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培优点 04 隐零点与极值点偏移问题（2 种核心题型+基础保
分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
隐零点问题是指对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结合题目条件最终
解决问题；极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对
称性，隐零点与极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求
较高，过程较为烦琐，计算量较大，难度大
【核心题型】
题型一 隐零点
零点问题求解三步曲
(1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程 f′(x)＝0，并结合f′(x)
0
的单调性得到零点的取值范围．
(2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式．
(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适
当缩小．
【例题1】（2024·吉林长春·东北师大附中校联考模拟预测）已知
（其中 为自然对数的底数）.
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程，
（2）当 时，判断 是否存在极值，并说明理由；
（3） ，求实数 的取值范围.【变式1】（23-24高三上·河南焦作·期末）（1）求函数 的极值；
（2）若 ，证明：当 时， ．
【变式2】（2024·浙江宁波·高三统考期末）已知函数 ，其中 ．
（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）记 为 的导函数，若对 ，都有 ，求 的取
值范围．
【变式3】（2024·河北邢台·高三统考期末）已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）证明： ．题型二 极值点偏移
极值点偏移问题的解法
(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论x＋x>(<)2x 型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x－x)；
1 2 0 0
对结论xx>(<)x型，构造函数F(x)＝f(x)－f ，通过研究F(x)的单调性获得不等式．
1 2
(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝化为单变量的函数不等式，
利用函数单调性证明．
【例题1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .若 有两个
零点 ，证明： .
【变式1】（2022·全国·模拟预测）设函数 .
(1)若 ，求函数 的最值；
(2)若函数 有两个不同的极值点，记作 ，且 ，求证：
.【变式2】（2024下·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考开学考试）已知函数
（其中 为自然对数的底数）.
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 为两个不相等的实数，且满足 ，求证： .
【变式3】（2024·辽宁·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，判断 在区间 内的单调性；
(2)若 有三个零点 ，且 ．
（i）求 的取值范围；
（ii）证明： .【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2022·四川成都·一模）已知 ，且 ，则下列说法正确的有
（ ）
① ； ② ；③ ； ④ .
A．①②③ B．②③④ C．②④ D．③④
2．（2023·全国·模拟预测）若关于 的方程 有两个解，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川南充·一模）已知函数 （ ）有两个不同的零
点 ， （ ），下列关于 ， 的说法正确的有（ ）个
① ② ③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
4．（2023·湖南永州·二模）已知 ， ， ， ，
则有（ ）
A． B．
C． D．5．（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知关于 的方程 有两个不等的实根 ，且
，则下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·福建宁德·二模）已知函数 ，则（ ）
A．
B．若 有两个不相等的实根 ， ，则
C．
D．若 ， ， 均为正数，则
三、解答题
7．（22-23高三上·河南洛阳·开学考试）（1）证明不等式： （第一问必须用隐零
点解决，否则不给分）；
（2）已知函数 有两个零点.求a的取值范围.（第二问必须用分段讨
论解决，否则不给分）
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)若对任意的 都有 ，求实数 的取值范围；
(2)若 且 ， ，证明： ．9．（2024·全国·模拟预测）已知函数 .
(1)若 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)当实数 取第（1）问中的最小值时，若方程 有两个不相等的实数根 ， ，请
比较 ， ，2这三个数的大小，并说明理由.
10．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）设 ， 为函数 （ ）的两个
零点．
(1)求实数 的取值范围；
(2)证明： ．
【综合提升练】
一、单选题
1．（22-23高二下·福建厦门·期末）已知函数 ，若 ，且，则 ·c的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·江西南昌·二模）已知函数 ， ．若 有且只有两个
零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（22-23高三上·辽宁锦州·阶段练习）已知函数 在 上恰有两
个极值点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020高三·全国·专题练习）已知函数 有两个零点 ， ，则下列判断：
① ；② ；③ ；④有极小值点 ，且 .则正确判断的个数
是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．（21-22高三上·江西鹰潭·阶段练习）关于函数 ，下列说法正确的是
（ ）
A． 是 的极大值点
B．函数 有2个零点
C．存在正整数k，使得 恒成立D．对任意两个正实数 ，且 ，若 ，则
6．（2023·福建漳州·三模）已知函数 和函数 ，具有相
同的零点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（22-23高三上·河北衡水·期末）已知
，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（21-22高三上·浙江宁波·开学考试）已知函数 ，对于正实数a，若关于t的
方程 恰有三个不同的正实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·河北衡水·一模）直线 ： 与 的图象交于 、 两点
， 在A､B两点的切线交于 ， 的中点为 ，则（ ）
A． B．点 的横坐标大于1
C． D． 的斜率大于0
10．（22-23高三·全国·阶段练习）已知函数 ， ，则下列说法正
确的是（ ）
A． 在 上是增函数B． ，不等式 恒成立，则正实数 的最小值为
C．若 有两个零点 ，则
D．若 ，且 ，则 的最大值为
11．（2023·河北·模拟预测）若当实数a变化时，直线 恒与定曲线 相切，
且 ，则（ ）
A． 有一个极大值点 B．
C． D．
三、填空题
12．（2021·黑龙江·模拟预测）已知函数 有两个不同的零点，则实数
的取值范围是 .
13．（2022·吉林·三模）已知函数 的极大值点为0，则实数m的值为 ；
设 ，且 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为
．
14．（2022·广东佛山·一模）已知函数 ，当 时，函数 的
零点个数为 ；若函数 有两个零点，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题
15．（2023·江西·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，且 ，证明： ，且 ．16．（2024·湖南邵阳·一模）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，方程 有三个不相等的实数根，分别记为 .
①求 的取值范围；
②证明 .
17．（2023·山西·模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)若关于 的方程 有两个不同的正实根 ，证明： .18．（2022·四川南充·一模）已知函数 有两个不同的零点 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)求证： .
19．（2024·河北沧州·二模）若函数 与 在区间 上恒有 ，
则称函数 为 和 在区间 上的隔离函数.
(1)若 ，判断 是否为 和 在区
间 上的隔离函数，并说明理由；
(2)若 ，且 在 上恒成立，求 的值；
(3)若 ，证明： 是
为 和 在 上的隔离函数的必要条件.
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2023·四川内江·一模）已知函数 有两个零点，则 的最小整数值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．（2023·四川成都·三模）已知函数 有三个零点，则实数m的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河北沧州·模拟预测）已知直线 与曲线 和曲线 均相
切，则实数 的解的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无数
二、多选题
4．（22-23高三上·湖北·阶段练习）已知
，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若 恒成立，则
B．当 时， 的零点只有 个
C．若函数 有两个不同的零点 ，则
D．当 时，若不等式 恒成立，则正数 的取值范围是
6．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数 则下列结论正确的有
（ ）A．当 时， 是 的极值点
B．当 时， 恒成立
C．当 时， 有2个零点
D．若 是关于x的方程 的2个不等实数根，则
三、填空题
7．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数 存在唯一零点，则
的取值范围为 .
8．（2024·河南洛阳·模拟预测）若函数 在区间 上有两个零点，
则 的取值范围为 .
四、解答题
9．（2023·贵州毕节·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时， ，求 的取值范围.
(2)若函数 有两个极值点 ，证明： .
10．（2023·云南大理·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的极值；
(2)若 （e是自然对数的底数），且 ， ， ，证明： ．11．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数 ．
(1)若 ，讨论 的单调性．
(2)已知关于 的方程 恰有 个不同的正实数根 ．
（i）求 的取值范围；
（ii）求证： ．
12．（2024·吉林·二模）在平面直角坐标系 中， 的直角顶点 在 轴上，另一
个顶点 在函数 图象上
(1)当顶点 在 轴上方时，求 以 轴为旋转轴，边 和边 旋转一周形成的面
所围成的几何体的体积的最大值；
(2)已知函数 ，关于 的方程 有两个不等实根
.
（i）求实数 的取值范围;
（ii）证明： .
