文档内容
培优点 03 函数中的构造问题（2 种核心题型+基础保分练
+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数
也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解
不等式、恒成立等问题．
【核心题型】
题型一 导数型构造函数
命题点1 利用f(x)与x构造
(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；
(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.
【例题1】（2023·全国·模拟预测）已知定义在 上的偶函数 ，对 ，都有
，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据导数判断函数的单调性，再结合偶函数的性质，根据对数函数的单调性比较
大小.
【详解】由已知对 ，都有 ，
即当 ， ，所以函数 在 上单调递减，
又函数 为偶函数，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ，
所以只需比较 ， ， 三者的大小关系，
又 ， ， ，且 ，
所以
所以 ，
即 ，
故选：D.
【变式1】（2024·宁夏·一模）设定义在R上的函数 满足对 都有
，且当 时， ，若 ， ，
，则a、b、c的大小关系是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用函数的周期性、构造函数利用导数研究其单调性比大小即可.
【详解】由 ，
即 为 的一个周期，所以 ，
令 ，
由已知可得 时， 单调递增，
所以 ，即C正确 .
故选：C
【变式2】（2024·河南·三模）已知函数 的定义域为 ， 为其导函数，若
， ，则不等式 的解集是 ．【答案】
【分析】构造函数 ，求导确定函数的单调性，由于在 上时，
与 同解，即可根据 求解.
【详解】令 ，则
，
所以 在 上单调递增．
由于当 ，当 ，
而 ，
故在 上，不等式 与 同解，
即 ，又 ，得 ，即 ，
所以原不等式的解集为 ．
故答案为：
【点睛】方法点睛：利用导数求解不等式问题的常用方法：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
【变式3】（2023·河北承德·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）先求定义域，求导后，对 进行分类讨论，即可得到函数的单调性；
（2）由题意，可取 ，得 ，对原不等式进行放缩可得 ，构
造函数 ，求导得 ，再构造
，求导得 ，取特殊值可得 的最小值为正数，
所以可知 在 处取得极小值，可得 ，所以 恒成立，
故实数 的取值范围是 .
【详解】（1） 的定义域为 ，
，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时，由 ，解得： ，由 ，解得： ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
综上：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在， 上单调递增.
（2）由 ，得 ，
取 时，得 ，所以 ，下证： ，即证： ，
令 ，则 ，
构造 ，则 ，
易知 在 上是单调递增函数，
又 ， ，
在 上存在唯一零点，设该零点为 ，
且满足 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
，
当 时， ，当 时， ，
故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
，
在 上恒成立，即 ，
在 上恒成立，
故实数 的取值范围是 .
【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，难度相对较大，主要考向有以
下几点：1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；
2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；
3、求函数的极值（最值）；
4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；
5、证明不等式；
解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，在证明不等式或
求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，对新函数求导再结合导数
与单调性等解决.
命题点2 利用f(x)与ex构造
(1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；
(2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.
【例题2】（2024·陕西西安·一模）若关于x的不等式 在 上恒
成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】变形得到 ，当 时，利用放缩得到证明，当 时，利
用隐零点可证明出不合要求，得到答案.
【详解】 ，
当 时， ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，
故 恒成立，不等式成立，当 时，令 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ， ，
由零点存在性定理得，存在 ，使得 ，即 ，
此时 ，
故不合题意，舍去，
综上， ，实数a的取值范围为 .
故选：B
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参
数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函
数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数
形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件
【变式1】（23-24高三上·新疆伊犁·阶段练习）定义在 上的函数 满足
，且有 ，则 的解集为 .
【答案】
【分析】构造函数 ，应用导数及已知条件判断 的单调性，而题设不等
式等价于 即可得解.
【详解】设 ，则 ，
，，
在R上单调递增.
又 ，则 .
∵ 等价于 ，即 ，
∴ ，即所求不等式的解集为 .
故答案为： .
【变式2】（2023·河南·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足
为 的导函数，当 时， ，则不等式
的解集为 .
【答案】
【分析】构造函数 ，由已知条件得 在 上是偶函数，然后根据其单
调性从而可求解.
【详解】令 ，所以 ，
因为 ，所以 ，化简得 ，
所以 在 上是偶函数，
因为 ，
因为当 ， ，所以 ， 在区间 上单调
递增，
又因为 为偶函数，所有 在 上单调递减，由 ，得 ，又因为 ，所以 ，
所以 ，解得 或 ，
所以不等式的解集为 .
故答案为： .
【点睛】通过构造函数 ，结合已知函数求出函数 为偶函数和其单调性，
从而求解.
【变式3】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数 ．
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)当 时，求 的单调区间和极值；
(3)若对任意 ，有 恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 的单调递减区间为： ；递增区间为： ，
的极大值为 ，无极小值
(3)
【分析】（1）利用已知确定切点，导数的几何意义确定斜率，求出切线方程即可.
（2）利用导数先求解单调性，再确定极值即可.
（3）利用分离参数法结合导数求解参数范围即可.
【详解】（1）当 时， ，
则 ， ， ，所以切线方程为 ．
（2）当 时， ， ．
令 ， ，
故 在R上单调递减，而 ，因此0是 在R上的唯一零点
即：0是 在R上的唯一零点
当x变化时， ， 的变化情况如下表：
x 0
0
极大值
的单调递减区间为： ；递增区间为：
的极大值为 ，无极小值
（3）由题意知 ，即 ，即 ，
设 ，则 ，
令 ，解得 ，
当 ， ， 单调递增，
当 ， ， 单调递减，
所以 ，所以
命题点3 利用f(x)与sin x，cos x构造
函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式
F(x)＝f(x)sin x，
F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x；
F(x)＝，
F′(x)＝；
F(x)＝f(x)cos x，
F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x；
F(x)＝，
F′(x)＝.
【例题3】（2024·浙江绍兴·模拟预测）现有 ， ，
，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造 ， ，则 ，
， ，然后求解 和 的单调性即可判
断出 的大小关系.
【详解】设 ， .
由于 ，故， ， .
记 ， .
由于 ，故
，从而对 有 ，故
在 上单调递增，所以 ，即 ；
我们知道，对函数 ， 表示 的导数，在下面的解答中，我们进一步使用记号
表示 的导数，使用记号 表示 的导数.
由于 ，故
，
从而进一步求导有 ，
.
此时，对 ，有 ，所以在 上单调递减.
从而对 ，有 ，结合
，
就有 .
而 ，
.
故对 ，有 .
所以 在 上单调递增，从而对 ，有
，这表明 在 上单调
递增.
所以 ，
即对 有 ，故 在 上单调递增，所以，即 .
综上，有 ，C正确.
故选：C.
【变式1】（2024·全国·模拟预测）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式 分析可得 ，根据不等式 分析可
得 ，结合指数函数分析可得 ，进而可得结果.
【详解】显然 ，
且 ，
令 ，则 对任意 恒成立，
则 在 内单调递增，可得 ，即 ；
所以 ，且 ，可知 ；
令 ，则 对任意 恒成立，
则 在 内单调递增，可得 ，即 ；
所以 ，可知 ；
又因为 ，所以 ，
故选：C．
【变式2】．（2020·江苏南通·三模）已知 ，若关于 的不等式
在 上恒成立，则 的取值范围为 .【答案】
【分析】将不等式变形为 ，构造函数 ，可
知当 时，函数 在 上为减函数，可得出 ，进而可求得
的取值范围.
【详解】由 ，可得 ，
构造函数 ，当 且当 ， ，
此时，函数 在 上为减函数，
由于 ，则 ，
所以， ，所以， ， ， .
综上可得 的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查恒成立问题，构造函数，判断单调性，结合单调性把抽象不等式转
化为具体不等式，侧重考查数学抽象的核心素养.
【变式3】（22-23高三下·湖南长沙·阶段练习）在数列 中给定 ，且函数
的导函数有唯一的零点，函数
且 .则 .
【答案】 /0.25【分析】利用导数的定义和对称性可得 ，利用辅助角公式对 化简，构造新
函数，利用导数判断新函数的单调性并结合夹逼原理即可求解.
【详解】因为 有唯一的零点， 为偶函数，
所以 ，即 ， ，
所以数列 为公差为 的等差数列，
又因为
，
令 ，则 为奇函数，
因为 ，所以 在 上单调递增，
由题意得 ，
因为数列 是公差不为0的等差数列，其中 ，则
，假设 ，
，
因为
所以 ，假设 ，同理可得 ，
综上， ，
故答案为：
题型二 同构法构造函数
指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成ln ex然后构造函数；另一种是将x
变成eln x然后构造函数．
【例题4】（2022·陕西咸阳·二模）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】注意到 三个数的结构特点，均符合 ，构造函数进行解决.
【详解】设 ，则 ，又 ，于是当
时， ，故 单调递减，注意到 ，则有
，即 .
故选：B.
【变式1】．（21-22高三上·全国·阶段练习）设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】把不等式进行变形，引入函数 ，由导数确定函数单调性，由单调性及
不等关系得结论．【详解】由已知， ，则 ．
设 ，则 ．
因为 ，则 ．又 ，则 ，即 ，从而 ．
当 时， ，则 在 内单调递增，
所以 ，即 ，
故选：B．
【变式2】（2022·新疆·二模）已知 ，若在 上存在x使得不等式
成立，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【分析】先利用 将不等式转化为 ，借助单调性得到 ，
参变分离后构造函数 ，结合单调性求出最小值即可.
【详解】∵ ，∴不等式即为：
由 且 ，∴ ，设 ，则 ，故 在 上是增
函数，∴ ，即 ，
即存在 ，使 ，∴ ，设 ，则
；
；∴ 在 上递减，在 上递增，∴ ，∴
．故选：D.
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）若 ，则下列结论错误的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】设 ，即可得到 的单调性，再由 ，计算
出 、 ，即可判断.
【详解】设 ，则 在 上为增函数，
，
，
， ，故B正确；
，
当 时， ，
此时 ，有 ；
当 时， ，此时 ，有 ，
所以A、C、D均错误．
故选：ACD．
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）若 ，则（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】变形后构造函数 ，求导得到函数单调性，比较出大小
【详解】因为 ，
所以令 ，则 ，
，
当 时， ，所以函数 在 上单调递减．
又 ，所以 ，即 ．
故选：D．
2．（2024·河南·三模）若关于 的不等式 恒成立，则实数 的最
大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】对所给不等式进行适当变形，利用同构思想得出 对于任意的
恒成立，进一步利用导数求出不等式右边的最小值即可求解.
【详解】显然首先 ，
，
令 ，则 ，所以 在定义域内严格单调递增，
所以若有 成立，则必有 ，
即 对于任意的 恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以当 时， 取得最小值 ，
从而 ，所以 的取值范围是 ，即实数 的最大值为 .
故选：B.
3．（2024·山东济南·一模）若不等式 对任意的 恒成立，
则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】因为 ，所以 ，即求直线 的纵截距 的
最小值，设 ，利用导数证明 在 的图象上凹，所以直线与 相切，
切点横坐标越大，纵截距越小，据此即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以即求直线 的纵截距 的最小值，
设 ，所以 ，
所以 在 单调递增，所以 在 的图象上凹，
所以直线与 相切，切点横坐标越大，纵截距越小，
令切点横坐标为 ，所以直线过点 ，且直线 斜率为所以 的直线方程为 ，
当 时， ，
即直线 与 相切时，
直线 与 无交点，
设 ，所以 ，
所以 在 时斜率为 ，在 时斜率为 ，均小于直线的斜率，
所以可令直线 在 处与 相交，在 处与 相交，
所以直线方程为 ，
所以截距为 .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于 ， ，即求直线
的纵截距 的最小值的分析.
4．（2023·江西九江·模拟预测）设函数 的定义域为 ，其导函数为 ，且满足
， ，则不等式 （其中 为自然对数的底数）
的解集是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，利用导数判断出 的单调性，由此求得不等式
的解集.
【详解】设 ，
，即 ，
，
在 上单调递减，又 ，
不等式 ，
即 ， ，
原不等式的解集为 .
故选：D
【点睛】有关函数及其导数有关的不等式问题，求解方法是通过构造函数法，利用导数研
究所构造函数的单调性、极值和最值等进行研究，由此对问题进行求解.
二、多选题
5．（2023·湖北黄冈·模拟预测）定义在 上的函数 的导函数为 ，当 时，
，函数 满足： 为奇函数，且对于定义域内的所有实数 ，
都有 ．则（ ）
A． 是周期为2的函数 B． 为偶函数
C． D． 的值域为
【答案】BC【分析】对 求导，根据条件求得对称性，并求得定义域上的单调性及周期性，从而对
选项一一分析.
【详解】解：因为 ，所以 ，
在 时， ，
所以 ，所以 ，故 在 上单调递减．
因为 为奇函数，所以 ，所以函数 关于点 中心对称，
即 ；
又 ，所以函数 关于直线 对称，
所以 在 单调递增，且 ，
则 ， ，
可得 ， 是周期为 的周期函数，A不正确．
因为 ， ，结合草图可知
，C正确．
对于定义域内任一个 ，结合周期性可得 ，故 为偶函数，B
正确而 的函数最值无法确定，故D错误．
故选：BC
6．（2023·湖南·模拟预测）定义在 上的函数 的导函数为 ， 且
恒成立，则（ ）
A．
B． ，函数 有极值
C．
D． ，函数 为单调函数
【答案】AD
【分析】法一：构造函数 ，考查其单调性，可判断 ;利用其
单调性知 的大小关系可判断 ；法二：取 ，逐项验证即可.
【详解】解法一：设函数 ，
则 ，
所以 在 上单调递减，故B错误，D正确．
从而 ，即 ，因为 ，所以 ， ，
所以 ，故C错误，A正确．
解法二：取 ，满足 且 ，则
，
，函数 为单调函数．
故选：
【点睛】关键点睛：构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.
三、填空题
7．（2023·广东广州·一模）已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，若
. ，则关于x的不等式 的解集为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，构造函数 ，再利用函数探讨单调性，求解
不等式作答.
【详解】令函数 ，则 ，因此函数
在 上单调递减，
，因此 ，即 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
故答案为：
8．（2023·甘肃张掖·模拟预测）已知 为偶函数，且当 时， ，
其中 为 的导数，则不等式 的解集为 ．【答案】
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨函数的单调性，再结合奇偶性求解不等
式作答.
【详解】令函数 ，当 时， ，即函数 在
上单调递减，
由 为偶函数，得 ，即函数 是奇函数，于是
在R上单调递减，
不等式 ，
因此 ，解得 ，所以原不等式的解集是 .
故答案为：
【点睛】关键点睛：根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．
9．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，若
对于 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】构造函数 ， ，利用导数讨论 ， 的单调性、奇偶性，进而构造函
数 ，将原不等式等价转化 ，利用单调性转化
，构造函数 和 ，即可求导确定函数的最值.
【详解】令 ，因为 ， ，所以 是奇函数，易知 在 上单调递增．
同理令 ，可知 是奇函数，
由于 ，故 在 上单调递增．
因此 为 上单调递增．
令 ， ，
则 是在 上单调递增的奇函数．
不等式 等价于 ，
故 ，由单调性得 ，即 ，
即 ，构造函数 ，
则 ， 在 上单调递增， 等价于 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，令 ，得 ；
令 ，得 ，故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，故 ，即 ，
故实数 的取值范围是 ．
故答案为：
【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数 ；
（3）利用导数研究 的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端
两个函数的最值问题．
四、解答题
10．（2024·甘肃白银·三模）设函数 ， ．
(1)讨论 的单调性．
(2)证明： ．
(3)当 时，证明： ．
【答案】(1) 的增区间为 ，减区间为 ，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）对 求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出 和 的
解，即可求出结果；
（2）对 求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出 的单调区间，进而求出
的最小值，即可证明结果；
（3）根据条件及（2）中结果得到 ，构造函数 ，利用导数与函数
单调性间的关系，得到 在区间 上单调递减，从而得到
，即可证明结果.
【详解】（1）因为 ，易知定义域为 ， ，由 ，得到 ，由 ，得到 或 ，
所以 的增区间为 ，减区间为 ， .
（2）因为 ，易知定义域为 ， ，
当 时， ，当 时， ，
即 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 .
（3）由（2）知 ，当且仅当 时取等号，所以 ，当且仅当
时取等号，
要证明 ，即证明 ，
令 ，则 在区间 上恒成立，
又 ，所以 ，所以 ，命题得证.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（3）问，通过转换，要证明
，即证明 ，再构造函 ，利用
的单调性及（2）中结论解决问题.
【综合提升练】
一、单选题
1．（2023·辽宁鞍山·二模）下列函数中，既是偶函数又在 上单调递增的函数是
（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【分析】对于A，说明 不是偶函数即可；对于B，说明
是奇函数不是偶函数即可；对于C，用定义说明 是偶函数，用导数说明它在
上单调递增；对于D，说明 是奇函数不是偶函数即可.
【详解】对于A，因为 的定义域为 不关于原点对称，所以
不是偶函数，
故A选项不符合题意；
对于B，因为 ，所以 的定义域
为 关于原点对称，
但 ，所以 是
奇函数不是偶函数，
故B选项不符合题意；
对于C，因为 的定义域为 关于原点对称，且
，
所以 是偶函数，
又 ，注意到当 时，有 ，
所以此时 ，所以 在 上单调递增，
故C选项符合题意；
对于D，因为 的定义域为 关于原点对称，但
，所以 是奇函数不是偶函数，
故D选项不符合题意.
故选：C.
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数 在 上的图像如图所示，则 的解析式可
能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据图像知函数 是偶函数，并且在 轴右侧先减后增，且 时函数值大于
0，然后根据这些特点对每个选项中的函数逐一判断即可.
【详解】由题图，知函数 的图像关于y轴对称，所以函数 是偶函数，故排除A；
对于B， ，虽然函数 为偶函数且在 上单调递减，在
上单调递增，但 ，与图像不吻合，排除B；
对于D，因为 ，所以函数 是偶函数，但
，与图像不吻合，排除D；
对于C，函数 为偶函数，图像关于y轴对称，下面只分析y轴右侧部分．当 时，
， ，令 ，求导，得 ．当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，所以 在 处取得最大值．
又因为 ， ， ，所以 ，使得 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
与图像吻合.
故选：C．
3．（21-22高二下·四川广安·阶段练习）已知函数 是定义在 的奇函数，
当 时， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】令 ，由题意可得 为定义域上的偶函数，且在
上单调递增，在 上单调递减；分 与 两类讨论，将
不等式 等价转化为 与 ，分
别解之即可．
【详解】令 ，
当 时， ，
当 时， ，在 上单调递减；
又 为 的奇函数，
，即 为偶函数，
在 上单调递增；
又由不等式 得 ，
当 ，即 时，不等式可化为 ，即 ，
由 在 上单调递减得 ，解得 ，故 ；
当 ，即 时，不等式可化为 ，即 ，
由 在 上单调递增得 ，解得 ，故 ；
综上所述，不等式 的解集为： ．
故选：D．
4．（2023·山东泰安·二模）已知奇函数 在 上是减函数， ，若
， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题可知 为偶函数，且在 上单调递减，利用函数的单调性可比较出
.
【详解】因 为奇函数且在 上是减函数，所以 ，且 ，时 .
因 ，所以 ，故 为偶函数.
当 时， ，因 ， ，所以 .即 在 上单调递减.
，
因 ，所以 ，即 .
故选：D.
5．（2023·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数 的定义域为 ， 为函数
的导函数，若 ， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的导数运算性质及函数的单调性即可求得结果.
【详解】
由题意得， ，
即 ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，故 ，
，可得 ，
在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减，
所以 的极大值为 .简图如下：所以 ， ， .
故选：D.
6．（23-24高二下·重庆·开学考试）已知函数 的定义域为R，设 ．设甲：
是增函数，乙： 是增函数，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】D
【分析】利用导数分别求出 与 为增函数的条件并结合充分必要条件进行判断即
可求解.
【详解】由题意得 的定义域为 ， 的定义域也为 ；
充分性：若 是增函数，则 恒成立， ，
因为 ，但 的正负不能确定，所以 的单调性不确定，故充分性不满
足；
必要性：若 是增函数，则 恒成立，
因为 ，所以 恒成立，但 的正负不能确定，所以 的单调性
不确定，故必要性不满足；
所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件，故D正确.
故选：D.7．（2024·四川德阳·三模）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，且
， ，则不等式 的解集是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可构造函数 ，求得 的单调性，再利用函数对称性解不等
式即可求得结果.
【详解】构造函数 ，则 ；
因为 ，
所以当 时， ，即 ，此时 在 上单调递增；
当 时， ，即 ，此时 在 上单调递减；
又 ，所以 ，即 ；
所以函数 图象上的点 关于 的对称点 也在函数图象上，
即函数 图象关于直线 对称，
不等式 变形为 ，即 ；
可得 ，
又 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，解得 .
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据 的结构特征构造函数，判断出其单调性，再由 得出其对称性解不等式即可.
8．（2023·河北·模拟预测）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据所给数的结构特征，设函数 ，利用导数判断其单调性，利
用单调性比较大小，可得答案.
【详解】设函数 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 单调递增，在 上单调递减，
又 ， ， ，
因为 ，故 ，即 ，
故选：B
【点睛】方法点睛：此类比较大小类题目，要能将所给数进行形式上的变化，进而由此构
造函数，利用导数判断单调性，进而比较大小.
二、多选题
9．（2022·江苏南通·一模）定义：在区间 上，若函数 是减函数，且 是
增函数，则称 在区间 上是“弱减函数”.根据定义可得（ ）
A． 在 上是“弱减函数”
B． 在 上是“弱减函数”
C．若 在 上是“弱减函数”，则D．若 在 上是“弱减函数”，则
【答案】BCD
【分析】利用“弱减函数”的概念逐项分析即得.
【详解】对于A， 在 上单调递减， 不单调，故A错误；
对于B， ， 在 上 ，函数 单调递减，
， ，∴ 在 单调递增，故B正确；
对于C，若 在 单调递减，由 ，得 ，
∴ ， 在 单调递增，故C正确；
对于D， 在 上单调递减，
在 上恒成立 ，
令 ， ，令 ，
，
∴ 在 上单调递减， ，
∴ ，∴ 在 上单调递减， ，
∴ ，
在 上单调递增，在 上恒成立，
∴ ，
令 ， ，
∴ 在 上单调递增， ，
∴ ，
综上： ，故D正确.
故选：BCD.
10．（2023·全国·模拟预测）已知函数 是定义在 上的函数， 是 的导
函数，若 ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 在定义域上有极小值．
B．函数 在定义域上单调递增．
C．函数 的单调递减区间为 ．
D．不等式 的解集为 ．
【答案】BC
【分析】令 并求导，结合已知可得 ，进而可得 ，
构造 并研究单调性判断A、B；构造 、分别研究它们的单调性判断C、D.
【详解】令 ，则 ，又 得：
，
由 得： ，
令 得： ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 ，即 ，
所以 单调递增，所以B正确，A不正确；
由 且定义域为 得： ，
令 ，解得 ，即 的单调递减区间为 ，故C正确．
的解集等价于 的解集，
设 ，则
，
当 时， ，此时 ，即 在 上递减，所以 ，即 在 上成立，故D错误．
故选：BC
【点睛】关键点睛：令 ，根据已知得 ，利用导数研究其单
调性和极值情况，构造 研究单调性，对于D问题转化为判断
在 上的符号.
11．（23-24高三下·河南信阳·阶段练习）已知曲线 在点 处的
切线与曲线 相切于点 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 有2个零点
B．函数 在 上单调递减
C．
D．
【答案】CD
【分析】利用导数判断函数的单调性，结合零点存在性定理判断A，利用导数判断函数的
单调性，即可说明B，利用导数的几何意义表示出切线方程，即可得到方程组，从而判断
C、D.
【详解】对于 ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
函数 的极大值为 ，极小值为 ，
因此当 时， ，当 时， ，
又 ，所以 ，则 在 上存在零点，
因此函数 只有一个零点，故A不正确；
对于B： ，
则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，又 在 上单调递减，
当 时，函数 单调递减，所以当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，故B错误；
对于C： ，
因此曲线 在点 处的切线方程为：
，
由 ，得曲线 在 处的切线方程为：
，
因为曲线 在点 处的切线，与曲线 相切于点，所以
，即 ，
因此 ，故C正确；
对于D：由上可知： ，
因此有 ，
，故D正确，
故选：CD.
【点睛】关键点睛：涉及公切线问题，一般是利用导数的几何意义表示出切线方程，根据
两切线相同得到方程组，从而整理得到 运算求解.
三、填空题
12．（2023·山东·一模）过点 与曲线 相切的直线方程为
．
【答案】
【分析】由导数的几何意义得出切线方程 ，进而由切点的位置得出
，从而得出切线方程.【详解】设切点坐标为 ， ， .
则切线方程为 ，因为 在切线上，
所以 ，即
又 ，所以 ，
令 ， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，
所以方程 只有唯一解为 .
即切点坐标为 ，故所求切线方程为 ，即 .
故答案为：
13．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）当 时，恒有 成立，
则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据函数有意义可得 在 上恒成立.，进而可得 ：由
可得 ，构造函数可得
，进而可得 ，从而可得答案.【详解】由题意，得 .又 恒成立，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立.
令 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 ①.
由 ，得 ，
即 .
构造函数 ，则
因为 在 上是增函数，
所以 ，所以 .
令 ，则 .
构造函数 ,
时 ， 递减： 时 ， 递增，
所以 ，即 恒成立，
所以 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 ②.由①②知 .
故答案为： .
【点睛】不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数 恒成立( 即可)或
恒成立（ 即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；
③ 讨论最值 或 恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，
筛选出符合题意的参数范围.
14．（23-24高三上·江苏常州·阶段练习）已知函数 ，函数
，若函数 有两个零点，则实数a的取值范围
【答案】 ．
【分析】变形为 有两个实根，变形得到 ，设
，则 ，求导得到单调性，进而求出 ，
只需使 有两个根，设 ，求导得到 在 处取得
极大值， ，结合函数的走势，得到 ，求出a的取值范围.
【详解】要使函数 有两个零点，即 有两个实根，
即 有两个实根．
即 ．整理为 ，
设函数 ，则上式为 ，因为 恒成立，所以 单调递增，所以 ．
所以只需使 有两个根，设 ．
易知，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
故函数 在 处取得极大值， ．
当 时， ；当 时， ，
要想 有两个根，只需 ，解得： ．
所以a的取值范围是 ．
故答案为：
四、解答题
15．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，证明： 在定义域内恒成立．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可；
（2）利用导数研究函数的单调性与最值，结合零点存在性定理先判定 时符合题意，
再适当放缩即可证明.
【详解】（1）当 时， ，
，
当 时，曲线 在点 处的切线方程为 ，即
．（2）由题知，函数 的定义域为 ，
当 时，设 ，
则 ．
令 ，则 对任意 恒成立，
在 上单调递减，又 ，
，使得 ，即 ，则 ．
当 时， ，则 单调递增；
当 时， ，则 单调递减，
，即 ．
又 ，
，
当 时， 在定义域内恒成立．
16．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若任意的 ，都有 恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1) 在R上单调递增
(2)
【分析】（1）求出 ，令 ，根据 的正负求出 单调性，进而求出正负，即可求出 单调性；
（2）求出 单调性，分 是否为0两种情况，当 不为0时，即 ，令
，根据导数求出 最小值即可求出 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，定义域为R，
则 ．令 ，
则 ，令 ，解得 ．
∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
∴当 时，函数 取得最小值．
∵ ，∴ ，
∴函数 在R上单调递增．
（2）易知 在 上单调递减，
∴任意的 ，都有 ．
∵任意的 ，都有 恒成立，
∴ 在 上恒成立．
当 时，不等式可化为 ，恒成立，则 ．
当 时， ．
令 ，则 ．∵当 时， ，即 ，
∴当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增．
∴当 时，函数 取得最小值， ，
∴ ．
综上，实数a的取值范围是 ．
【点睛】关键点睛：本题关键在于转化为求函数最大值的问题.
17．（2023·江西·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设函数 ，若 的导函数存在两个零点 ，且
，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，在由点斜式求出切线方程；
（2）依题意可得 ，即可得到 ，令 ，
，从而得到 ，设 ，则 ，从而得到 ，构
造函数，利用导数说明函数的单调性，再由 ，得到 ，即可求出 的取值范围，从而得证.
【详解】（1）当 时 ，则 ， ，
所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）证明： ， ，
依题意可得 ，即 ，
令 ， ，则 ，两式相除得到 ，
设 ，则 ， ，所以 ，
所以 ， ，
则 ，
设 ，则 ，
令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，则 ，
所以 ，即 在 上单调递增，
又 ，所以 ，
所以 ，而 ，所以 ，所以
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的
单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零
点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
18．（2024·黑龙江·二模）已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)若存在 ，满足 ，求 的取值范围．
【答案】(1)极小值为 ，无极大值；
(2)
【分析】（1）代入 并求导，得出单调性即可求出 的极值；
（ 2 ） 易 知 当 时 ， 单 调 递 增 ， 不 合 题 意 ； 可 知 ， 构 造 函 数
并求出其单调性，由零点存在定理可解得 ，得出 的
表达式并求其单调性可得结论.
【详解】（1）当 时， ，则 ；
令 ，可得 ，
当 时， ，即 在 上单调递减，
当 时， ，即 在 上单调递增；
因此函数 在 处取得极小值 ，所以 的极小值为 ，无极大值；
（2）易知当 时， ，
所以 ；
又 可得 ，
易知当 时， ，此时 单调递增，不满足 ；
因此 ；
由 可得 ，
记 ，且 ，
即可得 ，即 ，
所以 ，又易知 ，
因此 ，
令 ，可得 ，即 在 时有解，
所以 使得 ，
令 ，则 ，由 可得 ；
当 时， ，即 在 上单调递增，
当 时， ，即 在 上单调递减；
易知 可得，若 ，则 在 上单调递减，显然不存在 使得
；
若 ，解得 ，
因此 在 上单调递增，在 上单调递减，因此 ；
以下证明存在 ，使得 ；
令 ，则 ，
可得 在 上单调递减，因此 ，即 时，
所以 ，
令 可得 ，
由 可得 ；
易知二次函数 在 上单调递减，
所以 ，即存在 ，使得 ，因此 ；
所以 ，
令 ，则 ，
即函数 为单调递增，又
所以 ，即 ；
即 的取值范围为
【点睛】关键点点睛：本题关键在于记 并由 进行构造函数，
并利用单调性证明 使得 求出 ，可得结论.
19．（2022·天津滨海新·三模）已知函数
(1)若函数 在点 处的切线斜率为0，求a的值．
(2)当 时．
①设函数 ，求证： 与 在 上均单调递增；
②设区间 （其中 ，证明：存在实数 ，使得函数
在区间 上总存在极值点．
【答案】(1)
(2)① 证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；
（2）①利用导数证明 与 在 上恒成立即可得证；②转化为证明存在实数 ，使得 在区间 上总存在零点，再次求导并利用零点
存在性定理即可证明.
【详解】（1） 的定义域为 ，
， ，
依题意得 ，所以 .
（2）①∵ ， ，
因为当 时， ，所以 在 上单调递增，
且 ，故 ，即 ，∴： 在 上单调递增；
， ，
∴ ，
而 ，
，
∴ 在 上单调递减，且 ，故 ，
∴ ，
∴ 在 上单调递增，且 ，故 ，即 ，∴函数 在 上单调递增；
②易知 ，且由（1）可知 在 上单调递增， ．
∵ ，
所以 ，
其中
即 在 上单调递增， ．
令 ，由上可知 在 上单调递增．
要使得 在区间I上总存在极值点，则需满足 ，
而 恒成立 恒成立，
∵ 在 上单调递增，故 ①，
又 ，
故要使得 恒成立，
则只需 ，
同理可得 ②，
且 ，由①②可知，
存在当 时，函数 在区间I上总存在极值点．
【点睛】关键点点睛：转化为证明存在实数 ，使得 在区间 上总存在零点，再次求导并利用零点存在性定理进行证明是解题关键.
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）定义在 上的函数 的导函数是 ，函
数 为奇函数，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可构造函数 ，判断其单调性，结合题意可得 ，
从而将 转化为 ，利用函数的单调性，即可求得答案.
【详解】由题意知 ，
设 ，则 ，
仅当 时，等号成立，所以 单调递减．
又因为函数 为奇函数，所以 ，即 ，
故由 可得 ，
所以不等式 的解集为 ，
故选：A
2．（23-24高三上·辽宁大连·期末）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用 和 以及 ，再进行合理赋值即可.
【详解】 ，设 ， ，则 ，
则 在 上单调递增，则 ，则 在 上恒成立，则
，即 ，
设 ， ，则 在 上恒成立，
则 ，则 在 上恒成立，
令 ，则 ，则 ，
设 ， 在 上恒成立，
则 在 上单调递增，则 ，即 在 上恒成立，
令 ，则 ，则 ，即 ，故 ，
故选：B.
3．（2024·浙江嘉兴·二模）已知定义在 上且无零点的函数 满足
，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将题设条件转化为 ，从而得到 ，进而得
到 ，利用导数求出函数的单调区间，进而可得出答案.【详解】由 变形得 ，
从而有 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，则 ，
则 ，
故当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 单调递减，
所以 ， ，
又 ，而 ，
所以 ，
综上， .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：利用 ，由 到得 ，是解决本题
的关键.
4．（23-24高三上·河北·阶段练习）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，
且 恒成立， ，则不等式 的解集为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 ，由导数求得函数单调性，利用单调性解不等式.
【详解】由 ，有 ，
令 ，则 ，所以 在区间 上单调
递增．
又 ，得 ，所以 ，
所以 ，解得 ．
故选：A
【点睛】关键点点睛：
本题关键点在于利用导数运算法则构造函数，令 ，由导数证明单调递增，
不等式 变形为 ，利用单调性解即可.
二、多选题
5．（2022·辽宁沈阳·三模）已知函数 ，若 且 ，则
有（ ）
A． 可能是奇函数或偶函数 B．
C．若A与B为锐角三角形的两个内角，则 D．
【答案】BCD
【分析】利用反证法说明函数既不是奇函数也不是偶函数即可判断A；令 ，
利用导数结合已知判断函数在 上的单调性，即可判断BD；令 ，利用导数结合已知判断函数在 上的单调性，再根据锐角三角形内角关系及正弦函数的单调性，即
可判断C.
【详解】解：若 是奇函数，则 ，
与已知 矛盾，故函数 不可能是奇函数，
令 ，则 ，
所以函数 在 上递增，
故 ，即 ,
所以 ，故B正确；
若 为偶函数，则 ，与 矛盾，
所以函数 不可能为偶函数，故A错误；
对于D，因为函数 在 上递增，
所以 ，即 ，故D正确；
对于C，令 ，因为 ，
则 ，
所以函数函数 在 上递增，
若A与B为锐角三角形的两个内角，
则 ，
故 ，所以 ，
所以 ，即 ，故C正确.
故选：BCD.
【点睛】本题考查了函数奇偶性的定义，考查了利用导数判断函数的单调性，关键在于构
造函数.
6．（22-23高三下·黑龙江·开学考试）已知函数 ，则下
列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的图象关于直线 对称
C． 在 上单调递增 D． 的值域为
【答案】BCD
【分析】计算 是否成立可判断A项，运用周期性计算
是否成立即可判断B项，对于C项，运用导数判断 在 上
的符号即可，对于D项，运用导数研究 在一个周期内的单调性进而可求得值域.
【详解】对于A项，因为 ，
所以 不是 的最小正周期，故A项错误；
对于B项，由A项知， 的一个周期为 ，
又因为 ，
，
所以 ，
所以 关于 对称，故B项正确；对于C项，由题意知，
，
当 时， ，则 ，即： ，
所以 ，
所以 在 上单调递增，故C项正确；
对于D项，由A项知， 的一个周期为 ，
由C项知， ，
当 时， ，则 ，即： ，
所以 ，
所以 在 上单调递减，
又因为 ， ， ，
所以 ， ，
所以 的值域为 ，故D项正确.
故选：BCD.
三、填空题
7．（2023·山东菏泽·三模）已知奇函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，
当 时，有 ，则 的解集为 ．
【答案】【分析】当 时，由 ，得 ，故 在
上为增函数，再根据奇偶性得 在 上为增函数，将不等式
化为 ，利用单调性可求出结果.
【详解】当 时，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 在 上为增函数，
因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，
所以 ，且 的定义域为 ，关于原点对称，
所以 也是定义在 上的奇函数，且 ，
又因为 在 上为增函数，所以 在 上为增函数，
由 ，得 ，
所以 ，因为 在 上为增函数，
所以 ，即 .
所以 的解集为 .
故答案为：
8．（2023·广西柳州·二模）① ，② ，③ ，④
，上述不等式正确的有 （填序号）
【答案】②④
【分析】由指数对数的运算法则和不等式的性质比较大小.【详解】对于①： ， ，∴ ，不等式①错误；
对于②： ，∴ ，即 ，不等式②正确
对于③： ，∴ ，即 ，不等式③错误；
对于④： ，
令 ，则 在 上恒成立， 在 上单调递
增，
∴ ， ，得 ，
，∴ ，
∴ ，不等式④正确.
故答案为：②④
9．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知 是定义在 上的可导函数，若
， ，且 时， 恒成立，则 的取值
范围是 .
【答案】
【分析】由 ，求导，根据 ， 得到 在
上是减函数，然后将 时， 恒成立，转化为求解.
【详解】解：由于 ，
因为 ，
，
设 ，
则 ，
所以当 时， ，此时 为增函数；
当 时， ，此时 为减函数；
所以 ，即 ，
故 在 上是减函数.
又由于 时， 恒成立，
所以 ，
设 ，易知该函数为单调增函数，
故 时， ，只需 ，即 .
又由于 化为 ， ，
设 ，由 ，得 ，故 等价变形为当 时， ，
令 ，则 ，
故当 时， 为增函数，所以 若使 在 上恒成立，
只需 ，即 .综上， .
故答案为：
四、解答题
10．（2024·四川巴中·一模）已知函数 .
(1)设 ，证明：当 时，过原点O有且仅有一条直线与曲线 相切；
(2)若函数 有两个零点，求a的取值范围.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）由题意设出切点，进一步将原问题转换为证明当 时，方程
有为一解，故只需证明 即可；
（2）对 分类讨论，即分 和 讨论，结合导数与单调性的关系以及零点存在定理
即可求解.
【详解】（1）当 时， ，
设过原点O的直线与曲线 相切于点 ，
则 ，变形得 ，
设 ，则 ，
若 ，则当 时，恒有 ，此时方程 有唯一解 ，
所以过原点O有且仅有一条直线 与曲线 相切；
当 时，由 得 ，由 得 ，所以此时 ，方程 有唯一解 ，
所以过原点O有且仅有一条直线与曲线 相切；
综上所述，当 时，过原点O有且仅有一条直线与曲线 相切；
（2） ，
由（1）知，当 时， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 ，此时 最多有一个零点，不符合题意；
当 时，由（1）可知 ，
又 ，
所以 在 内各有一个零点，不妨设为 ，
所以 的导数有三个零点 ，
当 或 时， ，当 或 时， ，
所以 的极大值 ， 的极小值为 ，
且 ，
又当 或 时，都有 ，
所以 恰在 和 各有一个零点，符合题意，
综上所述，a的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：第二问的关键是分类讨论，利用导数研究函数单调性以及最值即可
顺利得解.
