文档内容
考点 11 复数（核心考点讲与练）
1.复数的有关概念
内容 意义 备注
形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复 若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0
复数的概念
数，其中实部为a，虚部为b 且b≠0，则a＋bi为纯虚数
a＋bi＝c＋di a ＝ c 且 b ＝ d (a，b，
复数相等
c，d∈R)
⇔
a＋bi与c＋di共轭⇔ a ＝ c 且 b ＝－
共轭复数
d(a，b，c，d∈R)
建立平面直角坐标系来表示复数的平 实轴上的点都表示实数；除了原点
复平面 面叫做复平面， x 轴 叫实轴，y轴叫 外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象
虚轴 限内的点都表示虚数
设OZ对应的复数为z＝a＋bi，则向
复数的模 |z|＝|a＋bi|＝
量OZ的长度叫做复数z＝a＋bi的模
2.复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量
组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数z＝a＋bi 复平面内的点 Z ( a ， b ) (a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量OZ.
3.复数的运算
设z＝a＋bi，z＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
1 2
(1)加法：z＋z＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
1 2
(2)减法：z－z＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
1 2
(3)乘法：z·z＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
1 2
(4)除法：＝＝
＝(c＋di≠0).1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把
复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
2.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
3.复数z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) OZ＝(a，b).
4.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在
一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.
5.复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，
不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.
(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把 i的幂写成最
简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为 a＋bi(a，b∈R)的
形式，再结合相关定义解答.
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为 a＋bi(a，
b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.复数的概念
1. （2021届广东省七校第三次联考） 复数 的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】利用复数的乘法运算化简复数 ，再根据复数虚部的定义求解即可.
【详解】因为 ，
所以虚部为 .
故选：C.
2. （2022广东省深圳市高三质量评估）若复数 为纯虚数，则实数a的值为（ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】A
【分析】根据复数运算规则及纯虚数的定义，化简求解参数即可.
【详解】化简原式可得：
z为纯虚数时， ≠0即 ，选项A正确，选项BCD错误.
故选A
3.（多选题）复数 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的实部为3 B． 的虚部为2 C． D．
【答案】BD
【分析】根据复数的除法运算化简求出 ，再根据复数的定义、共轭复数的定义和复数的模的
运算，分别求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，即可判断得出答案.【详解】解：由于 ，
可得 ，
所以 的实部为-3，虚部为2，
所以 ， .
故选：BD.
4. （2021广东省江门市蓬江区培英高中5月冲刺）已知 是虚数单位，若复数 满足 ，则 （
）．
A. B. 2 C. D. 4
【答案】C
【分析】先求出 ，然后根据复数的模求解即可
【详解】 ，
，
则 ，
故选：C
复数的运算
1.（2020福建宁德市六校联考）已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意利用复数除法的运算法则计算z的值即可.【详解】 ，
故选： ．
2. （2021浙江省舟山中学高三10月月考）若 ，则 =___________ ， __________ ；
【答案】 ①. ②. ；
【分析】根据复数的模的公式和复数的运算即可求出答案.
【详解】因为 ，所以 ；
.
故答案为： ； .
3. （2021福建省高三高考考前练习卷）法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的公式
推动了复数领域的研究．根据该公式，可得 （
）．
A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件将 化成 ，根据复数的运算即可.
【详解】根据公式得 ，
故选：B．复数的几何意义
1.（2021重庆市南开中学高三下学期质量检测）已知方程 在复数范围内有一根
为 ，则复数 在复平面上对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【分析】把 代入已知方程，结合复数的运算及复数相等条件求得a，b，再由复数的几何意义可得选项.
【详解】因为方程 在复数范围内有一根为 ，所以 ，
整理得 ，所以 ，
所以 ，所以复数 在复平面上对应的点在第四象限，
故选：D.
2.（2022湖南省湘潭市高三一模）已知 为虚数单位，复数 ， ，则复数 对应的复平
面上的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】由复数的乘法运算得 ，再根据几何意义求解即可.
【详解】因为 ，
所以 对应 的复平面上的点为 ，它位于第四象限．
故选：D．
3. （2022重庆市第十一中学高三9月月考）在复平面内，复数 对应的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.【答案】A
【分析】根据复数的乘除法运算可得 ，结合复数的几何意义即可得出结果.
【详解】由 ，则复数 对应的点的坐标是 ，
故选：A
1. （2021年全国高考乙卷） 设 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】设 ，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于 、 的等式，解出这两个未
知数的值，即可得出复数 .
【详解】设 ，则 ，则 ，
所以， ，解得 ，因此， .
故选：C.
2. （2021年全国高考甲卷）已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】由已知得 ，根据复数除法运算法则，即可求解.
【详解】 ，.
故选：B.
【
3. 2020年高考全国Ⅰ卷理数】若z=1+i，则|z2–2z|=（ ）
A. 0 B. 1 C. D. 2
【答案】D
【分析】由题意首先求得 的值，然后计算其模即可.
【详解】由题意可得： ，则 .
故 .
故选：D.
4.【2020年高考全国III卷理数】复数 的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】利用复数的除法运算求出z即可.
【详解】因为 ，
所以复数 的虚部为 .
故选：D.
5.【2020年新高考全国Ⅰ】 （ ）
A. 1 B. −1
C. i D. −i
【答案】D
【分析】根据复数除法法则进行计算.【详解】
故选：D
6.【2020年高考全国II卷理数】设复数 ， 满足 ， ，则 =__________.
【答案】
【分析】方法一：令 ， ，根据复数的相等可求得
，代入复数模长的公式中即可得到结果.
方法二：设复数 所对应的点为 , , 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行
四边形 为菱形， ，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算
.
【详解】方法一：设 ， ，
，
，又 ，所以 ， ，
.
故答案为： .
方法二：如图所示，设复数 所对应的点为 , ,由已知 ,
∴平行四边形 为菱形，且 都是正三角形，∴ ，
∴ .
【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是
一道中档题.
方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解
一、单选题
1. （2022·河北唐山·一模） 复数 在复平面内对应的点为 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】由复数对应点可得 ，根据复数除法运算可计算得到结果.
【详解】 对应的点为 ， ，
.
故选：B.2. （2022·海南·模拟预测）已知复数z满足 ，则z的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】化简得到 ，从而得到z的虚部.
【详解】 ，故z的虚部为 .
故选：C
3. （2022·福建漳州·二模） 复数z满足 ，则z在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【分析】设复数 ，由 ，利用其几何意义求解.
【详解】解：设复数 ，
因为 ，
所以 ，
即复数z表所对应的点在以（5，5）为圆心，以2为半径的圆上，
所以z在复平面内对应的点所在的象限为第一象限.
故选：A
4. （2022·北京·模拟预测）在复平面内，复数 ，则 的虚部是（ ）
A. B. 1 C. 2 D.
【答案】A
【分析】利用复数的除法解题即可.【详解】由题 ，所以 的虚部为 ，
故选：A
5. （2022·湖北·一模）欧拉公式 （e为自然对数的底数， 为虚数单位）由瑞士数学家
Euler（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为
“数学中的天桥”，则 （ ）
A. -1 B. 1 C. - D.
【答案】A
【分析】根据题已知中欧拉公式 ，直接计算可得答案.
【详解】由题意得： ，
故选：A
6. （2022江西省景德镇一中月考）在复平面内，平行四边形 的三个顶点，A，B，C对应的复数分
别为 ， ， ( 为虚数单位)，则点D对应的复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】先利用复数的几何意义写出各点的坐标，再利用平行四边形构造相等向量列方程组求解.
【详解】由题知， ， ， ，设 .
则 ， .
因为 为平行四边形，所以 .
由 ，解得 ，
所以点 对应的复数为 .故选：A.
二、多选题
7. （2022·福建莆田·模拟预测）意大利数学家卡尔达诺（Cardano.Girolamo，1501-1576）发明了三次方程
的代数解法.17世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四个步骤：
第一步，把方程 中的 用 来替换，得到方程 ；
第二步，利用公式 将 因式分
解；
第三步，求得 ， 的一组值，得到方程 的三个根： ， ，
（其中 ， 为虚数单位）；
第四步，写出方程 的根： ， ，
.
某同学利用上述方法解方程 时，得到 的一个值： ，则下列说法正确的
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【分析】根据三次方程的代数解法对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】
依题意可知 是 次项系数，所以 ，A选项正确.
第一步，把方程 中的 ，用 来替换，得 ，
第二步，对比 与 ，
可得 ，解得 ，B选项正确.
所以 ，C选项正确.
，D选项错误.
故选：ABC
8. （2022·山东济宁·一模） 已知复数 （i为虚数单位），复数 满足 ， 在复
平面内对应的点为 ，则（ ）
A. 复数 在复平面内对应的点位于第二象限
B.
C.
D. 的最大值为
【答案】ABD
【分析】利用复数的几何意义可判断A选项；利用复数的除法运算可判断B选项；利用复数的模长公式可
判断C选项；利用复数模长的三角不等式可判断D选项.
【详解】对于A选项，复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，该点位于第二象限，A对；
对于B选项， ，B对；对于C选项，由题意可得 ，
因为 ，则 ，C错；
对于D选项， ，则 ，
所以， ，D对.
故选：ABD.
9. （2022·重庆市求精中学校一模） 复数 满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D.
【答案】AD
【分析】首先化简复数 ，再根据复数的运算公式和定义判断选项.
【详解】由 可得 ， ，故A正确； ，故B错误；
在复平面内对应的点 位于第三象限，故C错误； ，故D正
确．
故选：AD
三、填空题
10. （2022·天津·一模）复数 ___________.
【答案】 ##
【分析】依据复数除法规则进行计算即可解决.
【详解】
故答案为：
