文档内容
考点 20 利用导数证明不等式（3 种核心题型+基础保
分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
导数中的不等式证明是高考的常考题型，常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相
结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同
的题目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果
【核心题型】
题型一 将不等式转化为函数的最值问题
待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对
复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值
即可得证．
【例题1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知 ，下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2024·全国·模拟预测）下列正确结论的个数为（ ）
① ② ③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】（2024·四川成都·三模）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设 ，且 是 的极值点，证明： .【变式3】（2024·四川成都·三模）已知函数 .
(1)若 ，证明： ；
(2)若函数 在 内有唯一零点，求实数 的取值范围.
题型二 将不等式转化为两个函数的最值进行比较
若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以
传递的中间量，达到证明的目标．本例中同时含ln x与ex，不能直接构造函数，把指数与
对数分离两边，分别计算它们的最值，借助最值进行证明．
【例题2】（2023·河南开封·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·浙江杭州·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，证明： ；
(2)当 时， ，求 的最大值；
(3)若 在区间 存在零点，求 的取值范围.【变式3】（2024·贵州黔西·一模）已知函数 .
(1)判断 的单调性;
(2)证明: .
题型三 适当放缩证明不等式
导数方法证明不等式中，最常见的是ex和ln x与其他代数式结合的问题，对于这类问题，
可以考虑先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩
公式如下：
(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；
(2)ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号．
【例题1】（2024·河北沧州·一模）已知等比数列 的前 项和为 ，则数列 的公比 满足（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2024·广东·模拟预测）令 ．则
的最大值在如下哪个区间中（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）设整数 ， 且 ，函数
．
(1)证明： ；
(2)设 ，证明： ；
(3)设 ，证明： ．
【变式3】（23-24高三下·河南·阶段练习）已知函数 ， 且
．
(1)讨论 的单调性；(2)比较 与 的大小，并说明理由；
(3)当 时，证明： ．
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（22-23高三上·四川绵阳·开学考试）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·陕西咸阳·三模）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．C． D．
3．（23-24高三上·云南保山·期末）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（23-24高三上·广西百色·阶段练习）函数 的两个极值点分别是
，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·福建·模拟预测）机械制图中经常用到渐开线函数 ，其中 的单位
为弧度，则下列说法正确的是（ ）
A． 是偶函数
B． 在 上恰有 个零点（ ）
C． 在 上恰有 个极值点（ ）
D．当 时，
三、填空题
7．（2023·海南·模拟预测）已知函数 ， ，若对任意 ，
恒成立，则实数 的取值范围是 .
8．（2023·河南开封·模拟预测）实数x，y满足 ，则 的值为 ．
四、解答题9．（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数 .
(1)求 的最小值；
(2)证明： .
10．（2024·广东佛山·二模）已知 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 有两个极值点 ， ，证明： .
11．（2023·四川成都·二模）已知函数 .
(1)求 在 处的切线方程；
(2)若 是 的最大的极大值点，求证： .
综合提升练
一、单选题
1．（22-23高三上·河南·阶段练习）若 ，其中 ，则（ ）A． B． C． D．
2．（2023·福建·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河北衡水·三模）若 ， ， 则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·新疆·三模）已知数列 中， ，若 （ ），则下列结论
中错误的是（ ）
A． B．
C． （ ） D．
5．（2023·河南·模拟预测）设a，b为正数，且 ，则（ ）.
A． B． C． D．
6．（2024·上海虹口·二模）已知定义在 上的函数 的导数满足 ，
给出两个命题：
①对任意 ，都有 ；②若 的值域为
，则对任意 都有 .
则下列判断正确的是（ ）
A．①②都是假命题 B．①②都是真命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①是真命题，②是假命题7．（2024·四川泸州·三模）已知 ， ，给出下列不等式
① ；② ；③ ；④
其中一定成立的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2024·四川攀枝花·三模）已知正数 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·福建龙岩·二模）已知函数 （ ）有两个零点，分别记为 ，
（ ）；对于 ，存在 使 ，则（ ）
A． 在 上单调递增
B． （其中 是自然对数的底数）
C．
D．
10．（2023·河南信阳·模拟预测）已知 ，满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·河北沧州·一模）已知函数 与函数 的图象相交于
两点，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．三、填空题
12．（2023·四川成都·三模）已知函数 ， .当 时，
，则实数 的取值范围为 ．
13．（23-24高三下·广东云浮·阶段练习）若实数 ， 满足 ，则
．
14．（2024·全国·模拟预测）若实数a，b，c满足条件： ，则
的最大值是 ．
四、解答题
15．（2024·青海西宁·二模）已知函数 ．
(1)若 ，求 的极值；
(2)若 ，求证： ．
16．（2024·山东济南·二模）已知函数
(1)讨论 的单调性；
(2)证明： .
17．（2024·上海松江·二模）已知函数 （ 为常数），记 .(1)若函数 在 处的切线过原点，求实数 的值；
(2)对于正实数 ，求证： ；
(3)当 时，求证： .
18．（2024·上海嘉定·二模）已知常数 ，设 ，
(1)若 ，求函数 的最小值；
(2)是否存在 ，且 ， ， 依次成等比数列，使得 、 、
依次成等差数列？请说明理由．
(3)求证：“ ”是“对任意 ， ，都有
”的充要条件．19．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 ，讨论 的单调性．
(2)若 ， ，求证： ．
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2023·上海奉贤·二模）设 是一个无穷数列 的前 项和,若一个数列满足对任意的
正整数 ,不等式 恒成立,则称数列 为和谐数列,有下列3个命题:
①若对任意的正整数 均有 ,则 为和谐数列;
②若等差数列 是和谐数列,则 一定存在最小值;
③若 的首项小于零,则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．
以上3个命题中真命题的个数有( )个
A．0 B．1 C．2 D．32．（2023·新疆乌鲁木齐·三模）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖南长沙·一模）已知 ， ， ，则a，b，c的大
小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·青海·二模）定义在 上的函数 满足 ，
是函数 的导函数，以下选项错误的是（ ）
A．
B．曲线 在点 处的切线方程为
C． 在 上恒成立，则
D．
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知 为正项数列 的前n项和，且 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题7．（2023·浙江温州·二模）已知函数 ，则 的最小值是
；若关于 的方程 有 个实数解，则实数 的取值范围是 .
8．（2023·福建福州·模拟预测）已知定义在 上函数 满足： ，
写出一个满足上述条件的函数 .
四、解答题
9．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数 ，
(1)求 的最小值；
(2)证明： .
10．（2024·四川攀枝花·三模）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)设函数 的导函数为 ，若 ，证明：
．11．（2024·山西晋城·二模）已知函数 （ ）．
(1)若 ，求 的图象在 处的切线方程；
(2)若 对于任意的 恒成立，求a的取值范围；
(3)若数列 满足 且 （ ），记数列 的前n项和为 ，求证：
．
