兴庆区校级二模）曲线 ，要使直线y＝m（m R）与曲线Γ
∈
有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ）
A．
B．
C．（3，3）
D．
二十四．直线与圆锥曲线的综合（共5小题）
56．（2023•河南模拟）若直线l： 与曲线C： 有两个公共点，则实数m的取值范
围为（ ）
A． B．
C．（﹣2，0）∪（0，2） D．（0，2）
57．（2023•李沧区校级一模）已知m，n，s，t R*，m+n＝4， + ＝9，其中m，n是常数，且s+t的最
∈
小值是 ，点M（m，n）是曲线 ﹣ ＝1的一条弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为（ ）
A．x﹣4y+6＝0 B．4x﹣y﹣6＝0 C．4x+y﹣10＝0 D．x+4y﹣10＝0
58．（2023•吉林模拟）已知点F（0，1），动点M在直线l：y＝﹣1上，过点M且垂直于x轴的直线与线
段MF的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；
（2）已知圆x2+（y+2）2＝4的一条直径为AB，延长AO，BO分别交曲线C于S，T两点，求四边形
ABST面积的最小值．
59．（2023•盐山县校级三模）已知P为圆M： 上任一点， ， ，
（0，1），且满足 ．
λ∈
（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；
（2）直线l：y＝kx+1与轨迹Γ相交于A，B两点，与x轴交于点D，过AB的中点且斜率为 的直线
与x轴交于点E，记 ，若 ，求 的取值范围．
μ60．（2023•梅州一模）已知动圆M经过定点 ，且与圆F ： 内切．
2
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设PB交直线x＝
4于点T，连结AT交轨迹C于点Q．直线AP、AQ的斜率分别为k 、k ．
AP AQ
（i）求证：k •k 为定值；
AP AQ
（ii）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标．
