文档内容
培优点 06 平面向量的综合应用（2 种核心题型+基础保分练
+综合提升练+拓展冲刺练）
【核心题型】
题型一 平面向量在几何中的应用
用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题――→向量问题――→解决向量问题――→解决几何问题．
【例题1】（2024·湖南娄底·一模）已知圆内接四边形 中， 是
圆的直径， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量数量积的线性运算，结合圆内接四边形 的几何性质，即可得
所求.
【详解】
因为 ，所以 ，易知 ，
结合图形， ， ，则 ，故 .
所以在直角三角形 中可得 ，故 .
故选：
【变式1】（2023·河南·模拟预测）在 中，内角A， ， 所对的边分别为 ， ， ，， 为 上一点， ， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的基本定理得 ，同时平方化简得 ，
再由余弦定理得 ，两式联立化简可得 ，由三角形面积公式计算即可.
【详解】
如图所示，在 中，由 ，得 ．
又 ，即 ，
所以 ，
化简得 ．①
在 中，由余弦定理得， ，②
由①②式，解得 ．由 ，得 ，
将其代入②式，得 ，解得 ，
故 的面积 ．
故选：D
【变式2】（2023·天津南开·一模）在平面四边形 中，，则 ； .
【答案】
【分析】根据 求出B的大小，从而可判断△ABC的形状，从而求出 ；再求
出 ，从而求出∠ACD的大小，再根据 即可求出 ．
【详解】∵ ，
又 ，故 ，
∵ ，故 ，
∴ 为等边三角形，则 ；
∵ ，∴ ，又 ，∴ ，
得 ，
∴ ，
根据以上分析作图如下：
则∠BCD=150°，
则
．
故答案为：1；
【变式3】（2024·河北张家口·三模）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为边 上一点，且满足 ．
(1)证明： ；
(2)若 为内角A的平分线，且 ，求 ．
【答案】(1)证明见详解；
(2) .
【分析】（1）记 的中点为 ，利用向量运算证明 即可；
（2）先根据向量关系得 ，再由角平分线定理可得 ，分别在
使用余弦定理可得 ，再在 中利用余弦定理求 ，然后由
平方关系可得 .
【详解】（1）记 的中点为 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 为 的垂直平分线，所以 .
（2）记 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
又 为内角A的平分线，所以 ， ，
在 中，分别由余弦定理得：
，
联立可得 ，
在 中，由余弦定理得 ，所以 .
题型二 和向量有关的最值(范围)问题
命题点1 与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
【例题2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在 中， 为线段 的一个三等分点，
.连接 ，在线段 上任取一点 ，连接 ，若 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 在线段 上得到 ，结合已知条件得到 ， 和 的
关系式，最后转化为二次函数求最小值.
【详解】 在线段 上， ， ，
为线段 的一个三等分点， ， ，
，
由平面向量基本定理得 ， ，
，
当 时， 取得最小值 .
故选：C.
【变式1】（2023·山东泰安·模拟预测）已知 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用数量积定义可得 的夹角为 ，不妨设 ，
，即可得 ，再利用辅助角公式可得
，即可求得其最小值.
【详解】设 的夹角为 ， ， ，
， ， ，又 ，
不妨设 ， ，
，所以 ，即 ，
，
由 ，当 时，即 时， 有最小值 ．
故选：B
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知正方体 的棱长为2，空间中点P满
足 ，则三棱锥 的体积的最大值为 ．
【答案】
【分析】方法一：根据题意建立合适的空间直角坐标系，设 ，根据
得出点P的轨迹是球，然后得到点P到平面 的距离的最大值，从而根
据三棱锥的体积公式求解．方法二：利用向量的几何运算得到 ，得到点P的轨迹
是球，然后得到点P到平面 的距离的最大值，从而根据三棱锥的体积公式求解．
【详解】解法一 根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ，设
，则 ，
所以 ，
由 ，得 ，故点P的轨迹是以 （ 为正
方体 的中心）为球心，半径为 的球．
连接 ，易知 ， ， 为等边三角形，且边长为 ，
设点D到平面 的距离为 ，由 ，得到 ，所以 ，
故可得点O到平面 的距离 ，
故点P到平面 的距离的最大值为 ，
则三棱锥 的体积的最大值为 ．
解法二 连接 ，取 的中点O，则 ，又 ，可得
，故点P的轨迹是以O为球心，半径为 的球，
连接 ，易知 ， ， 为等边三角形，且边长为 ，
设点D到平面 的距离为 ，
由 ，得到 ，所以 ，
故可得点O到平面 的距离 ，
故点P到平面 的距离的最大值为 ，则三棱锥 的体积的最大值为 ．
故答案为： .
【变式3】（23-24高三下·天津和平·开学考试）在 中，M是边BC的中点，N是线段
BM的中点．设 ， ，记 ，则 ；若 ，
的面积为 ，则当 时， 取得最小值．
【答案】 /0.5 2
【分析】利用平面向量基本定理得到 ，得到 ，求出 ；由三
角形面积公式得到 ，结合 和平面向量数量积公式，基本
不等式得到 的最小值，此时 ，由余弦定理得到 .
【详解】由题意得
，
故 ，故 ；
由三角形面积公式得 ，
故 ，
其中 ，
故，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
此时
，
故 .
故答案为： ，2
命题点2 与数量积有关的最值(范围)问题
【例题3】（2024·黑龙江·三模）已知 内角 的对边分别为
，动点 位于线段 上，则 的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算，得到 ，即可求出
结果.
【详解】由题知
，
而 ，所以当 时， 有最小值为 ，
故选：C.
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知 ， 为非零向量，且 ， ，若 的最小值为 ，则 的值为（ ）．
A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】由数量积的定义和模长公式对 平方可得，当 时， 取得最小值
，可求出 ，即可求出 的值,
【详解】因为 ， ，
由题意得 ，
所以当 时， 取得最小值 ，
由 得 ，所以 ．
故选：D
【变式2】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知 ， 为圆 上的两个动点，
，若点 为直线 上一动点，则 的最小值为 .
【答案】6
【分析】取 中点 ，则 ，问题转化为求
的最小值，再利用点到直线的距离公式求 的最小值即可.
【详解】如图：取 中点 ，因为 ，圆 的半径为2，所以 ，点 的
轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆， .，
由点到直线距离公式，得： ，所以 ，
所以 .
故答案为：6
【变式3】（2024·重庆·模拟预测）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
已知 ．
(1)求角A的大小；
(2)若 ，且 ，求AP的最小值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）根据题意，由正弦定理代入计算，结合三角恒等变换公式代入计算，即可得
到结果；
（2）根据题意，由平面向量数量积的运算律代入计算，结合基本不等式代入计算，即可得
到结果.
【详解】（1）在 中，由正弦定理 ，可得
又由 知 ，即 ，得 ，得
，
得 ，所以 ；
又因为 ，所以 ．
（2）由 ，得 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立，故AP的最小值为
命题点3 与模有关的最值(范围)问题
【例题4】（2022·内蒙古赤峰·模拟预测）已知点 、 在单位圆上， ，若
，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】利用平面向量数量积的运算性质以及二次函数的基本性质可求得 的取值范围.
【详解】
，
因此， .
故选：C.
【变式1】（2023·重庆·三模）已知 是单位向量，向量 满足 与 成角 ，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设 ，由已知 与 的夹角为 可得 ，由正弦定理
得 ，从而可求 的取值范围.
【详解】设 ，如图所示：
则由 ，又 与 的夹角为 ， .又由 ，由正弦定理 ，得 ，
， ，
，
故选：C
【变式2】（2022·浙江·三模）已知平面向量 满足 ，设
，若 ，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】设 ，则 ，由条件求出 ，根据向量三角不等式可求
.
【详解】设 ，则 ，则由条件 知 ，
所以 ，所以 ，
又
所以 ．
故答案为：
【变式3】（2022·上海·模拟预测）已知向量 在向量 方向上的投影为 ，且 ，则
的取值范围为 （结果用数值表示）
【答案】【分析】根据向量的投影公式可得 ，结合向量的数量积公式和 的取值范围即
可求出 的范围.
【详解】由题意知，设向量 的夹角为 ，
由 ，
得 ，
又 ，
又 且 ，
，所以 ，
所以 的取值范围为 .
故答案为：
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·江西鹰潭·二模）在 中，角 所对应的边为 , ， ，
， 是 外接圆上一点，则 的最大值是（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】先判断 外接圆圆心 是 的中点，将 化简为 ，再
将 分解整理得 ，结合图形，利用向量数量积的定义式进行分析，即得的最大值.
【详解】
如图，设 的外心为 ，则点 是 的中点，
由 ，
因 ，故 ,而 ，
故 当且仅当 与 同向时取等号.
故选：A.
2．（2024·陕西渭南·二模）已知菱形 的边长为 为菱形的中心，
是线段 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，将 分别用 表示，再结合数量积的运算律即
可得解.
【详解】由题意点 为 的中点，
设 ，
则 ， ，
故，
当 时， 取得最小值 .
故选：A.
3．（2024·四川凉山·三模）已知平面向量 ， 夹角为 ，且满足 ， ，若当
时， 取得最小值，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向量数量积公式结合二次函数的性质求得 时取得最小值，
再根据同角三角函数的平方关系计算即可.
【详解】易知 ，
由二次函数的单调性可知 时上式取得最小值，
即 ，
所以 .
故选：C
4．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由向量的数量积与模的关系消元化简计算即可.
【详解】设向量 ， 的夹角为 ，则 ，
易知 ，即
所以 ，所以 ，即 .
故选：D.
二、多选题
5．（2023·山东烟台·二模）如图，在 中， ， ， ，点 分
别在 ， 上且满足 ， ，点 在线段 上，下列结论正确的有
（ ）．
A．若 ，则
B．若 ，则
C． 的最小值为
D． 取最小值时，
【答案】BCD【分析】A选项根据平面向量基本定理和向量共线的性质求解；
B选项，结合A选项，用 ， 来表示出 ，然后由数量积的计算进行说明；
C选项，取 中点 ，则 ，问题转化成定点 到线段 上动点的距离最
小值；
D选项，通过转化先推出 取得最小值时， 也取最小值，然后用面积的割
补计算.
【详解】
A选项，点 在线段 上，则 ，使得 ，则
，
又 ， ，故 ，
根据题干若 ，由平面向量基本定理可知： ，
于是 ，A选项错误；
B选项，根据A的分析，若 ，此时
，故 ，
，
于是 ，由 ， ， ，代入数据由向量的数量积可得 ，即 ，
B选项正确；
C选项，取 中点 ，则 ，由 ，于是 ，
由 ， ，
故 为等边三角形，故 ，根据中位线可知， // ，
于是 ，在 中根据余弦定理可得 ，
为锐角，又 ，
故过 作 的高线时，垂足点落在线段 上，由题意垂足点为 时，
最小.最小值为 ，C选项正确；
D选项， ，
在 中，根据余弦定理可求得 ，即 ，
根据C选项可知， 最小时 也最小. 根据 ，根
据C选项的分析， ，故 ，注意到 ，
故 ，
故 ，D选项
正确.
故选：BCD
6．（2024·河南信阳·二模）如图，在四棱锥 中，底面是边长为 的正方形，为 的中点． ，过 作平面 的垂线，垂足为 ，连
， ，设 ， 的交点为 ，在 中过 作直线 交 ， 于 ，
两点， ， ，过 作截面将此四棱锥分成上、下两部分，记上、下两
部分的体积分别为 ，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D． 的最小值为
【答案】ABD
【分析】过 作平面 的垂线，垂足为 ，连接 、 、 ，设 、 的交
点为 ，在 中，过 作直线交 ， 于 ， ，由相交直线确定平面，得到四
边形 是过 的截面，结合平面向量基本定理，基本不等式及体积求解逐项判断能
求出结果．
【详解】由题意可知，四棱锥 为正四棱锥，
过 作平面 的垂线，垂足为 ，则O为底面中心，连接 、 、 ，
设 、 的交点为 ，在 中，过 作直线交 ， 于 ， ，
由相交直线确定平面，得到四边形 是过 的截面，
由题意得 ， 是等边三角形， 是 的重心，
则 ，故A正确；又设 ， ， ， ，
，由三点共线得 ，解得 ，故B正确；
易知 平面 ,故 平面 ，
则E到平面 的距离为 ，同理G到平面 的距离为2,
又 为 的中点，则 到平面 的距离为1，
，
，故C错误;
易知 ，
故 ，
，
， ， ，
当且仅当 ．取等号，
，
．故D正确.
故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题考查正棱锥性质及向量应用，解决问题关键是利用向量共线得
结合基本不等式求最值.
三、填空题
7．（2024·湖北·模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ，且 ， 的夹角为 ，则
的最小值是 .
【答案】
【分析】根据数量积的定义和运算律可得 ，结合二次函数分析求解.
【详解】由题意可知： ，
因为 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值是 .
故答案为： .
8．（2024·上海闵行·二模）已知 、 是空间中两个互相垂直的单位向量，向量 满足
，且 ，当 取任意实数时， 的最小值为 .
【答案】【分析】由向量的模长和数量积的运算结合二次函数求出最值即可.
【详解】因为 ， ， ， ，
所以
，
所以当 时， 的最小值为 ，
故答案为： .
9．（2022·天津南开·二模）已知平行四边形 中， ， ， ，
则 ；若 ， ，则 的最大值为 ．
【答案】
【分析】由 求出 ，然后由 平方后求得 ，把
用 表示后求数量积化为 的函数可得最大值．
【详解】由已知 ，
所以 ，所以 ，
；
因为 ， ，
所以 ，
，，
所以 时， 取得最大值 ．
故答案为： ； ．
四、解答题
10．（2023·湖北·二模）已知在 中，角A、B、C的对边分别是a、b、c， ．
(1)若BC边上的高等于 ，求 ；
(2)若 ，求AB边上的中线CD长度的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求得 （用 表示），然后利用余弦定理求得 .
（2）先求得 ，利用向量法求以及基本不等式求得 长度的最小值.
【详解】（1）过 作 ，垂足为 ，则 ，
，
，
在三角形 中，由余弦定理得 .（2） ，
，两边平方得
，当且仅当 时等号成立，
所以 的最小值为 .
11．（2023·四川成都·一模）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)求角B；
(2)若边 上的中线 长为2，求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简 ，再结合余弦定理即可求解；
（2）利用中线向量公式，结合数量积的运算可得 ，结合基本不等式与三角
形的面积公式即可求解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，即 ，
根据余弦定理可得 ，又因为 ，所以 ；
（2） 是 上的中线， ，即 ，
，即 ，
当且仅当 时，等号成立，
，即 面积的最大值为
【综合提升练】
一、单选题
1．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知向量 ， ，且 ， ，则
的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】求出 的值，写出 的表达式，即可求出最小值.
【详解】由题意，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
当 时， 取得最小值 ，
∴ 的最小值为 ，
故选：A.2．（2024·全国·模拟预测）若单位向量 ， 的夹角为 ，则当 取得最
小值时， 的值为（ ）
A．－2 B．－1 C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向量数量积的运算性质，将 平方后即可求解.
【详解】由题意知 ，因为 ，所以当 时，
取得最小值．
故选：C．
3．（2023高三下·全国·竞赛）已知平面向量 ， 满足 ， ，并且当 时，
取得最小值，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知得出 ，即可根据二次函数最值问题得
出 时， 取得最小值，即 取得最小值，再根据已知列式解
出 ，即可根据同角三角函数关系得出答案.
【详解】平面向量 ， 满足 ， ，
则 ，
，，
则 时， 取得最小值，即 取得最小值，
故 ，解得： ，
则 ，
故选：B.
4．（2023·山东青岛·三模）已知向量 ， ， 满足： ， ，
，则 的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【分析】建立平面坐标系，用坐标表示 ， ， ，利用数量积的坐标运算计算即可.
【详解】由题意不妨设 ，则
，且 ，
解之得 或 ，
由 ，
即 的终点C在以 为圆心，1为半径的圆上，故 ，
由圆的对称性，不妨令 ，即 ，连接AD交圆于E，由点与圆的位置关系
可知.
故选：A
5．（2023高一·全国·单元测试）若 ， 是两个互相垂直的单位向量，且向量 满足
，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．以上答案均不对
【答案】A
【分析】取 ，引入向量坐标后处理表达式，找出向量 满足的关系，最后
用模长公式结合二次函数的性质求 的范围
【详解】根据 垂直可得 ，不妨取 ，设 ，
于是 ， ，并取 ，注意到 .
于是 .
故 点在线段 上运动，由直线的截距式方程可得，直线 方程为： ，即
，设 ， ，则 ， ，故
，
设 ， ，则 ；
由 ， ，于是 时， ，
于是 .
故选：A
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知 是边长为 的正三角形，点 是 所在
平面内的一点，且满足 ，则 的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．【答案】C
【分析】可由重心的性质结合向量运算得到点 的轨迹，再结合圆上的点到圆外定点的距
离最小值为圆心到定点减半径得到；亦可建立适当平面直角坐标系，借助向量的坐标运算
结合圆的性质得解.
【详解】法一：设 的重心为 ，则 ，
点 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，
又 ， 的最小值是 .
法二：以 所在直线为 轴，以 中垂线为 轴建立直角坐标系，
则 ，
设 ，即 ，
化简得 ， 点 的轨迹方程为 ，
设圆心为 ， ，由圆的性质可知当 过圆心时 最小，
又 ，故 得最小值为 .
故选：C.
7．（2023·江西景德镇·三模）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标
系中，过点 作两坐标轴的平行线，其在 轴和 轴上的截距 ， 分别作为点 的 坐标
和 坐标，记 .若斜坐标系中， 轴正方向和 轴正方向的夹角为 ，则该坐标系中
和 两点间的距离为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】设与x轴方向相同的单位向量为 ，与y轴方向相同的单位向量为 ，则可表示
出 ，即可计算出 和 两点间的距离.
【详解】设与x轴方向相同的单位向量为 ，与y轴方向相同的单位向量为 ，
则 ， ，
则 ，
所以 ，
所以 ，
故选：D.
8．（2022·浙江宁波·二模）已知平面向量 ， ， 满足 ， ， ，
（ ， ）.当 时， （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析题目条件，得到 ，画出草图，利用等和线得到 ，过
O点,C点分别向AB做垂线，得到两个相似比为1比3的直角三角形，设出∠CAB=θ，然后
利用角表示边，通过勾股定理得到角的大小，从而得到边长的大小，进而求出 的大小
【详解】解析：作 ， ， ，由题意 ，
设直线 与直线 交于点 ，
∵ （ ， ），
∴点 在线段 上（不含端点）
又 ，结合等和线性质，可知
作 于 ， 于 ，
有 ，
记
①当点 在线段 上时， ，
由
，得 ，可解得 ，进而有
此时， ，（注：点 为线段 的中点，在线段 上，符合题意）
可得 ，所以
②当点 在线段 的反向延长线上时，同①方法可推得点 与点 重合，矛盾综上，
.
故选：A
二、多选题
9．（2023·全国·模拟预测）已知点 ， ， ，则下列说法正确
的是（ ）
A． B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ， 的夹角为锐角，则 且
【答案】AC
【分析】根据向量的模长，垂直，平行和夹角大小的定义，对下列各项逐一判断，即可得
到本题答案.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ， ，
选项A： ，所以A正确；
选项B：因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以B错误；
选项C：因为 ，所以 ，所以 ，所以C正确；
选项D：因为 ， 的夹角为锐角，且 ，所以 ，解得，所以D错误.
故选：AC
10．（2023·湖北·模拟预测）下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．已知 ，点 在直线 上，且 ，则 的坐标为 ；
B．若 是 的外接圆圆心，则
C．若 ，且 ，则
D．若点 是 所在平面内一点，且 ，则 是 的
垂心.
【答案】BD
【分析】对于A，设 ，由题意可得 或 ，再根据平面向量的坐
标表示计算即可；对于B，如图，设 为 的中点，根据数量积的定义即可得解；对于
C，当 时，再根据数量积的运算律即可判断；根据数量积的运算律即可判断D.
【详解】对于A，设 ，则 ，
因为点 在直线 上，且 ，
所以 或 ，
则 或 ，
所以 或 ，解得 或 ，
所以 或 ，故A错误；
对于B，如图，设 为 的中点，则 ，则 ，故B正确；
对于C，当 时， ，
满足 ，则 与 不一定相等，故C错误；
对于D，因为 ，
所以 ，所以 ，
同理可得 ，
所以 是 的垂心，故D正确.
故选：BD.
11．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中， ， ，且 ，
MN是圆Q： 的一条直径，则（ ）
A．点P在圆Q外 B． 的最小值为2
C． D． 的最大值为32
【答案】BCD
【分析】根据 化简可得 ，即可得P点轨迹，进而根据圆A与圆
Q外切求解A，根据 即可求解B，根据向量数量积的运算律
即可求CD.
【详解】对A，由 ，得 ，整理得 ，所以点P在以 为圆心，2为半径的圆上，记为圆A，如图．
因为 ，所以圆A与圆Q外切．当点P为两圆的公共点时，点P在圆Q上，故A错
误．
对B，由题意，得 ，故B正确．
对C， ，故C正确．
对D， ．而 ，
所以 ，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题
12．（2023·全国·模拟预测）已知在△ABC中，∠BAC=60°，点D为边BC的中点，E，F
分别为BD，DC的中点，若AD=1，则 的最大值为 ．
【答案】
【分析】由平面向量的加法法及平面向量的基本定理得 、 、 都可用基底 、
表示，将 左右平方后所得式子与重要不等式联立可得 ，将
、 代入 中计算即可.
【详解】设AC=b，AB=c，
则 ，∵D为边BC的中点，
∴ ，
∴ ，即： ，①
又∵ ，当且仅当 时取等号. ②
∴由①②得： .
又∵E、F分别为BD、DC的中点，
∴ ， ，
∴
，当且仅当 时取等号.
∴ 的最大值为 .
故答案为： .
13．（2023·广西·模拟预测）在 中， ，点 在线段 上，且 ，
，则 面积的最大值为 ．
【答案】 /
【分析】利用向量法求得 的取值范围，进而求得 面积的最大值.
【详解】在 中，设 ， ， ，
由 ，则 ，则 ，
，即 ，
，当且仅当 时取等号．所以 面积的最大值为 ．
故答案为：
14．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如果复数 ， ， ，
在复平面内对应的点分别为 ， ， ， ，复数z满足 ，且
，则 的最大值为 .
【答案】
【分析】先将复数转化为平面直角坐标系中的坐标，然后用距离公式对条件
进行变形，得到 ，由此可以证明 . 之后再使用向量的
坐标运算将 表示为关于 的表达式，利用 即可证明 ，
最后给出一个 的例子即可说明 的最大值是 .
【详解】由 ， ， ， ，知 ， ， ，
，从而 ， ， .
由于 ， ，故条件
即为 ，展开得到 ，再化简
得 ，所以 ，故我们有，从而
.
由于 ， ， ， ，故
，从而
.
经验证，当 ， 时，条件满足. 此时 .
所以 的最大值是 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于将复数坐标化为平面直角坐标系中的坐标，并将
复数之差的模长表示为平面直角坐标系中的线段长度. 另外，本题还具有“阿波罗尼斯
圆”的背景：平面上到两个不同定点 的距离之比恒为常数 的点的轨
迹是一个圆，该圆称为关于 的阿波罗尼斯圆. 使用解析几何方法结合距离公式，很容
易证明此结论.
四、解答题
15．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在 中，角 的对边分别为 已知
(1)求角
(2)过 作 ，交线段 于D，且 ，求角 .【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角，再利用内角和为 变换角 ，最后进行三角恒等变化
即可求解；
（2）利用 ，结合定比分点向量公式，用向量法来运算垂直关系，即可解得.
【详解】（1）由正弦定理得： ．
∵ ，∴ ，
∴
∴ ，
又 ，∴ ，又 为三角形内角，∴ ．
（2）
因为 在 边上，且 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
即 ，
所以 ．
在 中，由 ， ，可得 .16．（2022·湖南·一模）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
．
(1)求 中的最大值；
(2)求 边上的中线长．
【答案】(1)最大值为
(2)
【分析】（1）先判断 为最大，再根据余弦定理可求其余弦值，从而可求其正弦值.
（2）由 可得求中线长.
【详解】（1） ，故有 ，
由余弦定理可得 ，
又 ， ，故 ．
（2）设 边上的中线为 ，则 ，
，
，即 边上的中线长为 ．
17．（2022·广东深圳·一模）如图，在 ABC中，已知 ， ， ，
△
BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．
(1)求 的正弦值；
(2)求 的余弦值．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法1、由余弦定理求得 ，得到 ，分别在
和 ，求得 和 ，结合 和 互补，求得
，再在 中，求得 ，即可求解；
解法2、由题意，求得 ，根据 ，结合 的面积为
面积的 ，列出方程，即可求解；
（2）解法1、由余弦定理求得 ，得到 ， ，在 中，由余
弦定理求得 ，即可求解；
又由 ，所以 ．
解法2、由 ，求得 ，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）解：解法1、由余弦定理得 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理，得 ，
在 中，由余弦定理，得 ，与 互补，则 ，解得 ，
在 中，由余弦定理，得 ，
因为 ，所以 ．
解法2、由题意可得， ，
由AM为边BC上的中线，则 ，
两边同时平方得， ，故 ，
因为M为BC边中点，则 的面积为 面积的 ，
所以 ，
即 ，
化简得， ．
（2）解：方法1、在 中，由余弦定理，得 ，
所以 ，
由AM，BN分别为边BC，AC上的中线可知P为 重心，
可得 ， ，
在 中，由余弦定理，得 ，
又由 ，所以 ．
解法2：
因为BN为边AC上的中线，所以 ，，
，即 ．
所以 ．
18．（2023·河南·模拟预测） 的内角 的对边分别为 ，已知
是 边上一点， .
(1)求 ；
(2)求 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再由同角三角函数的商数关系，得解；
（2）由 ，知 ，将其两边平方后，结合基本不等式，计算可得
，再由平面向量数量积的运算法则，得解．
【详解】（1）由正弦定理及 知， ，
因为 ，所以 ，
所以 ．
（2）因为 ，所以 ，
又 ，
所以 ，整理得
，所以 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，
故 的最大值为 ．
19．（2023·四川自贡·一模）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
.若D在线段BC上，且 ， .
(1)求A；
(2)求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 使用三角恒等变换求得 值；
（2）将 用 表示，由 求得 关系，使用基本不等式求 的最大值，从
而得到面积的最大值.
【详解】（1）因为 ，因为 ，所以 .
（2）由 得， ，
所以 .
所以 .
所以 .
所以 ，当且仅当 时等号成立.
所以 .所以 .
故 面积的最大值
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2022·安徽黄山·一模）在 中, ,O是 的外心,则
的最大值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】取 中点为 ,将 写为 ,展开后,将 作为一组基底,将其他向量
写为 的形式,再将三角形的边和角代入,用余弦定理将边角之间关系代入上式,再用正
弦定理求出变量范围,求出最大值即可.
【详解】解:由题知,记 的三边为 ,
因为O是 的外心,
记 中点为 ,
则有 ,
所以
且 ,
所以①,
在 中,由余弦定理得:
,
即 ,
即 ,
代入①中可得:
,
在 中,由正弦定理得:
,
所以 ,
所以 ,
当 时取等,
故 的最大值为3.
故选:C
2．（2022·江苏盐城·模拟预测）在 中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N
两点，设 ， ，（ ， ），则 的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】C【分析】先利用平面向量基本定理及三点共线得到 ，利用基本不等式“1的妙
用”求出最小值.
【详解】在 中，E为重心，所以 ，
设 ， ，（ ， ）
所以 ， ，所以 .
因为M、E、N三点共线，所以 ，
所以 （当且仅当 ，即 ，
时取等号）．
故 的最小值是3．
故选：C．
3．（22-23高三下·河北石家庄·阶段练习）设 是平面直角坐标系中关于 轴对称的两点，
且 .若存在 ，使得 与 垂直，且
，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】构造向量，利用向量垂直和 ，结合基本不等式得出
的最大值2，结合图形可得答案.【详解】如图， 是平面直角坐标系中关于 轴对称的两点，且 ，
由题意得： ，令 ，则 三点共线,
，则 三点共线,
故有 共线，由题意 与 垂直， ，
知 ，且 为定值，
在 中， ，当且仅当 时， 取最大值2，
此时 面积最大，则 到 的距离最远，而 ，故当且仅当 ，
即 关于 轴对称时， 最小，此时 到 的距离为 ，
所以 ，故 ，即 的最小值为 .
故选：D.
4．（2023·贵州毕节·模拟预测）已知点G为三角形ABC的重心，且 ，
当 取最大值时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题设可得 ，结合 ， 及余弦定理可得，根据基本不等式即可求解.
【详解】由题意 ，所以 ，
即 ，所以 ，所以 ，
又 ， ，
则 ，
所以 ，即 ，
由 ， ， ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
又 在 上单调递减， ，
所以当 取最大值时， .
故选：A
【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是结合
三角形重心的性质和余弦定理可得 ，然后利用基本不等式求解，考查转化思想，
属于较难题.
二、多选题
5．（2022·湖北·二模）定义空间两个非零向量的一种运算： ，则关于
空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ）
A． B．C．若 ，则 D．
【答案】BD
【分析】A选项，可举出反例，当 不共线且 为负数时， ；B选项，
根据定义得到B正确；C选项，根据题意得到 共线；D选项，结合正弦函数的值域得到
D正确.
【详解】对于A， ， ，
若 不共线,且 为负数，则 ，而
，
此时 ，故A错误；
对于B，由定义知 ， ，故B正确；
对于C，若 ，则 ， 共线，故C错误；
对于D，由定义知 ，又 ，
故 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确．
故选：BD
6．（2024·海南海口·模拟预测）已知 ， 是 上的两个动点，且
.设 ， ，线段 的中点为 ，则（ ）
A．
B．点 的轨迹方程为
C． 的最小值为6D． 的最大值为
【答案】BC
【分析】A选项，由垂径定理得到 ，从而得到 ， ；
B选项，由 得到点 的轨迹为以 为圆心，半径为1的圆，得到轨迹方程；C选项，
由极化恒等式得到 ，结合点 的轨迹方程，得到
的最小值；D选项，转化为点到直线的距离问题，
可看作点 到直线 的距离，结合点 的轨迹方程，求出
最大值，得到答案.
【详解】A选项，由题意得 ，半径为 ，
由垂径定理得 ⊥ ，则 ，解得 ，
由于 ，则 ，故 ，A错误；
B选项，由A选项可得， ，故点 的轨迹为以 为圆心，半径为1的圆，
故点 的轨迹方程为 ，B正确；
C选项，由题意得 ， ，
两式分别平方后相减得， ，
其中 ，又点 的轨迹方程为 ，
所以 的最小值为 ，故 的最小值为 ，C正确；
D选项， 可看作点 到直线 的距离，
同理， 可看作点 到直线 的距离，
故 可看作点 到直线 的距离，
点 的轨迹方程为 ，
故点 到直线 的距离最大值为圆心到 的距离加上半径，
即 ，故 ，
所以 ，故最大值为 ，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点睛：向量恒等式 ，及 是
常用等式，要学会合理利用这两个式子解题．
三、填空题
7．（2024·河北沧州·模拟预测）已知单位向量 ，向量 与 不共线，且 ，
则 的最大值为 ．
【答案】2
【分析】由 ，则 ，方法一：利用正弦定理可得 ，当 时，可求得结果；方法二：作出△ABC的外接圆，当AC为圆的直径，即 时，可求
.
【详解】法1：设 ， ，则 ，如图所示．
因为 ，所以在△ABC中， ， ，
由正弦定理，得 即 ，得 ，
当 时， ．
法2：设 ， ，则 ，作出△ABC的外接圆，如图所示．
因为 ，所以 ，因为 ，
当AC为圆的直径，即 时， ．
故答案为：2
8．（2024·山东济宁·三模）已知 ，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据平面向量的模求出数量积 ，利用向量的几何意义和运算律计算可得
， 表示点 与点
的距离之和，作出图形，确定 的最小值，结合图形即可求
解.
【详解】由 ，得 ，
即 ，解得 .
，
表示点 与点 的距离之和.
如图，点 关于x轴的对称点为 ，连接 ，则 ，
当且仅当 三点共线时等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是 表示点 与点
的距离之和，结合图形，确定 （当且仅
当 三点共线时等号成立）.
9．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知 是边长为1的正六边形边上相异的三点，
则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】一方面 ，而 ， ， 不重合，所以 ；另
一方面，设 中点为 ，那么 ，设 在六边形的端点上，同理不妨设 在六边形的端点上．分四种情况即可得 ，剩下的只需证明何时取等并且
可以遍历 中的每一个数．
【详解】首先， ，这里 是最长的那条对角线的长度，
等号取到当且仅当 同向，且 ，而这意味着 重合，矛盾.
所以 .
另一方面，我们先舍弃 互不重合的条件，然后证明 ：
设 中点为 ，那么 ，
然后，设A所在的边的端点为 ，则 ，
（这是因为，记 ，其中 为原点，确定的 ，
那么 是一次函数，从而t属于 时，有 ）
所以我们可以不妨设A在六边形的端点上.
同理，我们可以不妨设C在六边形的端点上.
此时分以下四种情况：
(1) 重合，此时 ，
(2) 为相邻顶点，此时 ，
(3) 相隔一个顶点，此时 ，
(4) 为对径点，此时 ，综上， ，
所以，即使去掉 互不重合的条件，我们仍有 ，
这就说明， 互不重合时，有 ，
然后，取等条件如图所示：
具体说明如下：构造一个 到六边形的函数 （即从数映射到点），
使得 ，并且只沿着最近的轨道，
这样在 的情况下， 互不重合
同时设 ，那么 ，而 连续，
所以在 的情况下， 必定取遍 ，
这就意味着， 的取值范围就是 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：对 分以下四种情况：
(1) 重合，此时 ，(2) 为相邻顶点，此时 ，
(3) 相隔一个顶点，此时 ，
(4) 为对径点，此时
四、解答题
10．（2023·重庆·模拟预测）在 中，a，b，c分别是 的内角A，B，C所对的边，
且 ．
(1)求角A的大小；
(2)记 的面积为S，若 ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理先将边角化统一，然后由余弦定理即可得到结果；
（2）根据题意可得， ，然后得到 ，再由三角形的面积公式可得 ，
最后结合基本不等式即可得到结果.
【详解】（1）因为 ，即
由正弦定理可得， ，化简可得 ，
且由余弦定理可得， ，所以 ，
且 ，所以 .
（2）因为 ，则可得 ，
所以
且 ，
即 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以
11．（2023·四川成都·模拟预测）如图，A，B是单位圆（圆心为O）上两动点，C是劣弧
（含端点）上的动点．记 （ ， 均为实数）．
(1)若O到弦AB的距离是 ，求 的取值范围；
(2)若 ，向量 和向量 的夹角为 ，求 的最小值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由题意确定 ，根据数量积的运算律求得则 ，
，可得 ，即可求得答案；
（2）将 平方可得 ，根据数量运算律求出
，以及求得向量 和向量 的模，即可求
得 的表达式，结合余弦函数性质利用函数单调性即可求得答案.
【详解】（1）由题意知O到弦AB的距离是 ，则 ，
故 ，且 ，
记劣弧 的中点为D，
则 ，
，
两式相加得 ，
故 ，
由于 ，故 ，即 的取值范围为 ；
（2）设 ，
由 可得 ，
即 ，结合 可得 ，
故 ，
而 ，
由于向量 和向量 的夹角为 ，
故
，
令 ，则 在 上单调递增，
则 ，
即 得最小值为 .
