文档文本内容
考点 03 等式性质与不等式性质（3 种核心题型+基础
保分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1. 掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．
【知识点】
1．两个实数比较大小的方法
作差法 (a，b∈R)
2．等式的性质
性质1 对称性：如果a＝b，那么 ；
性质2 传递性：如果a＝b，b＝c，那么 ；
性质3 可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 可除性：如果a＝b，c≠0，那么 .
3．不等式的性质
性质1 对称性：a>b⇔ ；
性质2 传递性：a>b，b>c⇒ ；
性质3 可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；
性质4 可乘性：a>b，c>0⇒ ；a>b，c<0⇒ ；
性质5 同向可加性：a>b，c>d⇒ ；
性质6 同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ ；
性质7 同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．
常用结论
1．若ab>0，且a>b⇔<.
2．若a>b>0，m>0⇒<；
若b>a>0，m>0⇒>.
【核心题型】
题型一 数(式)的大小比较
比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
【例题1】(1)已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________．
(2)若a>b>1 ，P＝aeb，Q＝bea，则P，Q的大小关系是( )
A．P>Q B．P＝Q
C．P<Q D．不能确定
（3）(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则( )
A．a＞0＞b B．a＞b＞0
C．b＞a＞0 D．b＞0＞a
【变式1】（2024·云南贵州·二模）已知 ，则 的大关系
为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）若 ，则 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024·云南昆明·模拟预测）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
题型二 不等式的性质
判断不等式的常用方法
(1)利用不等式的性质逐个验证．
(2)利用特殊值法排除错误选项．
(3)作差法．
(4)构造函数，利用函数的单调性．
【例题2】．（1）(多选)(2023·汕头模拟)已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各
式中一定成立的是( )
A．ac(a－c)>0 B．c(b－a)<0
C．cb2<ab2 D．ab>ac
（2）（2024·河北沧州·一模）下列命题为真命题的是（ ）A． B．
C． D．
【变式1】已知a>b>c>0，下列结论正确的是( )
A．2a<b＋c B．a(b－c)>b(a－c)
C.> D．(a－c)3>(b－c)3
【变式2】(多选)若a>0>b>－a，c<d<0，则下列结论正确的是( )
A．ad>bc B.＋<0
C．a－c>b－d D．a(d－c)>b(d－c)
【变式3】(多选)设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的有( )
A．c2<cd B．a－c<b－d
C．ac<bd D.－>0
题型三 不等式性质的综合应用
求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范
围．
【例题3】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】已知实数a，b，c，满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么的取值范围是________．
【变式2】（2024·浙江·模拟预测）已知正数 满足 ，则
的取值范围为 ．
【变式3】（2024·浙江·模拟预测）对 定义一种新运算 ，规定： （其
中 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如： ，
已知 ，若关于 的不等式组 恰好有3个整数解，
则实数 的取值范围是 .【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2023·陕西西安·模拟预测）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·全国·模拟预测）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）若 ， ， ，则a，b，c
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2024·福建龙岩·一模）下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知实数 满足 ，则 的取值范围是
．
6．（2024·河北邯郸·三模）记 表示x，y，z中最小的数．设 ， ，则
的最大值为 ．
四、解答题7．（2024·四川绵阳·二模）（1）已知a，b，x，y均为正数，求证： 并指
出等号成立的条件；
（2）利用（1）的结论，求函数 的最大值，并指出取最大值时x
的值．
【综合提升练】
一、单选题
1．（2023·广东·二模）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·江苏南通·模拟预测）已知 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陕西西安·一模）已知 ，则下列选项中是“ ”的充分不必要条件
的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·全国·模拟预测）设 ， ， ，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2024·河南·模拟预测）以 表示数集 中最大的数．设 ，已知或 ，则 的最小值为 ．
四、解答题
7．（2024·辽宁沈阳·一模）已知等比数列 的各项均为正数，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求证： .
8．（2023·河北·模拟预测）已知 ， .
(1)证明： ；
(2)比较 与 的大小.
9．（2023·全国·模拟预测）（1）设a，b为正实数，求证： ．
（2）设a，b，c为正实数，求证： ．【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·云南大理·模拟预测）若 为函数 （其中 ）的极小
值点，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·贵州贵阳·三模）已知正实数 分别满足 ， ， ，其中
是自然常数，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知 为实数，则下列命题成立的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
4．（2023·四川南充·一模）已知： ， ，则下列说法中错误的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2023·广东肇庆·二模）已知正数 满足等式 ，则下列不等式中
可能成立的有（ ）
A． B．C． D．
6．（2023·河北·三模）已知 ，则下列不等式成
立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·河南洛阳·模拟预测）设实数 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
8．（2023·内蒙古赤峰·一模）已知 ， ， ，则 的大小关系是
.
9．（2023·四川凉山·一模）已知 是曲线 上的点，则 的取
值范围是 .
10．（2023·广东深圳·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，满足：
，且 ， 为方程 的两根，且 .若对于任意
，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 .
四、解答题
11．（2023·山东潍坊·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若对任意 ，都有 ，求实数k的取值范围；(3)当 时，对任意的 ，且 ，试比较 与 的大
小．
