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第7讲 对数与对数函数
最新考纲 考向预测
1.理解对数的概念及其运算性质，知道 对数函数中利用性质比较对数值
命
用换底公式将一般对数转化成自然对数 大小，求对数型函数的定义域、值
题
或常用对数；了解对数在简化运算中的 域、最值等仍是高考考查的热点，
趋
作用． 题型多以选择、填空题为主，属中
势
2．理解对数函数的概念，理解对数函数 档题.
的单调性，掌握对数函数图象通过的特
殊点． 核
3．知道对数函数是一类重要的函数模 心
数学运算、直观想象
型． 素
4．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝ 养
log x互为反函数(a>0且a≠1).
a
1．对数
如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对
概念 数，记作x＝log N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，
a
log N叫做对数式
a
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝log N(a>0，且a≠1)
a
性质
log 1＝0，log a＝1，alog N＝N(a>0且a≠1)
a a a
log (M·N)＝log M＋log N
a a a
运算 a>0，且a≠1，M>0，
log ＝log M－log N
a a a
法则 N>0
log Mn＝nlog M(n∈R)
a a
换底
log b＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
a
公式
2.对数函数的图象与性质
a>1 0<a<1
图象定义域： (0 ， ＋ ∞ )
值域：R
过定点 (1 ， 0 )
性质
当x>1时，y>0 当x>1时，y<0
当0<x<1时，y<0 当0<x<1时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
3.反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝log x互为反函数，它们的图象关于直线 y ＝ x
a
对称．
常用结论
1．换底公式的三个重要结论
①log b＝；②log mbn＝log b；③log b·log c·log d＝log d.
a a a a b c a
2．对数函数图象的特点
(1)对数函数y＝log x(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图
a
象只在第一、四象限．
(2)函数y＝log x与y＝logx(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称．
a
(3)在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大．
常见误区
1．在运算性质log Mn＝nlog M中，要特别注意M>0的条件，当n∈N*，且n为
a a
偶数时，在无M>0的条件下应为log Mn＝nlog |M|.
a a
2．研究对数函数问题应注意函数的定义域．
3．解决与对数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a>1及0<a<1进
行分类讨论．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若MN>0，则log (MN)＝log M＋log N.( )
a a a
(2)对数函数y＝log x(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( )
a
(3)函数y＝log x2与函数y＝2log x是相等函数．( )
a a
(4)若M>N>0，则log M>log N.( )
a a
(5)对数函数y＝log x(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，.( )
a
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2．log 9·log 4＝( )
2 3A． B．
C．2 D．4
解析：选D.原式＝log 32×log 22＝4log 3×log 2＝4××＝4.
2 3 2 3
3．函数y＝log (x＋1)的图象大致是( )
2
解析：选C.函数y＝log (x＋1)的图象是把函数y＝log x的图象向左平移一个
2 2
单位长度得到的，图象过定点(0，0)，函数定义域为(－1，＋∞)，且在(－1，＋∞)上
是增函数，故选C.
4．(易错题)函数f(x)＝＋的定义域为________．
解析：由f(x)＝＋，得得x∈(－1，0)∪(0，2]．
答案：(－1，0)∪(0，2]
5．(易错题)函数y＝log x(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则
a
a＝________．
解析：分两种情况讨论：①当a>1时，有log 4－log 2＝1，解得a＝2；②当
a a
0<a<1时，有log 2－log 4＝1，解得a＝.所以a＝2或a＝.
a a
答案：2或
对数式的化简与求值
[题组练透]
1．(2020·高考全国卷Ⅰ)设alog 4＝2，则4－a＝( )
3
A. B.
C. D.
解析：选B.方法一：因为alog 4＝2，所以log 4a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a
3 3
＝＝，故选B.
方法二：因为alog 4＝2，所以－alog 4＝－2，所以log 4－a＝－2，所以4－a＝3
3 3 3
－2＝＝，故选B.
方法三：因为alog 4＝2，所以＝＝log 3，所以4＝3，两边同时平方得4a＝9，
3 4
所以4－a＝＝，故选B.方法四：因为alog 4＝2，所以a＝＝＝log 9，所以4－a＝＝，故选B.
3 4
方法五：令4－a＝t，两边同时取对数得log 4－a＝log t，即alog 4＝－log t＝
3 3 3 3
log ，因为alog 4＝2，所以log ＝2，所以＝32＝9，所以t＝，即4－a＝，故选B.
3 3 3
方法六：令4－a＝t，所以－a＝log t，即a＝－log t＝log .由alog 4＝2，得a＝＝
4 4 4 3
＝log 9，所以log ＝log 9，所以＝9，t＝，即4－a＝，故选B.
4 4 4
2．计算：lg－lg 8＋lg 7＝________．
解析：原式＝lg 4＋lg 2－lg 7－lg 8＋lg 7＋lg 5＝2lg 2＋(lg 2＋lg 5)－
2lg 2＝.
答案：
3．计算：
(1)÷100；
(2).
解：(1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg ×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.
(2)原式＝
＝
＝
＝
＝＝1.
[提醒] 对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义
的前提下才成立的，不能出现log 12＝log [(－3)×(－4)]＝log (－3)＋log (－4)的
2 2 2 2
错误．
对数函数的图象及应用
(1)若函数y＝a|x|(a>0且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝log |x|的图
a
象大致是( )(2)若方程4x＝log x在上有解，则实数a的取值范围为____________．
a
【解析】 (1)由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，所以a>1，则y＝log |x|在(0，＋∞)
a
上是增函数，又函数y＝log |x|的图象关于y轴对称．因此y＝log |x|的图象大致为
a a
选项B.
(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝log x，
a
当a>1时不满足条件，
当0<a<1时，
画出两个函数在上的图象，
可知，只需两图象在上有交点即可，
则f≥g，
即2≥log ，则a≤，
a
所以a的取值范围为.
【答案】 (1)B (2)
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与
坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结
合法求解．
函数y＝2log (1－x)的图象大致是( )
4
解析：选C.函数y＝2log (1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；函数y＝
4
2log (1－x)在定义域上单调递减，排除D.选C.
4对数函数的性质及应用
角度一 比较对数值的大小
(2020·高考全国卷Ⅲ)设a＝log 2，b＝log 3，c＝，则( )
3 5
A．a<c<b B．a<b<c
C．b<c<a D．c<a<b
【解析】 因为23<32，所以2<3，所以log 2<log 3＝，所以a<c.因为33>52，所以
3 3
3>5，所以log 3>log 5＝，所以b>c，所以a<c<b，故选A.
5 5
【答案】 A
比较对数值的大小的方法
角度二 解简单的对数不等式或方程
(1)已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝log x，则满足不等式f(x)>0
3
的x的取值范围是________．
(2)设函数f(x)＝若f(a)<f(－a)，则实数a的取值范围是________．
【解析】 (1)由题意知y＝f(x)的图象如图所示，所以满足f(x)>0的x的取值范
围是(－1，0)∪(1，＋∞)．
(2)由f(a)<f(－a)得或
即或
解得0<a<1或a<－1.
【答案】 (1)(－1，0)∪(1，＋∞)
(2)(－∞，－1)∪(0，1)
解对数不等式的函数及方法
(1)形如log x>log b的不等式，借助y＝log x的单调性求解，如果a的取值不
a a a
确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论；
(2)形如log x>b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．
a角度三 对数型函数的综合问题
(1)(多选)已知函数f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，则( )
A．f(x)在(2，6)上单调递增
B．f(x)在(2，6)上的最大值为2ln 2
C．f(x)在(2，6)上单调递减
D．y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称
(2)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为
( )
A．[1，2) B．[1，2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
【解析】 (1)f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)＝ln[(x－2)(6－x)]，定义域为(2，6)．令t
＝(x－2)(6－x)，则y＝ln t．因为二次函数t＝(x－2)(6－x)的图象的对称轴为直线
x＝4，又f(x)的定义域为(2，6)，所以f(x)的图象关于直线x＝4对称，且在(2，4)上
单调递增，在(4，6)上单调递减，当x＝4时，t有最大值，所以f(x) ＝ln(4－2)＋
max
ln(6－4)＝2ln 2，故选BD.
(2)令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函
数在(－∞，1]上递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1，2)．
【答案】 (1)BD (2)A
解与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤
1．已知函数f(x)＝log (1＋2－x)，则函数f(x)的值域是( )
2
A．[0，2) B．(0，＋∞)
C．(0，2) D．[0，＋∞)
解析：选B.f(x)＝log (1＋2－x)，因为1＋2－x>1，
2
所以log (1＋2－x)>0，所以函数f(x)的值域是(0，＋∞)，故选B.
2
2．已知函数f(x)＝log |x|在(0，＋∞)上单调递增，则f(－2)________f(a＋1)．
a
(填“<”“＝”或“>”)
解析：因为f(x)＝log |x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a>1，所以a＋1>2.因为
af(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)<f(a＋1)．
答案：<
3．已知a>0，若函数f(x)＝log (ax2－x)在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是
3
________．
解析：要使f(x)＝log (ax2－x)在[3，4]上单调递增，
3
则y＝ax2－x在[3，4]上单调递增，
且y＝ax2－x>0恒成立，
即解得a>.
答案：
思想方法系列5 换元法的应用
换元法又称变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐
含的条件显露出来，或者将题目变为熟悉的形式，简化复杂的计算和推证．
若x，y，z∈R ，且3x＝4y＝12z，∈(n，n＋1)，n∈N，则n的值是( )
＋
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】 设3x＝4y＝12z＝t(t>1)，
则x＝log t，y＝log t，z＝log t，
3 4 12
所以＝＝＋
＝log 12＋log 12
3 4
＝2＋log 4＋log 3.
3 4
因为1<log 4<2，0<log 3<1，
3 4
所以1<log 4＋log 3<3.
3 4
又log 4＋log 3>2＝2，
3 4
所以4<2＋log 4＋log 3<5，
3 4
即∈(4，5)．
所以n＝4.
【答案】 C
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换
研究对象，将问题移至新对象的知识背景中再研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化．换元法经常用于研究指数型、对数型函数的性质、三角函数式
的化简求值、解析几何中计算等．
函数f(x)＝log ·log(2x)的最小值为________．
2
解析：依题意得f(x)＝log x·(2＋2log x)＝(log x)2＋log x＝－≥－，当log x＝
2 2 2 2 2
－，即x＝时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－.
答案：－
[A级 基础练]
1．已知log ＝m，log 3＝n，则am＋2n＝( )
a a
A．3 B．
C．9 D．
解析：选D.因为log ＝m，log 3＝n，所以am＝，an＝3.
a a
所以am＋2n＝am·a2n＝am·(an)2＝×32＝.
2．函数y＝的定义域是( )
A．[1，2] B．[1，2)
C． D．
解析：选C.由即
解得x≥.故选C.
－
3．(2021·河北九校第二次联考)设a＝4 ，b＝log，c＝log 2，则a，b，c的大小
3
关系是( )
A．a<b<c B．a<c<b
C．c<a<b D．c<b<a
－
解析：选B.a＝4 ＝＝，b＝log＝log 3>log 2＝1，c＝log 2>log ＝，且c＝
2 2 3 3
log 2<log 3＝1，即<c<1，所以a<c<b，故选B.
3 3
4.(多选)在同一平面直角坐标系中，f(x)＝kx＋b与g(x)＝log x
b
的图象如图，则下列关系不正确的是( )
A．k＜0，0＜b＜1
B．k＞0，b＞1
C．fg(1)＞0(x＞0)
D．x＞1时，f(x)－g(x)＞0
解析：选ABC.由直线方程可知，k＞0，0＜b＜1，故A，B不正确；而g(1)＝0，故C不正确；而当x＞1时，g(x)＜0，f(x)＞0，所以f(x)－g(x)＞0.所以D正确．
5．(多选)已知函数f(x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，令h(x)＝
f(1－|x|)，则关于函数h(x)有下列说法，其中正确的为( )
A．h(x)的图象关于原点对称
B．h(x)的图象关于y轴对称
C．h(x)的最大值为0
D．h(x)在区间(－1，1)上单调递增
解析：选BC.函数f(x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，
所以f(x)＝log x，h(x)＝log (1－|x|)，为偶函数，不是奇函数，
2 2
所以A错误，B正确；
根据偶函数性质可知D错误；
因为1－|x|≤1，所以h(x)≤log 1＝0，故C正确．
2
6．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________．
解析：因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log m，b＝log m，
2 5
所以＋＝＋＝log 2＋log 5＝log 10＝2.所以m2＝10，
m m m
所以m＝.
答案：
7．(2021·贵州教学质量测评改编)已知函数y＝log (x＋3)－(a＞0，a≠1)的图
a
象恒过定点A，则点A的坐标为________；若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，
则f(log 2)＝________．
3
解析：令x＋3＝1可得x＝－2，此时y＝log 1－＝－，可知定点A的坐标为.点
a
A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，故－＝3－2＋b，解得b＝－1.所以f(x)＝3x－1，
log32
则f(log 2)＝3 －1＝2－1＝1.
3
答案： 1
8．已知函数 f(x)＝若 f(e)＝－3f(0)，则 b＝________，函数 f(x)的值域为
________．
解析：由f(e)＝－3f(0)得1＋b＝－3×(－1)，即b＝2，即函数f(x)＝当x>1时，y
＝ln x＋2>2；当x≤1时，y＝ex－2∈(－2，e－2]．故函数f(x)的值域为(－2，e－
2]∪(2，＋∞)．
答案：2 (－2，e－2]∪(2，＋∞)
9．已知函数f(x－3)＝log (a>0，a≠1)．
a(1)求f(x)的解析式；
(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．
解：(1)令x－3＝u，则x＝u＋3，于是f(u)＝log (a>0，a≠1，－3<u<3)，
a
所以f(x)＝log (a>0，a≠1，－3<x<3)．
a
(2)f(x)是奇函数，理由如下：
因为f(－x)＋f(x)＝log ＋log ＝log 1＝0，
a a a
所以f(－x)＝－f(x)，又定义域(－3，3)关于原点对称．
所以f(x)是奇函数．
10．设f(x)＝log (1＋x)＋log (3－x)(a>0且a≠1)，且f(1)＝2.
a a
(1)求实数a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值．
解：(1)因为f(1)＝2，所以log 4＝2(a>0，a≠1)，所以a＝2.
a
由得－1<x<3，
所以函数f(x)的定义域为(－1，3)．
(2)f(x)＝log (1＋x)＋log (3－x)＝log [(1＋x)(3－x)]＝log [－(x－1)2＋4]，
2 2 2 2
所以当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，
故函数f(x)在区间上的最大值是f(1)＝log 4＝2.
2
[B级 综合练]
11．若函数y＝log (x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是( )
a
A．0<a<1 B．0<a<2，a≠1
C．1<a<2 D．a≥2
解析：选C.当a>1时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最小值，故x2－ax＋1
＝0中Δ<0，即a2－4<0，所以2>a>1.
当0<a<1时，y有最小值，
则说明x2－ax＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，故
选C.
12．(多选)已知函数f(x)＝则( )
A．若f(a)＝1，则a＝0
B．f＝2 019
C．若f(f(a))＝2－f(a)，则0≤a≤3
D．若方程f(x)＝k有两个不同的实数根，则k≥1
解析：选BC.由f(a)＝1，得或解得a＝3或a＝0，故选项A不正确；f＝f＝＝log22 019
2 ＝2 019，选项B正确；f(f(a))＝2－f(a)＝，所以f(a)≤1，得或解得0≤a≤3，
选项C正确；作出函数f(x)的图象(如图)，结合函数图象可知，当方程f(x)＝k有两
个不同的实数根时，k≥，选项D不正确．
13．已知函数f(x)＝－log x，则下列四个结论中正确的是________．(填序号)
2
①函数f(|x|)为偶函数；
②若f(a)＝|f(b)|，其中a>0，b>0，a≠b，则ab＝1；
③函数f(－x2＋2x)在(1，3)上单调递增．
解析：对于①，f(|x|)＝－log |x|，f(|－x|)＝－log |－x|＝－log |x|＝f(|x|)，所以函
2 2 2
数f(|x|)为偶函数，故①正确；对于②，若f(a)＝|f(b)|，其中a>0，b>0，a≠b，则f(a)
＝|f(b)|＝－f(b)，即－log a＝log b，即log a＋log b＝log ab＝0，得到ab＝1，故②
2 2 2 2 2
正确；对于③，函数f(－x2＋2x)＝－log (－x2＋2x)，由－x2＋2x>0，解得0<x<2，所
2
以函数f(－x2＋2x)的定义域为(0，2)，因此在(1，3)上不具有单调性，故③错误．
答案：①②
14．已知函数f(x)＝log .
2
(1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；
(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；
(3)若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取
值范围．
解：(1)因为函数f(x)是R上的奇函数，
所以f(0)＝0，求得a＝0.
当a＝0时，f(x)＝－x是R上的奇函数．
所以a＝0为所求．
(2)因为函数f(x)的定义域是一切实数，
所以＋a>0恒成立．即a>－恒成立，
由于－∈(－∞，0)，
故只要a≥0即可．
(3)由已知得函数f(x)是减函数．故f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(0)＝log (1
2＋a)，最小值是f(1)＝log .
2
由题设得log (1＋a)－log ≥2⇒
2 2
故－<a≤－.
[C级 创新练]
15．形如y＝的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称
为“囧函数”．若函数f(x)＝log (x2＋x＋1)(a>0，a≠1)有最小值，则“囧函数”与
a
函数y＝log |x|的图象的交点个数为( )
a
A．1 B．2
C．4 D．6
解析：选C.令u＝x2＋x＋1，则函数f(x)＝log u(a>0，a≠1)有最小值．因为u＝
a
＋≥，所以当函数f(x)是增函数时，f(x)在上有最小值；当函数f(x)是减函数时，f(x)
在上无最小值．所以a>1，此时“囧函数”y＝与函数y＝log |x|在同一平面直角坐
a
标系内的图象如图，由图象可知，它们的图象的交点个数为4.故选C.
16．我们知道，互为反函数的指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝
log x(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称；而所有偶函数的图象都关于y轴
a
对称．现在我们定义：如果函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，即已知函数
f(x)的定义域为D，∀x∈D，若y＝f(x)，x＝f(y)也成立，则称函数f(x)为“自反函
数”．显然斜率为－1的一次函数f(x)＝－x＋b都是“自反函数”，它们都是单调
递减的函数．你认为是否还存在其他的“自反函数”？如果有，请举例说明，并
对该“自反函数”的基本性质提出一些猜想；如果没有，请说明理由．
解：有．举例如下：根据“自反函数”的定义，函数f(x)＝(k≠0)是“自反函
数”．
“自反函数”f(x)＝(k≠0)的定义域、值域均为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当k>0时
f(x)＝在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数；当k<0时，f(x)＝在区间(－∞，0)，
(0，＋∞)上为增函数；f(x)＝(k≠0)是奇函数，但不是周期函数．
