文档内容
培优点 03 函数中的构造问题（2 种核心题型+基础保分练
+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数
也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解
不等式、恒成立等问题．
【核心题型】
题型一 导数型构造函数
命题点1 利用f(x)与x构造
(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；
(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.
【例题1】（2023·全国·模拟预测）已知定义在 上的偶函数 ，对 ，都有
，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·宁夏·一模）设定义在R上的函数 满足对 都有
，且当 时， ，若 ， ，
，则a、b、c的大小关系是（ ）.
A． B． C． D．
【变式2】（2024·河南·三模）已知函数 的定义域为 ， 为其导函数，若
， ，则不等式 的解集是 ．
【变式3】（2023·河北承德·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，求实数 的取值范围.命题点2 利用f(x)与ex构造
(1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；
(2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.
【例题2】（2024·陕西西安·一模）若关于x的不等式 在 上恒
成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24高三上·新疆伊犁·阶段练习）定义在 上的函数 满足
，且有 ，则 的解集为 .
【变式2】（2023·河南·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足
为 的导函数，当 时， ，则不等式
的解集为 .
【变式3】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数 ．
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)当 时，求 的单调区间和极值；
(3)若对任意 ，有 恒成立，求 的取值范围．命题点3 利用f(x)与sin x，cos x构造
函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式
F(x)＝f(x)sin x，
F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x；
F(x)＝，
F′(x)＝；
F(x)＝f(x)cos x，
F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x；
F(x)＝，
F′(x)＝.
【例题3】（2024·浙江绍兴·模拟预测）现有 ， ，
，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·全国·模拟预测）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】．（2020·江苏南通·三模）已知 ，若关于 的不等式
在 上恒成立，则 的取值范围为 .
【变式3】（22-23高三下·湖南长沙·阶段练习）在数列 中给定 ，且函数的导函数有唯一的零点，函数
且 .则 .
题型二 同构法构造函数
指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成ln ex然后构造函数；另一种是将x
变成eln x然后构造函数．
【例题4】（2022·陕西咸阳·二模）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】．（21-22高三上·全国·阶段练习）设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若
，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2022·新疆·二模）已知 ，若在 上存在x使得不等式
成立，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）若 ，则下列结论错误的是
（ ）
A． B． C． D．
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）若 ，则（ ）
A． B． C． D．2．（2024·河南·三模）若关于 的不等式 恒成立，则实数 的最
大值为（ ）
A． B． C．1 D．
3．（2024·山东济南·一模）若不等式 对任意的 恒成立，
则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·江西九江·模拟预测）设函数 的定义域为 ，其导函数为 ，且满足
， ，则不等式 （其中 为自然对数的底数）
的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2023·湖北黄冈·模拟预测）定义在 上的函数 的导函数为 ，当 时，
，函数 满足： 为奇函数，且对于定义域内的所有实数 ，
都有 ．则（ ）
A． 是周期为2的函数 B． 为偶函数
C． D． 的值域为6．（2023·湖南·模拟预测）定义在 上的函数 的导函数为 ， 且
恒成立，则（ ）
A．
B． ，函数 有极值
C．
D． ，函数 为单调函数
三、填空题
7．（2023·广东广州·一模）已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，若
. ，则关于x的不等式 的解集为 .
8．（2023·甘肃张掖·模拟预测）已知 为偶函数，且当 时， ，
其中 为 的导数，则不等式 的解集为 ．
9．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，若
对于 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题
10．（2024·甘肃白银·三模）设函数 ， ．
(1)讨论 的单调性．(2)证明： ．
(3)当 时，证明： ．
【综合提升练】
一、单选题
1．（2023·辽宁鞍山·二模）下列函数中，既是偶函数又在 上单调递增的函数是
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数 在 上的图像如图所示，则 的解析式可
能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（21-22高二下·四川广安·阶段练习）已知函数 是定义在 的奇函数，
当 时， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·山东泰安·二模）已知奇函数 在 上是减函数， ，若， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数 的定义域为 ， 为函数
的导函数，若 ， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二下·重庆·开学考试）已知函数 的定义域为R，设 ．设甲：
是增函数，乙： 是增函数，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7．（2024·四川德阳·三模）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，且
， ，则不等式 的解集是
（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·河北·模拟预测）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·江苏南通·一模）定义：在区间 上，若函数 是减函数，且 是
增函数，则称 在区间 上是“弱减函数”.根据定义可得（ ）A． 在 上是“弱减函数”
B． 在 上是“弱减函数”
C．若 在 上是“弱减函数”，则
D．若 在 上是“弱减函数”，则
10．（2023·全国·模拟预测）已知函数 是定义在 上的函数， 是 的导
函数，若 ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 在定义域上有极小值．
B．函数 在定义域上单调递增．
C．函数 的单调递减区间为 ．
D．不等式 的解集为 ．
11．（23-24高三下·河南信阳·阶段练习）已知曲线 在点 处的
切线与曲线 相切于点 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 有2个零点
B．函数 在 上单调递减
C．D．
三、填空题
12．（2023·山东·一模）过点 与曲线 相切的直线方程为
．
13．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）当 时，恒有 成立，
则 的取值范围是 .
14．（23-24高三上·江苏常州·阶段练习）已知函数 ，函数
，若函数 有两个零点，则实数a的取值范围
四、解答题
15．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，证明： 在定义域内恒成立．
16．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；(2)若任意的 ，都有 恒成立，求实数a的取值范围．
17．（2023·江西·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设函数 ，若 的导函数存在两个零点 ，且
，证明： ．
18．（2024·黑龙江·二模）已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)若存在 ，满足 ，求 的取值范围．19．（2022·天津滨海新·三模）已知函数
(1)若函数 在点 处的切线斜率为0，求a的值．
(2)当 时．
①设函数 ，求证： 与 在 上均单调递增；
②设区间 （其中 ，证明：存在实数 ，使得函数
在区间 上总存在极值点．
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）定义在 上的函数 的导函数是 ，函
数 为奇函数，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·辽宁大连·期末）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·浙江嘉兴·二模）已知定义在 上且无零点的函数 满足
，且 ，则（ ）A． B．
C． D．
4．（23-24高三上·河北·阶段练习）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，
且 恒成立， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2022·辽宁沈阳·三模）已知函数 ，若 且 ，则
有（ ）
A． 可能是奇函数或偶函数 B．
C．若A与B为锐角三角形的两个内角，则
D．
6．（22-23高三下·黑龙江·开学考试）已知函数 ，则下
列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的图象关于直线 对称
C． 在 上单调递增 D． 的值域为
三、填空题
7．（2023·山东菏泽·三模）已知奇函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，
当 时，有 ，则 的解集为 ．8．（2023·广西柳州·二模）① ，② ，③ ，④
，上述不等式正确的有 （填序号）
9．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知 是定义在 上的可导函数，若
， ，且 时， 恒成立，则 的取值
范围是 .
四、解答题
10．（2024·四川巴中·一模）已知函数 .
(1)设 ，证明：当 时，过原点O有且仅有一条直线与曲线 相切；
(2)若函数 有两个零点，求a的取值范围.
