文档内容
考点 19 利用导数研究恒(能)成立问题（3 种核心题型+基础
保分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
恒(能)成立问题是高考的常考考点，其中不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意
义、函数、方程等相交汇，综合考查学生分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出
现，试题难度略大．
【核心题型】
题型一 分离参数求参数范围
分离参数法解决恒(能)成立问题的策略
(1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x) ；
max
a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x) ；
min
a≥f(x)能成立⇔a≥f(x) ；
min
a≤f(x)能成立⇔a≤f(x) .
max
【例题1】（2024·全国·模拟预测）若关于 的不等式 在
内有解，则正实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·四川宜宾·二模）已知不等式 有解，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·上海普陀·二模）已知 ，若关于 的不等式 的解集
中有且仅有一个负整数，则 的取值范围是 .
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；(2)若不等式 在区间 上有解，求实数a的取值范围．
题型二 等价转化求参数范围
根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单
调性求解．
【例题2】（2023·河南开封·模拟预测）若存在 ，使得关于 的不等式
成立，则实数 的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【变式1】（2023·贵州·二模）已知函数 ， ，对任意 ，
，都有不等式 成立，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024·吉林延边·一模）若对任意 ，存在实数 ，使得关于x的不等
式 成立，则实数 的最小值为 ．
【变式3】（2023·海南海口·一模）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；(2)已知 ，若存在 ，不等式 成立，求实数 的最
大值.
题型三 双变量的恒(能)成立问题
“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，
常见的等价转换有
(1)∀x，x∈D，f(x)>g(x)⇔f(x) >g(x) .
1 2 1 2 min max
(2)∀x∈D，∃x∈D，f(x)>g(x)⇔f(x) >g(x) .
1 1 2 2 1 2 min min
(3)∃x∈D，∀x∈D，f(x)>g(x)⇔f(x) >g(x) .
1 1 2 2 1 2 max max
【例题3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数 ，函数
．
(1)若直线 与函数 交于点A，直线 与函数 交于点B，且
函数 在点A处的切线与函数 在点B处的切线相互平行，求a的取值范围；
(2)函数 在其定义域内有两个不同的极值点 ， ，且 ，存在实
数 使得不等式 恒成立，求实数 的取值范围．【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)证明： ．
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围．
【变式2】（2024·山西晋中·模拟预测）已知函数 ，其中 为自然对数
的底数.
(1)若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)设 的导数为 ，若 ，求证：关于 的方程 在区
间 上有实数解.【变式3】（2024·辽宁·一模）已知函数 ， （其中a，b为实数，
且 ）
(1)当 时， 恒成立，求b；
(2)当 时，函数 有两个不同的零点，求a的最大整数值．（参考数
据： ）
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．若存在
，使得 成立，则实数a的最大值是（ ）
A． B． C． D．2．（2023·全国·模拟预测）定义在 上的函数 的导函数为 ，对任意 ，
，都有 恒成立，则下列结论成立的是（ ）
A．当 为偶数时， 在 上为增函数
B．当 为偶数时，存在 使得
C．当 为奇数时， 在 上为增函数
D．当 为奇数时，存在 使得
3．（2024·河南·模拟预测）已知函数 的图象经过 两点，且
的图象在 处的切线互相垂直，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2023·广东广州·一模）已知函数 ，点 分别
在函数 的 的图像上， 为坐标原点，则下列命题正确的是（ ）
A．若关于 的方程 在 上无解，则
B．存在 关于直线 对称
C．若存在 关于 轴对称，则
D．若存在 满足 ，则
5．（2023·山东泰安·模拟预测）已知函数 ，，则下列选项中正确的有（ ）
A．当 时，函数 和 在 处的切线互相垂直
B．若函数 在 内存在单调递减区间，则
C．函数 在 内仅有一个零点
D．若存在 ，使得 成立，则
三、填空题
6．（2023·云南·三模）设函数 ，若存在唯一整数 ，使得 ，
则 的取值范围是 .
7．（2023·辽宁锦州·模拟预测）若关于x的不等式 的解集中恰有2个整
数，则k的取值范围是 ．
8．（2024·浙江·模拟预测）已知函数 ， ，若关于 的不等
式 有解，则 的最小值是 .
四、解答题
9．（2023·四川成都·一模）已知函数 ，
.
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)当 时，设函数 ，求证： 有解.10．（2024·湖南娄底·一模）已知函数 ，其中 为自然对数的底数.
(1)求函数 的单调区间；
(2)证明： ；
(3)设 ，若存在实数 使得 ，求 的最大值.
11．（2024·福建泉州·模拟预测）（1）已知 ，求 的最大值与最小值；
（2）若关于x的不等式 存在唯一的整数解，求实数a的取值范围.
综合提升练
一、单选题
1．（22-23高三下·江西赣州·阶段练习）设函数 的导函数为 ，若 在其定义域内存在 ，使得 ，则称 为“有源”函数.已知 是
“有源”函数，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·四川南充·三模）已知函数 ， ， ， 使
（ 为常数）成立，则常数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河北石家庄·模拟预测）已知 ，函数 .若存在 ，使得
，则当 取最大值时 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·四川成都·模拟预测）若关于 的不等式 在 内有解，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·贵州毕节·模拟预测）已知函数 与 的图象有交点，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·新疆·一模）已知函数 在定义域内单调递增，则 的最小
值为（ ）A． B． C． D．
7．（2023·四川乐山·二模）若存在 ，使不等式 成立，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·四川成都·二模）已知函数 存在极小值点 ，且 ，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·重庆·模拟预测）已知 ，当 时，存在b， ，使得
成立，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知函数 ，其中 为自然对数的
底数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的极值点为1
B．
C．若 分别是曲线 和 上的动点.则 的最小值为
D．若 对任意的 恒成立，则 的最小值为
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．若曲线 上存在点 ，使得 ，则实数 的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
三、填空题
12 ． （ 2023· 浙 江 绍 兴 · 模 拟 预 测 ） 已 知 等 比 数 列 满 足 且
，则 的取值范围是 ．
13．（2024·全国·模拟预测）若存在正数 ，使得不等式 有解，则实数 的取值
范围是 ．
14．（2024·陕西安康·模拟预测）1557年，英国数学家列科尔德首先使用符号“ ”表示
相等关系，在莱布尼茨和其他数学家的共同努力下，这一符号才逐渐被世人所公认．1631
年，英国数学家哈里奥特开始采用符号“ ”与“ ”，分别表示“大于”与“小于”，
这就是我们使用的不等号．以上内容是某校数学课外兴趣小组在研究数学符号发展史时查
阅到的资料，并组织小组成员研究了如下函数与不等式的综合问题：已知函数
， ，若关于 的不等式 在区间
上有解，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题
15．（23-24高三上·江苏常州·期中）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)对于 ，使得 ，求实数 的取值范围．
16．（2023·青海西宁·二模）设函数 ．
(1)若函数 在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；(2)当 时，设函数 ，若在[ 上存在 ， 使 成立，求
实数a的取值范围．
17．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知 ．
(1)讨论 的单调性和极值；
(2)若 时， 有解，求 的取值范围．
18．（2023·陕西宝鸡·一模）已知函数 ， 是自然对数
的底数.
(1)当 时，求整数 的值，使得函数 在区间 上存在零点；
(2)若存在 使得 ，试求 的取值范围.
19．（2024·河北·二模）已知函数 ．(1)求曲线 在 处的切线 与坐标轴围成的三角形的周长；
(2)若函数 的图象上任意一点 关于直线 的对称点 都在函数 的图象上，且
存在 ，使 成立，求实数 的取值范围．
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2023·山西·模拟预测）设函数 ， ，若存在直线 既是曲
线 的切线，也是曲线 的切线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知不等式 有实数解，则实
数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·青海西宁·模拟预测）函数 ，且存在 ，使得
，若对任意 ， 恒成立，则 的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．34．（2023·四川达州·一模）已知 ， ，若不
等式 的解集中只含有 个正整数，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．（23-24高二上·重庆·期末）已知函数 ， ，则下列说法
正确的是（ ）
A．若函数 存在两个极值，则实数 的取值范围为
B．当 时，函数 在 上单调递增
C．当 时，若存在 ，使不等式 成立，则实数 的最小
值为
D．当 时，若 ，则 的最小值为
6．（2023·山东泰安·二模）已知函数 ， .（ ）
A．若曲线 在点 处的切线方程为 ，且过点 ，则
，
B．当 且 时，函数 在 上单调递增
C．当 时，若函数 有三个零点，则D．当 时，若存在唯一的整数 ，使得 ，则
三、填空题
7．（2023·四川攀枝花·二模）已知函数 ，若存在非零实数 ，使得
成立，则实数k的取值范围是 ．
8．（2023·江苏连云港·模拟预测）已知定义在R上的函数 ，若
有解，则实数a的取值范围是 ．
9．（2023·上海金山·二模）已知函数 和 的表达式分别为
， ，若对任意 ，若存在 ，使得
，则实数 的取值范围是 .
四、解答题
10．（2023·山东青岛·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若存在 ，使 成立，求a的取值范围.
11．（2023·广西南宁·三模）已知函数 ．
(1)若曲线 在 处的切线与直线 垂直，求实数 的值．(2) ，使得 成立，求实数 的取值范围．
12．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若存在正数 ，使 成立，求 的取值范围；
(3)若 ，证明：对任意 ，存在唯一的实数 ，使得
成立.
