文档内容
考点 07 对数函数（12 种题型 2 个易错考点）
一、 真题多维细目表
考题 考点 考向
2022·北京·统考高考真题 对数的运算 对数的运算解决实际问题
2022·天津·统考高考真题 对数的运算 对数的运算性质的应用
二、命题规律与备考策略
【解题方法点拨】
1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法
（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；
（2）将同底对数的和、差、倍合并；
（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用
及变形应用；
（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．
2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点
（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．
（2）对数函数y＝log x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（
a
，﹣1）函数图象只在第一、四象限．
（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．
3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用
（1）比较对数式的大小：
①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对
底数进行分类讨论．
②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．
③若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．
（2）解对数不等式：
形如log x＞log b的不等式，借助y＝log x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1
a a a
与0＜a＜1两种情况讨论．形如log x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形
a
式．
三、 2022 真题抢先刷，考向提前知
4．（2022·北京·统考高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的
二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧
学科网（北京）股份有限公司 1化碳所处的状态与T和 的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 ．
下列结论中正确的是（ ）
A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
5．（2022·天津·统考高考真题）化简 的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
四、考点清单
一．对数的概念
1．对数的定义
如果ax＝N（a＞0且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log N，其中a叫
a
做对数的底数，N叫做真数．
（2）几种常见对数
对数形式 特点 记法
一般对数 底数为a（a＞0且 log N
a
a≠1）
常用对数 底数为10 lgN
自然对数 底数为e lnN
二．指数式与对数式的互化
ab＝N logaN＝b；
alogaN＝ ⇔N；log
a
aN＝N
指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
（1）af（x）＝b f（x）＝log b；log f（x）＝b f（x）＝ab（定义法）
a a
（2）af（x）＝a⇔ g（x） f（x）＝g（x）；log
a
f（⇔x）＝log
a
g（x） f（x）＝g（x）＞0（同底
⇔ ⇔
学科网（北京）股份有限公司 2法）
（3）af（x）＝bg（x） f（x）log a＝g（x）log b；（两边取对数法）
m m
⇔
（4）log f（x）＝log g（x） log f（x）＝ ；（换底法）
a b a
⇔
（5）Alog x+Blog x+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（设t＝log x或t＝ax）（换元法）
a a
三．对数的运算性质
对数的性质：① ＝N；②log aN＝N（a＞0且a≠1）．
a
log （MN）＝log M+log N； log ＝log M﹣log N；
a a a a a a
log Mn＝nlog M； log ＝ log M．
a a a a
四．换底公式的应用
换底公式及换底性质：
（1）log N＝ （a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）．
a
（2）log b＝ ，
a
（3）log b•log c＝log c，
a b a
（4）log bm＝ log b．
an a
五．对数函数的定义
一般地，如果a（a＞0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作
log N＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．即ab＝N，log N＝b．
a a
底数则要大于0且不为1．
六．对数函数的定义域
一般地，我们把函数y＝log x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的
a
定义域是（0，+∞），值域是R．
七．对数函数的值域与最值
一般地，我们把函数y＝log x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的
a
定义域是（0，+∞），值域是R．
定点：函数图象恒过定点（1，0）
八．对数值大小的比较
1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．
2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较
3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行
学科网（北京）股份有限公司 3比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）
九．对数函数的图象与性质
十．对数函数的单调性与特殊点
对数函数的单调性和特殊点：
1、对数函数的单调性
当a＞1时，y＝log x在（0，+∞）上为增函数
a
当0＜a＜1时，y＝log x在（0，+∞）上为减函数
a
2、特殊点
对数函数恒过点（1，0）
十一．指数函数与对数函数的关系
（1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对
称．
（2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，
它们是减函数．
（3）指数函数与对数函数的联系与区别：
十二．对数函数图象与性质的综合应用
1、对数函数的图象与性质：
学科网（北京）股份有限公司 4a＞1 0＜a＜1
图象
定义域 （ 0 ， + ∞）
值域 R
定点 过点 （ 1 ， 0 ）
单调性 在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数
函数值正 当x＞1时，y＞0；当0＜x 当x＞1时，y＜0；当0＜x
负 ＜1，y＜0 ＜1时，y＞0
2、由对数函数的图象确定参数的方法
已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图
象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其
中所含参数的取值范围．
五、题型方法
一．对数的概念（共2小题）
1．（2022 秋•宝应县校级月考）若对数 ln（x2﹣5x+6）存在，则 x 的取值范围为
．
2．（2022春•闵行区校级期中）从1，2，3，4，9这五个数中任取两个数分别作为对数的
底数和真数，则可以得到 种不同的对数值．
二．指数式与对数式的互化（共4小题）
3．（2023•河西区模拟）已知3a＝4b＝m， ，则m的值为（ ）
A．36 B．6 C． D．
（多选）4．（2023•宣城模拟）已知3x＝5y＝15，则实数x，y满足（ ）
A．x＞y B．x+y＜4 C． D．xy＞4
5．（2023•滨海新区模拟）已知 ，4b＝n，若 ，则n的值为（ ）
A． B．5 C． D．25
6．（2023•天津模拟）已知4x＝3y＝m，且 ＝2，则m＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
三．对数的运算性质（共7小题）
学科网（北京）股份有限公司 57．（2023•江西二模）已知 a＞1，b＞1，a3b＝100，则 log 10+3log 10 的最小值为
a b
（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
8．（2023•贵州模拟）1707年Euler发现了指数与对数的互逆关系：当a＞0，a≠1时，ax
＝N等价于x＝log N．若ex＝25，lg2≈0.3010，lge≈0.4343，则x的值约为（ ）
a
A．3.2190 B．2.3256 C．3.1775 D．2.7316
9．（2023•河北模拟）斯特林公式（Stirling'sapproximation）是由英国数学家斯特林提出的
一条用来取n的阶乘的近似值的数学公式，即n!≈ （ ）n，其中 为圆周率，e
为自然对数的底数．一般来说，当n很大的时候，n的阶乘的计算量十分大，所以斯特
π
林公式十分好用．斯特林公式在理论和应用上都具有重要的价值，对于概率论的发展也
有着重大的意义．若利用斯特林公式分析100！计算结果，则该结果写成十进制数时的
位数约为（ ）
（参考数据：lg2≈0.301，lg ≈0.497，lge≈0.434）
A．154 B．158 C．164 D．172
π
10．（2023•淄博二模）设 p＞0，q＞0，满足 log p＝log q＝log （2p+q），则 ＝
4 6 9
．
11．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知一个15位正整数N＝a×1014（1≤a＜10），且N的
30 次方根仍是一个整数，则这个 30 次方根为（参考数据：lg2≈0.3，lg3＝0.48，
lg5≈0.7）（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．（2023•怀化二模）已知实数a，b，满足e2﹣a＝a，b（lnb﹣1）＝e3，其中e是自然对
数的底数，则ab的值为 ．
（多选）13．（2023•山东模拟）对于两个均不等于 1 的正数 m 和 n，定义：m*n＝
min{log n，log m}，则下列结论正确的是（ ）
m n
A．若a＞1，且3*a＝2*4，则a＝9
B．若a≥b≥c＞1，且 ，则b＝c
C．若0＜a＜b＜c＜1，则
D．若0＜a＜b＜c＜1，x＞y＞z＞0，则（ax*by）⋅（by*cz）＝2（ax*cz）
四．换底公式的应用（共2小题）
14．（2022秋•襄城区校级期末）a克糖水中含有b克糖，糖的质量与糖水的质量比为 ，
这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加m克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对
学科网（北京）股份有限公司 6应的不等式为 ＞ （a＞b＞0，m＞0）．若x ＝log 2，x ＝log 10，x ＝log 20，则
1 3 2 15 3 45
（ ）
A．x ＜x ＜x B．x ＜x ＜x C．x ＜x ＜x D．x ＜x ＜x
1 2 3 1 3 2 3 1 2 3 2 1
15．（2023春•宝山区校级月考）已知log 9＝a，18b＝5．则log 45等于（ ）
18 36
A． B． C． D．
五．对数函数的定义（共2小题）
16．（2022秋•黄浦区校级期中）对数表达式log（x﹣1） （5﹣x）中的x的取值范围是
．
17．（2022秋•玄武区校级期中）在 y＝log（a﹣2 ）（5﹣a）中，实数a的取值范围是
．
六．对数函数的定义域（共3小题）
18．（2023•广陵区校级模拟）已知全集U＝R，集合A＝ ，B＝{x|y＝ln（4
﹣x2）}，则（ A）∩B＝（ ）
U
A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） B．[﹣1，2）
∁
C．[﹣1，4] D．（﹣∞，4]
19．（2022•渭南一模）已知集合A＝{x|y＝ln（1﹣2x）}，B＝{x|y＝ }，则A∩B＝（
）
A．[﹣2， ） B．[﹣2， ] C．[0， ） D．[0， ]
20．（2022•张掖模拟）已知集合 A＝{x|y＝ }，B＝{x|y＝lg（x﹣1）}，A∪B＝（
）
A．{x|x＞1} B．{x|x＜1} C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}
七．对数函数的值域与最值（共3小题）
21．（2022秋•杭州期末）函数 的定义域是（ ）
A．[1，+∞） B．[ ，1] C．（ ，1] D．（0， ]
22．（2023春•滁州期中）函数y＝log （x2﹣6x+11）的值域为 ．
23．（2022秋•西安区期末）已知函数f（x）＝log x（a＞0且a≠1）在 上的最
a
大值为3．
（1）求实数a的值；
（2）若a＞1，求函数g（x）＝a2x﹣5ax+4的值域．
学科网（北京）股份有限公司 7八．对数值大小的比较（共5小题）
24．（2023•靖远县模拟）已知a＝1.30.1，b＝log 5，c＝0.92.3，则（ ）
2
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
25．（2023•榆林三模）已知a＝log 3.5+log 3.4，b＝log 3.6+log 3.5，c＝log 3.7，则
3.4 3.5 3.5 3.6
（ ） π
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a
26．（2023•辽阳二模）若a＝log 0.4，b＝1.20.3，c＝log 0.9，则（ ）
0.3 2.1
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c
27．（2023•益阳模拟）已知 ， ， ，
则下列结论正确的是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
28．（2023•广东二模）已知 ， ， ，则（参考数据：ln2≈0.7）（
）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b
九．对数函数的图象与性质（共5小题）
29．（2023•攀枝花一模）若对数函数f（x）的图象经过点 ．点B（8，t），且
p＝log t，q＝0.2t，r＝t0.1．则（ ）
0.1
A．r＜p＜q B．q＜p＜r C．r＜q＜p D．p＜q＜r
30．（2023•平顶山模拟）下列函数中，其图象与函数 y＝log x的图象关于直线x＝2对称
2
的是（ ）
A．y＝log （2+x） B．y＝log （2﹣x）
2 2
C．y＝log （4+x） D．y＝log （4﹣x）
2 2
31．（2023•吉州区校级一模）函数f（x）＝log |x+a|的图象的对称轴方程为x＝2，则常数
3
a＝ ．
32．（2023•赣州模拟）已知函数y＝1+log （2﹣x）（a＞0且a≠1）的图像恒过定点P，
a
且 点 P 在 圆 x2+y2+mx+m ＝ 0 外 ， 则 符 合 条 件 的 整 数 m 的 取 值 可 以 为
．（写出一个值即可）
33．（2023•江西模拟）已知函数f（x）＝log （3﹣x）﹣log （1+x）﹣x+3，则函数f（x）
3 3
的图象与两坐标轴围成图形的面积是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 8A．4 B．4ln3 C．6 D．6ln3
一十．对数函数的单调性与特殊点（共6小题）
34．（2023•临高县模拟）函数f（x）＝log （2x﹣3）﹣4（a＞0）且a≠1）的图象恒过定
a
点（ ）
A．（1，0） B．（1，﹣4） C．（2，0） D．（2，﹣4）
35．（2023•天津一模）已知定义域为R的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，若实数
a满足f（log a）+f（log a）≤2f（1），则a的最小值是（ ）
2 0.5
A． B．1 C． D．2
36．（2022•浙江模拟）已知a＞0，b＞0，则“ ”是“ln（a+1）＞lnb”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
37．（2021•凉州区校级模拟）已知a＝30.1，b＝ ，c＝log 2，则a，b，c的大小
3
关系为（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
38．（2022•呼伦贝尔模拟）函数y＝log （x﹣3）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，
a
若点P在直线mx+ny﹣1＝0上，其中mn＞0，则 的最小值为 ．
39．（2021•翠屏区校级模拟）函数y＝log （x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点
a
A，若点A在直线mx+ny+2＝0上（其中m，n＞0），则 的最小值等于（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
一十一．指数函数与对数函数的关系（共2小题）
40．（2023•大通县一模）已知2a＝5，则lg40＝（ ）
A． B． C． D．
41．（2020•碑林区校级三模）已知x ＝ln ，x ＝ ，x 满足 ＝lnx ，则下列各选
1 2 3 3
项正确的是（ ）
A．x ＜x ＜x B．x ＜x ＜x C．x ＜x ＜x D．x ＜x ＜x
1 3 2 1 2 3 2 1 3 3 1 2
一十二．对数函数图象与性质的综合应用（共3小题）
42．（2022秋•锦州期末）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗
星的星等与亮度满足关系式m ﹣m ＝ ，其中星等为m 的星的亮度为
1 2 k
学科网（北京）股份有限公司 9E （k＝1，2）．已知牛郎星的星等是0.75，织女星的星等是0，则牛郎星与织女星的亮
k
度的比值为（ ）
A． B． C． D．
43．（2022秋•东胜区校级期末）已知函数f（x）＝b+log x（a＞0且a≠1）的图象经过点
a
（4，1）和（1，﹣1）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）令g（x）＝2f（x+1）﹣f（x），求g（x）的最小值及取最小值时x的值．
44．（2022秋•和平区校级期末）已知函数f（x）＝3﹣2log x，g（x）＝log x
2 2
（1）如果x [1，2]，求函数h（x）＝[f（x）+1]g（x）的值域；
∈
（2）求函数M（x）＝ 的最大值．
（3）如果对任意x [1，2]，不等式f（x2）f（ ）＞k•g（x）恒成立，求实数k的取
值范围．
∈
六、易错分析
易错点1：对数函数中忽视对底数的讨论致错
1．已知函数f(x)＝log (8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的
a
取值范围是__________．
易错点2：忽视对数式中真数大于零致错
2．函数y＝log (x2＋2x－3)的单调递增区间是______．
5
3．已知函数f(x)＝log (ax2－2x＋5)(a>0，且a≠1)在区间上单调递增，则a的取值范围为(
a
)
1
(0， ]
3
A. ∪[2，＋∞) B.∪(1,2]
学科网（北京）股份有限公司 10C.∪[2，＋∞) D．∪(1,2]
七、刷基础
一、单选题
1．（2023·内蒙古阿拉善盟·统考一模）已知集合 ，
，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）已知 ， ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·新疆·统考二模）人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级 （单位：
dB）与声音强度x（单位： ）满足 .一般两人正常交谈时，声音的
等级约为60dB，燃放烟花爆竹时声音的等级约为150dB，那么燃放烟花爆竹时声音强度约
为两人正常交谈时声音强度的（ ）
A． 倍 B． 倍 C． 倍 D． 倍
4．（2023·北京朝阳·二模）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·北京延庆·统考一模）设 ， ， ，则 ， ， 的大小
关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·山西·统考二模）已知 ， 则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）请写出满足方程 的一组实数对 ：
______．
学科网（北京）股份有限公司 118．（2023·青海西宁·统考二模）已知函数 （ 且 ）的图像过定
点A，若抛物线 也过点A，则抛物线的准线方程为__________.
9．（2023·广东潮州·统考二模）已知函数 （其中 是自然对数的底数，
）是奇函数，则实数 的值为______.
10．（2023·全国·东北师大附中校联考模拟预测）大气压强 ，它的单位是
“帕斯卡”（Pa， ），已知大气压强 随高度 的变化规律是
，其中 是海平面大气压强， .当地高山上一处大气压强是海平
面处大气压强的 ，则高山上该处的海拔为___________米.（答案保留整数，参考数据
）
11．（2023·浙江温州·统考三模） 展开式的常数项为___________.（用最
简分数表示）
12．（2023·上海浦东新·统考二模）函数 在区间 上的最小值为
_____________．
三、解答题
13．（2022·陕西渭南·统考一模）已知 （其中 且 ）．
(1)若 ， ，求实数 的取值范围；
(2)若 ， 的最大值大于1，求 的取值范围．
14．（2022·吉林白山·抚松县第一中学校考一模）(1) ；
(2) ．
学科网（北京）股份有限公司 1215．（2022·河南·马店第一高级中学校联考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，满
足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
16．（2023·陕西西安·统考一模）某公司计划在2023年年初将200万元用于投资，现有两
个项目供选择.项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 ，
也可能亏损 ，且这两种情况发生的概率分别为 和 ；项目二：通信设备.据市场调研，
投资到该项目上，到年底可能获利 ，可能损失 ，也可能不赔不赚，且这三种情况
发生的概率分别为 .
(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
(2)若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金
继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻两番？（参考数据
）
八.刷易错
一．选择题（共6小题）
1．（2023•河南模拟）已知a＝ln ，b＝log ，c＝ ln2，则a，b，c的大小关系是（
3
）
π π
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
学科网（北京）股份有限公司 132．（2023•红桥区一模）设 a＞1，且 m＝log （a2+1），n＝log （a﹣1），p＝log
a a a
（2a），则m，n，p的大小关系为（ ）
A．n＞m＞p B．m＞p＞n C．m＞n＞p D．p＞m＞n
3．（2023•抚松县校级一模）设a＝log 4，b＝log 4，则（ ）
0.1 50
A．2ab＜2（a+b）＜ab B．2ab＜a+b＜4ab
C．ab＜a+b＜2ab D．2ab＜a+b＜ab
4．（2023•万州区校级模拟）设 ，b＝ln1.01，c＝e0.01﹣1，则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b
5．（2023•和平区校级一模）设a＝0.02，b＝ln1.02，c＝log 1.02，则（ ）
3
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b
6．（2023•巴中模拟）若a＝1.1ln1.1，b＝0．le0.1，c＝ ，则a，b，c的大小关系为（
）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b
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