文档内容
考点 18 导数与函数的极值、最值（2 种核心题型+基础保分
练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、
极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题．
【知识点】
1．函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝
0；而且在点x＝a附近的左侧 f ′ ( x )<0 ，右侧 f ′ ( x )>0 ，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，
f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝
0；而且在点x＝b附近的左侧 f ′ ( x )>0 ，右侧 f ′ ( x )<0 ，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，
f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小
值．
(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与 端点处的函数值 f ( a ) ， f ( b )比较，其中最大的一个是最大值，最
小的一个是最小值．
常用结论
对于可导函数f(x)，“f′(x)＝0”是“函数f(x)在x＝x 处有极值”的必要不充分条件
0 0
【核心题型】
题型一 利用导数求解函数的极值问题
根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)验证：求解后验证根的合理性．
命题点1 根据函数图象判断极值
【例题1】（2024·四川广安·二模）已知函数 ，给出下列4个图象：其中，可以作为函数 的大致图象的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】对 的情况进行分类讨论，借助于导数对函数的单调性进行分析即可判断函数的
大致图象.
【详解】由题意知， 定义域为 ，
当 时， ，由指数函数的单调性可知函数 单调递增，可对应①；
当 时， ，令 可得： ，所以当
时， ，当 时， ，所以，函数 先减
后增，且当 时， ，此时可对应②；
当 时， ，当 时 ，当 时，
，当 时， ，所以，函数 先增后减，
当 时， ，且此时 ，所以可对应③，
当 时， ，此时 ，所以可对应④.
故选：D
【变式1】（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）如图是函数 的导函数 的图
象，下列结论正确的是（ ）A． 在 处取得极大值 B． 是函数 的极值点
C． 是函数 的极小值点 D．函数 在区间 上单调递减
【答案】C
【分析】根据导函数的正负即可求解 的单调性，即可结合选项逐一求解.
【详解】由图象可知：当 时， 单调递减，当 时，
单调递增，
故 是函数 的极小值点， 无极大值.
故选：C
【变式2】（2023·河北·模拟预测）函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先判断函数的奇偶性，再利用导数法判断.【详解】解：因为函数 的定义域为： ，且 ，
所以函数 是偶函数，
当 时， ，
令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 取得极小值，
故选：D
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，
则下列结论正确的是（ ）
A．曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率小于零
B．函数f（x）在区间（－1，1）上单调递增
C．函数f（x）在x＝1处取得极大值
D．函数f（x）在区间（－3，3）内至多有两个零点
【答案】D
【详解】解析：由题意，得f′（1）＝0，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜
率等于零，故A错误；当x∈（－1，1）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（－1，1）上单调
递减，故B错误；当－2＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞1，f′（x）＜0，f
（x）单调递减，所以x＝1不是f（x）的极值点，故C错误；当x∈（－3，－2）时，f′
（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（－2，3）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，所以当f
（－2）＜0时，f（x）在（－3，3）上没有零点；当f（－2）＝0时，f（x）在（－3，3）
上只有一个零点；当f（－2）＞0时，f（x）在（－3，3）上有两个零点．综上，函数f
（x）在区间（－3，3）内至多有两个零点，故选D.命题点2 求已知函数的极值
【例题2】（2024·宁夏银川·一模）若函数 在 处取得极大值，则
的极小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意求出 的值，进而求出 ，再解出极小值即可.
【详解】因为函数 在 处取得极大值，
则 ， 且 ，
即 ，所以 ；
所以 ， ，
令 ，则 或 ，
由 ， ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以函数 在 处取得极大值， .
故选：C.
【变式1】（2023·全国·模拟预测）函数 在区间 的极大值、极
小值分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D【分析】求出 ，由 、 可得答案．
【详解】由题意，得 ，
当 时， ， ；
当 时， ， ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减．
当 时， 取得极小值，为 ；
当 时， 取得极大值，为 ．
故选：D．
【变式2】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知 则方程
可能有（ ）个解.
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】BCD
【分析】方程 得 或 ，作出函数图象，数形结合
判断解的个数.
【详解】 ，有 ，
当 时 ， 单调递减；当 时 ， 单调递增，
当 时， 有极小值 .
，由二次函数的性质可知，在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 有极大值 .
由 的图象如图所示，
由 得 或 ，
由图象可知 有3个解， 可能有1，2，3，4个解，
故方程 可能有4，5，6，7个解.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：
函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令 ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 上是连续不断的曲线，且
，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个
零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横
坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点
【变式3】（2024·辽宁鞍山·二模） 的极大值为 ．【答案】
【分析】借助导数研究函数的单调性即可得其极大值.
【详解】 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 、 上单调递减，在 上单调递增，
故 有极大值 .
故答案为：
命题点3 已知极值(点)求参数
【例题3】（2024·全国·模拟预测）设 为函数 （其中 ）的两
个不同的极值点，若不等式 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】导函数为二次函数， 为对应的一元二次方程的两根，由 ，代
入函数解析式，结合韦达定理化简，可解出实数 的取值范围.
【详解】因为 ，所以 ．
又函数 有两个不同的极值点 ，所以
解法一：由 ，得 ，
即 ．将 的值代入（*）式，得 ，解得 ，
故选：A．
解法二：函数 为奇函数，图象的对称中心为 ，
则函数 图象的对称中心为
设 ，
，
比较系数，有 ，
解得
所以函数 图象的对称中心为 ，
即若 存在两个相异的极值点 ，则其对称中心为点 和点 的中
点，即 ．
由题设得 ，即 ，即 ，
所以 解得 .
故选: A．
【变式1】（2024·四川绵阳·三模）若函数 有唯一极值点，则
下列关系式一定成立的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求导，构造函数 ，利用二次函数零点的分布，结合分类讨
论以及极值点的定义即可求解.
【详解】 ，
令 ， ，
若 ，则 或 ，此时 单调，不存
在极值点，故不符合题意，
若 ，则方程 有两个实数根，
由于 有唯一极值点，故 只能有一个正实
数根，
若另一个实数根为0，此时 ，显然满足条件，
若令一个实数根为负根，则 ，故 ，
结合选项可知， 一定成立，
故选：C
【变式2】（2024·辽宁·一模）已知函数 在 处有极值8，则
等于 ．
【答案】
【分析】求导，即可由 且 求解 ，进而代入验证是否满足极值点即
可．
【详解】若函数 在 处有极值8，则 即
解得： 或 ，
当 时， ，此时 不是极值点，故舍去；
当 时， ，
当 或 时， ，当 ，故 是极值点，
故 符合题意，
故 ，
故 .
故答案为：
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 的极值为－2，求a的值；
(2)若m，n是 的两个不同的零点，求证： ．
【答案】(1)1
(2)证明见解析
【分析】（1）对函数 求导，再根据函数与导数的关系研究函数 的性质，即可得
解；
（2）由题意 ，再设 ， ，进而构造函
数 ，利用函数的单调性进行证明即可.
【详解】（1）由题知 的定义域为 ，
．由 可得 ，
解得 （舍去）， ，
且 ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ 有极大值 ．
设 ，
则 在 上单调递增，且 ，
故 ，即 ，解得 ．
（2）由条件可得 ， ，
两式相减，可得 ，
故 ，
．
不妨设 ， ，则 ，
要证 ，只需证明 ，
即证 ．
设 ，则 ，
∴ 在 上单调递减， ，
故 ．
【点睛】方法点睛：
（1）研究函数零点、极值时，一般需要求导分析函数、导函数的单调性，并结合特值进行
分析判断；
（2）证明有关零点的不等式时，需要观察不等式，构造常用函数 证
明即可.
题型二 利用导数求函数最值
求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函
数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．
命题点1 不含参函数的最值
【例题4】（2024·陕西·模拟预测） ，有 恒成立，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ，求导可得函数的单调性，即可求解最值
，进而 即可.
【详解】由 在 上恒成立，令 ，
则 ．令 ，则 ，
当 时， ，故 在 上单调递增；
当 时， ，故 在 上单调递减；则 ，所以
故选:C
【变式1】（2024·四川·模拟预测）已知 ，若存在 ，使
得 成立，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】先用导数证明不等式 ，然后对 和 分类讨论，即可得出
结果.
【详解】设 ，则 ，从而当 时 ，当 时
.
所以 在 上递减，在 上递增，故对任意 有 ，即
.
一方面，当 时，由于 ，故存在 使得 成立；
另一方面，当 时，由于对任意 都有
（这里用到 ， ， ）
，
所以对任意 都有 .综上， 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：对于求取值范围问题，本质上就是要确定一个集合，使得命题成立
的充要条件是参数属于该集合. 故本题中我们从两个方面入手，证明了存在 使得
的充要条件是 ，即可解决问题
【变式2】（2024·上海徐汇·二模）如图，两条足够长且互相垂直的轨道 相交于点 ，
一根长度为 的直杆 的两端点 分别在 上滑动（ 两点不与 点重合，轨道与
直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点 满足 ，则 面积的取值范
围是 .
【答案】
【分析】令 ，利用直角三角形边角关系及三角形面积公式求出
的面积函数，再利用导数求出值域即得.
【详解】依题意，设 ，则
，
因此 的面积 ， ，
求导得 ，
当 时， ，当 时， ，即函数 在 上递增，在上递减，
因此 ，而 ，则 ，
所以 面积的取值范围是 .
故答案为：
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的最值．
(2)证明： （其中 为自然对数的底数）．
【答案】(1)最大值为 ，无最小值；
(2)证明见解析.
【分析】（1）先求出函数的导数，根据导数得出函数的单调区间，从而得出函数的最值.
（2）不等式转化为 ，结合（1）知 ，从而证明：
，再结合导数求函数的最小值证得结果.
【详解】（1）由题意知 ，定义域为 ，
从而 ．
所以当 时， ；当 时， ．
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
所以函数 的最大值为 ，无最小值．（2）欲证 ，只需证 ．
由（1）知 ，从而 ，当且仅当 时取等号．
下面证明： ．
设 ，则 ．
设 ，则 ．
设 ，则 ，
故当 时， ；当 时， ．
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
由于 ，
故设存在唯一的 ，使 ，
且当 时， ，当 时， ．
故函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
又 ，
所以存在唯一的 ，使 ，
故当 时， ；当 时， ．
从而函数 在 上分别单调递增，在 上单调递减．因为 ，
所以 在 上恒成立，当且仅当 时取等号．
因为取等条件不相同，所以 恒成立，
即 成立．
【点睛】本题第（2）问考查的是利用导数证明不等式．
证明时有三个关键点：
一是不等式的等价变形，由第（1）问的提示可知，需要把所证明的不等式两端同时除以 ，
使不等式等价转化为 ；
二是放缩法的应用，由（1）知 ，从而 ，此时只需再证明不等式
即可；三是构造函数 ，通过求导研究
的单调性，进一步求得 的最小值，在研究 单调性的过程中，需要注意特殊
点、端点，以及隐零点的讨论．
命题点2 含参函数的最值
【例题5】（2024·四川成都·模拟预测）已知函数 没有
极值点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】转化为 恒成立，构造函数，求导，得到其单调性和最值，从而得到 ，故 ，换元后，构造函数，求导得到其单调
性和最值，求出答案.
【详解】函数 没有极值点，
，或 恒成立，
由 指数爆炸的增长性， 不可能恒小于等于0，
恒成立．
令 ，则 ，
当 时， 恒成立， 为 上的增函数，
因为 是增函数， 也是增函数，
所以，此时 ，不合题意；
②当 时， 为增函数，由 得 ，
令
在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时，依题意有 ，
即 ，
， ，
令 ， ，
则 ，令 ，令 ，解得 ，
所以当 时， 取最大值
故当 ， ，即 ， 时， 取得最大值
综上，若函数 没有极值点，则 的最大值为
故选：B.
【点睛】关键点睛：将函数没有极值点的问题转化为导函数恒大于等于0，通过构造函数，
借助导数研究函数的最小值，从而得解.
【变式1】（23-24高三下·重庆·阶段练习）若过点 可以作曲线 的两条切线，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设切点坐标为 ，由切点坐标求出切线方程，代入坐标 ，关于 的方程
有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数图象有两个交点，构造新函数由导数确定
函数的图象后可得.
【详解】设切点坐标为 ，由于 ，因此切线方程为 ，
又切线过点 ，则 ， ，
设 ，函数定义域是 ，
则直线 与曲线 有两个不同的交点， ，
当 时， 恒成立， 在定义域内单调递增，不合题意；
当 时， 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，所以 ，结合图象可知 ，即 .
故选：A.
【变式2】．（2024·全国·模拟预测）函数 只有3个零点 ， ，
，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意对函数求导，为判断导数与零的大小关系，对导数再次求导求其最值，利
用分类讨论思想，结合零点存在性定理，建立不等式组，可得答案.
【详解】函数 的定义域为 ，则
．
设 ，则 ，
所以当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调
递增，
所以 ．
当 ，即 时， ， 单调递增，且 ，此时 只有1个零
点，不满足题意；当 ，即 时，由 ，
存在 ， ，使得 ， ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，易知 ， ，
由 ，
，
则 在 ， 上各有1个零点，此时满足题意.
所以 ，且 ．由 ，得 ，得 ．
所以 的取值范围是 ．
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题的关键是对 分 和 讨论，当 时，需要利用零点
存在性定理证明其满足题意，再根据 ，则 ，解出即可.
【变式3】（2024·北京海淀·一模）已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)若函数 存在最大值，求 的取值范围.【答案】(1) 的增区间为 ，减区间为
(2)
【分析】（1）对函数求导，得到 ，再求出 和 对应的
取值，即可求出结果；
（2）令 ，对 求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出 的单
调区间，进而得出 在 上取值范围，从而将问题转化成 成立，
构造函数 ，再利用 的单调性，即可求出结果.
【详解】（1）易知定义域为 ，因为 ，所以
，
由 ，得到 ，当 时， ，当 时， ，
所以，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）令 ，则 ，
由（1）知，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
所以 在 时取得最大值 ，
所以当 时， ，当 时， ，
即当 时， ，
所以函数 在 存在最大值的充要条件是 ，
即 ，令 ，则 恒成立，
所以 是增函数，又因为 ，
所以 的充要条件是 ，
所以 的取值范围为 .
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，构造函数 ，利用函数
单调性得到 时， ，从而将问题转化成 ，构造
函数 ，再利用 的单调性来解决问题
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2023·广西·模拟预测）函数 在 处取得极小值，则极小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】求出函数 的导数，利用极小值点求出a值，再借助导数求出极小值作答.
【详解】依题意， ，因为函数 在 处取得极小值，则 ，
解得 ，
此时 ，当 或 时， ，当 ，时
，
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 在 处取得极小值 .
故选：C2．（2024·四川凉山·二模）若 ， ，则函数 的零点个
数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】求导，研究函数单调性，极值，画图，根据图象得零点个数.
【详解】 ,
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
又 ， ， ， ，
则 的草图如下：
由图象可得函数 的零点个数为 .
故选：C.
3．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在同一平面直角坐标系内，函数 及其导函数
的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为 ，则（ ）A．函数 的最大值为1
B．函数 的最小值为1
C．函数 的最大值为1
D．函数 的最小值为1
【答案】C
【分析】AB选项，先判断出虚线部分为 ，实线部分为 ，求导得到
在R上单调递增，AB错误；再求导得到 时， 单调递增，当
时， 单调递减，故C正确，D错误.
【详解】AB选项，由题意可知，两个函数图像都在x轴上方，任何一个为导函数，
则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为 ，
实线部分为 ，
故 恒成立，
故 在R上单调递增，则A，B显然错误，
对于C，D， ，由图像可知 ， 恒成立，故 单调递增，
当 ， ， 单调递减，
所以函数 在 处取得极大值，也为最大值， ，C正确，D错误.
故选：C
4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 有 个极值点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出函数的导函数，令 ，依题意可得关于 的方程 有两个不
相等的正实根 、 ，则 ，即可判断.
【详解】函数 的定义域为 ，
且 ，
依题意 有两个不相等实数根，
令 ，则关于 的方程 有两个不相等的正实根 、 ，
所以 ，所以 ， .
故选：A5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 在 上恰有两个极值点，
则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】函数 在 上恰有两个极值点， 在 上有两个变号零点，分离常
数得 ，转化为两函数图象有两个不同的交点，利用数形结合思想进行求解；或直
接求函数 的单调性，求图象在 上与 轴有两个交点的条件.
【详解】解法一： 由题意可得 ，因为函数 在 上恰有两个极
值点，所以 在 上有两个变号零点．
令 ，可得 ，令 ，
则直线 与函数 ， 的图象有两个不同的交点，
，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
又 ，当x趋近于0时， 趋近于+∞，当x趋近于π时， 趋近于+∞，所以可作出 的图象如图所示，数形结合可知 ，
即实数a的取值范围是 ，
故选：D．
解法二 由题意可得 ．因为函数 在 上恰有两个极值点，所以
在 上有两个变号零点．
当 时， 在 上恒成立，不符合题意．
当 时，令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
因为 ， ，所以 ，则 ，即实数a
的取值范围是 ，
故选：D．
【点睛】方法点睛：
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等
式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转
化为函数的单调性、极(最)值问题处理，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.
二、多选题
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数 在定义域内既存在极大值点又存在极
小值点，则（ ）
A． B．
C． D．对于任意非零实数 ，总存在实数 满足
题意
【答案】AD
【分析】根据给定条件，分类讨论，逐项判断即可.
【详解】由题意，得 .令 ，得 .
令 ，则 .
当 时， ，此时 单调递增；
当 时， ，此时 单调递减.
，当 时， ，
当 时， 在定义域内既存在极大值点又存在极小值点.故A正确，B不正确.
当 时，由 知，当 时， ，故C不正确.
对于任意非零实数 ，总存在实数 ，使得 成立，故D正确.
故选：AD.
7．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知各项都是正数的数列 的前 项和为 ，且
，则下列结论正确的是（ ）A．当 时， B．
C．数列 是等差数列 D．
【答案】BCD
【分析】计算数列首项及第二项可判定A，利用等差数列的定义及 的关系可判定C，
从而求出 的通项公式结合基本不等式、函数的单调性可判定B、D.
【详解】对A，由题意可知 ，所以 ，
则 ，所以 ，故A错误；
对C，由 ，故C正确；
对C，所以 ，
则 ，故B正确；
对D，易知 ，令 ，
则 ，则 单调递增，
所以 ，即 ，故D正确.
故选：BCD
三、填空题
8．（2024·上海黄浦·二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段与分别以 为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点 是线段 上
的动点，点O为线段 的中点，点 在以 为直径的半圆弧上，且
均为直角.若 百米，则此步道的最大长度为 百米.
【答案】
【分析】设半圆步道直径为 百米，连接 ，借助相似三角形性质用 表示 ，结
合对称性求出步道长度关于 的函数关系，利用导数求出最大值即得.
【详解】设半圆步道直径为 百米，连接 ，显然 ，
由点O为线段 的中点，得两个半圆步道及直道 都关于过点 垂直于 的
直线对称，
则 ，又 ，则 ∽ ，有 ，
即有 ，因此步道长 ， ，
求导得 ，由 ，得 ，
当 时， ，函数 递增，当 时， ，函数
递减，
因此当 时， ，
所以步道的最大长度为 百米.故答案为：
9．（2023·江西赣州·模拟预测）当 时，函数 取得极小值1，则
.
【答案】
【分析】求导函数 ，根据 求得 的值，检验极值点后
可得 的值.
【详解】函数 ，则
当 时，函数 取得极小值1，
所以 ，解得 ，
所以 ，
则函数在 时， ，函数单调递减；在 时， ，函数单
调递增；符合 是函数的极值点；
故 .
故答案为： .
四、解答题
10．（2023·河南洛阳·一模）已知函数 ．
(1)求 的图像在点 处的切线方程；(2)求 在 上的值域．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）把点 代入函数解析式，得切点坐标，通过求导，得到切线的斜率，
根据直线的点斜式方程，求切线方程．
（2）解不等式 ，得函数增区间，解不等式 ，得函数减区间，结合
，确定函数单调性，求得最值，进而得出 在 上的值域．
【详解】（1）因为 ，所以 ，所以 ， ，
故所求切线方程为 ，即 ．
（2）由（1）知 ， ．
令 ，得 ；令 ，得 ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ．
又 ， ，
因为 ，
所以 ，即 在 上的值域为 ．11．（2024·上海静安·二模）已知 ，记 （ 且 ）．
(1)当 （ 是自然对数的底）时，试讨论函数 的单调性和最值；
(2)试讨论函数 的奇偶性；
(3)拓展与探究：
① 当 在什么范围取值时，函数 的图象在 轴上存在对称中心？请说明理由；
②请提出函数 的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明）
【答案】(1)详见解析；
(2)详见解析；
(3)①当 时，函数 有对称中心 ，理由见解析；②答案见解析.
【分析】（1）当 时，求得 ，分 和 ，两种情况讨论，分别
求得函数的单调性，进而求得函数的最值；
（2）根据题意，分别结合 和 ，列出方程求得 的值，即可得到
结论；
（3）根据题意，得到当 时，函数 有对称中心 ，且 时，对
于任意的 ，都有 ，并且 ．
【详解】（1）解：当 时，函数 ，可得 ，
若 时， ，故函数 在 上单调递增，函数 在 上无最值；
若 时，令 ，可得 ，
当 时， ，函数 在 上为严格减函数；当 时， ，函数 在 上为严格增函数，
所以，当 时，函数取得最小值，最小值为 ，无最大值．
综上：当 时，函数 在 上无最值；当 时，最小值为 ，无最大值．
（2）解：因为“ 为偶函数” “对于任意的 ，都有 ”
即对于任意的 ，都有 ，并且 ；
即对于任意的 ， ，可得 ，
所以 是 为偶函数的充要条件．
因为“ 为奇函数” “对于任意的 ，都有 ”，
即对于任意的 ，都有 ，并且 ，
即对于任意的 ， ，可得 ，
所以 是 为奇函数的充要条件，
当 时， 是非奇非偶函数.
（3）解：①当 时，函数 有对称中心 ，
当 时，对于任意的 ，都有 ，并且 ．
证明：当 时，令 ，解得 为函数 的零点，
由 ，
可得 ；
② 答案1：当 时，函数 有对称轴 ．
即当 时，对于任意的 ，都有 ，并且 ，参考证明：当 时，由 ，
可得 ，
答案2：当 时， 的图象关于y轴对称，
即对于任意的 ，都有 ，
答案3：当 时，函数 的零点为 ，即
【点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略：
1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；
2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；
3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.
综合提升练
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）若函数 是 上的增函数，则实数a
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数给定区间上为增函数可得导函数在该区间上恒为非负数，利用参变分离
法即可通过求相应函数的最值求得参数范围.
【详解】因为函数 是 上的增函数，所以
在 上恒成立，
即 在 上恒成立．令 ， ,则
，则当 时， ，当 时， ，故 在 上单调递减，在
上单调递增，
所以 ，所以 ．
故选：C．
2．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知函数 在区间 上的最小值为1，则实
数a的值为（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
【答案】D
【分析】先利用导函数研究函数的单调性及最值计算即可.
【详解】由题意可知： ，
所以当 时 ，则 在 上单调递增，
所以 .
故选：D.
3．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数 有极值 ，则
（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】先求出函数 的导函数；再求出极值点，代入函数 解方程即
可.
【详解】由题目条件可得：函数 的定义域为 ， .
令 ，得 ；
令 ，得 .
所以函数 在区间 上单调递减，在 上单调递增.则 是函数 的极小值点，
故 ，解得 .
故选：B
4．（2024·广东佛山·二模）若函数 （ ）既有极大值也有极小值，
则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出函数 的导数 ，由已知可得函数 在 上有两个零点，转
化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答即可.
【详解】函数 的定义域为 ， ，
又函数 既有极大值也有极小值，所以函数 在 上有两个零点，
由 ，所以方程 有两个不同的正实数 ，
所以 ，即 .
故选：B
5．（2023·甘肃兰州·一模）已知函数 的极值点为 ，函数
的最大值为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据题目条件求出 ， ，即可判断．
【详解】 的定义域为 ，
在 上单调递增，且 ， ，
所以 ， ，
所以当 时 ，当 时 ，即 在 上单调递减，在
上单调递增，
则 在 处取得极小值且 ．
的定义域为 ，由 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 处取得极大值，也是最大值， ，
即 ．所以 ．
故选：A
6．（2024·全国·模拟预测）记函数 的导函数为 ， 的导函数为 ，则曲线
的曲率 ．则曲线 的曲率的极值点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据定义求解 和 ，由曲率的定义进行求解极值点.
【详解】函数 的定义域是 ， ， ，
∴曲线 的曲率 ，
，
显然当 时， ；当 时， ．
∴ 为曲线 的曲率的极值点，
故选：A．
7．（2024·北京朝阳·一模）已知 个大于2的实数 ，对任意 ，存
在 满足 ，且 ，则使得 成立的最大正整数 为
（ ）
A．14 B．16 C．21 D．23
【答案】D
【分析】构造函数 ，结合函数单调性可得 ，则有
，即可得解.
【详解】由 ，且 ， ，故 ，即 ，
令 ， ，故当 时， ，当 时， ，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，
由 ，即 ，故 ， ，
又 ，故 ，即 ，
若 ，则有 ，
即 ，由 ，故 .
故最大正整数 为 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助函数 的性质，结合其单调性得到
，从而得到 ，则有 ，即可得解.
8．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，且
，则 （ ）
A．有一个极小值点，一个极大值点 B．有两个极小值点，一个极大值点
C．最多有一个极小值点，无极大值点 D．最多有一个极大值点，无极小值点
【答案】C
【分析】设 ，求导后，构造 ，求导，得到其单调性和极值情
况，结合极小值为0，故当 时， 至多有1个变号零点，且在 上无
变号零点；分 在区间 上没有变号零点和1个变号零点两种情况，得到极值情
况.【详解】令 ，则 ，
故 ．
令 ，
所以 ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以 的极小值为 ，
的极大值为 ，
所以当 时， 至多有1个变号零点，且在 上无变号零点；
当 在区间 上没有变号零点时，
则 ， ， 单调递增， 无极值点，
当 在区间 上有1个变号零点时，
可设为 ，则当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 有且只有一个极小值点 ，无极大值点．
综上， 最多有一个极小值点，无极大值点．
故选：C
【点睛】隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数
与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
二、多选题
9．（2023·全国·模拟预测）对函数 ， 公共定义域内的任意x，若存在常数 ，
使得 恒成立，则称 和 是 伴侣函数，则下列说法正确的是
（ ）
A．存在常数 ，使得 与 是 伴侣函数
B．存在常数 ，使得 与 是 伴侣函数
C． 与 是 伴侣函数
D．若 ，则存在常数 ，使得 与 是 伴侣函数
【答案】AD
【分析】根据伴侣函数的定义，由对数的运算法则判断A，根据指数型函数的单调性以及
值域可判断B，求导，判断 的单调性进而可判断C，根据常函数的性质可
判断D.
【详解】A选项：由题意得
，
故存在 ，使得 恒成立，故A正确；
B选项：由题意得 ，
由于 为单调递增函数，且值域为 ，
因此不存在 ，使得 恒成立，故B错误；C选项：由题意得 ，
令函数 ，则 ，
易知 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，不满足 ，故C错误；
D选项：令 ，则 ，
所以 为常函数，（点拨：若两个函数的导函数相同，则两个函数相差一个常数）
不妨令 ，故存在 ，使得 恒成立，故D正确.
故选：AD
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的极小值点为0，极大值点为
，且极大值为0，则（ ）
A． B．
C．存在 ，使得 D．直线 与曲线 有3个交点
【答案】AD
【分析】根据函数的极值点，确定方程 的根的情况，利用韦达定
理得 ，即 得到 ，再依据
，解出 ，即可判断A，B选项；根据函数解析式 判
断C选项；根据函数图像判断D选项.
【详解】因为 ，令 ，则 且 的极小值点为0，
极大值点为 ，所以 和 为方程的两个根，
所以 ，且 ，所以
所以 所以 ，
又因为 ，即 ，
化简为 ， ， ，所以 ，
解得 ，所以 ，所以A正确，B错误；
因为 ，所以 恒成立，所以C错误；
函数 的图象如图所示，因为 ，
所以直线 与曲线 有3个交点，所以D正确．
故选：AD．
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，其中 为自然对数的底数，
则（ ）
A．若 为减函数，则 B．若 存在极值，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BCD【分析】对 求导可得 ，当 时， 也为减函数，可
得A错误；若 存在极值可知 存在“变号”零点，可得B正确；由 可得
，构造 并判断单调性可得 ，C正确；由 可得
，易知 ，可得 ，构造函数 并判断单调性
即可求得 ，D正确.
【详解】因为 ，所以 ，
所以当 时， 为减函数，A错误．
若 存在极值，则 存在“变号”零点．
因为 可得 ，所以 ，即 ，B正确．
若 ，则 ，即 ．
令 ，则 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上为减函数，在 上是增函数，
所以 ，所以 ，C正确．
若 ，即 ．由 ，得 ，即 ，
所以 ，易知 ，所以 ．设 ， ．
设 ，所以 在 上单调递增，
结合 ，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增．
所以 ，所以 ，即 ，D正确．
故选：BCD．
【点睛】方法点睛：在求解参数取值范围时，往往根据已知条件得出变量之间的基本关系，
通过构造函数得出函数单调性即可求得参数取值范围.
三、填空题
12．（2022·广西·模拟预测）已知函数 ，则 的极小值为 .
【答案】
【分析】根据导数判断函数的单调性，进而求得极小值.
【详解】由 ，得 ，
令 ，解得 或 ，
故函数 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
故函数 在 时取极小值 ，
故答案为： .
13．（2023·广东汕头·一模）函数 的一个极值点为1，则 的极大值是
．
【答案】4
【分析】由极值点定义得到 ，求出 ，进而得到 或 时， ，时， ，得到函数单调性和极大值.
【详解】 定义域为R，
，由题意得， ，解得 ，
故 ，
令 ，解得 ，
令 得， 或 ， 单调递增，
令 得， ， 单调递减，
故 在 处取得极大值，极大值为 .
故答案为：4
14．（2024·上海闵行·二模）对于任意的 ，且 ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【分析】通过构造函数，利用导数分别求 和 的最小值即可.
【详解】设函数 ，定义域为R，则 ，
当 时， ；当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
最小值为 ，
所以当 时， 有最小值1；
设函数 ，定义域为 ，则 ，当 时， ；当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
最小值为 ，
所以当 时， 有最小值1，
不等式 恒成立，则有 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题
15．（2024·安徽·二模）已知函数 .
(1)求函数 在点 处的切线方程；
(2)求 的单调区间和极值.
【答案】(1) ；
(2)递增区间为 ，递减区间为 ，极大值 ，极小值 .
【分析】（1）求出函数 的导数，赋值求得 ，再利用导数的几何意义求出切线方
程.
（2）由（1）的信息，求出函数 的导数，利用导数求出单调区间及极值.
【详解】（1）函数 ，求导得 ，
则 ，解得 ，于是 ， ，
所以所求切线方程为： ，即 .
（2）由（1）知，函数 ，定义域为 ，求导得 ，
当 或 时， ，当 时， ，
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 取得极大值 ，
当 时， 取得极小值 ，
所以函数 的递增区间为 ，递减区间为 ，
极大值 ，极小值 .
16．（2024·海南·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，若函数 有最小值2，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出 ，求导，得到 ，利用导数的几何意义求出切线方程；
（2）求定义域，求导，得到函数单调性和最小值，得到 ，构造
，求导得到函数单调性，结合特殊点的函数值，得到答案.
【详解】（1）当 时， 的定义域为 ，
则 ，则 ，
由于函数 在点 处切线方程为 ，即 .
（2） 的定义域为 ，
，当 时，令 ，解得： ；令 ，解得： ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以， ，即
则令 ，设 ，
令 ，解得： ；令 ，解得： ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，解得： .
17．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的最大值；
(2)证明：当 时， ．
【答案】(1)0；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用导数求出函数 的最大值.
（2）构造函数 ，利用导数求出函数值集合即可得解.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，求导得 ，
当 时， ，函数 递增，当 时， ，函数 递减，
所以当 时，函数 取得最大值 .
（2）令函数 ，求导得 ，即函数 在 上单调递增，
因此 ， ，由（1）知， 恒成立，
所以 ，即当 时， .
18．（2024·福建·模拟预测）已知函数 在 处的切线在 轴上的截距
为 ．
(1)求 的值；
(2)若 有且仅有两个零点，求 的取值范围．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）借助函数与方程的关系，可将 有且仅有两个零点转化为方程 有两个根，
构造对应函数并借助导数研究单调性及值域即可得.
【详解】（1） ， ， ，
则函数 在 处的切线为： ，
即 ，令 ，则有 ，即 ；
（2）由 ，即 ，
若 有且仅有两个零点，则方程 有两个根，
即方程 有两个根，
令 ，则 ，
则当 时， ，则当 时， ，故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，
又 时， ， 时， ，
故当 时，方程 有两个根，即 有且仅有两个零点.
19．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)若曲线 在 处的切线方程为 ，求 的值及 的单调区
间．
(2)若 的极大值为 ，求 的取值范围．
(3)当 时，求证： ．
【答案】(1) ，单调递减区间是 ，单调递增区间是
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，根据点斜式求解切线方程，即可与 对比可得 ，即
可利用导数的正负确定函数单调性，
（2）求导得 ，即可对 分类讨论求解导数的正负求解单调性，
（3）将不等式变形为只需要证明 ，构造函数
，利用导数求证 ，构造函数 和 ，
利用导数分别证明 ，即可求证 ，进而可求解.【详解】（1）由题意，得 ，所以 ．
因为曲线 在 处的切线方程为 ，
又 ，所以 ，所以 ．
所以 ．
令 ，得 ；令 ，得 ．
所以函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ．
（2）由题意得 ．
当 时，令 ，得 ；令 ，得 ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，此时 只有极小值，不符
合题意．
当 时，令 ，得 ， ．
因为 的极大值为 ，所以 ，解得 ．
综上， 的取值范围为 ．
（3）当 时， ．
要证 ，即证 ，
只需证 ．
先证： ， ．
设 ， ，则 ．
设 ， ，则 ．所以函数 在 上单调递增，则 ，即 ，
所以函数 在 上单调递增，则 ，所以 ．
再证： ， ，即证 ．
设 ，则 ．
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减．所以 ．
设 ， ，则 ．
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增．
所以 ．所以 ，即 ．
综上， 得证．
故 ．
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2023·湖南衡阳·模拟预测）若曲线 与 有三条公切线，则 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】利用导数几何意义，分别设出两条曲线的切线方程，将问题转化为一条直线与一
条曲线交点个数问题，即可求出 的取值范围.
【详解】设公切线为 是 与 的切点，由 ，得 ，
设 是 与 的切点，由 ，得 ，
所以 的方程为 ，
因为 ，整理得 ，
同理 ，
因为 ，整理得 ，
依题意两条直线重合，可得 ，
消去 ，得 ，
由题意此方程有三个不等实根，设 ，
即直线 与曲线 有三个不同的交点，
因为 ，令 ，则 ，
当 或 时， ；当 时， ，
所以 有极小值为 ， 有极大值为 ，
因为 ， ， ，所以 ，
当 趋近于 时， 趋近于0；当 趋近于 时， 趋近于 ，
故 的图象简单表示为下图:所以当 ，即 时，直线 与曲线 有三个交点.
故选：A.
2．（2023·河南·三模）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 在 处得到极大值 B． 在 处得到极大值
C． 在 处得到极小值 D． 在 处得到极小值
【答案】C
【分析】利用导数求函数极值即可.
【详解】由 ，且 ，
所以 时 ， 递减， 时 ， 递增，
所以 在 处得到极小值 .
故选：C
3．（2023·湖北·模拟预测）设函数 ，若正实数 使得存在三个两两不同的
实数 ， ， 满足 ， ， ， 恰好为一个矩形的四个顶点，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】若存在一个矩形，根据函数以及矩形的特点，可以认为以原点为圆心，
为半径长的圆与 有至少四个交点，即函数
在 上至少有两个零点，再利用导数研究极值进
而研究零点个数求出参数的取值范围.
【详解】解：已知 ，若正实数 使得存在三个两两不同的实数 ， ， ，
满足 ， ， ， 恰好为一个矩形的四个顶点，
因为 是奇函数，所以若存在一个矩形，则矩形的中心在原点，
则 在 上至少有两个根，
设 ，
则 ，
在 上 时， 或 ，
在 和 上， ，在 上 ，
所以在 和 上， 单调递增，在 上， 单调递减，
则 ， ，
根据题意 ，
当 时，有 ，解得 或 ，
此时 .
当 时，有 ，解得 或 ，此时 .
综上当 时，根据对称性存在三个两两不同的实数 ， ， ，
满足 ， ， ， 恰好为一个矩形的四个顶点.
故选： .
【点睛】已知函数的极值满足某种限制，求参数的值（范围）.一般先求导，分析函数的单
调性，表示出函数的极值，再数形结合列方程（不等式（组）），求参数的值（范围）.
4．（2024·湖北·二模）已知函数 （e为自然对数的底数）．则下列说法正
确的是（ ）
A．函数 的定义域为R
B．若函数 在 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，则
C．当 时， 可能有三个零点
D．当 时，函数的极小值大于极大值
【答案】D
【分析】对于A： ，通过求导找到零点，进而确定定义域；对于B：求出
， ， ，进而可得切线方程，从而得到面积；对于CD：求出 ，利用零
点存在定理，确定零点位置，从而得到极值，进而可判断零点个数以及极值关系.
【详解】记 ，则 ，所以 为单调递增函数，
， ，所以函数 有唯一零点 ，
因为 有意义需使 ，所以函数 的定义域为 ，所以A错误；
因为 ， ， ，所以函数 在点P处的切线方程为 ， ，
此直线与x轴、y轴的交点分别为 ， ，
由三角形的面积公式得 ，解得 或 ，所以B错误；
当 时， ，
当 时，记 ，
则 ，明显 单调递增，
而 ， ，
由零点存在定理知存在 ，使得 ，即 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
即当 时， ，所以 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，其中 ， ，
当 时，记 ， ，
所以 在 上单调递增，
， ，
由零点存在定理知存在 ，使得 ，
即当 时， ，从而有 ，
当 时， ，从而有 ，综上可知 在 上单调递增，在 上单调递碱，在 上单调递减，在
上单调递增，其中 ，且 ， ，
所以 ， ．
又因为 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，且 ，
所以 最多只有两个零点，C错误，D正确．
故选：D.
【点睛】方法点睛：1．函数零点的判定常用的方法有：
（1）零点存在性定理；（2）数形结合；（3）解方程f(x)＝0.
2．研究方程f(x)＝g(x)的解，实质就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零点．
3．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求
参数范围问题可转化为函数值域问题
二、多选题
5．（2023·安徽·一模）已知函数 ，则（ ）
A． 是奇函数
B． 的单调递增区间为 和
C． 的最大值为
D． 的极值点为
【答案】AB
【分析】根据函数奇偶性定义即可判断 是奇函数，利用导数研究函数 的单调性可知， 的单调递增区间为 和 ，单调减区间为 ，所以
无最大值，极大值点为 ，极小值点为 .
【详解】因为对 ，根据奇函数定义可知函数 是 上的
奇函数，即A正确；
令 可得 或 ，即 的单调递增区间为 和
，故B正确；
由B可知， 在 单调递增，所以 无最大值，即C错误；
由 得 ，结合选项B可知， 是函数 的极大值点，
是函数 的极小值点，极值点不是点，所以 错误.
故选：AB
6．（2024·浙江杭州·二模）过点 的直线与抛物线C： 交于 两点．抛物线
在点 处的切线与直线 交于点 ，作 交 于点 ，则（ ）
A．直线 与抛物线C有2个公共点
B．直线 恒过定点
C．点 的轨迹方程是
D． 的最小值为【答案】BC
【分析】设出直线 的方程为 ，代入 ，然后写出切线方程，结合韦达
定理可判断AB；根据B可得 的轨迹方程，从而判断C；利用弦长公式及点到直线的距离
公式表示出 ，然后利用导数的知识求出最值进而判断D.
【详解】设直线 的方程为 ，
联立 ，消去 得 ，则 ，
对于A：抛物线 在点 处的切线为 ，
当 时得 ，即 ，
所以直线 的方程为 ，整理得 ，
联立 ，消去 的 ，解得 ，即直线 与抛物线C相
切，A错误；
对于B：直线 的方程为 ，整理得 ，此时直线 恒过定点
，B正确；
对于C：又选项B可得点 在以线段 为直径的圆上，点 除外，故点 的轨迹方程是
，C正确；对于D： ，
则 ，
令 ，
则 ，
设 ，
则 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递
减，
所以 ，D错误.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：直线与抛物线联立问题
第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程．
第二步：联立方程：把所设直线方程与抛物线方程联立，消去一个元，得到一个一元二次
方程．
第三步：求解判别式 ：计算一元二次方程根的判别式 .
第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出．
第五步：根据题设条件求解问题中的结论
三、填空题
7．（2024·全国·模拟预测）函数 在定义域内为增函数，则实数
k的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用换元法整理函数解析式，根据复合函数的单调性，可得导数的不等关系，利
用导数的导数研究其最值，可得答案.
【详解】令 ，由于 在 上为增函数，
则 在 上为增函数，
所以 在 上恒成立．
令 ，由 ，得 ，
则当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
所以 ，解得 ．
所以实数k的取值范围为 ．
故答案为： .
8．（2023·江苏淮安·模拟预测）已知函数 有三个零点，则a的取值范围是
.【答案】
【分析】根据零点定义得方程后，参数分离，构造函数求值域后数形结合即可得.
【详解】由 得， ，
所以若函数 有三个零点，则方程 有三个根，
设 ，则 ，
令 得， 或 ，
当 时， ， 递减，
当 时， ， 递增，
当 时， ， 递减，
又 ，
作出函数 的大致图像，如图，
由图可知，当 时，函数 有三个零点.
故答案为： .
四、解答题
9．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数 ， .(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若方程 有三个不同的实根，求 的取值范围．
【答案】(1) 单调递增区间为 和 ，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式即可求出单调区间；
（2）由 ，可得 为 的一个根，
所以 有两个不同于 的实根，令 ，利用导数说明函数的
单调性，从而得到当 时 且 ，即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）当 时，函数 ，
则 ，令 得 或
当 或 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递增，在 上单调递减，
即当 时， 单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ．
（2） ，所以 为 的一个根，
故 有两个不同于 的实根，
令 ，则 ，
①当 时， ，故 在 上单调递增，不符合题意；
②当 时，令 ，得 ，当 时， ，故 在区间 上单调递增，
当 时， ，故 在区间 上单调递减，
并且当 时， ；当 时， ；
所以若要满足题意，只需 且 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以实数 的取值范围为
10．（2024·山西吕梁·二模）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间和极值；
(2)求 在区间 上的最大值.
【答案】(1)单调递增区间是 ，单调递减区间是 ，极大值为 ，没有极小值；
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式求出函数的单调区间与极值；
（2）求出函数的导函数 ，再分 、 、 、
四种情况讨论，得到函数 在区间 上的单调性，即可求出函数 在区间
上的最大值.【详解】（1）当 时， ，
则 ，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
故函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ，
函数 的极大值为 ，没有极小值.
（2）由题意得 .
若 ，当 时， ， 在区间 上单调递增，
此时 的最大值为 ；
若 ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
此时 的最大值为 ；
若 ，则 ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
此时 的最大值为 ；
若 ，则 ，当 时， ， 在区间 上单调递增，
此时 的最大值为 .综上可得， .
