文档内容
考点 11 指数与指数函数（3 种核心题型+基础保分练+综合
提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、
特殊点等性质，并能简单应用．
【知识点】
1．根式
(1)一般地，如果xn＝a，那么x 叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)()n＝a.
当n为奇数时，＝a，
当n为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂： ＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂： ＝ ＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ a r ＋ s；(ar)s＝ a r s；(ab)r＝ a r b r(a>0，b>0，r，s∈Q)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域
是R.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 00时， y >1 ； 当x<0时， y >1 ；当x<0时， 0< y <1 当x>0时， 0< y <1
在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
常用结论
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，.
2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即
在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
【核心题型】
题型一 指数幂的运算
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注
意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
【例题1】（2024·广东·模拟预测）若 ，则 ．
【答案】
【分析】分 和 两种情况分类计算.
【详解】当 时， ，
当 时， .
故答案为：
【变式1】（2024高三下·全国·专题练习）已知函数 ，则
．【答案】6
【分析】根据函数奇偶性的定义可判断 为奇函数，即可得
，进而根据指数幂的运算即可求解.
【详解】 函数 ，
设 ，
令 ，
则 ，
，
又 ， ，
，
．
故答案为：6．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 则 ．
【答案】 /
【分析】直接代入分段函数求函数值即可.
【详解】由题意得 ．
故答案为： .
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）化简下列各式：（1） =
（2） （ =
（3 设 ，则 的值为
【答案】 0 / 7
【分析】（1）根据指数幂的运算性质，化简求值，即得答案；
（2）将根式化为指数幂的形式，结合指数幂的运算，即可求得答案；
（3）将 平方，即可求得答案.
【详解】（1）
.
（2） ；
（3）因为 ，
.故答案为：（1）0；（2） ；（3）7
题型二 指数函数的图象及应用
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸
缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
【例题2】（2024高三·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ ，y＝log
a
（x＋ ）（a＞0，且a≠1）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】略
【变式1】（23-24高三下·江西·开学考试）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由奇函数性质以及指数函数单调性即可判断.
【详解】 ，且函数定义域为 ，关于原点对称，所以为奇函数，排除CD．
当 时， ，所以 ，排除B，经检验A选项符合题意.
故选：A．
【变式2】（23-24高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数 ，对数函数 的图
象如图所示，则下列关系成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即可得到 的范围，从而得到结
果.
【详解】由图象可得，指数函数 为减函数，
对数函数 为增函数，
所以 ，
即 .
故选：B
【变式3】（2024·四川·模拟预测）已知函数 ， ， 在同一平面直角坐
标系的图象如图所示，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据幂函数，指数与对数函数的性质可得 的取值范围，进而根据指对数与三
角函数的性质判断即可.
【详解】因为 图象过 ，故由图象可得 ，
又 图象过 ，故由图象可得 ，
又 图象过 ，故由图象可得 .
故 ， ， ，故 .
故选：B
题型三 指数函数的性质及应用
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小
还可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、
最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．
命题点1 比较指数式大小
【例题3】（2024·甘肃武威·模拟预测）设 ，则 的
大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用中间值“1”与 比较得出 ，再由作差比较法比较 ，利
用换底公式和对数函数的单调性即得.
【详解】因为 ，所以 ．同理
又因 在定义域内为减函数，故 ，而 ，
因 ， ，且 ，故 ，即 ，
所以 ．
故选：D.
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则 的大小关系
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意利用指、对数函数单调性以及指、对数运算分析判断.
【详解】因为 ， ，所以 ；
又因为 ，则 ，
即 ，所以 ，即 ；
所以 ．
故选：A．
【变式2】（2024·北京房山·一模）已知 ，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】根据不等式的性质即可判断A；根据幂函数单调性可判断B；根据指数函数的性质
即可判断C；利用作差法即可判断D.
【详解】对于A，因为 ，所以 ，故A结论正确；
对于B，当 时，因为幂函数 在 上单调递增，所以 ，故B
结论正确；对于C，因为 ，所以 ，
而函数 为减函数，所以 ，故C结论正确；
对于D， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故D结论错误.
故选：D.
【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）若 ，则有
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意首先得 ，进一步
，从而我们只需要比较 的大小
关系即可求解，两式作商结合基本不等式、换底公式即可比较.
【详解】 ，所以 ，
，
又因为 ，
所以 ，即 .故选：B.
命题点2 解简单的指数方程或不等式
【例题4】（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）若函数 （ 且 ）在区
间 上的值域为 ，则实数 的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】B
【分析】分 与 两种情况，结合函数单调性得到方程组，求出答案.
【详解】①当 时， 单调递增，
故 ，解得 ；
②当 时， 单调递减，
，无解，
综上可知 .
故选：B
【变式1】（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数 ，若
恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】参变分离可得 恒成立，结合基本不等式求出 的最小值，即可求
出参数的取值范围.
【详解】因为 恒成立，即 恒成立，所以 恒成立，又由 （当且仅当 时取等号），
所以 ．
故选：A．
【变式2】（2023·山东菏泽·三模）已知函数 ，若 ，不等式
恒成立，则正实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析出函数 为奇函数，利用导数分析可知函数 在 上为增函数，由
可得出 ，令 ，求出函数
在 上的最大值，即可得出实数 的取值范围.
【详解】因为 ，其中 ，则 ，且 不恒为零，
所以，函数 在 上为增函数，
又因为 ，故函数 为奇函数，
由 可得 ，
所以， ，所以， ，
令 ，因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以， .
故选：B.【变式3】（2024高三·全国·专题练习）若集合 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出集合 ，再由交集的定义求解即可.
【详解】因为 ，
，所以 ，
故选：C.
命题点3 指数函数性质的综合应用
【例题5】（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知函数 是奇函数.
(1)求 的值；
(2)求 在 上的值域.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）根据 ，利用函数是奇函数求解；
（2）根据指数函数的单调性易证 是 上的减函数求解.
【详解】（1）解：因为 ，
所以 .因为 是奇函数，
所以 ，即 ，
即 ，
解得 .
（2）由（1）可知 ，
易知 在 上单调递增且 ， 在 上单调递减，
所以 是 上的减函数.
因为 ， ，
所以 在 上的值域为 .
【变式1】（23-24高三上·广东茂名·阶段练习）若函数 的图象恒经过定
点 ．
(1)求 的值；
(2)当 在 上是增函数，求a的范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用条件建立方程 ，即可求出结果；
（2）由（1）得到 ，再根据条件即可得到结果.
【详解】（1）因为 的图象过
所以 ，得到 ，所以 .
（2）由（1）知，因为 在 上是增函数，所以 ，得到 .
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) 或
(2) ．
【分析】（1）根据指数函数的单调性得到不等式，求出 ，三段法
解绝对值不等式，求出不等式解集；
（2）画出 的图象，数形结合得到答案.
【详解】（1）依题意， ，由于 在R上单调递减，
故 ，
当 时， ，解得 ，故 ；
当 时， ，解得 ，故 ；
当 时， ，解得 ，故 ；
综上所述，不等式 的解集为 或 ．
（2）由（1）可知， ，
作出函数 的图象如图所示，观察可知，临界状态为直线 过 或与直线 平行，
当直线 过 时， ，解得 ，
当直线 与直线 平行时， ，此时 与 重合，
故实数 的取值范围为 ．
【变式3】（23-24高三上·江苏淮安·期中）已知不等式 .
(1)求不等式的解集 ；
(2)若当 时，不等式 总成立，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对数函数的单调性结合对数不等式可得出关于 的不等式组，即可解出
集合 ；
（2）求出函数 在 上的最小值，即可得出实数 的取值范
围.
【详解】（1）解：因为 ，则 ，解得 ，
故 .
（2）解：令 ，则原问题等价 ，且 ，其中 ，
令 ，可得 ，其中 ，
当 时，即当 时，函数 取得最小值，即 ，
所以， .
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024·四川绵阳·二模） 的展开式中，x的系数为（ ）
A． B． C．5 D．10
【答案】A
【分析】写出二项展开式的通项，由 的指数为1求得 值，则答案可求．
【详解】 的展开式的通项为 ．
令 ，得 ．
的系数为 ．
故选：A．
2．（2024·内蒙古包头·一模）已知 是奇函数，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】根据题意，利用 ，求得 ，结合函数奇偶性的定义与判定，即可求解.
【详解】由函数 是奇函数，可得 ，解得 ，即函数 ，
又由函数 的定义域为 ，且 ，
所以函数 为奇函数，所以 符合题意.
故选：D.
3．（23-24高三上·广东梅州·期中）计算： （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据根式、指数、对数运算求得正确答案.
【详解】
.
故选：C
4．（2024高三下·全国·专题练习）已知 ，设函数
的最大值是 ，最小值是 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将 看成两个函数的和，函数 在 上单调递增，函数
为奇函数，从而函数 的最大值与最小值之和为函数 的最大值和最小值
之和，结合单调性利用指数运算化简求值即可.
【详解】因为 ，由复合函数单调性的判断方法，知此函数 在 上为增函数
又 ，所以 为 上的奇函数，故其最大值加最小值为0，
所以 .
故选：C
二、多选题
5．（23-24高三上·福建漳州·阶段练习）小明同学对函数 且 进得
研究，得出如下结论，其中正确的有（ ）
A．函数 的定义域为 B．函数 有可能是奇函数，也有可能是
偶函数
C．函数 在定义域内单调递减 D．函数 不一定有零点
【答案】ABD
【分析】根据解析式确定定义域，令 、 研究 的性质判断各项的正误即可.
【详解】由 ，有 ，即 恒有意义，故定义域为 ，A对；
当 ，则 ，故 ，此时为奇函数，
当 ，则 ，故 ，此时为偶函数，B对；
若 ，令 ，易知 在 上递减，在 上递增，
当 时， 在 上递增，根据复合函数的单调性可知，
在 上递增，在 上递减，所以 在定义域内不递减，且无零点，C错；
若 ，显然 ，此时函数有零点，综上， 不一定有零点，D对.
故选：ABD
6．（2024·山东临沂·一模）已知函数 ，则（ ）A． 的定义域为
B． 的值域为
C．当 时， 为奇函数
D．当 时，
【答案】ACD
【分析】由分母不为零求出函数的定义域，即可判断A，再分 、 分
别求出函数值的取值范围，即可得到函数的值域，从而判断B，根据奇偶性判断C，根据指
数幂的运算判断D.
【详解】对于函数 ，令 ，解得 ，
所以 的定义域为 ，故A正确；
因为 ，当 时 ，所以 ，
当 时 ，所以 ，
综上可得 的值域为 ，故B错误；
当 时 ，则 ，
所以 为奇函数，故C正确；
当 时 ，则 ，
故D正确.
故选：ACD
三、填空题
7．（2023·上海金山·一模）若 时，指数函数 的值总大于1，则实数 的
取值范围是 .
【答案】 或【分析】根据指数函数的性质以及单调性，即可得到关于 的不等式，求解不等式即可得
到结果.
【详解】由已知可得， 且 .
又 时， ，
即 ，
所以有 ，即 ，
解得 或 .
故答案为： 或 .
8．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）设 ，用 表示不超过 的最大整数，则
称为高斯函数.例如： ， .已知函数 ，则
，函数 的值域为 .
【答案】
【分析】利用分离参数法可得 ，根据题意直接代入求解即可得
；根据指数函数性质可得 的值域，进而可得 的值域.
【详解】因为 ，
所以 ；
又因为 ，则 ，
可得 ，所以 ，
若 ， ；若 ， ；
若 ， ；
综上所述：函数 的值域为 .
故答案为：1； .
四、解答题
9．（2024高三·全国·专题练习）画下列函数图像
(1) ；
(2) .
【答案】(1)图象见解析
(2)图象见解析
【分析】（1）利用函数图象平移的性质，结合指数函数的图象即可得解；
（2）利用函数图象平移的性质，结合反比例函数的图象即可得解.
【详解】（1）将 的图象向左平移2个单位，即可得到 的图象，如图，
（2）因为 ，
先作出 的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得 的
图象，如图，10．（2024高三·全国·专题练习）化简：
(1) ；
(2)
【答案】(1)－
(2)
【详解】(1) 原式＝( )－ ＋( )－ － ＋1＝ ＋10 －10 －20＋1＝－ .
(2) 原式＝(1＋ )＋|1－ |＝1＋ ＋ －1＝ .
11．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数 ， .
(1)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围；
(2)若不等式 ，对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）由题设，问题化为 在 有解，应用换元法及二次
函数性质求参数范围；
（2）由题设得 ，令 ，问题进一步化为 对
任意的 恒成立，根据右侧单调性求最值，即可得参数范围.【详解】（1）∵ ， ，
∴ ，即 在 有解，
令 ，所以 ,
当 时 ；当 趋向于0或 时 趋向于 ，即 .
（2） ，即 ，
令 ，因为 ，所以 为增函数，
所以 ，则 ，
所以 ，化为 对任意的 恒成立，
在 上单调递减，
当 时，取得最大值为 ，
所以 ，实数 的取值范围为 .
12．（23-24高三上·河南郑州·阶段练习）已知函数 ， ，
，其中 均为实数.
(1)若函数 的图像经过点 ， ，求 的值;
(2)如果函数 的定义域和值域都是 ，求 的值.(3)若 满足不等式 ，且函数 在区间 上有最小值 ，求实数a的值.
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）将 点坐标代入 直接求解即可；
（2）根据指数函数的单调性结合定义域和值域的概念分情况讨论即可；
（3）先根据指数函数的单调性求出 的范围，再由对数函数的单调性求出a的值即可.
【详解】（1）因为函数 的图像经过点 ， ，
所以 ，解得 .
（2）当 时，函数 在 上为增函数，
由题意可得 无解；
当 时，函数 在 上为减函数，
由题意可得 ，解得 ，
所以 .
（3）因为 ，所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，函数 在区间 上单调递减，
所以当 时， 取得最小值 ，即 ，
解得 .
综合提升练
一、单选题
1．（2023·广东珠海·模拟预测）已知 且 ，下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】ABC选，利用指数幂的运算法则判断，D选项，由分数指数幂的定义得到D正确.
【详解】A选项， 且 ，故 ，A错误；
B选项， 且 ，故 ，B错误；
C选项， ，C错误；
D选项， 且 ，故 ，D正确.
故选：D
2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知 为奇函数，则 （ ）
A． B． C．2 D．-2
【答案】A
【分析】利用奇函数的定义求参数 得函数解析式，再求值即可.
【详解】由题意可知 ，所以 ，
所以 .
故选：A
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若 ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小.
【详解】依题意， ， ，
因此 ，而函数 在 上单调递增，
所以 ，即 .
故选：D
4．（2024·江苏南通·二模）已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为
由于 ，则 ．
故选：B
5．（2023·江西南昌·三模）设函数 ， ，若存在实数满足：① ；② ，③ ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由① ，② 解出 ， ，解出 ；
结合③转化为线性规划问题解出 .
【详解】函数 ， ，
若存在实数 满足：① ；② ，
即 ，且 ，则 ，
则 ，且 ， ，所以 ，
又因为③ ，
则 ，令 ，
不防设 ， ，则转化为线性规划问题，
在 点处 取最小值.由 解得 ，
代入解得 .
故选： .
6．（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）函数 且 的图象恒过定点
，若 且 ，则 的最小值为（ ）
A．9 B．8 C． D．
【答案】B
【分析】先求出函数过定点的坐标，再利用基本不等式求最值.
【详解】函数 且 的图象恒过定点 ，所以 ，
，
，
当且仅当 ，即 等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：B.
7．（23-24高三上·云南楚雄·期末）设 的小数部分为x，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】先算出 的整数部分，再表示出 的小数部分，所以有 ，利用二项式定理即可计算 .
【详解】由 ，得 的整数部分为2，则 ，
所以 ，即 ，
所以 .
故选：A
8．（23-24高三上·河南郑州·阶段练习）下列结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据指数幂运算及对数运算公式判断各个选项.
【详解】对A：当 为偶数且 时， ，故A不正确；
对B：只有 时， 才成立，故B不正确；
对C： ，故C不正确；
对D：
，故D正确；
故选：D
二、多选题
9．（2024·广西柳州·三模）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC【分析】利用幂函数、对数函数、指数函数的性质，结合特殊值法即可得解.
【详解】对于A，因为 在 上单调递增， ，
所以 ，即 ，故A正确；
对于B，取 ，满足 ，但 ，故B错误；
对于C，因为 ，所以 ，则 ，故C正确；
对于D，取 ，此时 ，故D错误.
故选：AC.
10．（23-24高三上·浙江温州·期末）已知函数 ，则（ ）
A．不等式 的解集是
B． ，都有
C． 是R上的递减函数
D． 的值域为
【答案】AD
【分析】由题意可得 ，利用绝对值不等式、指数不等式的解法计算即可判
断A；利用奇偶函数的定义计算即可判断B；举例说明即可判断C；根据指数型函数的的值
域的求法计算即可判断D.
【详解】A： ，由 ，得 ，即 ，
得 ，解得 ，即原不等式的解集为 ，故A正确；
B： ，故B错误；C： ，所以 在R上单调递减不成立，故C错误；
D：由 知 ，即函数 的值域为 ，故D正确.
故选：AD
11．（22-23高三上·河北邯郸·期中）设函数f(x)＝ ，则下列结论正确的是（ ）
A．|f(x)|是偶函数 B．-f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数
【答案】ABC
【分析】首先判断函数 的奇偶性，再此基础依次判断选项.
【详解】函数f(x)= 定义域为R，则f(-x)＝ ＝-f(x)，∴f(x)是奇函数，
，所以函数 是偶函数，故A正确；
，所以函数 是奇函数，故B正确；
是奇函数， 是偶函数，所以 是奇函数，故C正确；
∵f(|-x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数，故D不正确．
故选：ABC
三、填空题
12．（2024·北京房山·一模）若对任意 ，函数 满足 ，且当
时，都有 ，则函数 的一个解析式是 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据指数的运算性质及指数函数的单调性即可得解.
【详解】由题意，可取 ，函数 是减函数，满足 时，都有 ，
因为 ，
所以函数 满足题意.
故答案为： .（答案不唯一）
13．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，则 ．
【答案】
【分析】根据等式结构特征先利用换元法化简等式形式为 ， ，
然后通过两等式的联系（均可化为 形式），构造函数 研究
出m与n的关系，从而建立x与y的关系，进而求出 .
【详解】令 ， ，则 ， ，
由题可得 ， ，
所以 ， .
因为函数 在 上单调递减，所以 .
由 ，得 ，得 ，故 .
故答案为： .
14．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数 ，存在实数
使得 成立，若正整数 的最大值为8，则正实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】设 ，得到 ，然后分类讨论 的范围，解出
即可.
【详解】设 ，又因为 ，所以
，
则 ，当 时， ，
则 ，显然存在任意正整数 使得 成立；
当 时， ， ，
要使得正整数 的最大值为8，则 ，解得 ，
则实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题考查了分段函数值域的求法，解题的关键是分类讨论求出函数的值域，然后根据题意列不等式求解.
四、解答题
15．（23-24高三上·内蒙古通辽·阶段练习）求值或化简
(1)计算： ；
(2)化简（用分数指数幂表示）：
【答案】(1)99.9
(2)
【分析】（1）利用分数指数幂运算法则计算出答案；
（2）将根式化为分数指数幂，再进行计算即可.
【详解】（1）
（2） .
16．（2023高三·全国·专题练习）已知 的图象，指出下列函数的图象是由 的
图象通过怎样的变换得到的.
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【分析】直接根据函数图像的平移和对称法则得到答案.
【详解】（1） 的图象是由 的图象向左平移1个单位长度得到的．
（2） 的图象是由 的图象向上平移1个单位长度得到的．
（3） 与 的图象关于y轴对称，
作 的图象关于 轴的对称图形便可得到 的图象．
（4） 为偶函数，其图象关于 轴对称，
故保留当 时， 的图象，再作其关于 轴的对称图形，即可得到 的图象．
17．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知幂函数 在 上单
调递减，函数 ．
(1)求 的值；
(2)记集合 ，集合 ，若 ，求实
数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由幂函数的定义和单调性，求 的值；
（2）由函数的单调性，求 和 在区间内的值域，由集合的包含关系，求实数 的
取值范围.
【详解】（1）由题意得， ，解得 或 ，
当 时， ，在 上单调递减，满足题意；当 时， ，此时 在 上单调递增，不满足题意．
综上， ．
（2）由（1）知， ，又 ，则 ．
∵ ， ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ，解得 ，
即实数 的取值范围为 ．
18．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）解不等式：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用对数函数的单调性解不等式即可，注意对数函数的定义域；
（2）分 和 两部分进行求解，然后取交集即可.
【详解】（1） ，
由对数函数的性质可得： ，解得 ，
由于 为递减函数，所以 ，解得 ，
综上：不等式的解集为 .（2）首先求解 的解，转化可得 ，
所以 或 ，解得 或 ；
再解 ，转化可得 ，
所以 ，解得 ，
综上： 的解集为 .
19．（23-24高三下·全国·自主招生） ，
求
【答案】
【分析】根据指数函数，对数函数的单调性化简集合，即可由集合的运算求解.
【详解】由
由 或 ，故
由 ，故 ，
因此
由于 ，所以
故
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2024·宁夏固原·一模）已知函数 的部分图像如图所示，则 的解析式可能为
（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用 在 上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用 在 上
的单调性排除D，从而得解.
【详解】对于B，当 时， ，易知 ， ，
则 ，不满足图象，故B错误；
对于C， ，定义域为 ，
又 ，则 的图象关于 轴对称，故C错误；
对于D，当 时， ，
由反比例函数的性质可知， 在 上单调递减，故D错误；
检验选项A， 满足图中性质，故A正确.
故选：A.2．（2024·河北沧州·一模）下列命题为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数和余弦函数的性质即可判断AC；举出反例即可判断B；由作差法即
可判断D.
【详解】对于AC，当 时， ，
所以 ，故A正确，C错误；
对于B，当 时， ，故B错误；
对于D， ，
因为 ，所以 ，故D错误.
故选：A.
3．（2024·陕西西安·一模）已知函数 为偶函数，满足 ，且
时， ，若关于 的方程 至少有两解，则
的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的对称性与周期性，数形结合可得函数交点情况，进而确定方程解的情
况.【详解】由已知 ，则 ，则 ，
可知函数 为周期函数，最小正周期 ，
又当 时， ，
可知函数 的图象如图所示，且 的值域为 ，
关于 的方程 至少有两解，
可得函数 与函数 的图象至少有两个交点，
如图所示，
可知当 时， ，解得 ，即 ，
当 时， ，解得 ，即 ，
综上所述 ，
故选：C.
4．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数 ， ，且
，则（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． D．
【答案】D【分析】画出 的图象，根据 以及 的大小关系确定正确答案.
【详解】令 ，解得 ，
画出 的图象如下图所示，
由于 ，且 ，
由图可知： ， ， 的值可正可负也可为 ，所以AB选项错误.
当 时， ，
满足 ， ，所以C选项错误.
，
，所以 ，D选项正确.
故选：D
5．（2024·全国·模拟预测）若 ，x， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】构造 ，变形 ，然后用基本不等式求出结果即可.
【详解】因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
所以 ，即 ．
当且仅当 ， ，即 ， 时等号成立，
所以 的最小值为 ．
故选：C．
二、多选题
6．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知函数 是奇函数或偶函数，则
的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用奇偶性求对应参数a的值，再由指数型函数性质判断 时的函数值符号，
即可得答案.
【详解】由已知得 ，
若 为偶函数，则 恒成立，所以 恒成立，故 ，则 ，
所以 时有 ，显然C对，D错；
若 为奇函数，则 恒成立，
所以 恒成立，故 ，则 ，
所以 时有 ，显然B对，A错；
故选：BC
7．（2024高三·全国·专题练习）下列大小关系正确的是．（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】平方之后再作差即可判断A，根据指数、对数函数的性质判断B，当 时，
，即可判断C，令 ，利用导数说明函数的单调性，即可判断D.
【详解】对于A，因为
，
即 ，显然 ， ，
所以 ，故A正确；
对于B， ，所以 ，又 ，所以 ，故B正确；
对于C，当 时，函数 与函数 有 个交点 ， ，
作出 和 的图象，如图所示，结合图象可知，当 时， ，又 ，所以 ，故C错误；
对于D，设 ，则 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，所以 ，即 ，化简得 ，故D正确．
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：D选项的关键是构造函数 ，利用导数说明函数的单
调性，从而比较函数值的大小.
三、填空题
8．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）函数 的最小值为
.
【答案】12
【分析】根据函数的定义域，讨论 的不同取值，去绝对值，再根据函数的单调性求函数
的最小值.
【详解】函数的定义域需满足 ，即 ，即定义域为 ，
当 时， ，函数在区间 单调递减，当 时， ，
当 时， ，
函数在区间 单调递减，当 时， ，
综上可知，函数的最小值为 .
故答案为：
四、解答题
9．（23-24高三上·河北石家庄·期末）已知函数 ．
(1)若函数 的值域为 ，求 的取值范围；
(2)若过点 可以作曲线 的两条切线，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设函数 的值域为 ，由题意结合复合函数的值域可知
，对 是否为0分类讨论即可.
（2）设出切点，求出过该切点的切线方程，将点 代入切线方程可得 的表达式，由
题意直线 与函数 有两个不同的交点，利用导数来研究函数单调性，进而
求解即可.
【详解】（1）令函数 的值域为 ．
因为 的值域为 ，所以 ．
当 时， ，符合题意；
当 时， ，解得 ．综上， 的取值范围为 ．
（2）在曲线 上任取一点 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
由题意可知，点 在直线 上，可得 ．
令 ，则 ．
当 时， ，此时 单调递增，当 时， ，此时 单调递减，
所以 ，且当 时， ，当 时， ．
由题意可知，直线 与曲线 的图象有两个交点，则 ，
所以 的取值范围为 ．
10．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数 ，
.
(1)若 的值域为 ，求满足条件的整数 的值；
(2)若非常数函数 是定义域为 的奇函数，且 ， ，
，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数 的值域为 ，可得函数 的值域包含 ，再
分 ， 和 三种情况讨论，结合二次函数的性质即可得解；（2）根据函数的奇偶性求出函数 的解析式，再根据 ， ，
，则只要 即可，求出函数 的最小值，再从
分情况讨论，结合二次函数的性质求出 的最小值即可.
【详解】（1）因为函数 的值域为 ，
所以函数 的值域包含 ，
，
当 时， ，其值域为 ，不满足条件，
当 时，令 ，
则函数 的对称轴为 ，
当 时， ，
即 的值域为 ，
所以 ，解得 ，
当 时， ，则函数 的值域为 ，
即函数 的值域为 ，不满足条件，
综上所述， ，所以满足条件的整数 的值为 ；
（2）因为函数 是定义域为 的奇函数，所以 ，
即 ，解得 或 ，
由函数 不是常数函数，所以 ，
经检验，符合题意，所以 ，
即 ，
由 ， ， ，
得 ， ， ，
只要 即可，
当 时， ，
所以函数 ，
则 ，
，
令 ，因为 ，所以 ，
函数 ，当 时， ，
则 时， 恒成立，符合题意；
当 时，函数 的对称轴为 ，
当 时，则 时， 恒成立，符合题意；
当 ，即 时，
则 时， ，
所以 ，不等式组无解；
当 ，即 时，
则 时， 恒成立，符合题意；
当 ，即 时，
则 时， ，
所以 ，解得 ，
综上所述， 的取值范围为 .
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ， ， ， .
（1）若 ， ，有 成立，则 ；（2）若 ， ，有 成立，则 ；
（3）若 ， ，有 成立，则 ；
（4）若 ， ，有 成立，则 的值域是 的值域的
子集.
