考点03等式性质与不等式性质（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）原卷版_2.2025数学总复习_2025年新高考资料_一轮复习_2025年高考数学一轮复习核心题型讲与练（完结）

考点 03 等式性质与不等式性质（3 种核心题型+基础 保分练+综合提升练+拓展冲刺练） 【考试提醒】 1. 掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用． 【知识点】 1．两个实数比较大小的方法 作差法 (a，b∈R) 2．等式的性质 性质1 对称性：如果a＝b，那么 ； 性质2 传递性：如果a＝b，b＝c，那么 ； 性质3 可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4 可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5 可除性：如果a＝b，c≠0，那么 . 3．不等式的性质 性质1 对称性：a>b⇔ ； 性质2 传递性：a>b，b>c⇒ ； 性质3 可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4 可乘性：a>b，c>0⇒ ；a>b，c<0⇒ ； 性质5 同向可加性：a>b，c>d⇒ ； 性质6 同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ ； 性质7 同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 常用结论 1．若ab>0，且a>b⇔<. 2．若a>b>0，m>0⇒<； 若b>a>0，m>0⇒>. 【核心题型】 题型一 数(式)的大小比较 比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小． 【例题1】(1)已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________． (2)若a>b>1 ，P＝aeb，Q＝bea，则P，Q的大小关系是( ) A．P>Q B．P＝Q C．P0 B．c(b－a)<0 C．cb2ac （2）（2024·河北沧州·一模）下列命题为真命题的是（ ）A． B． C． D． 【变式1】已知a>b>c>0，下列结论正确的是( ) A．2ab(a－c) C.> D．(a－c)3>(b－c)3 【变式2】(多选)若a>0>b>－a，cbc B.＋<0 C．a－c>b－d D．a(d－c)>b(d－c) 【变式3】(多选)设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的有( ) A．c20 题型三 不等式性质的综合应用 求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范 围． 【例题3】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知 ，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式1】已知实数a，b，c，满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么的取值范围是________． 【变式2】（2024·浙江·模拟预测）已知正数 满足 ，则 的取值范围为 ． 【变式3】（2024·浙江·模拟预测）对 定义一种新运算 ，规定： （其 中 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如： ， 已知 ，若关于 的不等式组 恰好有3个整数解， 则实数 的取值范围是 .【课后强化】 【基础保分练】 一、单选题 1．（2023·陕西西安·模拟预测）“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·全国·模拟预测）设 ，则（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）若 ， ， ，则a，b，c 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2024·福建龙岩·一模）下列命题正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 三、填空题 5．（2024·全国·模拟预测）已知实数 满足 ，则 的取值范围是 ． 6．（2024·河北邯郸·三模）记 表示x，y，z中最小的数．设 ， ，则 的最大值为 ． 四、解答题7．（2024·四川绵阳·二模）（1）已知a，b，x，y均为正数，求证： 并指 出等号成立的条件； （2）利用（1）的结论，求函数 的最大值，并指出取最大值时x 的值． 【综合提升练】 一、单选题 1．（2023·广东·二模）若 ，则（ ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏南通·模拟预测）已知 ，则 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西西安·一模）已知 ，则下列选项中是“ ”的充分不必要条件 的是（ ） A． B． C． D． 4．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知 ，则（ ） A． B． C． D． 5．（2023·全国·模拟预测）设 ， ， ，则下列正确的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024·河南·模拟预测）以 表示数集 中最大的数．设 ，已知或 ，则 的最小值为 ． 四、解答题 7．（2024·辽宁沈阳·一模）已知等比数列 的各项均为正数，且 . (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，求证： . 8．（2023·河北·模拟预测）已知 ， . (1)证明： ； (2)比较 与 的大小. 9．（2023·全国·模拟预测）（1）设a，b为正实数，求证： ． （2）设a，b，c为正实数，求证： ．【拓展冲刺练】 一、单选题 1．（2024·云南大理·模拟预测）若 为函数 （其中 ）的极小 值点，则（ ） A． B． C． D． 2．（2023·贵州贵阳·三模）已知正实数 分别满足 ， ， ，其中 是自然常数，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知 为实数，则下列命题成立的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 4．（2023·四川南充·一模）已知： ， ，则下列说法中错误的是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2023·广东肇庆·二模）已知正数 满足等式 ，则下列不等式中 可能成立的有（ ） A． B．C． D． 6．（2023·河北·三模）已知 ，则下列不等式成 立的是（ ） A． B． C． D． 7．（2023·河南洛阳·模拟预测）设实数 满足 ，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（2023·内蒙古赤峰·一模）已知 ， ， ，则 的大小关系是 . 9．（2023·四川凉山·一模）已知 是曲线 上的点，则 的取 值范围是 . 10．（2023·广东深圳·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，满足： ，且 ， 为方程 的两根，且 .若对于任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 . 四、解答题 11．（2023·山东潍坊·模拟预测）已知函数 ． (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)若对任意 ，都有 ，求实数k的取值范围；(3)当 时，对任意的 ，且 ，试比较 与 的大 小．