文档内容
考点 11 指数与指数函数（3 种核心题型+基础保分练+综合
提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、
特殊点等性质，并能简单应用．
【知识点】
1．根式
(1)一般地，如果xn＝a，那么 叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子叫做 ，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)()n＝ .
当n为奇数时，＝ ，
当n为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂： ＝ (a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂： ＝ ＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ ；(ar)s＝ ；(ab)r＝ (a>0，b>0，r，s∈Q)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域
是 .
(2)指数函数的图象与性质
a>1 00时， ； 当x<0时， ；
当x<0时， 当x>0时，在(－∞，＋∞)上是_______ 在(－∞，＋∞)上是_______
常用结论
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，.
2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即
在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
【核心题型】
题型一 指数幂的运算
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注
意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
【例题1】（2024·广东·模拟预测）若 ，则 ．
【变式1】（2024高三下·全国·专题练习）已知函数 ，则
．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 则 ．
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）化简下列各式：
（1） =
（2） （ =（3 设 ，则 的值为
题型二 指数函数的图象及应用
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸
缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
【例题2】（2024高三·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ ，y＝log
a
（x＋ ）（a＞0，且a≠1）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（23-24高三下·江西·开学考试）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数 ，对数函数 的图
象如图所示，则下列关系成立的是（ ）A． B．
C． D．
【变式3】（2024·四川·模拟预测）已知函数 ， ， 在同一平面直角坐
标系的图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
题型三 指数函数的性质及应用
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小
还可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、
最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．
命题点1 比较指数式大小
【例题3】（2024·甘肃武威·模拟预测）设 ，则 的
大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则 的大小关系
为（ ）A． B． C． D．
【变式2】（2024·北京房山·一模）已知 ，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）若 ，则有
（ ）
A． B．
C． D．
命题点2 解简单的指数方程或不等式
【例题4】（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）若函数 （ 且 ）在区
间 上的值域为 ，则实数 的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【变式1】（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数 ，若
恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·山东菏泽·三模）已知函数 ，若 ，不等式
恒成立，则正实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）若集合 ，集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
命题点3 指数函数性质的综合应用
【例题5】（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知函数 是奇函数.
(1)求 的值；
(2)求 在 上的值域.
【变式1】（23-24高三上·广东茂名·阶段练习）若函数 的图象恒经过定
点 ．
(1)求 的值；
(2)当 在 上是增函数，求a的范围．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围．【变式3】（23-24高三上·江苏淮安·期中）已知不等式 .
(1)求不等式的解集 ；
(2)若当 时，不等式 总成立，求 的取值范围.
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024·四川绵阳·二模） 的展开式中，x的系数为（ ）
A． B． C．5 D．10
2．（2024·内蒙古包头·一模）已知 是奇函数，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（23-24高三上·广东梅州·期中）计算： （ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三下·全国·专题练习）已知 ，设函数
的最大值是 ，最小值是 ，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题5．（23-24高三上·福建漳州·阶段练习）小明同学对函数 且 进得
研究，得出如下结论，其中正确的有（ ）
A．函数 的定义域为 B．函数 有可能是奇函数，也有可能是
偶函数
C．函数 在定义域内单调递减 D．函数 不一定有零点
6．（2024·山东临沂·一模）已知函数 ，则（ ）
A． 的定义域为
B． 的值域为
C．当 时， 为奇函数
D．当 时，
三、填空题
7．（2023·上海金山·一模）若 时，指数函数 的值总大于1，则实数 的
取值范围是 .
8．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）设 ，用 表示不超过 的最大整数，则
称为高斯函数.例如： ， .已知函数 ，则
，函数 的值域为 .
四、解答题
9．（2024高三·全国·专题练习）画下列函数图像
(1) ；(2) .
10．（2024高三·全国·专题练习）化简：
(1) ；
(2)
11．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数 ， .
(1)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围；
(2)若不等式 ，对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
12．（23-24高三上·河南郑州·阶段练习）已知函数 ， ，
，其中 均为实数.
(1)若函数 的图像经过点 ， ，求 的值;
(2)如果函数 的定义域和值域都是 ，求 的值.
(3)若 满足不等式 ，且函数 在区间 上有最小值 ，求实数a的值.综合提升练
一、单选题
1．（2023·广东珠海·模拟预测）已知 且 ，下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知 为奇函数，则 （ ）
A． B． C．2 D．-2
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若 ，
则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江苏南通·二模）已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2023·江西南昌·三模）设函数 ， ，若存在实数
满足：① ；② ，③ ，则 的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
6．（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）函数 且 的图象恒过定点
，若 且 ，则 的最小值为（ ）
A．9 B．8 C． D．
7．（23-24高三上·云南楚雄·期末）设 的小数部分为x，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
8．（23-24高三上·河南郑州·阶段练习）下列结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2024·广西柳州·三模）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24高三上·浙江温州·期末）已知函数 ，则（ ）
A．不等式 的解集是
B． ，都有
C． 是R上的递减函数
D． 的值域为
11．（22-23高三上·河北邯郸·期中）设函数f(x)＝ ，则下列结论正确的是（ ）A．|f(x)|是偶函数 B．-f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数
三、填空题
12．（2024·北京房山·一模）若对任意 ，函数 满足 ，且当
时，都有 ，则函数 的一个解析式是 ．
13．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，则 ．
14．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数 ，存在实数
使得 成立，若正整数 的最大值为8，则正实数 的取值范围是 .
四、解答题
15．（23-24高三上·内蒙古通辽·阶段练习）求值或化简
(1)计算： ；
(2)化简（用分数指数幂表示）：
16．（2023高三·全国·专题练习）已知 的图象，指出下列函数的图象是由 的
图象通过怎样的变换得到的.
(1) ；
(2) ；(3) ；
(4) .
17．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知幂函数 在 上单
调递减，函数 ．
(1)求 的值；
(2)记集合 ，集合 ，若 ，求实
数 的取值范围．
18．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）解不等式：
(1) ．
(2) ．19．（23-24高三下·全国·自主招生） ，
求
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2024·宁夏固原·一模）已知函数 的部分图像如图所示，则 的解析式可能为
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·河北沧州·一模）下列命题为真命题的是（ ）
A． B．C． D．
3．（2024·陕西西安·一模）已知函数 为偶函数，满足 ，且
时， ，若关于 的方程 至少有两解，则
的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数 ， ，且
，则（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）若 ，x， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
二、多选题
6．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知函数 是奇函数或偶函数，则
的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
7．（2024高三·全国·专题练习）下列大小关系正确的是．（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）函数 的最小值为
.
四、解答题
9．（23-24高三上·河北石家庄·期末）已知函数 ．
(1)若函数 的值域为 ，求 的取值范围；
(2)若过点 可以作曲线 的两条切线，求 的取值范围．10．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数 ，
.
(1)若 的值域为 ，求满足条件的整数 的值；
(2)若非常数函数 是定义域为 的奇函数，且 ， ，
，求 的取值范围.
