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【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题16.7二次根式材料阅读题大题提升训练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压
轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己
的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共30小题）
1．（2022秋•驻马店期中）阅读材料：（一）如果我们能找到两个正整数 x，y使x+y＝a且xy＝b，这样
，那么我们就称 为“和谐二
√a+2√b=√ (√x) 2+(√y) 2+2√x⋅√y=√ (√x+√y) 2=√x+√y √a+2√b
次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．
例如： ．
√3+2√2=√ (√1) 2+(√2) 2+2√1⋅√2=√ (1+√2) 2=1+√2
2
（二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如 样的式子，其实我们还可以将其进
√3+1
一步化简： 2
=
2×(√3−1)
=
2×(√3−1)
=√3−
1．那么我们称这个过程为分式的分母有理
√3+1 (√3+1)(√3−1) (√3) 2 −12
化．根据阅读材料解决下列问题：
（1）化简“和谐二次根式”：①√11+2√28= ；②√7−4√3= ．
1 1 m−n
（2）已知m = ，n = ，求 的值．
√5+2√6 √5−2√6 m+n
2．（2022秋•长安区期中）求代数式a 的值，其中a＝﹣2022．下面是小芳和小亮的解题过
+√a2−2a+1
程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题．
小芳：
解：原式＝a a+1﹣a＝1
+√(a−1) 2=
小亮：
解：原式＝a a+a﹣1＝﹣4045
+√(a−1) 2=
（1） 的解法是错误的；（2）求代数式a+2 的值，其中a＝4 ．
√a2−6a+9 −√5
3．（2022秋•仪征市期中）阅读下面材料，回答下列问题：
构造法是依据问题的条件和结论给出的信息，把问题做适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，
揭示问题的本质，从而疏通解题思路的方法．构造方程是常用的一种构造方法，它能使得问题被简化，
得以迅速解决．
材料：已知 5+√21，求代数式 x2 1 的值；
x= −(1+ )
2 x−1 x2−x
分析：这道题如果将代数式化简，再直接将 x 代入求值比较困难，观察 x 的值，发现
5+√21 −(−5)+√(−5) 2−4×1×1，对比一元二次方程求根公式 −b±√b2−4ac，不难发
x= = x=
2 2×1 2a
现 x 是 方 程 x2﹣ 5x+1 ＝ 0 的 根 ， 所 以 x2 ＝ 5x﹣ 1 ， x2+1 ＝ 5x ， 所 以 原 式
5x−1 x2−x+1 5x−1 4x 5x−1 4 5(x−1)
= − = − = − = =5．
x−1 x(x−1) x−1 x(x−1) x−1 x−1 x−1
（1）以2，﹣3为根的方程可以是 ；
−√6+√2
（2）已知x= ，请用材料中的方法求代数式−x3−√6x2−x−√6的值；
2
1+√1−4a 1+√1−4a 1+√1−4a
（3）求代数式( ) 3−( ) 2+a( )−2的值．
2 2 2
1
4．（2022秋•永安市期中）在解决问题“已知a= ，求2a2﹣8a+1的值”时，小明是这样分析与解答
2+√3
的：
1 2−√3
∵a = = =2−√3
2+√3 (2+√3)(2−√3)
∴a﹣2=−√3，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3
∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
3
（1）化简： ；
√5−√2
1
（2）若a= ，求2a2+4a﹣1的值．
√2+15．（2022秋•昌平区期中）我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一
√b √b √3 √x−1
个整式时，求得的商就会出现类似 的形式，我们把形如 的式子称为根分式，例如 ， 都
a a 2 x
是根分式．
a √3 √a2+3
（1）下列式子中① ，② ，③ ， 是根分式（填写序号即可）；
a2+1 √x+1 2
√x−1
（2）写出根分式 中x的取值范围 ；
x−2
√x2−6x+7 √2x−1
（3）已知两个根分式M= ，N= ．
x−2 x−2
①若M2﹣N2＝1，求x的值；
②若M2+N2是一个整数，且x为整数，请直接写出x的值： ．
6．（2022秋•市中区期中）观察下列一组等式，解答后面的问题：
（√2+1）（√2−1）＝1，（√3+√2）（√3−√2）＝1，（√4+√3）（√4−√3）＝1，（√5+√4）
（√5−√4）＝1，
（1）根据上面的规律：
1
① = ；
√6+√5
√3−√2
② = ；
√3+√2
1 1 1 1
（2）计算：（ + + +⋯+ ）×（√2022+1）．
√2+1 √3+√2 √4+√3 √2022+√2021
1
（3）若a= ，则求a3﹣4a2﹣2a+1的值．
√2+1
7．（2022秋•隆昌市校级月考）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题：
2
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，其实我们还可以将其进一
√3+1
步化简： 2 2(√3−1) 2(√3−1) 2(√3−1) ，以上这种化简的步骤叫做分母
= = = =√3−1
√3+1 (√3+1)(√3−1) (√3) 2 −1 2
有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，
比如我们熟悉的下面这个题：已知a+b＝2，ab＝﹣3，求a2+b2.我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令x＝a+b，y＝ab，则a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝x2﹣2y＝4+6＝10．这样，我们不用求出a，b，就可以得
到最后的结果．
1 1 1 1
（1）计算： + + +⋯+ ；
√3+1 √5+√3 √7+√5 √2023+√2021
√m+1−√m √m+1+√m
（2）m是正整数，a= ，b= 且2a2+1823ab+2b2＝2019，求m；
√m+1+√m √m+1−√m
（3）已知 ，求 的值．
√15+x2−√26−x2=1 √15+x2+√26−x2
8．（2022秋•南海区期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
1
已知a= ，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：
2+√3
1 2−√3
∵a = = = 2−√3，∴a﹣2=−√3，
2+√3 (2+√3)(2−√3)
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的解析过程，解决如下问题：
1
（1） = ；
√2+1
1 1 1 1
（2）化简 + + +⋯+ ；
√2+1 √3+√2 √4+√3 √144+√143
1
（3）若a= ，求a4﹣10a3+a2﹣20a+5的值．
√26−5
1
9．（2022秋•杏花岭区校级月考）小明在解决问题：已知a= ．求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与
2+√3
解的：
1 2−√3
∵a = = = 2−√3∴a﹣2=−√3
2+√3 (2+√3)(2−√3)
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
1 1 1 1
（1）化简 + + +⋯+ ；
√2+√1 √3+√2 √4+√3 √50+√49
（2）比较√6−√5 √7−√6；（填“＞”或“＜”）
（3）A题：若a=√2+1，则a2﹣2a+3＝ ．1
B题：若a= ，则4a2﹣4√3a+7＝ ．
√3−1
10．（2022秋•高新区校级月考）阅读材料：
黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，
取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：（2+√3）（2−√3）＝1，（
√5+√2）（√5−√2）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是
1 1×√3 √3
另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如： = = ，
√3 √3×√3 3
2+√3 (2+√3)(2+√3) 7+4 ．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或
= = √3
2−√3 (2−√3)(2+√3)
把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
2
（1）4−√7的有理化因式可以是 ， 分母有理化得 ．
3√2
1 1 1 1 √3−1 √3+1
（2）计算：① + + +⋯ ．②已知：x= ，y= ，求
1+√2 √2+√3 √3+√4 √1999+√2000 √3+1 √3−1
x2+y2的值．
11．（2022秋•揭阳期中）阅读理解题：
1
已知a= ，将其分母有理化．
2+√3
小明同学是这样解答的：
1 2−√3
a= = =2−√3．
2+√3 (2+√3)(2−√3)
请你参考小明的化简方法，解决如下问题：
1
（1）计算： ；
√2+1
1 1 1 1
（2）计算： + + +⋯⋯+ ；
√2+1 √3+√2 √4+√3 √2022+√2021
1
（3）若a= ，求2a2+8a+1的值．
2−√5
12．（2022秋•南召县月考）阅读下面的材料，解答后面提出的问题：
在二次根式计算中我们常常遇到这样的情况：(2+√3)×(2−√3)=1，(√5+√2)×(√5−√2)=3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是
另一个的有理化因式．于是，二次根式的除法可以这样解：
1 1×√3 √3，2+√3 (2+√3)×(2+√3) ．
= = = =7+4√3
√3 √3×√3 3 2−√3 (2−√3)×(2+√3)
像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）4+√7的一个有理化因式是 ．
√3+√2 √3−√2 1 1
（2）已知x= ，y= ，则 + = ．
√3−√2 √3+√2 x y
1 1 1 1 1
（3）利用上面所提供的解法，请化简 + + +⋯+ + ．
1+√2 √2+√3 √3+√4 √98+√99 √99+√100
13．（2022秋•新城区校级月考）爱动脑筋的小明在做二次根式的化简时，发现一些二次根式的被开方数
是二次三项式，而且这些二次三项式正好是完全平方式的结构，于是就可以利用二次根式的性质：
a2=|a|=
{a(a≥0)，来进一步化简．
−a(a＜0)
比如： ，∴当x+1≥0即x≥﹣1时，原式＝x+1；当x+1＜0即x＜﹣1
√x2+2x+1=√(x+1) 2=|x+1|
时，原式＝﹣x﹣1．
√ 1
（1）仿照上面的例子，请你尝试化简 m2−m+ ．
4
（2）判断甲、乙两人在解决问题：“若a＝9，求 的值”时谁的答案正确，并说明理由．
a+√1−2a+a2
甲的答案：原式 ；
=a+√(1−a) 2=a+(1−a)=1
乙的答案：原式 ．
=a+√(1−a) 2=a+(a−1)=2a−1=2×9−1=17
（3）化简并求值： ，其中 ．
|x−1|+√4−4x+x2 x=√5
14．（2022秋•清水县校级月考）阅读下列材料，然后回答问题．
2
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，其实我们还可以将其进一
√3+1步化简： 2 2(√3−1) 2(√3−1) 2(√3−1) 1，以上这种化简的步骤叫做分母
= = = =√3−
√3+1 (√3+1)(√3−1) (√3) 2−1 2
有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，
比如我们熟悉的下面这个题：已知a+b＝2，ab＝−3，求a2+b2．我们可以把a+b和ab看成是一个整体，
令x＝a+b，y＝ab，则a2+b2＝（a+b）2−2ab＝x2−2y＝4+6＝10．这样，我们不用求出a，b，就可以得
到最后的结果．
1 1 1 1
（1）计算： + + +⋯⋯+ ；
√3+1 √5+√3 √7+√5 √2019+√2017
√m+1−√m √m+1+√m
（2）m是正整数，a= ，b= 且2a2+1823ab+2b2＝2019．求m．
√m+1+√m √m+1−√m
（3）已知 1，求 的值．
√15+x2−√26−x2= √15+x2+√26−x2
15．（2022春•东莞市期中）阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的
一层根号．
例如： 1 ．
√3+2√2=√3+2×1×√2=√12+2×1×√2+(√2) 2=√ (1+√2) 2= +√2
解决问题：
（ 1 ） 在 括 号 内 填 上 适 当 的 数 ：
√14+6√5=√(①)+2×3×√5+(②)=√(③) 2+2×3×√5+(④) 2=√ (3+√5) 2=
⑤，①： ，
②： ，③ ，④： ，⑤： ；
（2）根据上述思路，试将√28−10√3予以化简．
16．（2022春•交城县期中）阅读下面的材料，并解决问题．
1 √2−1
= =√2−1；
√2+1 (√2+1)(√2−1)
1 √3−√2
= =√3−√2；
√3+√2 (√3+√2)(√3−√2)
1 2−√3
= =2−√3；
2+√3 (2+√3)(2−√3)
…1
（1）观察上式并填空： = ；
√11+√10
1
（2）观察上述规律并猜想：当n是正整数时 = （用含n的式子表示）；
√n+1+√n
1 1 1
（3）请利用（2）的结论计算：( + +⋯+ )×(√361+1)．
√2+1 √3+√2 √361+√360
17．（2022春•赤坎区校级期末）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因
式，例如√a与√a，√2+1与√2−1．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘
√2 √2×√3 √6
以 分 母 的 有 理 化 因 式 的 方 法 就 可 以 了 ， 例 如 ： = = ，
√3 √3×√3 3
2 2(3+√3) 2(3+√3) 2(3+√3) 3+√3．
= = = =
3−√3 (3−√3)(3+√3) 9−3 6 3
（1）请你写出3+√11的有理化因式： ；
1−b
（2）请仿照上面的方法化简 （b≥0且b≠1）；
1−√b
1 1
（3）已知a= ，b= ，求√a2+b2+2的值．
√3−2 √3+2
18．（2022春•呼和浩特期末）（1）计算：
√18−
√9
−
√3+√6
+(√3−2) 0
；
2 √3
（2）已知 ，求代数式 的值；
x=2−√3 (7+4√3)x2+(2+√3)x+√3
2 3x2+x
（3）先化简，再求值：(3− )÷ ，其中x=√3+1．
x+1 x+1
19．（2022春•临汾期末）（1）计算：6+（√5+1）（√5−1）．
（2）下面是夏红同学对题目的计算过程，请认真阅读并完成相应的任务．
x2
题目：已知x=√2，求x+1− 的值．
x−1
(x+1)(x−1)−x2
原式= ⋯第一步
x−1
x2−1−x2
= ⋯第二步
x−1−1
= ．…第三步
x−1
把x=√2代入上式，得
−1
原式= ⋯第四步
√2−1
−1
= ⋯第五步
(√2+1)(√2−1)
＝﹣1…第六步
任务一：填空：
①在化简步骤中，第 步是进行分式的通分．
②第 步开始出错，这一错误的原因是 ．
任务二：请直接写出该题计算后的正确结果．
20．（2022春•章贡区期末）阅读并完成下面问题：
① 1 1×(√2−1) 1；
= =√2−
1+√2 (√2+1)(√2−1)
1 √3−√2
②
= =√3−√2；
√3+√2 (√3+√2)(√3−√2)
1 √5−√3 √5−√3
③ = = ．
√5+√3 (√5+√3)(√5−√3) 2
试求：
（1）下列各数中，与2−√3的积是有理数的是 ．
A．2+√3
B．2
C．√3
D．2−√3
（2）√7+√6的倒数为 ；
1
（3）若x= ，求x2﹣2x的值．
√2−1
21．（2021秋•赫山区期末）“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法．
如：√2+1 (√2+1)(√2+1) 3+2 ．
= = √2
√2−1 (√2−1)(√2+1)
除此之外，我们也可以平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．如：化简√2+√3−√2−√3．
解：设x=√2+√3−√2−√3，易知√2+√3＞√2−√3，故x＞0．
由于x2＝（ ）2＝2 2 2 2．
√2+√3−√2−√3 +√3+ −√3− √(2+√3)(2−√3)=
解得x=√2，即√2+√3−√2−√3=√2
3−2√2
根据以上方法，化简： +√3−√5−√3+√5．
3+2√2
22．（2018秋•天河区校级期中）小马在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个含根号
的式子的平方，如3+2√2=（1+√2）2，善于思考的小明进行了如下探索：
设a+b√2=（m+n√2）2，（其中a、b、m、n均为正整数）则有a+b√2=m2+2mn√2+2n2．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样，小马找到了把部分a+b√2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b√3=（m+n√3）2，用含m，n的式子分别表示a，b得，a＝
，b＝ ．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： + √3=（ +
√3）2．
（3）设x=√3+√2，试用含有x的代数式（各项系数均为有理数）来表示√2．（要写出必要过程）
23．先阅读下面的材料．再解答下面的问题．
∵（√a+√b）（√a−√b）＝a﹣b，
∴a﹣b＝（√a+√b）（√a−√b）
特别地．（√12+√11）×（√12−√11）＝1，
1
∴ =√12+√11，
√12−√11
当然也可以利用12﹣11＝1得1＝12﹣11，
故 1 (√12) 2−(√11) 2
= =√12+√11
√12−√11 √12−√11
这种变形也是将分母有理化．
利用上述的思路方法解答下列问题：
1 1 1 1 1
（1）计算： − + − + ；
3−√8 √8−√7 √7−√6 √6−√5 √5+25 4 2
（2）计算： − − ．
4−√11 √11−√7 3+√7
24．（2020春•安庆期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一
个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．
(√7−√6)(√7+√6) 1
比如：√7−√6= = ．
√7+√6 √7+√6
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较
1 1
√7−√6和√6−√5的大小可以先将它们分子有理化如下：√7−√6= ，√6−√5= ．
√7+√6 √6+√5
因为√7+√6＞√6+√5，所以，√7−√6＜√6−√5．
再例如，求y=√x+2−√x−2的最大值、做法如下：
4
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=√x+2−√x−2= ．
√x+2+√x−2
当x＝2时，分母√x+2+√x−2有最小值2．所以y的最大值是2．
利用上面的方法，完成下述两题：
（1）比较√15−√14和√14−√13的大小；
（2）求y=√x+1−√x−1+3的最大值．
25．（2020秋•吴江区期中）像√2⋅√2=2；(√3+1)(√3−1)=2；(√5+√2)(√5−√2)=3⋯两个含有二
次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．爱动脑筋的小明同学在
进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号．
1 √3 √3
（1） = = ；
2√3 2√3×√3 6
（2）√2+1 (√2+1) 2 2+2√2+1 ．
= = =3+2√2
√2−1 (√2−1)(√2+1) 2−1
勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．
（3）化简：√3+√5−√3−√5．
解：设x=√3+√5−√3−√5，易知√3+√5＞√3−√5，∴x＞0．
由：x2＝3 2．解得x ．
+√5+3−√5−2√(3+√5)(3−√5)=6−2√4= =√2
即√3+√5−√3−√5=√2．
请你解决下列问题：
（1）2√3−3√5的有理化因式是 ；3 1 1
（2）化简： + + ；
√3 √2−1 2+√3
（3）化简：√6−3√3−√6+3√3．
26．（2019秋•郫都区期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个
式子的平方，如3+2√2=（1+√2）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+√2b＝（m+√2n）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+√2b＝m2+2n2+2√2mn，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+√2b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+√6b＝（m+√6n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：
a＝ ，b＝ ；
（2）若a+4√3=（m+√3n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简： ．
√7−√21+√80
27．（2021春•长兴县月考）阅读下列材料，解答后面的问题：
在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的
一些运算．如：
①要使二次根式√a−2有意义，则需a﹣2≥0，解得：a≥2；
② 化 简 ： √ 1+ 1 + 1 ， 则 需 计 算 1 + 1 + 1 ， 而 1
n2 (n+1) 2 n2 (n+1) 2
1 1 n2 (n+1) 2+(n+1) 2+n2 n2 (n+1) 2+n2+2n+1+n2 n2 (n+1) 2+2n2+2n+1 n2 (n+1) 2+2n(n+1)+1 [n(n+1)+1] 2
+ + = = = = =
n2 (n+1) 2 n2 (n+1) 2 n2 (n+1) 2 n2 (n+1) 2 n2 (n+1) 2 n2 (n+1) 2
，
所以√
1+
1
+
1
=
√[n(n+1)+1] 2
=
n(n+1)+1
=
1+ 1 =1+ 1
−
1 ．
n2 (n+1) 2 n2 (n+1) 2 n(n+1) n(n+1) n n+1
（1）根据二次根式的性质，要使√ a+2 √a+2成立，求a的取值范围；
=
3−a √3−a
（2）利用①中的提示，请解答：如果b=√a−2+√2−a+1，求a+b的值；
（3）利用②中的结论，计算：√ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 ．
1+ + + 1+ + + 1+ + +⋯+ 1+ +
12 22 22 32 32 42 20202 2021228．（2020秋•梁平区期末）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：
(√7−√6)(√7+√6) 1
√7−√6= = ．
√7+√6 √7+√6
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
1
比 较 √7−√6和 √6−√5的 大 小 ． 可 以 先 将 它 们 分 子 有 理 化 ． 如 下 ： √7−√6= ，
√7+√6
1
√6−√5= ．
√6+√5
因为√7+√6＞√6+√5，所以√7−√6＜√6−√5．
再例如：求y=√x+2−√x−2的最大值．做法如下：
4
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=√x+2−√x−2= ．
√x+2+√x−2
当x＝2时，分母√x+2+√x−2有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较3√2−4和2√3−√10的大小；
（2）求y=√1+x−√x的最大值．
29．（2021春•朝阳区校级期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的
结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么 ．如
√a2±2ab+b2=|a±b|
何将双重二次根式 化简？我们可以把 转化为 完全平
√5±2√6 5±2√6 (√3) 2±2√6+(√2) 2=(√3±√2) 2
方的形式，因此双重二次根式 得以化简．
√5±2√6=√(√3±√2) 2=√3±√2
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若y′ { y(x≥0) ，
=
−y(x＜0)
则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的
“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．
请选择合适的材料解决下面的问题：（1）点(√2，−√3)的“横负纵变点”为 ，
点(−3√3，−2)的“横负纵变点”为 ；
（2）化简：√7+2√10；
1 ❑
（3）已知 a为常数（1≤a≤2），点 M（−√2，m）且m= (√a+2√a−1+√a−2√a−1)，点
√2
M'是点M的“横负纵变点”，则点M'的坐标是 ．
30．（2021秋•高州市期末）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2√2=（1+√2）2．
设 a+b （其中 a、b、m、n 均为正整数），则有 a+b m2+2n2+2mn ，∴a＝
√2=(m+n√2) 2 √2= √2
m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b√2的式子化为平方式的方法．
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b√3=（m+n√3）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a
＝ ，b＝ ．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + √5=（ +
√5）2；
1 1
（3）化简 −
√16−6√7 √11+4√7
