文档内容
培优点 01 函数性质的综合应用（4 种核心题型+基础保分练
+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数
的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查．
【核心题型】
题型一 函数的奇偶性与单调
(1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号
“f”脱掉，得到具体的不等式(组)．
(2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一
单调区间上，进而利用其单调性比较大小．
【例题1】（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 ，则不等式的解集为
（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·辽宁大连·一模）设函数 则满足
的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知定义在R上的函数 ，其导函数为 ．
若 ，且当 时，有 成立，则不等式
的解集为（ ）A． B． C． D．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知定义在 上的函数 ，对于定义
域内任意的x，y，都有 ，且 在 上单调递减，则不等式
的解集为 .
题型二 函数的奇偶性与周期性
周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常利用奇偶性和周期性将所求
函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解．
【例题1】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知 是定义在R上的偶函数，且周期 .若当
时， ，则 （ ）
A．4 B．16 C． D．
【变式1】（多选）（2024·重庆·模拟预测）已知定义在R上的奇函数 满足：
，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（多选）（2024·湖南邵阳·二模）已知函数 在 上可导，且 的导函数
为 .若 为奇函数，则下列说法正确的有（ ）A． B．
C． D．
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知定义在 上的函数 对任意 均有：
且 不恒为零.则下列结论正确的是 .①
；② ；③ 或 ；④函数 为偶函数；⑤若存在实数 使
，则 为周期函数且 为其一个周期.
题型三 函数的奇偶性与对称性
由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等．
【例题1】（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，
记 ．若 ， 均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（多选）（2024高三·全国·专题练习）关于函数f（x）＝x|x|＋px＋q，下列命
题正确的是（ ）
A．当q＝0时，f（x）为奇函数
B．y＝f（x）的图象关于点（0，q）对称
C．当p＝0，q＞0时，方程f（x）＝0有且只有一个实数根
D．方程f（x）＝0至多有两个实数根
【变式2】（多选）（23-24高三下·重庆·阶段练习）函数 的定义域为R，且满足
， ，则下列结论正确的有（ ）
A． B．C． 为偶函数 D． 的图象关于 对称
【变式3】（2024·河南·一模）已知函数 及其导函数 的定义域均为R，记
.且 ， ，当 ，
，则 .（用数字作答）
题型四 函数的周期性与对称性
函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在
一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单
调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
【例题1】（2024·河北沧州·一模）已知定义在 上的函数 满足：
，且 ．若 ，则 （ ）
A．506 B．1012 C．2024 D．4048
【变式1】（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数 的定义域是 ，
， ，当 时， ，则
．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）写出一个同时满足下列三个条件的函数 的解析式
．
① ；
② ；③ 的导数为 且 ．
【变式3】（23-24高三下·陕西·开学考试）已知定义在 上的函数 为奇函数，
为偶函数，当 时， ，则方程 在 上的实根个
数为 ．
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2023·河南信阳·三模）已知函数 ，则对任意实数
是 （ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．不充分且不必要条件
2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，则使得 成立的正实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·辽宁辽阳·期末）已知 是偶函数， 在 上单调递增，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·山东济宁·一模）设函数 定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
二、多选题
5．（23-24高三下·海南省直辖县级单位·开学考试）已知定义域为 的函数 对任意实
数 都有 ，且 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．
C．函数 的图象关于点 对称
D．
6．（2024·广东·一模）已知偶函数 的定义域为 ， 为奇函数，且 在
上单调递增，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数 ，则下列选项正确
的是（ ）
A． 是函数 的一个周期
B． 是函数 的一条对称轴
C．函数 的最大值为 ，最小值为
D．函数 在 上单调递减8．（23-24高三下·辽宁·开学考试）已知函数 是R上的奇函数，对于任意 ，
都有 成立，当 时 ，则下列结论中正确的是
（ ）
A． B．函数 在 上单调递增
C．函数 在 上有3个零点 D．点 是函数 的图象的一个对
称中心
三、填空题
9．（2024·贵州毕节·模拟预测）定义在 上的可导函数 满足 ，若
，则 的取值范围为 ．
10．（2024·宁夏银川·一模）已知 是偶函数， 在 上单调递增， ，
则不等式 的解集为 .
四、解答题
11．（2024高三·全国·专题练习）已知定义域为R的函数f(x)＝ 是奇函数．
(1)求实数a，b的值；
(2)求证：函数f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递减函数；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求实数k的取值范围
综合提升练
一、单选题
1．（2024·陕西西安·一模）已知定义在 上的奇函数 满足 ，则以下说
法错误的是（ ）
A．B． 是周期函数，且2是其一个周期
C．
D．
2．（2024·广西南宁·一模）已知函数 的定义域为 ，
且当 时， ，则（ ）
A． B． 是偶函数 C． 是增函数 D． 是周期函数
3．（2024·云南贵州·二模）若函数 的定义域为 且图象关于 轴对称，在 上
是增函数，且 ，则不等式 的解是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·广东·一模）已知 ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
5 ． （ 2024· 四 川 成 都 · 二 模 ） 已 知 函 数 ， 且
，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·四川·模拟预测）已知函数 的图象关于直线 对称，对任意的
，都有 成立，且当 时， ，若在区间 内方程 有5个不同的实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高三上·四川·阶段练习）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，且
为奇函数， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高三下·北京西城·开学考试）函数 及其导数 的定义域均为 ，记
，若 和 都是偶函数，则（ ）
A． 是奇函数 B． 是偶函数
C． 是奇函数 D． 是偶函数
二、多选题
9．（2024高三·全国·专题练习）(多选)已知函数f(x)＝2x－2－x＋1，则下列说法正确的是（
）
A．函数f(x)是奇函数
B．函数f(x)是偶函数
C．函数f(x)在R上是增函数
D．函数f(x)的图象的对称中心是(0，1)
10．（2024·海南省直辖县级单位·一模）已知定义在 上的奇函数 ，满足
，当 时， ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期为6 B．函数 在 上递增
C． D．方程 有4个根11．（2024·安徽池州·二模）已知函数 的定义域为 是奇函数，且 ，
恒有 ，当 时（其中 ）， .若 ，
则下列说法正确的是（ ）
A． 图象关于点 对称
B． 图象关于点 对称
C．
D．
三、填空题
12．（2023·广东·二模）设奇函数 的定义域为 ，且 是偶函数，若 ，
则 .
13．（23-24高三下·安徽·阶段练习）若函数 为偶函数， 是奇函数，
且 ，则 .
14．（2024高一·全国·专题练习）定义 上单调递减的奇函数 满足对任意 ，若
恒成立，求 的范围 .
四、解答题
15．（23-24高三上·河南周口·期末）已知函数 是定义在 上的函数，
恒成立，且 .
(1)确定函数 的解析式，并用定义研究 在 上的单调性；(2)解不等式 .
16．（23-24高三上·山西晋中·开学考试）设 是定义在R上的奇函数，且对任意实数
x，恒有 ，当 时， ．
(1)求证： 是周期函数；
(2)当 时，求 的解析式；
(3)计算 ．
17．（23-24高三上·甘肃天水·阶段练习）设函数 对任意x、 ，都有
，且 时， ．
(1)证明： 为奇函数；
(2)证明： 在R上为减函数．18．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 是定义在 上的周期函数，周期 ，
函数 （ ）是奇函数．又已知 在 上是一次函数，在 上是
二次函数，且在 时函数取得最小值 ．
(1)证明： ；
(2)求 的解析式；
(3)求 在[4，9]上的解析式．
19．（2023高三·全国·专题练习）设 是定义在R上的偶函数，其图象关于直线 对
称，对任意 ， ，都有 ，且 ．
(1)求f ；
(2)证明 是周期函数；
(3)记 ，求 ．
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2024·陕西西安·一模）已知定义在 上的可导函数 ，满足 ，且
.若 ，则满足 的 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
2．（2024·四川泸州·二模）已知 ， 都是定义在R上的函数，对任意x，y满足
，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若 ，则
C．函数 的图象关于直线 对称 D．
3．（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知函数 在 上可导，其导函数为 ，若
满足： ， ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2024·辽宁大连·一模）已知函数 是定义域为R的可导函数，若
，且 ，则（ ）
A． 是奇函数 B． 是减函数
C． D． 是 的极小值点
5．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数 及其导函数 的定义域均为
，若 的图象关于直线 对称， ，且
，则（ ）
A． 为偶函数 B． 的图象关于点 对称C． D．
三、填空题
6．（2024·陕西·二模）偶函数 的定义域为 ，函数 在 上递减，且对于任
意 均有 ，写出符合要求的一个函数 为
.
7．（2024·上海长宁·二模）已知函数 是定义域为 的奇函数，当 时，
，若 ，则实数 的取值范围为 ．
四、解答题
8．（2024高三·全国·专题练习）对于函数 .
(1)探索函数 的单调性；
(2)是否存在实数 使函数 为奇函数？
9．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）函数 满足 ，函
数 的图象关于点 对称，求 的值.
10．（22-23高三上·湖北·开学考试）已知函数 为偶函数．(1)求实数 的值；
(2)解关于 的不等式 ；
(3)设 ，若函数 与 图象有 个公共点，求实数 的取
值范围．
