文档内容
第 05 讲 对数与对数函数
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：对数式的运算..............................................................................................................................................4
知识点2：对数函数的定义及图像.............................................................................................................................5
解题方法总结.................................................................................................................................................................5
题型一：对数式的运算................................................................................................................................................6
题型二：对数函数的图象及应用................................................................................................................................6
题型三：对数函数过定点问题....................................................................................................................................8
题型四：比较对数式的大小........................................................................................................................................8
题型五：解对数方程或不等式....................................................................................................................................9
题型六：对数函数的最值与值域问题......................................................................................................................10
题型七：对数函数中的恒成立问题..........................................................................................................................11
题型八：对数函数的综合问题..................................................................................................................................12
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................13
05课本典例·高考素材........................................................................................................................14
06易错分析·答题模板........................................................................................................................15
易错点：无视对数函数中底数和真数的范围..........................................................................................................15
答题模板：对数型复合函数的单调问题..................................................................................................................16考点要求 考题统计 考情分析
2024年II卷第8题，5分
从近五年的高考情况来看，对数运算
2024年北京卷第7题，4分
与对数函数是高考的一个重点也是一
2024年天津卷第5题，5分
（1）对数的概念及运算性质 个难点，常与二次函数、幂函数、指
2023年北京卷第11题，5分
（2）对数函数的图象 数函数、三角函数综合，考查数值大
2023年I卷第10题，5分
（3）对数函数的性质 小的比较和函数方程问题.在利用对数
2022年天津卷第6题，5分
函数的图像与性质应用上，体现了逻
2022年浙江卷第7题，5分
辑推理与数学运算素养.
2022年I卷I卷第7题，5分
复习目标：
（1）理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
（2）通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
（3）了解指数函数 与对数函数 ( ，且 )互为反函数．知识点1：对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果 且 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作
，读作以 为底 的对数，其中 叫做对数的底数， 叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以 且 为底，记为 ，读作以 为底 的对数；
②常用对数：以 为底，记为 ；
③自然对数：以 为底，记为 ；
(3) 对数的性质和运算法则：
① ； ；其中 且 ；
(其中 且 ， )；
②
③对数换底公式： ；
④ ；
⑤ ；
⑥ ， ；
⑦ 和 ；
⑧ ；
【诊断自测】（2024·青海·模拟预测）若 ， ，则 （ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2知识点2：对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 且 叫做对数函数．
(12)对数函数的图象与性质
y x=1 y x=1
log x
图象 a (1,0)
x
O (1,0) x O log x
a
定义域：
值域：
过定点 ，即 时，
性质
在 上增函数 在 上是减函数
当 时， ， 当 时， ，
当 时， 当 时，
【诊断自测】（2024·广东深圳·二模）已知 ，且 ，则函数 的图象一定经过（ ）
A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限
解题方法总结
1、对数函数常用技巧
在同一坐标系内，当 时，随 的增大，对数函数的图象愈靠近 轴；当 时，对数函数的
图象随 的增大而远离 轴．(见下图)
y
log x
a
1
a增大
1
loga x
2
x
O 1 loga x
3 a增大
logx
a
4题型一：对数式的运算
【典例1-1】已知 ， 则 .（用含 的式子表示）
【典例1-2】（2024·重庆·三模）若正实数 ， 满足 ， ，则
.
【方法技巧】
对数的有关运算问题要注意公式的正用、逆用及变形等应用．
【变式1-1】化简下列各式：
(1) ；
(2) .
【变式1-2】已知 ， ，则 .（用 表示）
【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）已知 ，则 ．
题型二：对数函数的图象及应用
【典例2-1】已知函数① y＝logax；② y＝logbx；③ y＝logcx；④ y＝logdx的大致图象如图所示，则下列
不等关系正确的是（ ）
A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c
C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c
【典例2-2】（2024·江苏扬州·模拟预测）设方程 和方程 的根分别为 ，设函
数 ，则（ ）
A． B．
C． D．【方法技巧】
对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称等
变换得到，当 时，对数函数的图像呈上升趋势；当 时，对数函数的图像呈下降趋势.
【变式2-1】（多选题）（2024·河南信阳·模拟预测）函数 的大致图象不可能为
（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2024·高三·江西南昌·开学考试）已知函数 和 的图象与直线 交点的横坐
标分别为 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2024·高三·上海·期末）已知定义在 上的函数 ，设 为三个
互不相同的实数，满足 ，则 的取值范围为 .
【变式2-4】（2024·高三·北京·开学考试）已知函数 ，给出下列四个结论：
① ，使得 有两个零点；
②若 ，则 有两个零点；
③ ，使得 有两个零点：
④ ，使得 有三个零点；
以上正确结论的序号是 .
【变式2-5】已知函数 ，若 且 ，则 的取值范围为 .
题型三：对数函数过定点问题
【典例3-1】函数 ( 且 )的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）A． B． C． D．
【典例3-2】函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，若 且 ，
，则 的最小值为（ ）
A．9 B．8 C． D．
【方法技巧】
恒过定点 ．
【变式3-1】函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线 上，其中
，则 的最小值为（ ）
A． B．3 C．7 D．4
【变式3-2】已知直线 经过函数 图象过的定点（其中 均大于0），则
的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式3-3】（2024·安徽安庆·模拟预测）已知函数 恒过定点 ，则
的最小值为（ ）．
A． B． C．3 D．
题型四：比较对数式的大小
【典例4-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
比较大小问题，常利用函数的单调性及中间值法．
【变式4-1】（2024·天津·二模）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．【变式4-2】（2024·宁夏银川·三模）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】（2024·青海西宁·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】（2024·江西·模拟预测）若 ，则（ ）
A． B． C． D．无法确定
题型五：解对数方程或不等式
【典例5-1】方程 的解是 .
【典例5-2】不等式 的解集为 ．
【方法技巧】
（ 1 ） 对 于 形 如 的 形 式 ， 利 用 转 化 ； 对 于 形 如
的形式，可借助换元法转化为二次方程求解.
（2）解对数不等式，也是利用对数函数的单调性将不等式转化为比较真数之间的不等式，再解这个
不等式即可．
【变式5-1】不等式 的解集是 ．
【变式5-2】方程： 的解是 .
【变式5-3】不等式 的解集是 .
【变式5-4】不等式 的解集是 .
【变式5-5】由函数的观点，不等式 的解集是 .
题型六：对数函数的最值与值域问题
【典例6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 在区间 上有最大值或最小值，
则实数 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【典例6-2】已知函数 的最大值为2，则 ．
【方法技巧】
对数函数的最值与值域问题通常利用对数函数的单调性解决.
【变式6-1】若函数 （ 且 ）的最小值为－4，则实数a的值为 .
【变式6-2】已知函数 ( 且 ).
(1)当 时，函数 恒有意义，求实数 的取值范围；
(2)是否存在这样的实数 ，使得函数 在区间 上为减函数，且最大值为 ？如果存在，试求出 的
值；如果不存在，请说明理由．
【变式6-3】已知函数 的最大值为 ，则函数 的最小值为 （结果用
表示）
【变式6-4】已知函数 且 是奇函数．
(1)求 的值；
(2)若 ，对任意 有 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)设 ，若 ，问是否存在实数 使函数 在
上的最大值为0？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
题型七：对数函数中的恒成立问题
【典例7-1】已知函数 ，若对任意 都有 ，则实数a
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【典例7-2】若不等式 在 上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的
图象，再利用数形结合的方法来解决．
【变式7-1】已知函数 ， 且 ，若对任意的 ，存在
，使得 成立，则实数 的取值范围是 .
【变式7-2】已知 且 ，当 时， ，则 的取值范围为 .
【变式7-3】已知函数 为奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)判断函数 的单调性（不用证明）；
(3)设函数 ，若对任意的 ，总存在 ，使得 成立，求实
数m的取值范围．
题型八：对数函数的综合问题
【典例8-1】（2024·四川南充·模拟预测）函数 的零点为 ，函数 的零点
为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．C． D．
【典例8-2】（2024·云南·二模）已知函数 的定义域为 ，且 若
，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
对数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是对数函数还是内层是对
数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解．
【变式8-1】已知函数 ， ，则 ．若方程
的所有实根之和为4，则实数m的取值范围是 ．
【变式8-2】设定义域为R的函数 ，若关于x的方程 有8个
不同的实根，到实数b的取值范围是 .
【变式8-3】已知函数 .
(1)求 的定义域；
(2)若 ，求 的取值范围.
【变式8-4】（2024·广东佛山·模拟预测）已知 ， 分别是关于 的方程 ， 的根，
则下面为定值2023的是（ ）
A． B． C． D． E．均不是
【变式8-5】给出函数 ，
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2)若 ，且 ，求 的取值范围；(3)若 ，非零实数 ， 满足 ，求证： .
1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数 ，若 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．1
2．（2024年北京高考数学真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中 分别表
示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种
类数 没有变化，生物个体总数由 变为 ，生物丰富度指数由 提高到 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022年新高考天津数学高考真题）化简 的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
4．（2022年新高考天津数学高考真题）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
1．我们可以把 看作每天的"进步”率都是1%，一年后是 ；而把 看作每天的“落后”率都是1%，一年后是 .利用计算工具计算并回答下列问题：
（1）一年后“进步”的是“落后”的多少倍？
（2）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍？
2．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定： 血液中酒精含
量达到 的驾驶员即为酒后驾车， 及以上认定为醉酒驾车，假设某驾驶员喝了一定量的酒后，
其血液中的酒精含量上升到了 .如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 的速度减
少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（参考数据 ， ）
3．已知 ， ， 求实数a的取值范围.
4．比较下列各题中三个值的大小:
(1) ;
(2) .
5．假设有一套住房的房价从2002年的20万元上涨到2012年的40万元,下表给出了两种价格增长方式,其
中 是按直线上升的房价, 是按指数增长的房价,t是2002年以来经过的年数.
t 0 5 10 15 20
/万元 20 30 40 50 60
/万元 20 40 80(1)求函数 的解析式;
(2)求函数 的解析式;
(3)完成上表空格中的数据,并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象,然后比较两种价格增长方式的差异.
易错点：无视对数函数中底数和真数的范围
易错分析： 忽略“对数的真数大于0”这一个条件导致出错，面对这类题一定要注意真数和底数的范
围.
【易错题1】解不等式 .
【易错题2】 的定义域为 ，求实数 的取值范围.
答题模板：对数型复合函数的单调问题
1、模板解决思路
判断复合函数单调性的原则是“同增异减”.
2、模板解决步骤
第一步：求函数的定义域．
第二步：将函数分解成内层函数和外层函数．第三步：判断内层函数和外层函数的单调性．
第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性．
【典例1】若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】已知函数 在 上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2024·重庆·模拟预测）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
