文档内容
考点 01 集合（4 种核心题型+基础保分练
+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合
间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、
集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．
【知识点】
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：____________、____________、____________.
(2)元素与集合的关系是________或________，用符号______或________表示．
(3)集合的表示法：__________、____________、____________.
(4)常见数集的记法
非负整数集
集合 正整数集 整数集 有理数集 实数集
(或自然数集)
符号 N*(或N )
＋
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中____________都是集合B中的元
素，就称集合A为集合B的子集，记作________(或B⊇A)．
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且________，就称集合A是集合B的
真子集，记作________(或BA)．
(3)相等：若A⊆B，且________，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是________________的子集，是
________________________的真子集．
3．集合的基本运算
表示
集合语言 图形语言 记法
运算
并集
交集
补集常用结论
1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．
2．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
【核心题型】
题型一 集合的含义与表示
解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条
件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
【例1】下列四组集合中表示同一集合的为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【变式1】已知集合 ，若下列三个关系有且只有一个正确：① ；
② ；③ ，则 （ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
【变式2】（23-24高三下·江西·阶段练习）已知 ，若 ，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知集合 ，
，则集合 的非空子集个数为（ ）
A．4 B．3 C．8 D．7
题型二 集合间的基本关系
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造
成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，
进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
【例2】在集合 的子集中，含有3个元素的子集的个数为 .【变式1】（2024·海南·模拟预测）已知集合 ，若 ，则
.
【变式2】集合 ， ，且 ，则实数 ．
【变式3】若集合 ，则实数a的值的集合为 ．
题型三 集合的基本运算
命题点1 集合的运算
【例3】（23-24高三下·江西·阶段练习）已知集合 ，
集合 ，则 （ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【变式1】（2024·云南红河·二模）设集合 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知
则 （ ）
A． B． C． D．
命题点2 利用集合的运算求参数的值(范围)
对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集
合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
【例4】（2024·四川凉山·二模）已知集合 ， ，
若 ，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知集合 ， ，若
中有2个元素，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】．已知集合 ， 或 ，
．
(1)求 ；
(2)若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
题型四 集合的新定义问题
解决集合新定义问题的关键
解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所
给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．
【例5】（23-24高三下·上海·阶段练习）对于全集R的子集A，定义函数
为A的特征函数．设A，B为全集R的子集，下列结论中错误的是（
）
A．若 ，则 B．
C． D．
【变式1】（2024·河南·模拟预测）定义 ，若集合，则A中元素的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式2】（2024·黑龙江·二模）已知集合 ， ，定义集合：
，则集合 的非空子集的个数是（ ）个．
A．16 B．15 C．14 D．13
【变式3】已知实数集 满足条件:若 ，则 ，则集合 中所有元素的乘积
为（ ）
A．1 B． C． D．与 的取值有
关
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．下列说法中正确的是（ ）
A．1与 表示同一个集合
B．由1，2，3组成的集合可表示为 或
C．方程 的所有解的集合可表示为
D．集合 可以用列举法表示
2．（2024·福建厦门·二模）设集合 ，
，那么集合 中满足
的元素的个数为（ ）
A．60 B．100 C．120 D．130
3．集合 的子集的个数是（ ）
A．16 B．8 C．7 D．44．（2024·浙江·模拟预测）已知全集
，则
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）设 ， ， ， 为集合 的 个不同
子集，为了表示这些子集，作 行 列的数阵，规定第 行第 列的数为 ．
则下列说法中正确的是（ ）
A．数阵中第一列的数全是0，当且仅当
B．数阵中第 列的数全是1，当且仅当
C．数阵中第 行的数字和表明集合 含有几个元素
D．数阵中所有的 个数字之和不超过
6．（2024高三·全国·专题练习）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到
1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数
(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为
“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分
割，是指将有理数集 划分为两个非空的子集M与N，且满足 ，
，M中的每一个元素小于 中的每一个元素，则称 为戴德金分割．
试判断下列选项中，可能成立的是（ ）
A． ， 是一个戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M没有最大元素，N也没有最小元素三、填空题
7．已知集合 ，且 ，则 ．
四、解答题
8．已知集合 ， ，全集 ，且 ，
(1)求集合 ；
(2)求 .
9．已知集合 ， .
(1)求 及 ；
(2)求 .
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合 ，
若 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知全集 ，集合
，则 （ ）A． B． C． D．
3．（23-24高三下·湖北·阶段练习）已知集合 ， ，若定义集合运算：
，则集合 的所有元素之和为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．0
4．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
5．设全集 ，集合 ．集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2024·陕西咸阳·二模）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
7．已知集合 是由某些正整数组成的集合，且满足：若 ，则当且仅当
（其中正整数 、 且 ）或 （其中正整数 、 且 ）．现
有如下两个命题：① ；②集合 ．则下列判断正确的是（ ）
A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错
8．已知函数 ， 为高斯函数，表示不超过实数 的最大整数，例如
， .记 ， ，则集合 ， 的关系是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．若全集 ， ， ，则集合 等于（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·辽宁辽阳·一模）已知集合 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
11．已知集合 满足 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若 ，则 中的元素的个数为1
B．若 ，则 中的元素的个数为15
C．若 ，则 中的元素的个数为45
D．若 ，则 中的元素的个数为78
三、填空题
12．已知集合 ， ，若 ，则 的最大值为
．
13．（2024·广东湛江·一模）已知全集 为实数集 ，集合 ，
，则 ．
14．（2024·辽宁·一模）已知集合 ， ，则 ， .
四、解答题
15．（2024高三·全国·专题练习）已知集合A＝{x|x2－2x＋a＝0}，B＝{1，2}，且
A B，求实数a的取值范围．
⊆
16．（2024高三·全国·专题练习）已知集合A＝{x|x2－4x－5≤0}，B＝{x|2x－6≥0}，M
＝A∩B.
(1)求集合M；
(2)已知集合C＝{x|a－1≤x≤7－a，a∈R}，若M∩C＝M，求实数a的取值范围．
17．已知 为实数，设集合 ．
(1)设集合 ，若 ，求实数 的取值范围．
(2)若集合 ，求实数 的取值范围；
18．对于集合 ，定义函数 ．对于两个集合 ，定义集合
．已知集合 ．
(1)求 与 的值；
(2)用列举法写出集合 ；(3)用 表示有限集合 所包含元素的个数．已知集合 是正整数集的子集，
求 的最小值，并说明理由.
19．对于数集 ，其中 ， ，定义向量集
，若对任意 ，存在 ，使得 ，则称X
具有性质P．
(1)设 ，请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）．
(2)若 ，且集合 具有性质P，求x的值；
(3)若X具有性质P，且 ，q为常数且 ，求证： ．
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2023·上海宝山·一模）已知集合 是由某些正整数组成的集合，且满足：若 ，则当且仅当 其中 且 ，或 其中 且
.现有如下两个命题: ① ；②集合 .则下列选项中正确
的是（ ）
A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题
C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题.
2．已知函数 ，若非空集合
，满足 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三上·上海·期中）设 且 ，n为正整数，集合
．有以下两个命题：①对任意a，存在n，使得集合S中至少有2
个元素；②若存在两个n，使得S中只有1个元素，则 ，那么（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是假命题 D．①、②都是真命题
二、多选题
6．设集合 是实数集 的子集，如果点 满足：对任意 ，都存在 ，使得 ，称 为集合 的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有
（ ）
A． B．
C． D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．已知集合 ， ，则
B．终边落在 轴上的角的集合可表示为
C．若 ，则
D．在 中，若 ，则 为等腰三角形
三、填空题
8．（23-24高三下·上海·开学考试）已知集合 ，集合
，若 ，则实数 的取值范围为 .
9．（2024·四川遂宁·二模）已知等差数列 的公差为 ，集合
有且仅有两个元素，则这两个元素的积为 ．
10．（23-24高三上·江西·期末）定义：有限集合 ，
则称 为集合 的“元素和”，记为 .若集合
，集合 的所有非空子集分别为 ， ，…， ，
则 .
四、解答题11．设自然数 ，由 个不同正整数 构成集合 ，若
集合 的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合 ，记 为集合 元素的
个数
(1)已知集合 ，集合 ，分别求解 ．
(2)对于集合 ，若 取得最大值，则称该集合 为“极异集
合”
①求 的最大值（无需证明）．
②已知集合 是极异集合，记 求证：数列 的前 项和
．
12．（23-24高三下·北京·阶段练习）设k是正整数，A是 的非空子集（至少有两个
元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有 ，则称A具有性质 ．
(1)试判断集合 和 是否具有性质 ？并说明理由．
(2)若 ．证明：A不可能具有性质 ．
(3)若 且A具有性质 和 ．求A中元素个数的最大值．13．（2024·北京·模拟预测）已知集合 ，其中 都是
的子集且互不相同，记 的元素个数， 的元素个数
.
(1)若 ，直接写出所有满足条件的集合 ；
(2)若 ，且对任意 ，都有 ，求 的最大值；
(3)若 且对任意 ，都有 ，求 的最大值.
