文档文本内容
培优点 02 指、对、幂的大小比较（3 种核心题型+基础保分
练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大
小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函
数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置．
【核心题型】
题型一 直接法比较大小
利用特殊值作“中间量”
在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，
有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计
例如log 3，可知1＝log 2<log 3<log 4＝2，进而可估计log 3是一个1～2之间的小数，从
2 2 2 2 2
而便于比较．
命题点1 利用函数的性质
【例题1】（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则实数a，b，c
的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用指数函数单调性可得 、对数函数的单调性可得 ，
，从而可得结果.
【详解】由 在R上单调递增，可得 ，又 ，
则 ．
由 在 上单调递增，可得 ．由 在 上单调递增，可得 ．
所以 ，
故选：A
【变式1】（2024·四川德阳·二模）已知 ，则 的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】观察 的式子结构，构造函数 ，利用导数判断得 的单调性，从
而判断得 ，再利用对数函数的单调性判断得 ，从而得解.
【详解】因为 ，
观察 的式子结构，构造函数 ，则 ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，即 ；
又 ，所以 ，即 ；
综上， .
故选：B.
【变式2】（2023·甘肃平凉·模拟预测）已知幂函数 的图象过点 ，设
，则a、b、c的大小用小于号连接为 ．
【答案】
【分析】首先求出幂函数的解析式，再利用其单调性即可比较大小.
【详解】幂函数 的图象过点 ，则 ，
所以幂函数的解析式为 ，且函数 为单调递增函数，
又 ，所以 ，即 .
故答案为：
【变式3】（2023·黑龙江哈尔滨·三模）若 ，则实数
由小到大排列为 < < .
【答案】 b c a
【分析】根据给定条件，构造函数 ，再利用导数探讨单调性比较
大小作答.
【详解】依题意， ，而 ，
令函数 ，求导得
，
因此函数 在 上单调递增，而 ，于是 ，
又 ，所以 .
故答案为：b；c；a
命题点2 找中间值
【例题2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过和1的比较可得答案.【详解】因为 ， ，所以 ．
故选：C
【变式1】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由 ，利用换底公式可判断 利用指数性质可判断 ，进
而得出结果.
【详解】由题得 ，
而 ，所以 ，
所以 .
故选：A.
【变式2】（2024·四川成都·三模） 四个数中最大的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】引入0，1，分别比较这四个数和0，1的大小，即可得到结论.
【详解】因为 ， ， ， .
所以 最大.
故选：B
【变式3】（2024·北京石景山·一模）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据给定的条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助 进行比较判
断选项.
【详解】 ， ，
而 ，则 ，即 ，所以 .
故选：B
命题点3 特殊值法
【例题3】（2024·全国·模拟预测）若 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 ，分类讨论 和 可判断A，B；取特值可判断C；根据
的单调性可判断D.
【详解】因为 ，所以 ，
当 时，解得 ；当 时，解得 ，
所以 ，即 ，A，B错误.
当 时， ，C错误.
因为 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
即 ，D正确.
故选：D
【变式1】（多选）（2024·福建龙岩·一模）下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】AC
【分析】对A和C利用不等式性质即可判断，对B和D举反例即可反驳.
【详解】对A，因为 ，则两边同乘 得 ，两边同乘 得 ，
则 ，故A正确；
对B，当 时， ，故B错误；
对C，因为 ，则 ，又因为 ，所以 ，故C正确；
对D，举例 ，则 ，而 ，
此时两者相等，故D错误.
故选：AC.
【变式2】（多选）（2023·全国·模拟预测）下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】ABD
【分析】运用基本不等式，结合特例法、不等式的性质、指数函数的单调性逐一判断即可.
【详解】选项A：当 时， ，
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，故选项A正确；
选项B：由 得 ，所以 ，故选项B正确；
选项C：令 ，满足 ，但 不成立，故选项C
错误；选项D：由 得 ，因为 ，所以 ，所以 ，故选项D正确．
故选：ABD.
【变式3】（2024·上海静安·二模）在下列关于实数 的四个不等式中，恒成立的是
．（请填入全部正确的序号）
① ；② ；③ ；④ ．
【答案】②③④
【分析】取特值可判断①；作差法可判断②④；要证 即证 可判
断③.
【详解】对于①，取 ，故①错误；
对于②， ，故②正确；
对于③，当 ，要证 ，即证 ，
即 ，即证 ，
而 恒成立，
当 时， ，所以 ，故③正确.
对于④， ，所以 ，故④正确.
故答案为：②③④.
题型二 利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小
求同存异法比较大小
如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出
指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某
一部分相同的情况．
【例题4】（2024·天津·一模）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由幂函数和对数函数的单调性即可得出答案.
【详解】因为 ，
， ，
因为 在 上单调递增，
所以 ，所以 .
故选：B
【变式1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的性质判断a的范围，利用指数函数、幂函数以及正弦函数的单调
性可比较 的大小关系，结合b的范围，即可判断出答案.
【详解】由题意得 ，
且 ，
又 ，故 ，
故选：C
【变式2】（2024·广东肇庆·模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用幂函数和对数函数的性质来判断即可.
【详解】幂函数 在 上单调递增，故 ，又 ，
所以 .
故选：A.
【变式3】（2024·四川攀枝花·二模）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用幂函数、指数函数与对数函数的单调性比较大小即可.
【详解】易知 在 上单调递增，则 ，即 ，
而由 单调递增，得 ，即 ，
又 单调递增，故 则 .
故选：A
题型三 构造函数比较大小
某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓
住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调
性，进而比较大小．
【例题5】（2024高三·全国·专题练习）若 ， ，则 的大小关系
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 ，利用导数求证不等式 和
，即可求解.
【详解】设 ，
则当 时, 在 单调递减，当 时， 在 单调递增，故当 ，故 当且
仅当 时取等号，
当 在 单调递增，
当 在 单调递减，所以 ，故 ，当且
仅当 时取等号，
所以 ，故 ．
，故
因此 ，
故选：A
【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据：
（1）结合函数性质进行比较；
（2）利用特殊值进行估计，再进行间接比较；
（3）根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小
【变式1】（2024·辽宁·二模）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】通过构造函数 ，利用导数与函数单调性间的关系，得到
在区间 上单调递增，从而得出 ，构造函数
，利用导数与函数单调性间的关系，得到 在区
间 上单调递增，从而得出 ，即可得出结果.
【详解】令 ，则 ，
令 ，则 在区间 上恒成立，即 在区间 上单调递减，又 ，
而 ，所以 ，
即 在区间 上单调递增，所以 ，
得到 ，即 ，所以 ，
令 ，则 ，当 时， ，
即 在区间 上单调递增，
所以 ，得到 ，即 ，所以 ，
综上所述， ，
故选：B.
【点睛】关键点点晴：通过构造函数 和 ，将问
题转化成比较函数值的大小，再利用导数与函数单调性间的关系，即可解决问题.
【变式2】（2023·辽宁·模拟预测）已知 ，试比较
的大小关系（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三个指数的底数的形式，通过构造新函数，利用导数的性质判断其大小，再
根据三个数的形式构造新函数，通过取对数法，结合导数的性质判断其单调性，最后利用
单调性判断即可.
【详解】设 ，
当 时， ， 单调递减，
所以有 ，因为 ，
所以 ，
设 ，
设 ，
当 时， ，函数 单调递减，
因为 ，
所以 ，
因为函数 是正实数集上的增函数，
故 ，
即 ，所以 ，
故选：C
【点睛】关键点睛：根据所给指数的底数和指数的形式，构造函数，利用导数的性质是解
题的关键
【变式3】（2023·湖南·模拟预测）设 ， ， ，则 ， ， 的大小
顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据a、b、c的结构，构造函数 ，利用导数判断单调性，即可比较出
a、b、c的大小，从而可得到正确答案．
【详解】因为 ， ，故构造函数 ，则 ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
又因为 ， ，
所以 ， ．
因为 ，又 ，
所以 ，即 ，故 ，
故选：A．
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024·天津·二模）若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法求解即可.
【详解】 ，
，
，
所以 .
故选：B.2．（2024·北京顺义·二模）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用换底公式计算a，利用指数函数单调性判断b，c即可得答案.
【详解】因为 ， ， ，
所以 .
故选：D
3．（2024·全国·模拟预测）若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性比较大小．
【详解】由 ，则 ，
又 ，
且 ，
所以 ．
故选：A．
4．（2024·全国·模拟预测）若 ，则下列大小关系正确的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数函数，对数函数及幂函数的单调性可比较 与1和 ， 与0和 的大小，
后利用 结合对数函数单调性，可比较 与0的大小，即可得答案.【详解】因对数函数 在 上单调递增，则 ，即
．
因指数函数 在 上单调递减，幂函数 在 上单调递增，
则 ，即 ．
又注意到 ， 在 上单调递增，所以 ，即 ，
所以 ．
故选：D．
二、多选题
5．（2024·贵州遵义·一模）已知正实数a，b满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】利用导数证明 ，利用不等式的性质，结合函数 的单调性
可得 ，再逐项判断即可得解.
【详解】令函数 ，求导得 ，函数 在 上递
增，
，即当 时， ，则当 时， ，
于是 ，而函数 在 上递增，因此 ，
对于A， ，A正确；
对于B，函数 在 上递减，则 ，B错误；
对于C，函数 在 上递减，则 ，C正确；
对于D， ，则 ，D错误.
故选：AC
6．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，且 ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据基本不等式可判定A，根据指数函数的单调性可判定B，根据基本不等式、对
数运算及对数函数单调性可判断C，根据二次函数的性质可判断D.
【详解】 ， ，且 ， ，
当且仅当 时取等号，故A正确.
， ，且 ， ， ，
， ，故B正确.
由 ，得 ，当且仅当 时取等号，
，故C错误.
，又 ， ，故D错误.
故选：AB.
三、填空题
7．（2023·吉林长春·模拟预测）已知 ， ， ，则a，b，c的
大小关系为 ．
【答案】
【分析】由对数函数及指数函数单调性得到 ， ， ，从而得到大小关系.
【详解】因为 在 上单调递减， ，
故 且 ，所以 ，
因为 在R上单调递减， ，所以 ，
，
故 .
故答案为：
8．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ，现有如下说法：① ；②
；③ .则正确的说法有 .（横线上填写正确命题的序号）
【答案】②③
【分析】根据对数的运算法则及对数函数的性质判断即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ， ，所以 ，故①错误；
，所以 ，故②正确；
，所以 ，故③正确.
故答案为：②③
四、解答题
9．（22-23高三·全国·对口高考）（1）比较 与 的大小；
（2）已知 ，比较 与 大小
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）利用作商法，分类讨论即可；
（2）利用做差法、换底公式以及不等式的性质分析即可.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，所以①当 时， ，
所以 ，
②当 时， ，
即 ，
所以 ，
③当 时， ，
即 ，
所以 ，
综上所述：当 ， .
（2）
，
因为 ，所以 ，
所以 ，
由，
所以 ，
所以 ，
即 ，
故 .
10．（2020高三·上海·专题练习）设 ，且 ，记
，试比较 的大小.
【答案】
【分析】根据对数函数的性质，由 ，先得到 ；再分
别讨论 ， 两种情况，得到 ，即可得出结果.
【详解】因为 ，所以 ，
根据对数函数的性质可得： ，即 ；
又 ，
当 时， ，
所以 ，即 ，因此 ；
当 时，由 ，得 ，即 ，因此 ；
综上， .【点睛】本题主要考查比较对数式的大小，熟记对数函数的性质即可，属于常考题型.
综合提升练
一、单选题
1．（2024·天津河东·一模）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数的单调性以及指数的单调性即可利用中间值求解.
【详解】 ，
故 ,
故选：A
2．（2024·河南·模拟预测）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据指数幂与对数的运算性质，分别求得 的取值范围，即可求解.
【详解】由 ，
即 ，所以 ．
故选：C．
3．（2024·陕西安康·模拟预测）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对数运算以及对数函数单调性可得 ，结合分数指数幂运算分析可
得 ，即可得结果.
【详解】因为 ， ，因为 ，可知 ，
又因为 ，所以 .
故选：C.
4．（2024·四川·模拟预测）已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用当 时， 判断 ，通过函数 在是减函数判断 .
【详解】当 时，设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以 ，
也就是说当 时， ，
用 代替 ，可得 ，即 ，
所以 ，即 ．
又知 ，所以 ，所以 ．
故选：A
5．（2023·天津河北·一模）若 ，则 的大小关系为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先化简 ， ， ，再根据 即可得解.
【详解】 ，即 ，
，
，
又 ，所以 ，
所以 ，
故选：D
6．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的单调性即可判断AB；根据指数函数的单调性即可判断C；构造函
数 ，利用导数判断出函数的单调性即可判断D.
【详解】对于AB，因为 ，所以 ，故A错误；
因为 ，所以 ，但 不一定大于1，
故 不一定大于0，故B错误；
对于C，因为 ，则 ，所以 ，故C错误；
对于D，不等式 等价于 ，两边取自然对数得 ，
因为 ，所以原不等式等价于 ，
设函数 ，则 ，
令 ，则 ，当 时， ，所以 在 上单调递减，
故当 时， ，所以 ，
故 在 上单调递减，
所以 ，即 ，故D正确．
故选：D．
7．（2024·宁夏银川·二模）定义域为 的函数 满足 为偶函数，且当
时， 恒成立，若 ， ， ，则 ， ， 的
大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件先得到函数的对称性和单调性，再根据单调性比较大小.
【详解】当 时， 恒成立，
即当 时， ，函数 在 上单调递增，
又 为偶函数，即 ，所以函数 关于 对称，
则函数 在 上单调递减，
所以
因为 ，所以
所以 ，
所以 ，即 ，
故选：D.8．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用常见不等式放缩得到 ， 的大小关系，再利用幂函数的单调性比较 ，
的大小关系即可得到答案.
【详解】令 ，则 恒成立，
所以 在 单调递增，
所以当 时， ，即 ；
令 ，则 恒成立，
所以 在 单调递增，
所以当 时， ，即 ；
由诱导公式得 ，
所以 ，因此 ；
因为 ， ，
故只需比较 与 的大小，
由二项式定理得， ，
所以 ．
综上， .
故选：C
【点睛】方法点睛：本题考查比较大小问题，此类问题常见的处理方法为：
（1）中间值法：通过与特殊的中间值比较大小，进而判断两个数的大小关系；
（2）构造函数法：通过观察两个数形式的相似之处，构造函数，利用导数研究函数单调性
与极值等性质进而比较大小；（3）放缩法：利用常见的不等式进行数的放缩进而快速比较大小.
二、多选题
9．（2023·广东广州·模拟预测）下列是 （ ， ， ）的必要条件的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】AB选项，可举出反例；CD选项，利用指数函数单调性可进行判断.
【详解】A选项，若 ，则A错误，
B选项，等价为 ，当 时不成立，故B错误，
C选项，因为 在R上单调递增，而 ，所以 ，C正确；
D选项，因为 在R上单调递增，而 ，所以 ，D正确.
故选：CD
10．（2024·全国·模拟预测）已知实数 ，其中 是函数
的两个零点．实数 满足 ，则下列不等式一定
成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】设 ，利用导数研究其性质，画出大致图象， 是直线
与函数 的图象交点的横坐标，数形结合可得 ，又由条件得
，可推出 ，得 ，即可判断ABC；由 ，取对数后可得 ，设 ，令 ，利用导数可证得
，进而可判断D.
【详解】设 ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以，当 时， 取极小值 .
是函数 的两个零点，
即直线 与函数 的图象交点的横坐标，如图，
由图可知， ，
由 ，得 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以B，C正确，无法判断A是否正确；
对于D，由 ，取对数后可得 ，即 ，，设 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，则 ，
所以 ，
即 ，从而可得 ，
所以 ，D正确，
故选：BCD．
11．（2024·重庆·一模）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC，利用基本不
等式即可判断D.
【详解】由题意得 ， ，
， ，则 ，则 ，
对A，根据对数函数 在 上单调递增，则 ，故A正确；
对B，因为 ，即 ，则 ，故B正确；
对C，因为 ，根据指数函数 在 上单调递减，则 ，故C错
误；对D，因为 ， ，
，
当且仅当 时等号成立，而显然 ，则 ，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题
12．（23-24高三上·北京昌平·阶段练习）①在 中， ， ， ，则
；
②已知 ， ， ，则 的大小关系是
【答案】
【分析】对于①：利用余弦定理运算求解即可；对于②：根据指、对数函数单调性分析判
断.
【详解】对于①：利用余弦定理 ，即 ，而 ，解得
；
对于②：因为 ，且 在定义域内单调递增，
可得 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故答案为： ； .
13．（22-23高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知 ，则a，b，c的
大小关系为 .
【答案】
【分析】由题意根据对数函数、指数函数单调性比较大小即可.【详解】由题意 ，
故a，b，c的大小关系为 .
故答案为： .
14．（2023高三上·全国·专题练习）若 ， ，则 与 的大小
关系为 .（用“ ”连接）
【答案】
【分析】利用作商法以及基本不等式可得出两个对数式的大小关系.
【详解】
，
因为 ， ，则 ， ，
所以 .
故答案为： .
四、解答题
15．（22-23高三上·甘肃兰州·阶段练习）比较下列两组数的大小（写出详细理由）．
(1)a=0.40.3，b=0.30.3，c=0.30.4
(2)a=log 6，b=log 12，c=log 15
2 3 5
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，根据指数函数与幂函数的单调性，可得答案；
（2）由题意，根据对数运算性质化简，结合中间值法，可得答案.
【详解】（1）由函数 ，且 ，则 ；
由函数 ，且 ，则 ；则 ，即 .
（2） ，
，
，
则 ，故 .
16．（2020高三·全国·专题练习）比较大小：① ， ， ；② ， ，
；③ ， ， ．
【答案】① ；② ；③ ．
【解析】(1)构造相应的函数，依据其单调性比较函数值的大小，如： 在 上递
减有 ， 是增函数有 ，即可得大小关系；(2)将 ， ，
与0和1比较大小，即可确定它们的大小关系；(3)利用同底的指数、对数以0、1
作为界值，比较 ， ， 的大小
【详解】①∵ 在 上递减，
∴ ，
∵ 是增函数，
∴
综上， ；
②∵ ， ，∴ ；
③ ， ， ，则
【点睛】本题考查了比较指数式、对数式的大小，结合相应的指数或对数函数，利用其单
调性比较函数值的大小，或以0、1作为界值，结合同底的指数函数或对数函数的单调性比
较大小
17．（2022高三·全国·专题练习）已知 均为正实数，且 ．
(1)比较 与 的大小；
(2)比较 和 的大小．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用作差法比较大小，即得答案；
（2）结合指数函数以及对数函数的单调性，分类讨论 的取值范围，即可得答案.
【详解】（1） ，
均为正实数， ，
；
（2）当 时，函数 为增函数；当 时，函数 为减函数．
①当 时， ，则 ，
若 ，则 ；
若 ，则 ；
②当 时， ；③当 时， ，则 ，
若 ，则 ；
若 ，则 ．
综上所述，当 或 时， ；
当 时， ；
当 或 时， .
18．（22-23高三下·全国·开学考试）已知函数 的最小值为0．
(1)求实数a的值；
(2)设 ， ， ，判断 ， ， 的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，分 、 两种情况讨论，分别求出函数的单调区
间，即可得到函数的最小值为 ，从而得到 ，再令
，利用导数说明函数的单调性，即可得到 值，从而得解；
（2）由（1）可得 ，当 时两边取对数得到 ，当 时，设
，根据函数值的情况判断 ，当 时，设
，即可判断 ，从而得解.
【详解】（1）解：由题意得 ．当 时， ， 单调递增，无最小值，不满足题意．
当 时，令 ，得 ．
当 时， ；当 时， ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
所以 的最小值为 ，即 ．
设 ，则 ．令 ，得 ．
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
即 ．故 的解只有 ，
综上所述， ．
（2）解：由（1）可得 ，所以 ，当且仅当 时等号成立．
当 时，不等式两边取对数，得 ，所以 ，当且仅当 时等号
成立．
当 时，设 ，
则 ，当且仅当 时，等号成
立．
因为 ，所以 ，所以 ．
当 时，设 ，因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ．故 ，所以 ．
综上所述， ．
19．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性．
(2)若 有两个零点 ，且 ，证明： ．
【答案】(1) 在 上单调递增，在 上单调递减
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数判断 的单调性，进而可得 时， ，
时， ，进而可得单调区间；
（2）令 ，可得 ，构造函数 ，有两个极点可
得 ，进而可得 ，进而运算可得要证
，
，只需证 ，换元证明 即可．
【详解】（1）当 时， ，定义域为 ，
则 ．
设 ，
则 ，
所以 在 上单调递减，即 在 上单调递减．又 ，即 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）令 ，得 ．
又 ，所以 ．显然当 时，方程 只有一个根，不符合题意，
所以 ．令 ，则 ．
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ．
而 ，所以当 时，恒有 ．
要使 有两个零点 ，则需直线 与函数 的图象有两个交点，所以 ．
由上述可知， ，且 ①， ②．
②－①，得 ，所以 ．
②＋①，得 ，
所以 ．
设 ，则 ．
要证 ，又 ，所以只需证 ，
即证 ，即证 ．
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，则 ，即 ，故 ．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助
函数.
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2024·北京东城·一模）已知 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】举出反例即可判断ABD，利用作差法即可判断C.
【详解】当 时， ，故AD错误；
当 时， ，故B错误；
对于C，因为 ，所以 ，因为 ，所以 且 ，
则 ，
所以 ，故C正确.
故选：C.
2．（2024·天津·一模）已知函数 ，若 ，
，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】先判断函数自变量大小可得 ，再根据函数 在 上
的单调性判断即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
当 时， ，
因为 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，
故选：C.
3．（2024·安徽阜阳·一模）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由对数的运算化简，再由对数函数的单调性即可得到结果.
【详解】 ，
，
，
.
故选：D．
4．（2023·山西·模拟预测）已知实数 满足 ， ， ，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】令 ，求得 ，设
，求得 为单调递增函数，得到 ，即 单调递减，得出
，再由函数 ，利用导数得到 单调递增，结合 ，
得到 ，即可求解.
【详解】由 ，可得 ，且 ， ，
令 ，则 ，
设 ，可得 ，所以 为R上单调递增函数，
因为 ，可得 ，即 ，
所以 ，即 单调递减，所以 ，即 ，
即 ，所以 ，
再设 ，可得 ，
所以 在 上在单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
综上可得： .
故选：C.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是根据所给数的特征，构造适当的函数，利用函数的
单调性比较大小.
5．（2024·河南郑州·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】根据已知条件及构造函数 （ ），利用导数的正负与函数
的单调性的关系，结合函数的单调性，再利用作差法、对数的运算及基本不等式即可求解.
【详解】设 （ ），则 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，即 ，
所以 ， ，
，
所以 ，
故选：A．
【点睛】关键点睛：利用构造法和作差法，再利用导数法求函数的单调性，结合函数单调
性及基本不等式即可.
二、多选题
6．（2023·山东青岛·三模）已知实数a，b，满足a＞b＞0， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】对于选项A：根据题意结合基本不等式分析判断；对于选项B：利用作差法分析判
断；对于选项C：分析可得 ，结合指数函数单调性分析判断；对于选项D：结
合幂函数单调性分析判断.
【详解】对于选项A：因为 ，即 ，解得 或
，
所以 或 ，故A错误；对于选项B： ，
因为a＞b＞0，则 ，即 ，且 ，
所以 ，即 ，故B正确；
对于选项C：因为a＞b＞0，且 ，
可得 同号，则有：
若 同正，可得 ，
则 ，可得 ；
若 同负，可得 ，
则 ，可得 ；
综上所述： ，
又因为 在定义域内单调递减，所以 ，故C正确；
对于选项D：因为a＞b＞0，则 ，
可得 在 内单调递增，可得 ，
且 ，所以 ，故D正确；
故选：BCD.
7．（2023·云南大理·模拟预测）若 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据题意可得 ， ， ，
选项A根据换底公式结合对数函数的单调性可得；选项B由 可判断；
选项C由 可判断；
选项D由 ，结合指数函数的单调性可判断.
【详解】由 ， 得 ， ，
，
且 ， ，
选项A： ，故A正确；
选项B： ，当且仅当 时等号成立，
因 ，所以 ，故B错误；
选项C： ，当且仅当 时等号成立，
因 ，所以 ，故C正确；
选项D： ，
所以 ，故D正确.
故选：ACD
三、填空题
8．（22-23高三·全国·对口高考）将 由小到大排列的顺序是：
．
【答案】【分析】由指对数运算化简，进而判断它们的大小.
【详解】 ，
，
，
所以 .
故答案为：
9．（23-24高三上·新疆喀什·期中）已知 ，则 的大小关
系是 （用“＜”表示）
【答案】
【分析】根据指数函数 的单调性即可比较 ，进而由对数的性质即可求解
,进而可比较大小.
【详解】解：∵函数 在R上单调递减，
又∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
10．（2023高三上·全国·竞赛）已知 ， ， ，则这三个数的大小关系为
．（用“ ”连接）
【答案】
【分析】构造 且 ，应用导数研究单调性比较 大小，通过与 的图象比较 与 的大小，进而得到 大小，即可得答案.
【详解】由 ， ，令 且 ，则 ，
所以 在 上递减，则 ，即 ，
所以 ，
由 ， ，只需比较 与 的大小，
根据 与 ，相交于 两点，图象如下，
由 ，结合图知 ，故 ，
综上， .
故答案为：
四、解答题
11．（2024·辽宁抚顺·三模）设函数 ．
(1)讨论 的单调性．
(2)证明： ．
(3)当 时，证明： ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析【分析】（1）求得 ，结合导数 的符号，即可求得 的单调区
间；
（2）根据题意，求得 ，得到 的单调性和最小值，即可得证；
（3）根据题意，转化为证明 ，设 ，求得 ，得到
在 上单调递增，转化为证明 ，结合（2），即可得证.
【详解】（1）解：由函数 ，可得 ，
令 ，解得 或 ．
当 时， ；当 时， ；
当 时， ．
故 在 和 上单调递减，在 上单调递增．
（2）证明：由函数 的定义域为 ，且 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以当 时， 的最小值为 ，故 ．
（3）证明：当 时， ，要证 ，即证 ．
设 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
且 ，
当 时， ，故只需证明 ．
由（2）知， 在 上成立，故 ，
即 成立．
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分
离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，
就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别
综合提升练
