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专题13 一线三等角模型证相似
1．如图，在边长为 的等边 中， 为 上一点，且 ， 在 上，
，则 的长为 ．
A． B． C．7 D．6
【解答】解： 是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选： ．
2．如图，边长为 的正方形 中，有一个小正方形 ，其中 、 、 分别在 、
、 上，若 ，则小正方形的面积等于 ．【解答】解： 正方形 的边长为 ， ，
四边形 和 均为正方形
，
小正方形的面积等于：
故答案为： ．
三．解答题（共15小题）
3．已知等边 ， ， 分别在边 、 上，将 沿 折叠， 点落在 边上的
处．
（1）求证： ；
（2）若 时，求 ．【解答】解：（1）证明： 等边
将 沿 折叠， 点落在 边上的 处．
又
；
（2）
设 ，则 ，
翻折，
设 ，
， ，
由 得：
①
由 得：
②
由①②解得： ，．
4．如图有一块三角尺， ， ， ， ，用一张面积最小的正方形纸
片将这个三角尺完全覆盖．求出这个正方形的面积．
【解答】解： ， ， ，
，
，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，
，
，
，，
答：这个正方形的面积为： ．
5．已知：如图， 是等边三角形，点 、 分别在边 、 上， ．
（1）求证： ；
（2）如果 ， ，求 的长．
【解答】（1）证明： 是等边三角形，
， ，
， ，
；
（2）解：由（1）证得 ，
，
设 ，则 ，
，或 ，
或 ．
6．如图，在矩形 中， ， ， 是边 上的任意一点 与 、 不重合），
作 ，交 于点 ．
（1）判断 与 是否相似，并说明理由．
（2）连接 ，若 ，试求出此时 的长．
【解答】解：（1） 与 相似，理由如下：
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
；
（2）连接 ，如图所示：
由（1）知 ，
，
，
，，
，
，
在矩形 中， ， ，
， ，
．
7．如图1，在 中， ， ，点 在 边上从 向 运动．以 为
顶点作 ，射线 交 边于点 ，过点 作 交射线 于点 ，连接 ．
（1）求证： ．
（2）当 时（如图 ，求 和 的长．
（3）设点 在 边上从 向 运动的过程中，直接写出点 运动的路径长．
【解答】（1）证明： ，
，
又 ，
，
， ，
，
；
（2）解：如图，过点 作 交 于点 ，， ，
，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
由（1）得 ，
，
，
，
过点 作 于点 ，
，
，，
，
，
，
，
， ；
（3）解： 点随着 点的运动而运动， 在线段 上，
点的轨迹也是一条线段，如图，
当 与 点重合时， 点在 的位置， ，
当 点与 点重合时， 点在 的位置， ， 为 点的运动路径，
，
， ， ，
，
即 ，
，
在 中， ，，
，
，
即 ，
， ，
，△ 是等腰三角形，
，△ 与 都是等腰三角形，
△ ，
，
由（2）得 ，
，
，
点 运动的路径长为 ．
8．在 中，点 、 在边 上，点 在边 上，连接 、 ， ，
（1）如图1，点 、 重合， 时
①若 平分 ，求证： ；
②若 ，则 或 ；
（2）如图2，点 、 不重合．若 ， ， ，求 的值．【解答】解：（1）① ，
，
平分 ，
，
，且 ，
，且 ，
，
，
；
②如图1，过 作 于 ，过 作 ，交 于 ，
，
，
设 ， ，则 ，
，
，
，
， ，
，
，，
，
，
，即 ，
设 ，则 ，
，
，
，
或 ，
或 ，
故答案为： 或 ；
（2）如图2，过 作 ，交 于 ，过 作 于 ，过 作 ，交
于 ，
， ，
，
，
，
设 ， ，
， ，
，
，
，，
，
，
同理由（1）得： ，
，即 ，
，
中， ，
，
， ，
，
，
．
9．已知：在 中， ， ，且点 ， 分别在矩形 的边 ， 上．
（1）如图1，填空：当点 在 上，且 ， ，则 ；
（2）如图2，若 是 的中点， 与 相交于点 ，连接 ，求证： ；
（3）如图3，若 ， ， 分别交 于点 ， ，求证： ．
【解答】（1）解： ，
，，
，
又 ， ，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2）证明：延长 、 交于点 ，
点 为 的中点，
，
，
， ，
，
，
，
，
；
（3）证明：如图，过点 作 交 的延长线于 ，，
同（1）同理得， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
，
，
，
，
．
10．在 中， ， ，点 为直线 上一动点（不与点 、
重合），连接 ，将线段 所在的直线绕点 顺时针旋转 得到直线 ，再将线段 所在
的直线绕点 顺时针旋转 得到直线 ，直线 与直线 相交于点 ．
（1）当点 在线段 上，当 时，如图1，直接判断 的大小；（2）当点 在线段 上，当 时，如图2，试判断线段 的大小，并说明理由；
（3）当点 在直线 上，当 ， ， 时，请利用备用图探究 面积的
大小（直接写出结果即可）．
【解答】解：（1）如图1，连接 ，
， ，
是等边三角形，
，
将线段 所在的直线绕点 顺时针旋转 得到直线 ，再将线段 所在的直线绕点 顺时
针旋转 得到直线 ，
，
点 ，点 ，点 ，点 四点共圆，
，
是等边三角形，
， ，
，，
，
，
；
（2） ，理由如下：
如图2，连接 ，
， ，
，
将线段 所在的直线绕点 顺时针旋转 得到直线 ，再将线段 所在的直线绕点 顺
时针旋转 得到直线 ，
，
点 ，点 ，点 ，点 四点共圆，
，
，
，
又 ，
，；
（3） ，
点 不在线段 上，
当点 在点 的右侧时，如图3，过点 作 于 ，
， ， ，
， ，
，
，
， ，
，
由（2）可知 ，
，
，
， ，
，
；当点 在点 的左侧时，如图4，过点 作 于 ，
， ， ，
， ，
，
，
， ，
，
由（2）可知 ，
，
，
， ，
，
；
综上所述： 面积为 或 ．
11．如图，在 中，已知 ， ，且 ，将 与 重合
在一起， 不动， 运动，并满足：点 在边 上沿 到 的方向运动，且 始终经过点 ， 与 交于 点．
（1）求证： ；
（2）当 时，
①求 的长；
②直接写出重叠部分的面积；
（3）在 运动过程中，当重叠部分构成等腰三角形时，求 的长．
【解答】（1）证明： ，
，
，
，
，
，
；
（2）①当 时，
，
，
，
，
，
， ，
， ， ，
，
在 中， ，
，，
；
②在 中， ，
，
重叠部分的面积为 ；
（3）①当 时， ，
，
，
②当 时，则 ，
，即 ，
，
，
，
，
；
③当 时，点 与点 重合，即 ，此时重叠部分图形不能构成三角形；
或 ．
12．如图，直线 与双曲线 的交点为 ，与 轴的交点为 ．（1）求 的度数；
（2）求 的长；
（3）已知点 为双曲线 上的一点，当 时，求点 的坐标．
【解答】解：（1）设直线 与 轴交于点 ，如图所示：
当 时， ．即点 ．
当 时， ，即点 ．
．
．
．
（2）过点 作 轴，垂足为 ，如图所示．设点 坐标为： ．且 ．
， ．
．
．
．即： ．
或 （舍 ．
．
．
即： ．
（3）过 作 ，点 在 轴上，再过点 作 于 点，如图所示．
设 ， ．．
．
．
．
，且 是 一内角的外角．
．
．
即： ．
．
．
．
．
13．【感知】如图①，在正方形 中， 为 边上一点，连结 ，过点 作 交
于点 ．易证： ．（不需要证明）
【探究】如图②，在矩形 中， 为 边上一点，连结 ，过点 作 交 于点
．
（1）求证： ．
（2）若 ， ， 为 的中点，求 的长．
【应用】如图③，在 中， ， ， ． 为 边上一点（点 不与
点 、 重合），连结 ，过点 作 交 于点 ．当 为等腰三角形时，
的长为 或 2 ．【解答】【探究】（1）证明： 四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
又 ，
；
（2）解： 为 的中点，
，
由（1）知 ，
，
即 ，
；
【应用】解：如果 ，则 ， ，则点 与点 重合，点
与点 重合，不符合题意，
②如果 ，则 ，
为 的外角，
，
， ，
，
，
，
，又 ， ，
，
，
， ， ，
，
；
如果 ，则 ，
，
在 中， ，
，
，
又 ，
点 为 的中点，
，
综上， 的长为 或2，
故答案为： 或2．
14．如图1，已知正方形 在直线 的上方， 在直线 上， 是射线 上一点，以
为边在直线 的上方作正方形 ．
（1）连接 ，观察并猜测 的值，并说明理由；
（2）如图2，将图1中正方形 改为矩形 ， ， ， 为常数）， 是
射线 上一动点（不含端点 ，以 为边在直线 的上方作矩形 ，使顶点 恰好落
在射线 上，当点 沿射线 运动时，请用含 ， 的代数式表示 的值．【解答】解：
（1） ，
理由是：如图1，作 于 ，
，
， ，
，
在 和 中
，
，
， ，
，
，
；（2）如图（2）作 于 ．
由已知可得 ，
结合（1）易得 ，
又 在射线 上，
，
在 和 中
，
，
， ，
，
， ，
，
在 中， ，
当点 沿射线 运动时， ．
15．如图1，在矩形 中， ， ，点 是 边上的动点，点 从点 出发，
运动到点 停止， 是 边上一动点，在运动过程中，始终保持 ，设 ，
．
（1）直接写出 与 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围 ；（2）先完善表格，然后在平面直角坐标系中（如图 利用描点法画出此抛物线，直接写出
；
2 3 4 5 6 7 8
2 3 3 2
（3）结合图象，指出 、 在运动过程中，当 达到最大值时， 的值是 ；并写出在
整个运动过程中，点 运动的总路程 ．
【解答】解：（1） 四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，点 是 边上的动点，点 从点 出发，运动到点 停止，
，
故答案为： ；
（2）当 时，代入 中得：
，
故答案为： ，
画出的抛物线如图所示：
（3） ，
，
，
当 时， 最大 ，
当 达到最大值时， 的值是5；
，
在整个运动过程中，点 运动的总路程为 ，
故答案为：5， ．16．【基础巩固】
（1）如图1，在 中， ，直线 过点 ，分别过 、 两点作 ， ，
垂足分别为 、 ．求证： ．
【尝试应用】
（2）如图2，在 中， ， 是 上一点，过 作 的垂线交 于点 ．若
， ， ，求 的长．
【拓展提高】
（3）如图 3，在平行四边形 中，在 上取点 ，使得 ，若 ，
， ，求平行四边形 的面积．
【解答】（1）证明： ，
，
，
，
．
．
，
，
．
．
（2）解：过点 作 于点 ．由（1）得 ．
．
， ， ，
，
．
，
．
．
（3）解：过点 作 于点 ，过点 作 的延长线于点 ．
．
四边形 是平行四边形，
， ．
．
．
， ．
， ，
，
，
设 ， ， ．
， ．
，
由（1）得 ．
，
，，
，
，
， ．
平行四边形 的面积 ．
17．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图 1， ，由
， ，可得 ；又因为 ，
可得 ，进而得到 我们把这个模型称为“一线三等角”模型．
应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图 2，如图，在 中，
， ，点 是 边上的一个动点（不与 、 重合），点 是 边上的一
个动点，且 ．
①求证： ；
②当点 为 中点时，求 的长；
拓展：（3）在（2）的条件下，如图2，当 为等腰三角形时，请直接写出 的长．
【解答】（1）解： ，
，
，
故答案为： ；
（2）①证明： ，，
， ， ，
，
，
；
②解： ，点 为 中点，
，
，
，即 ，
解得： ；
（3）解：当 时， ，
，
；
当 时， ，
，
，不合题意，
；
当 时， ，
，
，
，即 ，
解得： ，
，
综上所述：当 为等腰三角形时， 的长为2或 ．
