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考点 34 数列的概念（3 种核心题型+基础保分练+综合提升
练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
【知识点】
1．数列的有关概念
概念 含义
数列 按照 排列的一列数
数列的项 数列中的__________
如果数列{a}的第n项a 与它的 之间的对应关系可以
n n
通项公式
用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来
递推公式
表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
数列{a}的 把数列{a}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{a}的
n n n
前n项和 前n项和，记作S，即S＝____________
n n
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
有穷数列 项数______
项数
无穷数列 项数______
递增数列 a a
n＋1 n
递减数列 a a 其中n∈N*
n＋1 n
项与项间的
常数列 a ＝a
n＋1 n
大小关系
从第二项起，有些项大于它的前一项，
摆动数列
有些项小于它的前一项的数列
3.数列与函数的关系
数列{a}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是
n
，对应的函数值是 ，记为a＝f(n)．
n
常用结论
1．已知数列{a}的前n项和S，则a＝
n n n2．在数列{a}中，若a 最大，则(n≥2，n∈N*)；若a 最小，则(n≥2，n∈N*)．
n n n
【核心题型】
题型一 由a 与S 的关系求通项公式
n n
S 与a 的关系问题的求解思路
n n
(1)利用a＝S－S (n≥2)转化为只含S，S 的关系式，再求解．
n n n－1 n n－1
(2)利用S－S ＝a(n≥2)转化为只含a，a 的关系式，再求解．
n n－1 n n n－1
【例题1】（2023·四川·三模）已知数列 满足 ，则
的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2024·江苏南通·三模）设数列 的前 项和为 ，若 ，则
（ ）
A．65 B．127 C．129 D．255
【变式2】（23-24高三上·上海徐汇·阶段练习）已知数列 的前 项和
， ．若 是等差数列，则 的通项公式为 ．
【变式3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列 前n项的积为 ，数列
满足 ， （ ， ）．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)将数列 ， 中的公共项从小到大排列构成新数列 ，求数列 的通项公式．题型二 由数列的递推关系求通项公式
(1)形如a －a＝f(n)的数列，利用累加法．
n＋1 n
(2)形如＝f(n)的数列，利用a＝a···…·(n≥2)即可求数列{a}的通项公式．
n 1 n
命题点1 累加法
【例题2】（2024·河北保定·三模）设 是公差为3的等差数列，且 ，若
，则 （ ）
A．21 B．25 C．27 D．31
【变式1】（2024·河南·三模）已知函数 满足： ，且 ，
，则 的最小值是（ ）
A．135 B．395 C．855 D．990
【变式2】（2024·北京西城·一模）在数列 中， .数列 满足
.若 是公差为1的等差数列，则 的通项公式为 ，
的最小值为 .
【变式3】（2024·广东江门·二模）已知 是公差为2的等差数列，数列
的前 项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求 ；
(3)[x]表示不超过 的最大整数，当 时， 是定值，求正整数 的最小值．命题点2 累乘法
【例题3】（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ，其中 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·河南洛阳·模拟预测）已知数列 满足
，且 ，则数列 的前18项
和为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022·山西太原·二模）已知数列 的首项为1，前n项和为 ，且
，则数列 的通项公式 .
【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）设数列 的前 项和为 ，且
．
(1)求数列 的通项公式；(2)若 ，数列 的前 项和为 恒成立，求实数 的最小值．
题型三 数列的性质
(1)解决数列的单调性问题的方法
用作差比较法，根据a －a 的符号判断数列{a}是递增数列、递减数列还是常数列．
n＋1 n n
(2)解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值
命题点1 数列的单调性
【例题4】（2024·江西·二模）已知数列 的首项 为常数且 ，
，若数列 是递增数列，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2024·广东深圳·二模）已知n为正整数，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·浙江·模拟预测）已知等差数列 的公差为 ，前 项和记为，满足 ，若数列 为单调递增数列，则公差 的取值范围为
.
【变式3】（2024·辽宁·模拟预测）已知 是曲线 上的点， ，
是数列 的前n项和，且满足 ，
(1)求 ；
(2)确定 的取值集合 ，使 时，数列 是单调递增数列；
(3)证明：当 时，弦 的斜率随n单调递减．
命题点2 数列的周期性
【例题5】（2024·陕西榆林·三模）现有甲乙丙丁戊五位同学进行循环报数游戏，从甲开始
依次进行，当甲报出1，乙报出2后，之后每个人报出的数都是前两位同学所报数的乘积
的个位数字，则第2024个被报出的数应该为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式1】（2024·山东济宁·三模）已知数列 中，，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）数列 满足 ， ，则
．
【变式3】（2024·福建福州·模拟预测）已知数列 中， ，
．
(1)证明：数列 为常数列；
(2)求数列 的前2024项和．
命题点3 数列的最值
【例题6】（2024·山东济南·二模）已知 是各项均为正整数的递增数列， 前 项和
为 ，若 ，当 取最大值时， 的最大值为（ ）
A．63 B．64 C．71 D．72
【变式1】（2024·天津·二模）已知数列 为不单调的等比数列， ，数列
满足 ，则数列 的最大项为（ ）．A． B． C． D．
【变式2】（2023·上海普陀·一模）若数列 满足 ， （ ， ），
则 的最小值是 .
【变式3】（2024·安徽·模拟预测）已知数列 的首项 ，且满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)已知 ，求使 取得最大项时 的值．（参考值： ）
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·天津北辰·模拟预测）设数列 满足 ，则
数列 的前5项和为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·湖北·阶段练习）定义：在数列 中， ，其中d
为常数，则称数列 为“等比差”数列.已知“等比差”数列 中， ， ，则 （ ）
A．1763 B．1935 C．2125 D．2303
3．（2024·河北唐山·二模）已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024·辽宁大连·一模）数列 中， ，若数列 是等差数列，则
最大项为（ ）
A． B． 或 C． D．
二、多选题
5．（2024·浙江绍兴·二模）已知等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，前 项积为 ，
且 ， ，则（ ）
A．数列 是递增数列 B．数列 是递减数列
C．若数列 是递增数列，则 D．若数列 是递增数列，则
6．（2024·福建泉州·一模）已知数列 满足 ， ，则下列说法正确的
是（ ）
A．当 时， B．当 时，数列 是常数列
C．当 时， D．当 时，数列 单调递减
三、填空题
7．（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，若 ，则 .
8．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， ， ，数列 ，
满足 ，则数列 的前2024项的和为 ．
9．（2024·四川泸州·三模）已知 是数列 的前 项和， ， ，则
.
四、解答题
10．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ．
(1)求 ．
(2)若 ，则当 取最小值时，求 的值．
11．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列 满足 ， ， 是数列 的前
项和，对任意 ，有
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 的前100项的和.【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·安徽·三模）已知数列 的前n项和 满足 ,则 （ ）
A．272 B．152 C．68 D．38
2．（2024·河南·三模）设 为数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A．4 B．8 C． D．
3．（2024·安徽阜阳·一模）已知数列 满足 ，则“ 为递增数
列”是“ ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ，若 是递减数列，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·河南·模拟预测）已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A．2023 B．2024 C．4045 D．4047
6．（2024·山西·三模）已知数列 对任意 均有 .若
，则 （ ）
A．530 B．531 C．578 D．579
7．（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A．190 B．210 C．380 D．420
8．（2024·天津·模拟预测）数列 各项均为实数，对任意 满足 ，定义：
行列式 且行列式 为定值，则下列选项中不可能的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
二、多选题
9．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）数列 满足 ，且对任意的 都有
，则（ ）
A． B．数列 的前 项和为
C．数列 的前 项和为 D．数列 的第 项为
10．（2023·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， ， 为 的前n项
和，则（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．存在实数m，使 为无穷多项的常数列
D．存在常数m， ，使 ， ， 成等差数列11．（2024·重庆·模拟预测）已知数列 ， ，记 ，
，若 且 则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列 中的最大项为
C． D．
三、填空题
12．（2024·四川广安·二模）已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则
.
13．（2023·河南新乡·二模）已知正项数列 满足 ， ， ，若
是 唯一的最大项，则k的取值范围为 ．
14．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，
则 取最大值时， 的值为 ．
四、解答题
15．（2024·河南·三模）已知数列 的各项都为正数，且其前 项和 .
(1)证明： 是等差数列，并求 ；
(2)如果 ，求数列 的前 项和 .16．（2024·辽宁丹东·二模）已知数列 中， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 是等差数列，记 为数列 的前n项和， ， ，求 ．
17．（2024·河南信阳·模拟预测）在数列 中， ， ．
(1)记 ，证明： 为等比数列；
(2)记 为 的前 项和，若 是递增数列，求实数 的取值范围．
18．（2024·全国·模拟预测）数列 的前 项和为 ， ，
且 .
(1)证明： 为等差数列；
(2)对于任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.19．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的各项均为正数， ， ．
(1)若 ，证明： ；
(2)若 ，证明：当 取得最大值时， ．
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·陕西咸阳·三模）在数列 中， ， ，则 （ ）
A．43 B．46 C．37 D．36
2．（2024·全国·模拟预测）已知 为正项数列 的前 项和．若 ，且
，则 （ ）
A．7 B．15 C．8 D．16
3．（2024·全国·模拟预测）已知 ，数列 中， ， ， 为数
列 的前 项和， ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2022·河南·模拟预测）已知数列 满足 ，则数列 的前40项和 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）已知数列 满足 （m为正整数），
，则下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则m所有可能取值的集合为
C．若 ，则
D．若 ，k为正整数，则 的前k项和为
6．（2024·海南海口·二模）已知 为正项数列 的前 项和， ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
7．（2023·广西·模拟预测）有穷数列 共有k项，满足 ， ，且当 ，时， ，则项数k的最大值为 ．
8．（2024·上海徐汇·二模）已知数列 的前 项和为 ，若 （ 是正整数），
则 .
9．（2024·内蒙古包头·一模）已知数列 的前 项和为 ， ， ，
，则 ．
四、解答题
10．（2024·山东济南·一模）已知数列 的前n项和为 ， 且 ，令
.
(1)求证： 为等比数列；
(2)求使 取得最大值时的n的值.
11．（2024·山东·模拟预测）已知数列 满足 ， ， ．
(1)若 ， 为递增数列，且 ， ， 成等比数列，求 ；
(2)若 ， ，且 是递增数列， 是递减数列，求数列 的通项公式．
