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第 02 讲 整式的乘除
课程标准 学习目标
①单项式×单项式
1. 掌握单项式×单项式，多项式，多项式×多项式的运
②单项式×多项式
算法则并能够熟练应用。
③多项式×多项式
2. 掌握单项式初单项式，多项式÷单项式的运算法则
④单项式÷单项式
并能够熟练应用。
⑤多项式÷多项式
知识点01 单项式×单项式
1. 单项式×单项式的运算法则：
系数 相乘 ，同底数幂分别 相乘 。对于只在一个单项式里面出现的字母，连同它的 指数
作
为积的一个因式。
如： ＝ ＝
题型考点：①单项式×单项式的计算。
【即学即练1】
1．计算
（1）4y•（﹣2xy2）（2）（﹣ x2）•（﹣4x）
（3）（3m2）•（﹣2m3）2
（4）（﹣ab2c3）2•（﹣a2b）3
【解答】解：（1）原式＝﹣8xy3．
（2）原式＝10x3．
（3）原式＝（3m2）•4m6
＝12m8．
（4）原式＝a2b4c6•（﹣a6b3）
＝﹣a8b7c6．
【即学即练2】
2．计算：
（1）（2x2）3﹣x2•x4；
（2）（﹣an）3（﹣bn）2﹣（a3b2）n；
（3）（﹣3a3）2•a3+（﹣4a）2•a7﹣（﹣5a3）3；
（4）（﹣ ）1000×（﹣10）1001+（ ）2023×（﹣3 ）2022．
【解答】解：（1）原式＝8x6﹣x6＝7x6；
（2）原式＝﹣a3nb2n﹣a3nb2n＝﹣2a3nb2n；
（3）原式＝9a6•a3+16a2•a7+125a9＝9a9+16a9+125a9＝150a9；
（4）原式＝[﹣ ×（﹣10）]1000×（﹣10）+[ ×（﹣ ）]2022×
＝11000×（﹣10）+（﹣1）2022×
＝﹣10+
＝﹣9 ．
知识点02 单项式×多项式
1. 单项式×多项式的运算法则：
单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的 每一项 。再把所得的积 相加 。若有同类项，
则一定要合并同类项。
说明：
题型考点：①单项式×多项式的计算。【即学即练1】
3．计算下列各题．
（1）3a2b（﹣4a2b+2ab2﹣ab）；
（2） ．
【解答】解：（1）原式＝﹣12a4b2+6a3b3﹣3a3b2；
（2）原式＝﹣5x3y+5x2y2﹣x3y﹣2x2y2
＝﹣6x3y+3x2y2．
【即学即练2】
4．计算：
（1）（﹣5x）•（3x2﹣4x+5）：
（2）﹣2a•（3ab2﹣5ab3）：
（3）（﹣a2b）（2a﹣ab+3b）；
（4）﹣2xn•（﹣3xn+1+4xn﹣1）．
【解答】解：（1）原式＝﹣15x3+20x2﹣25x；
（2）原式＝﹣6a2b2+10a2b3；
（3）原式＝﹣2a3b+a3b2﹣3a2b2；
（4）原式＝6x2n+1﹣8x2n﹣1．
知识点03 多项式×多项式
1. 多项式×多项式的运算法则：
用一个多项式的 每一项 乘以另一个多项式的 每一项 ，再把所得的积 相加 。若有同
类项，一定合并同类项。
说明：
题型考点：①多项式×多项式的计算。
【即学即练1】
5．计算：
（1）（x﹣6）（x2+x+1）﹣x（2x+1）（3x﹣1）；
（2）（2x+1）（x﹣1）﹣（x+2）（2x﹣1）．
【解答】解：（1）（x﹣6）（x2+x+1）﹣x（2x+1）（3x﹣1）
＝x3+x2+x﹣6x2﹣6x﹣6﹣6x3+2x2﹣3x2+x＝﹣5x3﹣6x2﹣4x﹣6；
（2）（2x+1）（x﹣1）﹣（x+2）（2x﹣1）
＝2x2﹣2x+x﹣1﹣2x2+x﹣4x+2
＝﹣4x+1．
【即学即练2】
6．计算：
（1）（﹣2x2y3）3•（5x3y4z）2；
（2）（3x﹣5）（2x+1）；
（3）（x﹣2y）（x2+2xy+4y2）．
【解答】解：（1）（﹣2x2y3）3•（5x3y4z）2
＝（﹣8x6y9）•（25x6y8z2）
＝﹣200x12y17z2；
（2）（3x﹣5）（2x+1）
＝6x2+3x﹣10x﹣5
＝6x2﹣7x﹣5；
（3）（x﹣2y）（x2+2xy+4y2）＝x3﹣8y3．
知识点04 整式的除法
1. 单项式÷单项式的运算法则：
单项式除以单项式，系数 相除 ，同底数幂 相除 。对于只在被除式里面出现的字母，连同
它的 指数 作为商的一个因式。对于只在除数式里面出现的字母，连同它的指数作为商的分母。
说明：
2.
多项式÷单项式的运算法则：
多项式÷单项式，用多项式的 每一项 去除以单项式，再把得到的商相加。
说明：
题型考点：①单项式÷单项式、多项式÷单项式的计算。
【即学即练1】
7．计算：
（1）a5÷a3；
（2）（﹣x4）÷（﹣x3）；
（3）（8x8）÷（2x3）；（4）（12m2）÷（3m）；
（5）20x3y5z÷（﹣5x2y3）；
（6）（2ab）5÷（2ab）3；
（7）（6m3﹣4m2）÷2m；
（8） ．
【解答】解：（1）a5÷a3＝a2；
（2）（﹣x4）÷（﹣x3）＝x；
（3）（8x8）÷（2x3）＝4x5；
（4）（12m2）÷（3m）＝4m；
（5）20x3y5z÷（﹣5x2y3）＝﹣4xy2z；
（6）（2ab）5÷（2ab）3＝4a2b2；
（7）（6m3﹣4m2）÷（2m）⋅＝3m2﹣2m；
（8） ＝﹣y2+ y﹣3．
【即学即练2】
8．计算：
（1）（x4）2÷（x2）2÷x2﹣x2
（2）28x3y4÷（﹣4x2y2）
（3）（12m6n6p5）÷（﹣3m2n4p）÷（﹣2m3n2p4）
（4）
（5） ．
【解答】解：（1）（x4）2÷（x2）2÷x2﹣x2＝x8÷x4÷x2﹣x2＝0；
（2）28x3y4÷（﹣4x2y2）＝﹣7xy2；
（3）（12m6n6p5）÷（﹣3m2n4p）÷（﹣2m3n2p4）＝2m；
（4） ＝ m﹣3mn+ ；
（5） ＝﹣4y2﹣ x+4．题型01 整式的乘除运算
【典例1】
计算：
（1）（x2y）3•（﹣2xy3）2；
（2）（xny3n）2+（x2y6）n；
（3）（x2y3）4+（﹣x）8•（y6）2；
（4）a•a2•a3+（﹣2a3）2﹣（﹣a）6．
【解答】解：（1）原式＝x6y3•4x2y6
＝4x8y9；
（2）原式＝x2ny6n+x2ny6n
＝2x2ny6n；
（3）原式＝x8y12+x8y12
＝2x8y12；
（4）原式＝a6+4a6﹣a6
＝4a6．
【典例2】
计算：
（1）a3•a4•a+（a2）4﹣（﹣2a4）2．
（2）a•a7﹣（﹣3a4）2+a10÷a2．
（3）﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）．
【解答】解：（1）a3•a4•a+（a2）4﹣（﹣2a4）2
＝a8+a8﹣4a8
＝﹣2a8；
（2）a•a7﹣（﹣3a4）2+a10÷a2
＝a8﹣9a8+a8
＝﹣7a8；
（3）﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）
＝﹣6x3+12x2y+2x3﹣2x2y
＝﹣4x3+10x2y．
【典例3】化简：
（1）2（2x2﹣xy）+x（x﹣y）；
（2）ab（2ab2﹣a2b）﹣（2ab）2b+a3b2．
【解答】解：（1）2（2x2﹣xy）+x（x﹣y）
＝4x2﹣2xy+x2﹣xy
＝5x2﹣3xy；
（2）ab（2ab2﹣a2b）﹣（2ab）2b+a3b2
＝2a2b3﹣a3b2﹣4a2b3+a3b2
＝﹣2a2b3．
【典例4】
计算：（1）（2x2）3﹣6x3（x3+2x2+x）．
（2）（2x﹣1）（x+4）+（2x+3）（x﹣5）．
【解答】解：（1）（2x2）3﹣6x3（x3+2x2+x）
＝8x6﹣6x6﹣12x5﹣6x4
＝2x6﹣12x5﹣6x4
（2）（2x﹣1）（x+4）+（2x+3）（x﹣5）
＝2x2﹣x+8x﹣4+2x2+3x﹣10x﹣15
＝4x2﹣19
【典例5】
计算：
（1）﹣3a（2a﹣4b+2）+6a；
（2）（x﹣2y）（2x+y）．
【解答】解：（1）﹣3a（2a﹣4b+2）+6a
＝﹣6a2+12ab﹣6a+6a
＝﹣6a2+12ab；
（2）（x﹣2y）（2x+y）
＝2x2﹣4xy+xy﹣2y2
＝2x2﹣3xy﹣2y2．
【典例6】
计算：
（1）4（a+b）+2（a+b）﹣5（a+b）；
（2）（﹣18a2b+10b2）÷（﹣2b）．
【解答】解：（1）原式＝4a+4b+2a+2b﹣5a﹣5b
＝a+b；
（2）（﹣18a2b+10b2）÷（﹣2b）＝9a2﹣5b．
【典例7】
计算：
（1） ；
（2）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y．
【解答】解：（1）3m（ m2﹣1）﹣2m（ m2﹣ ）
＝m3﹣3m﹣m3+3m
＝0；
（2）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y
＝（x3y2﹣x2y﹣x2y+x3y2）÷3x2y
＝（2x3y2﹣2x2y）÷3x2y
＝ xy﹣ ．
题型02 化简求值
【典例1】
先化简，再求值：[（2x﹣y）2﹣y（2x+y）]÷2x，其中x＝2，y＝﹣1．
【解答】解：原式＝（4x2﹣4xy+y2﹣2xy﹣y2）÷2x
＝（4x2﹣6xy）÷2x
＝2x﹣3y．
当x＝2，y＝﹣1时，原式＝2×2﹣3×（﹣1）＝7．
【典例2】
先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2．
【解答】解：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4）
＝6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2
＝﹣20a2+9a，
当a＝﹣2时，原式＝﹣20×4﹣9×2＝﹣98．
【典例3】
先化简，再求值： ，其中x＝﹣3， ．
【解答】解：
＝（5y2+x2+4y2﹣4xy﹣9y2）•2y
＝（x2﹣4xy）•2y＝2x2y﹣8xy2
当x＝﹣3， 时，原式＝ ．
【典例4】
化简求值：[（x﹣y）2﹣x（3x﹣2y）+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2．
【解答】解：原式＝[x2﹣2xy+y2﹣3x2+2xy+x2﹣y2]÷2x
＝（﹣x2）÷2x
＝﹣ x，
当x＝1，y＝﹣2时，原式＝﹣ ．
【典例5】
（1）先化简，再求值：（x+2）（x﹣3）﹣x（x﹣3），其中x＝2；
（2）已知x﹣y＝﹣3，求代数式（x﹣y）2•（y﹣x）+（x﹣y）3的值．
【解答】解：（1）（x+2）（x﹣3）﹣x（x﹣3）
＝（x+2﹣x）（x﹣3）
＝2（x﹣3），
当x＝2时，原式＝2×（2﹣3）＝﹣2；
（2）（x﹣y）2•（y﹣x）+（x﹣y）3
＝﹣（x﹣y）3+（x﹣y）3
＝0．
题型03 不含项与无关问题
【典例1】
已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）的展开式中不含x3和x2项．
（1）求m与n的值．
（2）在（1）的条件下，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．
【解答】解：（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）＝x5﹣3x4+（m+4）x3+（n﹣3m）x2+（4m﹣3n）x+4n，
根据展开式中不含x2和x3项得： ，
解得： ．
即m＝﹣4，n＝﹣12；
（2）∵（m+n）（m2﹣mn+n2）
＝m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3＝m3+n3，
当m＝﹣4，n＝﹣12时，
原式＝（﹣4）3+（﹣12）3＝﹣64﹣1728＝﹣1792．
【典例2】
若（x2+px﹣ ）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项，
（1）求p、q的值；
（2）求代数式（﹣2p2q）2+3pq的值．
【解答】解：（1）原式＝x4+（p﹣3）x3+（q﹣3p﹣ ）x2+（1+pq）x﹣ q，
∵积中不含x项与x3项，
∴ ，
∴ ．
（2）由（1）得pq＝﹣1，
原式＝4p2﹣3
＝36﹣3
＝33．
【典例3】
已知（x2+mx﹣3）（2x+n）的展开式中不含x2项，常数项是﹣6．
（1）求m，n的值．
（2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．
【解答】解：（1）原式＝2x3+2mx2﹣6x+nx2+mnx﹣3n
＝2x3+2mx2+nx2+mnx﹣6x﹣3n
＝2x3+（2m+n）x2+（mn﹣6）x﹣3n，
由于展开式中不含x2项，常数项是﹣6，
则2m+n＝0且﹣3n＝﹣6，
解得：m＝﹣1，n＝2；
（2）由（1）可知：m＝﹣1，n＝2，
∴原式＝m3+n3＝（﹣1） 3+23，
＝﹣1+8
＝7．
【典例4】
（1）试证明代数式（2x+3）（3x+2）﹣6x（x+3）+5x+16的值与x的值无关．（2）若（x2+nx+3）（x2﹣3x+m）的展开式中不含x2和x3的项，求m，n的值．
【解答】解：（1）∵（2x+3）（3x+2）﹣6x（x+3）+5x+16
＝6x2+4x+9x+6﹣6x2﹣18x+5x+16
＝22，
∴代数式（2x+3）（3x+2）﹣6x（x+3）+5x+16的值与x无关；
（2）原式的展开式中，含x2的项是：mx2+3x2﹣3nx2＝（m+3﹣3n）x2，
含x3的项是：﹣3x3+nx3＝（n﹣3）x3，
由题意得： ，
解得 ．
【典例5】
已知代数式A＝2x2﹣3xy+2x﹣ ，B＝x2﹣6xy﹣x﹣1，C＝a（x2﹣1）﹣b（2x+1）．
（1）化简2A﹣B所表示的代数式；
（2）若代数式2A﹣B﹣C值与x的取值无关，求出a、b的值．
【解答】解：（1）∵A＝2x2﹣3xy+2x﹣ ，B＝x2﹣6xy﹣x﹣1，
∴2A﹣B
＝（2x2﹣3xy+2x﹣ ）﹣（x2﹣6xy﹣x﹣1）
＝4x2﹣6xy+4x﹣1﹣x2+6xy+x+1
＝3x2+5x；
（2）2A﹣B﹣C
＝3x2+5x﹣a（x2﹣1）+b（2x+1）
＝3x2+5x﹣ax2+a+2bx+b
＝（3﹣a）x2+（5+2b）x+a+b．
∵代数式2A﹣B﹣C的值与x的取值无关，
∴3﹣a＝0，5+2b＝0，
∴a＝3， ．
【典例6】
已知A，B是关于x，y的多项式，某同学在计算多项式A﹣3B的结果时，不小心把表示B的多项式弄脏了，
现在只知道A＝3x2+ax﹣3y+2，A﹣3B＝（3﹣3b）x2+（a+2）x+3y﹣10．
（1）试求B表示的多项式．
（2）若多项式A﹣3B的值与字母x的取值无关，求9a+b的值．【解答】解：（1）由题意得：
﹣ [（3﹣3b）x2+（a+2）x+3y﹣10﹣（3x2+ax﹣3y+2）]
＝﹣ [（3﹣3b）x2+（a+2）x+3y﹣10﹣3x2﹣ax+3y﹣2]
＝﹣ （﹣3bx2+2x+6y﹣12）
＝bx2﹣ x﹣2y+4；
（2）∵多项式A﹣3B的值与字母x的取值无关，
∴3﹣3b＝0，a+2＝0，
解得b＝1，a＝﹣2，
∴9a+b
＝9×（﹣2）+1
＝﹣18+1
＝﹣17．
题型04 粗心大意错解题
【典例1】
小明在计算一个多项式乘以﹣2x2+x﹣1时，因看错运算符号，变成了加上﹣2x2+x﹣1，得到的结果为﹣2x2
﹣2x+1，请你帮助小明得到正确的计算结果．
【解答】解：∵小明在计算一个多项式乘以﹣2x2+x﹣1时，因看错运算符号，变成了加上﹣2x2+x﹣1，
得到的结果为﹣2x2﹣2x+1，
∴原多项式为：
（﹣2x2﹣2x+1）﹣（﹣2x2+x﹣1）
＝﹣2x2﹣2x+1+2x2﹣x+1
＝﹣3x+2，
∴（﹣3x+2）（﹣2x2+x﹣1）
＝6x3﹣3x2+3x﹣4x2+2x﹣2
＝6x3﹣7x2+5x﹣2，
所以正确的计算结果是6x3﹣7x2+5x﹣2．
【典例2】
小明在进行两个多项式的乘法运算时（其中的一个多项式是 b﹣1），把“乘（b﹣1）”错看成“除以（b
﹣1）”，结果得到（2a﹣b），请你帮小明算算，另一个多项式是多少？
【解答】解：设所求的多项式是M，则M＝（2a﹣b）（b﹣1）
＝2ab﹣2a﹣b2+b．
【典例3】
在计算（x+a）（x+b）时，甲把b错看成了6，得到结果是：x2+8x+12；乙错把a看成了﹣a，得到结果：
x2+x﹣6．
（1）求出a，b的值；
（2）在（1）的条件下，计算（x+a）（x+b）的结果．
【解答】解：（1）根据题意得：（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+8x+12，
（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2+x﹣6，
所以6+a＝8，﹣a+b＝1，
解得：a＝2，b＝3；
（2）当a＝2，b＝3时，（x+a）（x+b）＝（x+2）（x+3）＝x2+5x+6．
【典例4】
小万和小鹿正在做一道老师留下的关于多项式乘法的习题：（x2+3x﹣2）（x﹣a）．
（1）小万在做题时不小心将x﹣a中的x写成了x2，结果展开后的式子中不含x的二次项，求a的值；
（2）小鹿在做题时将x2+3x﹣2中的一个数字看错成了k，结果展开后的式子中不含x的一次项，则k的
值可能是多少？
【解答】解：（1）（x2+3x﹣2）（x2﹣a）
＝x4﹣ax2+3x3﹣3ax﹣2x2+2a
＝x4+3x3﹣（a+2）x2﹣3ax+2a，
∵展开后的式子中不含x的二次项，
∴a+2＝0，
解得a＝﹣2．
（2）①若将x2+3x﹣2中的3看成k，
（x2+kx﹣2）（x+2）
＝x3+2x2+kx2+2kx﹣2x﹣4
＝x3+（2+k）x2+（2k﹣2）x﹣4，
∵展开后的式子中不含x的一次项，
∴2k﹣2＝0，
∴k＝1．
②若将x2+3x﹣2中的﹣2看成k，
（x2+3x+k）（x+2）
＝x3+2x2+3x2+6x+kx+2k
＝x3+5x2+（6+k）x+2k，
∵展开后的式子中不含x的一次项，∴6+k＝0，
解得k＝﹣6．
③若指数2看作k，当k＝0时，
原式＝（1+3x﹣2）（x+2）
＝3x2+5x﹣2，
不符合题意；
④若指数2看作k，当k＝1时，
原式＝（x+3x﹣2）（x+2）
＝4x2+6x﹣4，
不符合题意；
故k＝1或﹣6．
题型05 整式的乘除与面积问题
【典例1】
数学课上，老师和同学们用2张A型卡片、2张B型卡片和1张C型卡片拼成了如图所示的长方形．其中A
型卡片是边长为a的正方形；B型卡片是长方形；C型卡片是边长为c的正方形．
（1）请用含a、c的代数式分别表示出B型卡片的长x和宽y，以及B型卡片的面积S；
（2）如果a＝10，c＝3，请求出他们用5张卡片拼出的这个长方形的面积S长方形 ．
【解答】解：（1）B型卡片的长x＝a+c，宽y＝a﹣c，
面积S＝（a+c）（a﹣c）＝a2﹣c2；
（2）
当a＝10，c＝3时，原式＝4×102﹣32＝391．
【典例2】
如图，某社区在一块长和宽分别为（x+2y）m，（2x+y）m的长方形空地上划出两块大小相同的边长为ym
的正方形区域种植花草（数据如图所示，单位：m），留下一块“T”型区域建休闲广场（阴影部分）．
（1）用含x，y的式子表示休闲广场的面积并化简；
（2）若|y﹣5|+（x﹣2）2＝0，请计算休闲广场的面积．【解答】解：（1）由题图可得，休闲广场的面积为：
（2x+y）（x+2y）﹣2y2
＝2x2+4xy+xy+2y2﹣2y2
＝（2x2+5xy）（m2）
（2）由题可知：
∵|y﹣5|+（x﹣2）2＝0，
∴y﹣5＝0，x﹣2＝0，
即 y＝5，x＝2，
休闲广场的面积为 2x2+5xy＝2×22+5×2×5＝58（m2）．
答：休闲广场的面积是58平方米．
【典例3】
如图，有一块长（3a+b）米，宽（2a+b）米的长方形广场，园林部门要对阴影区域进行绿化，空白区域进
行广场硬化，阴影部分是边长为b米的正方形．
（1）计算广场上需要硬化部分的面积；
（2）若a＝30，b＝10，求硬化部分的面积．
【解答】解：（1）根据题意，广场上需要硬化部分的面积是：
（2a+b）（3a+b）﹣b2
＝6a2+2ab+3ab+b2﹣b2
＝6a2+5ab，
答：广场上需要硬化部分的面积是（6a2+5ab）m2．
（2）把a＝30，b＝10代入，
6a2+5ab＝6×302+5×30×10＝6900 （m2）．
答：广场上需要硬化部分的面积是6900m2．【典例4】
如图，某小区有一块长为（2a+3b）米，宽为（3a+2b）米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平
行四边形小路，小路的底边宽为a米，将阴影部分进行绿化．
（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积S；
（2）若a＝2，b＝4，求出此时绿化的总面积S．
【解答】解：（1）由题意得：
S＝（3a+2b）（2a+3b）﹣a（3a+2b）
＝6a2+9ab+4ab+6b2﹣3a2﹣2ab
＝（3a2+11ab+6b2）平方米；
（2）当a＝2，b＝4，
S＝3×22+11×2×4+6×42＝196（平方米）．
1．下列运算正确的是（ ）
A．a2⋅a5＝a10 B．（a2）3＝a6
C．（3ab）2＝3a2b2 D．a6÷a2＝a3
【解答】解：A、a2•a5＝a7，故选项计算错误，不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故选项计算正确，符合题意；
C、（3ab）2＝9a2b2，故选项计算错误，不符合题意；
D、a6÷a2＝a4，故选项计算错误，不符合题意．
故选：B．
2．计算（2m+1）（3m﹣2），结果正确的是（ ）
A．6m2﹣m﹣2 B．6m2+m﹣2 C．6m2﹣2 D．5m﹣1
【解答】解：（2m+1）（3m﹣2）＝6m2﹣4m+3m﹣2＝6m2﹣m﹣2．
故选：A．3．若2a＝3，2b＝4，则2a+2b等于（ ）
A．7 B．12 C．48 D．32
【解答】解：∵2a＝3，2b＝4，
∴2a+2b
＝2a×22b
＝2a×（2b）2
＝3×42
＝3×16
＝48．
故选：C．
4．数学老师讲了单项式乘多项式后，请同学们自己编题，小强同学编题如下：﹣2x（﹣2y+x+□）＝4xy﹣
2x2+6x．你认为□内应填写（ ）
A．﹣12x B．﹣12 C．3 D．﹣3
【解答】解：由题意可得﹣2x与□的积应为6x，
则□内应填写﹣3，
故选：D．
5．如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
【解答】解：∵（x+m）（x+3）＝x2+3x+mx+3m＝x2+（3+m）x+3m，
又∵（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，
∴3+m＝0，
解得m＝﹣3．
故选：A．
6．已知25a•52b＝56，4b÷4c＝4，则代数式a2+ab+3c值是（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
【解答】解：∵25a•52b＝56，4b÷4c＝4，
∴52a•52b＝56，4b﹣c＝4，
∴2a+2b＝6，b﹣c＝1，
即a+b＝3，b﹣1＝c，
∴a2+ab+3c
＝a（a+b）+3（b﹣1）
＝3a+3b﹣3
＝3（a+b）﹣3
＝3×3﹣3
＝9﹣3＝6．
故选：B．
7．若（x+2）（x﹣n）＝x2+mx+2，则m﹣n的值是（ ）
A．6 B．4 C．2 D．﹣6
【解答】解：∵（x+2）（x﹣n）＝x2+mx+2，
∴x2+（2﹣n）x﹣2n＝x2+mx+2，
∴2﹣n＝m，﹣2n＝2
∴m＝3，n＝﹣1，
∴m﹣n＝3+1＝4．
故选：B．
8．如图，现有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（3a+2b），宽为
（a+3b）的大长方形，那么需要C类卡片的张数是（ ）
A．11 B．9 C．6 D．3
【解答】解：长为（3a+2b），宽为（a+3b）的大长方形的面积为：（3a+2b）（a+3b）＝
3a2+6b2+11ab；
A卡片的面积为：a×a＝a2；
B卡片的面积为：b×b＝b2；
C卡片的面积为：a×b＝ab；
因此可知，拼成一个长为（3a+2b），宽为（a+3b）的大长方形，
需要3块A卡片，6块B卡片和11块C卡片．
故选：A．
9．计算：（4a3b4﹣2a2b3）÷（﹣2ab）＝ ．
【解答】解：（4a3b4﹣2a2b3）÷（﹣2ab）＝﹣2a2b3+ab2，
故答案为：﹣2a2b3+ab2．
10．已知（x﹣2）（x+3）＝x2+px+q，则qp＝ ．
【解答】解：根据题意得，（x﹣2）（x+3）﹣x2﹣px﹣q＝0，x2+x﹣6﹣x2﹣px﹣q＝0，
整理得（1﹣p）x﹣（6+q）＝0，
则p＝1，q＝﹣6，qp＝（﹣6）1＝﹣6，
故答案为：﹣6．
11．已知A＝x，B是多项式，在计算B+A时，小明把B+A看成B÷A，计算结果是x+1，则B+A＝ ．
【解答】解：∵A＝x，B是多项式，小明把B+A看成B÷A，计算结果是x+1，
∴B＝A•（x+1）＝x（x+1）
＝x2+x，
故B+A＝x2+x+x＝x2+2x．
故答案为：x2+2x．
12．已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m 为正整数），面积分别为 S 、S ．
1 2
（1）请比较S 与S 的大小：S S ．
1 2 1 2
（2）满足条件4＜n＜|S ﹣S |的整数n有且只有4个，则m＝ ．
1 2
【解答】解：（1）∵S ＝（m+7）（2m+2）＝2m2+16m+14，
1
S ＝（2m+5）（m+3）＝2m2+11m+15，
2
∴S ﹣S ＝（2m2+16m+14）﹣（2m2+11m+15）＝5m﹣1，
1 2
∵m为正整数，
∴5m﹣1＞0，
∴S ﹣S ＞0，
1 2
∴S ＞S ，
1 2
故答案为：＞．
（2）|S ﹣S |＝|5m﹣1|＝5m﹣1，
1 2
∵4＜n＜5m﹣1的整数n有且只有4个，
∴这四个整数解为5，6，7，8，
∴8＜5m﹣1≤9，
解得： ＜m≤2，
∴m＝2．
故答案为：2．
13．（1）若（x2+mx+n）（x2﹣3x+1）的展开式中不含x2和x3项，求m、n的值．
（2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．
【解答】解：（1）（x2+mx+n）（x2﹣3x+1）
＝x4﹣3x3+x2+mx3﹣3mx2+mx+nx2﹣3nx+n
＝x4+（﹣3+m）x3+（1﹣3m+n）x2+（m﹣3n）x+n，
∵展开式中不含x2和x3项，
∴﹣3+m＝0，1﹣3m+n＝0，
解得：m＝3，n＝8；
（2）（m+n）（m2﹣mn+n2）＝m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3
＝m3+n3．
14．甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：（2x+a）（3x+b）．甲由于把第一个多项式中的“+a”看成了
“﹣a”，得到的结果为6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中 x的系数，得到的结果为 2x2﹣
9x+10．
（1）求正确的a、b的值．
（2）计算这道乘法题的正确结果．
【解答】解：（1）（2x﹣a）（3x+b）
＝6x2+2bx﹣3ax﹣ab
＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab
＝6x2+11x﹣10．
（2x+a）（x+b）
＝2x2+2bx+ax+ab
＝2x2+（2b+a）x+ab
＝2x2﹣9x+10．
∴ ，
∴ ；
（2）（2x﹣5）（3x﹣2）
＝6x2﹣4x﹣15x+10
＝6x2﹣19x+10．
15．如图，在某高铁站广场前有一块长为2a+b，宽为a+b的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池
（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道．
（1）求该长方形空地的面积；（用代数式表示）
（2）求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示）
（3）当a＝200，b＝100时，求这两个长方形喷泉池的总面积．
【解答】解：（1）（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2，
答：该长方形空地的面积为2a2+3ab+b2．
（2）（a+b﹣2b）（2a+b﹣3b）＝（a﹣b）（2a﹣2b）＝2a2﹣4ab+2b2．
答：这两个长方形喷泉池的总面积为2a2﹣4ab+2b2．（3）当 a＝200，b＝100 时，这两个长方形喷泉池的总面积为 2a2﹣4ab+2b2＝2×2002﹣
4×200×100+2×1002＝20000．
即这两个长方形喷泉池的总面积为20000．
16．观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1
（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27
（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216
…
（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ）＝a3+b3
（2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立．
（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）
【解答】解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；
故答案为：a2﹣ab+b2；
（2）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+ba2﹣ab2+b3＝a3+b3；
（3）原式＝（x3+y3）﹣（x3+8y3）＝﹣7y3．
