文档内容
培优点 06 平面向量的综合应用（2 种核心题型+基础保分练
+综合提升练+拓展冲刺练）
【核心题型】
题型一 平面向量在几何中的应用
用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题――→向量问题――→解决向量问题――→解决几何问题．
【例题1】（2024·湖南娄底·一模）已知圆内接四边形 中， 是
圆的直径， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·河南·模拟预测）在 中，内角A， ， 所对的边分别为 ， ， ，
， 为 上一点， ， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·天津南开·一模）在平面四边形 中，
，则 ； .
【变式3】（2024·河北张家口·三模）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
点D为边 上一点，且满足 ．
(1)证明： ；
(2)若 为内角A的平分线，且 ，求 ．题型二 和向量有关的最值(范围)问题
命题点1 与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
【例题2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在 中， 为线段 的一个三等分点，
.连接 ，在线段 上任取一点 ，连接 ，若 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·山东泰安·模拟预测）已知 ， ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知正方体 的棱长为2，空间中点P满
足 ，则三棱锥 的体积的最大值为 ．
【变式3】（23-24高三下·天津和平·开学考试）在 中，M是边BC的中点，N是线段
BM的中点．设 ， ，记 ，则 ；若 ，
的面积为 ，则当 时， 取得最小值．
命题点2 与数量积有关的最值(范围)问题【例题3】（2024·黑龙江·三模）已知 内角 的对边分别为
，动点 位于线段 上，则 的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知 ， 为非零向量，且 ， ，
若 的最小值为 ，则 的值为（ ）．
A． B． C．4 D．
【变式2】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知 ， 为圆 上的两个动点，
，若点 为直线 上一动点，则 的最小值为 .
【变式3】（2024·重庆·模拟预测）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
已知 ．
(1)求角A的大小；
(2)若 ，且 ，求AP的最小值．
命题点3 与模有关的最值(范围)问题【例题4】（2022·内蒙古赤峰·模拟预测）已知点 、 在单位圆上， ，若
，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2023·重庆·三模）已知 是单位向量，向量 满足 与 成角 ，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2022·浙江·三模）已知平面向量 满足 ，设
，若 ，则 的取值范围为 ．
【变式3】（2022·上海·模拟预测）已知向量 在向量 方向上的投影为 ，且 ，则
的取值范围为 （结果用数值表示）
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·江西鹰潭·二模）在 中，角 所对应的边为 , ， ，， 是 外接圆上一点，则 的最大值是（ ）
A．4 B． C．3 D．
2．（2024·陕西渭南·二模）已知菱形 的边长为 为菱形的中心，
是线段 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川凉山·三模）已知平面向量 ， 夹角为 ，且满足 ， ，若当
时， 取得最小值，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ，则 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2023·山东烟台·二模）如图，在 中， ， ， ，点 分
别在 ， 上且满足 ， ，点 在线段 上，下列结论正确的有
（ ）．A．若 ，则
B．若 ，则
C． 的最小值为
D． 取最小值时，
6．（2024·河南信阳·二模）如图，在四棱锥 中，底面是边长为 的正方形，
为 的中点． ，过 作平面 的垂线，垂足为 ，连
， ，设 ， 的交点为 ，在 中过 作直线 交 ， 于 ，
两点， ， ，过 作截面将此四棱锥分成上、下两部分，记上、下两
部分的体积分别为 ，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D． 的最小值为
三、填空题
7．（2024·湖北·模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ，且 ， 的夹角为 ，则
的最小值是 .8．（2024·上海闵行·二模）已知 、 是空间中两个互相垂直的单位向量，向量 满足
，且 ，当 取任意实数时， 的最小值为 .
9．（2022·天津南开·二模）已知平行四边形 中， ， ， ，
则 ；若 ， ，则 的最大值为 ．
四、解答题
10．（2023·湖北·二模）已知在 中，角A、B、C的对边分别是a、b、c， ．
(1)若BC边上的高等于 ，求 ；
(2)若 ，求AB边上的中线CD长度的最小值．
11．（2023·四川成都·一模）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)求角B；
(2)若边 上的中线 长为2，求 面积的最大值.
【综合提升练】
一、单选题
1．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知向量 ， ，且 ， ，则
的最小值为（ ）A． B．4 C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）若单位向量 ， 的夹角为 ，则当 取得最
小值时， 的值为（ ）
A．－2 B．－1 C． D．
3．（2023高三下·全国·竞赛）已知平面向量 ， 满足 ， ，并且当 时，
取得最小值，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山东青岛·三模）已知向量 ， ， 满足： ， ，
，则 的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．1
5．（2023高一·全国·单元测试）若 ， 是两个互相垂直的单位向量，且向量 满足
，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．以上答案均不对
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知 是边长为 的正三角形，点 是 所在
平面内的一点，且满足 ，则 的最小值是（ ）A．1 B．2 C．3 D．
7．（2023·江西景德镇·三模）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但
如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标
系中，过点 作两坐标轴的平行线，其在 轴和 轴上的截距 ， 分别作为点 的 坐标
和 坐标，记 .若斜坐标系中， 轴正方向和 轴正方向的夹角为 ，则该坐标系中
和 两点间的距离为（ ）
A．2 B．1 C． D．
8．（2022·浙江宁波·二模）已知平面向量 ， ， 满足 ， ， ，
（ ， ）.当 时， （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·全国·模拟预测）已知点 ， ， ，则下列说法正确
的是（ ）
A． B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ， 的夹角为锐角，则 且
10．（2023·湖北·模拟预测）下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A．已知 ，点 在直线 上，且 ，则 的坐标为 ；
B．若 是 的外接圆圆心，则
C．若 ，且 ，则
D．若点 是 所在平面内一点，且 ，则 是 的
垂心.
11．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中， ， ，且 ，
MN是圆Q： 的一条直径，则（ ）
A．点P在圆Q外 B． 的最小值为2
C． D． 的最大值为32
三、填空题
12．（2023·全国·模拟预测）已知在△ABC中，∠BAC=60°，点D为边BC的中点，E，F
分别为BD，DC的中点，若AD=1，则 的最大值为 ．
13．（2023·广西·模拟预测）在 中， ，点 在线段 上，且 ，
，则 面积的最大值为 ．
14．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如果复数 ， ， ，
在复平面内对应的点分别为 ， ， ， ，复数z满足 ，且
，则 的最大值为 .
四、解答题
15．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在 中，角 的对边分别为 已知(1)求角
(2)过 作 ，交线段 于D，且 ，求角 .
16．（2022·湖南·一模）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
．
(1)求 中的最大值；
(2)求 边上的中线长．
17．（2022·广东深圳·一模）如图，在 ABC中，已知 ， ， ，
△
BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．
(1)求 的正弦值；
(2)求 的余弦值．
18．（2023·河南·模拟预测） 的内角 的对边分别为 ，已知是 边上一点， .
(1)求 ；
(2)求 的最大值.
19．（2023·四川自贡·一模）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
.若D在线段BC上，且 ， .
(1)求A；
(2)求 面积的最大值.
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2022·安徽黄山·一模）在 中, ,O是 的外心,则
的最大值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
2．（2022·江苏盐城·模拟预测）在 中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设 ， ，（ ， ），则 的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．2
3．（22-23高三下·河北石家庄·阶段练习）设 是平面直角坐标系中关于 轴对称的两点，
且 .若存在 ，使得 与 垂直，且
，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．（2023·贵州毕节·模拟预测）已知点G为三角形ABC的重心，且 ，
当 取最大值时， （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2022·湖北·二模）定义空间两个非零向量的一种运算： ，则关于
空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．
6．（2024·海南海口·模拟预测）已知 ， 是 上的两个动点，且
.设 ， ，线段 的中点为 ，则（ ）
A．
B．点 的轨迹方程为C． 的最小值为6
D． 的最大值为
三、填空题
7．（2024·河北沧州·模拟预测）已知单位向量 ，向量 与 不共线，且 ，
则 的最大值为 ．
8．（2024·山东济宁·三模）已知 ，则
的最小值为 .
9．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知 是边长为1的正六边形边上相异的三点，
则 的取值范围是 .
四、解答题
10．（2023·重庆·模拟预测）在 中，a，b，c分别是 的内角A，B，C所对的边，
且 ．
(1)求角A的大小；
(2)记 的面积为S，若 ，求 的最小值．
11．（2023·四川成都·模拟预测）如图，A，B是单位圆（圆心为O）上两动点，C是劣弧
（含端点）上的动点．记 （ ， 均为实数）．(1)若O到弦AB的距离是 ，求 的取值范围；
(2)若 ，向量 和向量 的夹角为 ，求 的最小值．
