文档内容
考点 18 导数与函数的极值、最值（2 种核心题型+基础保分
练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、
极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题．
【知识点】
1．函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝
0；而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则a叫做函数y＝f(x)的极小值
点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝
0；而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，则b叫做函数y＝f(x)的极大值
点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为 ，极小值和极大值统称为 ．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和
最小值．
(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的 ；
②将函数y＝f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个
是最小值．
常用结论
对于可导函数f(x)，“f′(x)＝0”是“函数f(x)在x＝x 处有极值”的必要不充分条件
0 0
【核心题型】
题型一 利用导数求解函数的极值问题
根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)验证：求解后验证根的合理性．
命题点1 根据函数图象判断极值
【例题1】（2024·四川广安·二模）已知函数 ，给出下列4个图象：其中，可以作为函数 的大致图象的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1】（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）如图是函数 的导函数 的图
象，下列结论正确的是（ ）
A． 在 处取得极大值 B． 是函数 的极值点
C． 是函数 的极小值点 D．函数 在区间 上单调递减
【变式2】（2023·河北·模拟预测）函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，
则下列结论正确的是（ ）A．曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率小于零
B．函数f（x）在区间（－1，1）上单调递增
C．函数f（x）在x＝1处取得极大值
D．函数f（x）在区间（－3，3）内至多有两个零点
命题点2 求已知函数的极值
【例题2】（2024·宁夏银川·一模）若函数 在 处取得极大值，则
的极小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·全国·模拟预测）函数 在区间 的极大值、极
小值分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【变式2】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知 则方程
可能有（ ）个解.
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式3】（2024·辽宁鞍山·二模） 的极大值为 ．
命题点3 已知极值(点)求参数
【例题3】（2024·全国·模拟预测）设 为函数 （其中 ）的两个不同的极值点，若不等式 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·四川绵阳·三模）若函数 有唯一极值点，则
下列关系式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·辽宁·一模）已知函数 在 处有极值8，则
等于 ．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 的极值为－2，求a的值；
(2)若m，n是 的两个不同的零点，求证： ．
题型二 利用导数求函数最值
求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函
数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．
命题点1 不含参函数的最值
【例题4】（2024·陕西·模拟预测） ，有 恒成立，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·四川·模拟预测）已知 ，若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是 .
【变式2】（2024·上海徐汇·二模）如图，两条足够长且互相垂直的轨道 相交于点 ，
一根长度为 的直杆 的两端点 分别在 上滑动（ 两点不与 点重合，轨道与
直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点 满足 ，则 面积的取值范
围是 .
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的最值．
(2)证明： （其中 为自然对数的底数）．
命题点2 含参函数的最值
【例题5】（2024·四川成都·模拟预测）已知函数 没有
极值点，则 的最大值为（ ）A． B． C． D．
【变式1】（23-24高三下·重庆·阶段练习）若过点 可以作曲线 的两条切线，则
（ ）
A． B． C． D．
【变式2】．（2024·全国·模拟预测）函数 只有3个零点 ， ，
，则 的取值范围是 ．
【变式3】（2024·北京海淀·一模）已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)若函数 存在最大值，求 的取值范围.
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2023·广西·模拟预测）函数 在 处取得极小值，则极小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．（2024·四川凉山·二模）若 ， ，则函数 的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在同一平面直角坐标系内，函数 及其导函数
的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为 ，则（ ）
A．函数 的最大值为1
B．函数 的最小值为1
C．函数 的最大值为1
D．函数 的最小值为1
4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 有 个极值点，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 在 上恰有两个极值点，
则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题6．（2024·全国·模拟预测）已知函数 在定义域内既存在极大值点又存在极
小值点，则（ ）
A． B．
C． D．对于任意非零实数 ，总存在实数 满足题意
7．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知各项都是正数的数列 的前 项和为 ，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．当 时， B．
C．数列 是等差数列 D．
三、填空题
8．（2024·上海黄浦·二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段
与分别以 为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点 是线段 上
的动点，点O为线段 的中点，点 在以 为直径的半圆弧上，且
均为直角.若 百米，则此步道的最大长度为 百米.
9．（2023·江西赣州·模拟预测）当 时，函数 取得极小值1，则
.
四、解答题
10．（2023·河南洛阳·一模）已知函数 ．(1)求 的图像在点 处的切线方程；
(2)求 在 上的值域．
11．（2024·上海静安·二模）已知 ，记 （ 且 ）．
(1)当 （ 是自然对数的底）时，试讨论函数 的单调性和最值；
(2)试讨论函数 的奇偶性；
(3)拓展与探究：
① 当 在什么范围取值时，函数 的图象在 轴上存在对称中心？请说明理由；
②请提出函数 的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明）
综合提升练
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）若函数 是 上的增函数，则实数a
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知函数 在区间 上的最小值为1，则实数a的值为（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
3．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数 有极值 ，则
（ ）
A．1 B．2 C． D．3
4．（2024·广东佛山·二模）若函数 （ ）既有极大值也有极小值，
则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·甘肃兰州·一模）已知函数 的极值点为 ，函数
的最大值为 ，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·全国·模拟预测）记函数 的导函数为 ， 的导函数为 ，则曲线
的曲率 ．则曲线 的曲率的极值点为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·北京朝阳·一模）已知 个大于2的实数 ，对任意 ，存
在 满足 ，且 ，则使得 成立的最大正整数 为
（ ）
A．14 B．16 C．21 D．23
8．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，且，则 （ ）
A．有一个极小值点，一个极大值点 B．有两个极小值点，一个极大值点
C．最多有一个极小值点，无极大值点 D．最多有一个极大值点，无极小值点
二、多选题
9．（2023·全国·模拟预测）对函数 ， 公共定义域内的任意x，若存在常数 ，
使得 恒成立，则称 和 是 伴侣函数，则下列说法正确的是
（ ）
A．存在常数 ，使得 与 是 伴侣函数
B．存在常数 ，使得 与 是 伴侣函数
C． 与 是 伴侣函数
D．若 ，则存在常数 ，使得 与 是 伴侣函数
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的极小值点为0，极大值点为
，且极大值为0，则（ ）
A． B．
C．存在 ，使得 D．直线 与曲线 有3个交点
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，其中 为自然对数的底数，
则（ ）
A．若 为减函数，则 B．若 存在极值，则
C．若 ，则 D．若 ，则
三、填空题12．（2022·广西·模拟预测）已知函数 ，则 的极小值为 .
13．（2023·广东汕头·一模）函数 的一个极值点为1，则 的极大值是
．
14．（2024·上海闵行·二模）对于任意的 ，且 ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围为 .
四、解答题
15．（2024·安徽·二模）已知函数 .
(1)求函数 在点 处的切线方程；
(2)求 的单调区间和极值.
16．（2024·海南·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，若函数 有最小值2，求 的值.
17．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的最大值；(2)证明：当 时， ．
18．（2024·福建·模拟预测）已知函数 在 处的切线在 轴上的截距
为 ．
(1)求 的值；
(2)若 有且仅有两个零点，求 的取值范围．
19．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)若曲线 在 处的切线方程为 ，求 的值及 的单调区
间．
(2)若 的极大值为 ，求 的取值范围．
(3)当 时，求证： ．拓展冲刺练
一、单选题
1．（2023·湖南衡阳·模拟预测）若曲线 与 有三条公切线，则 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河南·三模）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 在 处得到极大值 B． 在 处得到极大值
C． 在 处得到极小值 D． 在 处得到极小值
3．（2023·湖北·模拟预测）设函数 ，若正实数 使得存在三个两两不同的
实数 ， ， 满足 ， ， ， 恰好为一个矩形的四个顶点，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·湖北·二模）已知函数 （e为自然对数的底数）．则下列说法正
确的是（ ）
A．函数 的定义域为R
B．若函数 在 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，则
C．当 时， 可能有三个零点
D．当 时，函数的极小值大于极大值
二、多选题
5．（2023·安徽·一模）已知函数 ，则（ ）A． 是奇函数
B． 的单调递增区间为 和
C． 的最大值为
D． 的极值点为
6．（2024·浙江杭州·二模）过点 的直线与抛物线C： 交于 两点．抛物线
在点 处的切线与直线 交于点 ，作 交 于点 ，则（ ）
A．直线 与抛物线C有2个公共点
B．直线 恒过定点
C．点 的轨迹方程是
D． 的最小值为
三、填空题
7．（2024·全国·模拟预测）函数 在定义域内为增函数，则实数
k的取值范围为 ．
8．（2023·江苏淮安·模拟预测）已知函数 有三个零点，则a的取值范围是
.
四、解答题
9．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数 ， .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若方程 有三个不同的实根，求 的取值范围．10．（2024·山西吕梁·二模）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间和极值；
(2)求 在区间 上的最大值.
