文档内容
专题11 勾股定理中的蕴含数学思想的典型试题（原卷版）
第一部分 典例剖析
类型一 方程思想
（1）单勾股列方程
1．（2022秋•泰兴市期末）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线AB横渡，由于受水流的影响，
实际沿着BC航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现BC比河宽AB多10米，求该河的
宽度AB．（两岸可近似看作平行）
2．（2021春•全南县期中）小明将一副三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求
出其它各边的长，若已知CD＝3，求AC的长．
3．（2022秋•运城期末）如图，∠AOB=90°，OA＝18cm，OB＝6cm，一机器人在点B处看见一个小球
从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点
C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？二、双勾股方程
4．（2022秋•仪征市期中）我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这条边上高的差．如
图1，△ABC中，CD为BA边上高，边BA的“线高差”等于BA﹣CD，记为h（BA）．
（1）如图2，若△ABC中AB＝AC，AD⊥BC垂足为D，AD＝6，BD＝4，则h（BC）＝ ；
（2）若△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，则h（AC）＝ ；
（3）如图3，△ABC中，AB＝21，AC＝20，BC＝13，求h（AB）的值．
5．（2020秋•金台区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻
折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，
（1）求∠ECF的度数；
（2）若CE＝4，B′F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积．
6．如图①，现有一张三角形ABC纸片，沿BC边上的高AE所在的直线翻折，使得点C与BC边上的点
D重合．
（1）填空：△ADC是 三角形；
（2）若AB＝15，AC＝13，BC＝14，求BC边上的高AE的长；
（3）如图②，若∠DAC＝90°，试猜想：BC、BD、AE之间的数量关系，并加以证明．类型二 数形结合思想
7．（2022•锡山区）如图，数轴上点A，B分别对应2，4，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半
径画弧，交PQ于点C；以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（
）
A．4√2 B．2√5 C．5 D．3√2
8．（2022春•雁塔区校级期末）为比较√13+√6与√13+6的大小，小亮进行了如下分析后作一个直角三
角形，使其两直角边的长分别为 与 ，则由勾股定理可求得其斜边长为 ．
√13 √6 √ (√13) 2+(√6) 2=√13+6
根据“三角形三边关系”，可得√13+√6＞√13+6．小亮的这一做法体现的数学思想是（ ）
A．分类讨论思想 B．方程思想
C．类比思想 D．数形结合思想
9．（2019秋•海州区校级月考）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的
方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．
（1）探究 的几何意义：如图①，在直角坐标系中，设点M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x
√x2+ y2
轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则P点坐标为（x，0），Q点坐标为（0，y），即OP＝|x|，OQ＝|y|，在
△OPM中，PM＝OQ＝|y|，则MO ，因此， 的几何意
=√OP2+PM2=√|x|2+|y|2=√x2+ y2 √x2+ y2
义可以理解为点M（x，y）与点O（0，0）之间的距离OM．
① 的几何意义可以理解为点N （填写坐标）与点O（0，0）之间的距离N O；
√(-2) 2+32 1 1
②点N （5，﹣1）与点O（0，0）之间的距离ON 为 ．
2 2
（2）探究 的几何意义：如图②，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x﹣1，y﹣
√(x-1) 2+(y-5) 25），由探究（1）可知，A′O ，将线段A′O先向右平移1个单位，再向上平移5
=√(x-1) 2+(y-5) 2
个单位，得到线段AB，此时点A的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5），因为AB＝A′O，所以
AB ，因此 的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（1，5）之
=√(x-1) 2+(y-5) 2 √(x-1) 2+(y-5) 2
间的距离．
（3）探究 的几何意义：请仿照探究二（2）的方法，在图③中画出图形，那么
√(x+2) 2+(y-3) 2
的几何意义可以理解为点C （填写坐标）与点D（x，y）之间的距离．
√(x+2) 2+(y-3) 2
（4）拓展应用：
① 的几何意义可以理解为：点A（x，y）与点E（1，﹣4）的
√(x-1) 2+(y+4) 2+√(x+2) 2+(y+3) 2
距离与点A（x，y）与点F （填写坐标）的距离之和．
② 的最小值为 （直接写出结果）
√(x-1) 2+(y+4) 2+√(x+2) 2+(y+3) 2
类型三 分类讨论思想
10．（2019春•自贡期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2√2，AD＝2，AB⊥BC，CD⊥AD，连接
AC，点P是在四边形ABCD边上的一点；若点P到AC的距离为√3，这样的点P有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个11．（如皋市期末）已知∠MAN＝30°，点B在射线AN上，点C在射线AM上，且AB＝12．
（1）若△ABC是直角三角形，求AC的长；
（2）若BC＝8，求AC的长；
（3）要使满足条件的△ABC唯一确定，直接写出BC的长度x的取值范围．12．（2022秋•南关区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC
边上的两个动点，其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒2cm；点Q从点B出发，沿
B→C→A方向运动，速度为每秒4cm；两点同时开始运动，设运动时间为t秒．
（1）①Rt△ABC斜边AC上的高为 ；
②当t＝3时，PQ的长为 ；
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△BPQ是等腰三角形？
（3）当点Q在边AC上运动时，直接写出所有能使△BCQ成为等腰三角形的t的值．
类型四 转化思想
13．（2022秋•卧龙区校级期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂
美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ ．
1 1
14．（2019•柯桥区模拟）如图，已知在Rt△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，AE= AB，AF=
3 3
AC，分别以BE、EF、FC为直径作半圆，面积分别为S ，S ，S ，则S ，S ，S 之间的关系是（ ）
1 2 3 1 2 3
A．S
1
+S
3
＝2S
2
B．S
1
+S
3
＝4S
2
1
C．S
1
＝S
3
＝S
2
D．S
2
= （S
1
+S
3
）
3第二部分 专题提升训练
1．（2020春•长春期末）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，点B在EF上，S ＝140，S ＝
1 2
124，EB的长为 ．
2．（2021春•东昌府区期末）如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落
在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′D＝6，则BN的长是 ．
3．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝25cm，D是腰AB上一点，连接CD，且CD＝24cm，BD＝7cm．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求AB的长．
4．如图，在长方形 ABCD 中，AB＝3，BC＝2√6，点 E 是 AD 的中点，将△ABE 沿 BE 折叠后得到
△GBE，延长BG交CD于F点．
（1）求证：DF＝GF；
（2）求DF的长度．5．（2022•岳池县模拟）在劳技课上，老师请同学们在一张长为9cm，宽为8cm的长方形纸板上，剪下一
个腰长为5cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长
方形的边长上）．请你帮助同学们画出图形并计算出剪下的等腰三角形的面积．（求出所有可能的情
况）
6．设计师要用四条线段CA，AB，BD，DC首尾相接组成如图所示的两个直角三角形图案，∠C与∠D为
直角，已知其中三条线段的长度分别为1cm，9cm，5cm，第四条长为xcm，试求出所有符合条件的x的
值．
7．（2022秋•南关区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点P从点A出发，
以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求BC的长．
（2）斜边AB上的高是 ．
（3）若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为 ．
（4）在整个运动过程中，直接写出△PBC是等腰三角形时t的值．
