文档文本内容
培优点 02 指、对、幂的大小比较（3 种核心题型+基础保分
练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大
小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函
数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置．
【核心题型】
题型一 直接法比较大小
利用特殊值作“中间量”
在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，
有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计
例如log 3，可知1＝log 2<log 3<log 4＝2，进而可估计log 3是一个1～2之间的小数，从
2 2 2 2 2
而便于比较．
命题点1 利用函数的性质
【例题1】（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则实数a，b，c
的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·四川德阳·二模）已知 ，则 的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·甘肃平凉·模拟预测）已知幂函数 的图象过点 ，设
，则a、b、c的大小用小于号连接为 ．
【变式3】（2023·黑龙江哈尔滨·三模）若 ，则实数由小到大排列为 < < .
命题点2 找中间值
【例题2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024·四川成都·三模） 四个数中最大的数是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024·北京石景山·一模）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
命题点3 特殊值法
【例题3】（2024·全国·模拟预测）若 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（多选）（2024·福建龙岩·一模）下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【变式2】（多选）（2023·全国·模拟预测）下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则C．若 ，则 D．若 ，则
【变式3】（2024·上海静安·二模）在下列关于实数 的四个不等式中，恒成立的是
．（请填入全部正确的序号）
① ；② ；③ ；④ ．
题型二 利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小
求同存异法比较大小
如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出
指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某
一部分相同的情况．
【例题4】（2024·天津·一模）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系
为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·广东肇庆·模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2024·四川攀枝花·二模）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
题型三 构造函数比较大小
某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓
住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调
性，进而比较大小．
【例题5】（2024高三·全国·专题练习）若 ， ，则 的大小关系
为（ ）
A． B． C． D．【变式1】（2024·辽宁·二模）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023·辽宁·模拟预测）已知 ，试比较
的大小关系（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2023·湖南·模拟预测）设 ， ， ，则 ， ， 的大小
顺序为（ ）
A． B． C． D．
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024·天津·二模）若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·北京顺义·二模）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）若 ，则下列大小关系正确的
是（ ）
A． B． C． D．二、多选题
5．（2024·贵州遵义·一模）已知正实数a，b满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
7．（2023·吉林长春·模拟预测）已知 ， ， ，则a，b，c的
大小关系为 ．
8．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ，现有如下说法：① ；②
；③ .则正确的说法有 .（横线上填写正确命题的序号）
四、解答题
9．（22-23高三·全国·对口高考）（1）比较 与 的大小；
（2）已知 ，比较 与 大小
10．（2020高三·上海·专题练习）设 ，且 ，记
，试比较 的大小.综合提升练
一、单选题
1．（2024·天津河东·一模）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南·模拟预测）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·陕西安康·模拟预测）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川·模拟预测）已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·天津河北·一模）若 ，则 的大小关系为
（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·宁夏银川·二模）定义域为 的函数 满足 为偶函数，且当
时， 恒成立，若 ， ， ，则 ， ， 的
大小关系为（ ）
A． B． C． D．8．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系
为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·广东广州·模拟预测）下列是 （ ， ， ）的必要条件的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·全国·模拟预测）已知实数 ，其中 是函数
的两个零点．实数 满足 ，则下列不等式一定
成立的有（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·重庆·一模）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．（23-24高三上·北京昌平·阶段练习）①在 中， ， ， ，则
；
②已知 ， ， ，则 的大小关系是
13．（22-23高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知 ，则a，b，c的
大小关系为 .14．（2023高三上·全国·专题练习）若 ， ，则 与 的大小
关系为 .（用“ ”连接）
四、解答题
15．（22-23高三上·甘肃兰州·阶段练习）比较下列两组数的大小（写出详细理由）．
(1)a=0.40.3，b=0.30.3，c=0.30.4
(2)a=log 6，b=log 12，c=log 15
2 3 5
16．（2020高三·全国·专题练习）比较大小：① ， ， ；② ， ，
；③ ， ， ．
17．（2022高三·全国·专题练习）已知 均为正实数，且 ．
(1)比较 与 的大小；
(2)比较 和 的大小．
18．（22-23高三下·全国·开学考试）已知函数 的最小值为0．(1)求实数a的值；
(2)设 ， ， ，判断 ， ， 的大小．
19．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性．
(2)若 有两个零点 ，且 ，证明： ．
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2024·北京东城·一模）已知 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·天津·一模）已知函数 ，若 ，
，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．3．（2024·安徽阜阳·一模）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山西·模拟预测）已知实数 满足 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·河南郑州·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（2023·山东青岛·三模）已知实数a，b，满足a＞b＞0， ，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·云南大理·模拟预测）若 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．（22-23高三·全国·对口高考）将 由小到大排列的顺序是：
．
9．（23-24高三上·新疆喀什·期中）已知 ，则 的大小关
系是 （用“＜”表示）
10．（2023高三上·全国·竞赛）已知 ， ， ，则这三个数的大小关系为
．（用“ ”连接）
四、解答题
11．（2024·辽宁抚顺·三模）设函数 ．(1)讨论 的单调性．
(2)证明： ．
(3)当 时，证明： ．
