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考点 34 数列的概念（3 种核心题型+基础保分练+综合提升
练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
【知识点】
1．数列的有关概念
概念 含义
数列 按照确定的顺序排列的一列数
数列的项 数列中的每一个数
如果数列{a}的第n项a 与它的 序号 n 之间的对应关系可以用
n n
通项公式
一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来
递推公式
表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
数列{a}的 把数列{a}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{a}的
n n n
前n项和 前n项和，记作S，即S＝a ＋ a ＋ … ＋ a
n n 1 2 n
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
有穷数列 项数有限
项数
无穷数列 项数无限
递增数列 a >a
n＋1 n
递减数列 a <a 其中n∈N*
n＋1 n
项与项间的
常数列 a ＝a
n＋1 n
大小关系
从第二项起，有些项大于它的前一项，
摆动数列
有些项小于它的前一项的数列
3.数列与函数的关系
数列{a}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序
n
号 n，对应的函数值是 数列的第 n 项 a，记为a＝f(n)．
n n
常用结论
1．已知数列{a}的前n项和S，则a＝
n n n2．在数列{a}中，若a 最大，则(n≥2，n∈N*)；若a 最小，则(n≥2，n∈N*)．
n n n
【核心题型】
题型一 由a 与S 的关系求通项公式
n n
S 与a 的关系问题的求解思路
n n
(1)利用a＝S－S (n≥2)转化为只含S，S 的关系式，再求解．
n n n－1 n n－1
(2)利用S－S ＝a(n≥2)转化为只含a，a 的关系式，再求解．
n n－1 n n n－1
【例题1】（2023·四川·三模）已知数列 满足 ，则
的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由题中等式，可得 ，再结合 时 ，可得
.
【详解】当 时，有 ，所以 ，
当 时，由 ，
，
两式相减得 ，
此时， ， 也满足，
所以 的通项公式为 .
故选：B.【变式1】（2024·江苏南通·三模）设数列 的前 项和为 ，若 ，则
（ ）
A．65 B．127 C．129 D．255
【答案】B
【分析】降次作差得 ，再利用等比数列通项公式即可得到答案.
【详解】 时， ，则 .
时， ，
，
是2为首项，2为公比的等比数列， ，
故选：B.
【变式2】（23-24高三上·上海徐汇·阶段练习）已知数列 的前 项和
， ．若 是等差数列，则 的通项公式为 ．
【答案】
【分析】利用等差数列的定义以及 的关系即可得出结论.
【详解】由 知，
当 时， ；
当 时， ，
此时，当 时， ，
当 时， ，而 ，
若数列 是等差数列，则 ，所以 ，则 .
故答案为： .
【变式3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列 前n项的积为 ，数列
满足 ， （ ， ）．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)将数列 ， 中的公共项从小到大排列构成新数列 ，求数列 的通项公式．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）对 ，两边同时取对数，分 是否等于讨论即可求出 ，
由等差数列定义即可求出 ；
（2）令 ，解出 即可得解.
【详解】（1） ， ，
当 时， ，
当 时， ，即 ，
而 ，
从而数列 的通项公式为 ；
若数列 满足 ， （ ， ），则 ，
从而数列 的通项公式为 ；
（2）令 ，解得 ，这表明 ，
从而只能 ，
所以数列 的通项公式为
题型二 由数列的递推关系求通项公式
(1)形如a －a＝f(n)的数列，利用累加法．
n＋1 n
(2)形如＝f(n)的数列，利用a＝a···…·(n≥2)即可求数列{a}的通项公式．
n 1 n
命题点1 累加法
【例题2】（2024·河北保定·三模）设 是公差为3的等差数列，且 ，若
，则 （ ）
A．21 B．25 C．27 D．31
【答案】D
【分析】由 ，得 ，从而可得 ，进而可求解.
【详解】由 ，得 ，则 ，
从而 .
故选：D
【变式1】（2024·河南·三模）已知函数 满足： ，且 ，
，则 的最小值是（ ）
A．135 B．395 C．855 D．990
【答案】C【分析】构造函数 ，可得 ，令 ，由
得 ，从而得到 ，即可求出
的最小值.
【详解】由 ，得 ，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
故 ，又
，
所以 ，
所以 ，因为 ，当 时，
的最小值为855．
故选：C．
【变式2】（2024·北京西城·一模）在数列 中， .数列 满足
.若 是公差为1的等差数列，则 的通项公式为 ，
的最小值为 .
【答案】【分析】求出等差数列 的首项，直接求出 的通项公式即可，利用数列 的单调
性得最小项为 ，利用累加法即可求解.
【详解】由题意 ，又等差数列 的公差为1，所以 ；
故 ，所以当 时， ，当 时， ，
所以 ，显然 的最小值是 .
又 ，所以
，即 的最小值是 .
故答案为： ，
【变式3】（2024·广东江门·二模）已知 是公差为2的等差数列，数列
的前 项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求 ；
(3)[x]表示不超过 的最大整数，当 时， 是定值，求正整数 的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)7
【分析】（1）先由 是公差为2的等差数列，求得递推关系
，再利用叠加法求得 ，进而得到 的通项公式；（2）法一：两次利用错位相减法即可求得数列 的前 项和为 ；法二：构造得
，再利用裂项相消法即可得解；
（3）利用数列单调性结合题给条件即可求得正整数 的最小值.
【详解】（1）设 ，则 ．
因为 是公差为2的等差数列，所以 ．
设 ，则 ，
所以 时，
．
所以 ，即 ，
又 ，满足上式，所以
（2）（方法一）因为 ，
所以
两式相减得 ．
设 ，
则 ，
两式相减得，
则 ．
所以 ，即 ．
（方法二）因为 ，
所以 ．
所以
则 ，
即 ．
（3）当 时， ，且 ，所以 的定值为9．
所以当 时， ．
令 ，则 ，
，
所以 单调递减．因为 ，所以 ，即正整数 的最小值为
【点睛】方法点睛：数列求和的方法技巧：
（1）倒序相加法：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
（2）错位相减法：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
（3）分组求和法：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和
命题点2 累乘法
【例题3】（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ，其中 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，由累乘法代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意，得 ， ， ．
由累乘法，得 ，
即 ，
又 ，所以 ．
故选：C
【变式1】（2023·河南洛阳·模拟预测）已知数列 满足
，且 ，则数列 的前18项
和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用数列 的递推公式，结合累乘法，求得其通项公式，根据三角函数的计算，求得数列 的周期，整理数列 的通项公式，利用分组求和，可得答案.
【详解】由 ，则 ，
即 ，
显然 ，满足公式，即 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ；
当 时， ，当 时， ；当 时， ；
则数列 是以 为周期的数列，由 ，则 ，
设数列 的前 项和为 ，
.
故选：D
【变式2】（2022·山西太原·二模）已知数列 的首项为1，前n项和为 ，且，则数列 的通项公式 .
【答案】n
【分析】先利用累乘法将 的通项公式求出，再利用 与 的关系，求出 的通项公式
即可.
【详解】解：∵ ，∴
当 时， ，
当 时， 成立，
∴ ，
当 时， ，
当 时， 满足上式，
∴ .
故答案为：n
【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）设数列 的前 项和为 ，且
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前 项和为 恒成立，求实数 的最小值．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用 与 间的关系，得到 ，再利用累积法，即可
求出结果；
（2）根据（1）中结果得到 ，利用裂项相消法得到 ，即可求
出结果.
【详解】（1）因为 ①，所以当 时， ②，
由① ②得到 ，整理得到 ，
又 ，所以 ，得到 ，
所以当 时， ，
当 ，满足 ，所以 .
（2）由（1）知 ，
所以 ，
因为 ，且 ，所以 是关于 的递增数列，由 恒成立，得到
，
所以实数 的最小值为 .
题型三 数列的性质
(1)解决数列的单调性问题的方法
用作差比较法，根据a －a 的符号判断数列{a}是递增数列、递减数列还是常数列．
n＋1 n n
(2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值
命题点1 数列的单调性
【例题4】（2024·江西·二模）已知数列 的首项 为常数且 ，
，若数列 是递增数列，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由已知条件推得数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，运用等比
数列的通项公式可得 ，再由数列的单调性，结合不等式恒成立思想，可得所求取值范围．
【详解】因为 ，
所以 ，
由于 ，即 ，
可得数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
则 ，因为数列 是递增数列，可得 ，
即 对任意的正整数 都成立．
当 为偶数时， 恒成立，由于数列 单调递减，
可得 ，则 ；
当 为奇数时， 恒成立，由于数列 单调递增，可得 ，则 ；
综上可得 的取值范围是 ．
故选：B
【变式1】（2024·广东深圳·二模）已知n为正整数，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，构造数列 ，探讨该数列单调性即得.
【详解】令 ，显然 ，
当 时， ，即 ，
因此当 时， ，
所以n为正整数，且 ，有 .
故选：C
【变式2】（2023·浙江·模拟预测）已知等差数列 的公差为 ，前 项和记为
，满足 ，若数列 为单调递增数列，则公差 的取值范围为
.
【答案】
【分析】根据给定条件，确定 恒成立，再分析判断 ，结合已知等式求解
作答.
【详解】因为数列 为单调递增数列，则当 时， ，
而等差数列 的公差 ，若 ，由 知，数列 单调递减，
存在正整数 ，当 时， ， 与数列 为单调递增数列矛盾，
因此 ，由 ，得 ，即 ，解得 ，
则 ，
所以公差 的取值范围为 .
故答案为：
【变式3】（2024·辽宁·模拟预测）已知 是曲线 上的点， ，
是数列 的前n项和，且满足 ，
(1)求 ；
(2)确定 的取值集合 ，使 时，数列 是单调递增数列；
(3)证明：当 时，弦 的斜率随n单调递减．
【答案】(1) ，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）对原递推式进行变换即可；
（2）求出 的通项公式并将条件转化为 ，再解不等式；
（3）先证明对 ，有 ，然后利用 单调递增即可.
【详解】（1）由已知有 对任意正整数 成立，故
.
而根据 的定义域，有 ，所以 .这就说明 ， ， .
故 ， .
（2）我们有 .
故 .
再由 ， ， ，就得到 .
从而 ， ，
.
所以命题等价于 ，即 .
故 .
（3）先证明一个结论：对 ，有 .
证明：该不等式等价于 ，即 ， .
所以只需要说明当 时，有 成立即可.
设 ，则 ，故当 时 ，当 时
.
所以 在 上递减，在 上递增，故当 时，有，即 .
所以原来的结论也成立.
回到原题.
当 时，数列 是单调递增数列，结合 的定义域知 .
故有 ， .
所以 ，结论得证.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用导数工具证明不等式，从而求得相应数列的单
调性.
命题点2 数列的周期性
【例题5】（2024·陕西榆林·三模）现有甲乙丙丁戊五位同学进行循环报数游戏，从甲开始
依次进行，当甲报出1，乙报出2后，之后每个人报出的数都是前两位同学所报数的乘积
的个位数字，则第2024个被报出的数应该为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】列举出部分数字观察其周期即可得解.
【详解】报出的数字依次是 ，除了首项以外是个周期为6的周
期数列.
去掉首项后的新数列第一项为2，
因为 ，所以原数列第2024个被报出的数应该为2.
故选：A.
【变式1】（2024·山东济宁·三模）已知数列 中，
，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】利用数列的递推公式求出数列的周期，即可求解.【详解】由 ，得
，
，
，
，
，
，
则 是以6为周期的周期数列，
所以 .
故选：C
【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）数列 满足 ， ，则
．
【答案】 /-0.5
【分析】由数列的递推关系，求出几项可以发现该数列是一个周期数列，且周期为3，求
解即可.
【详解】因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ， ， ，
所以 是一个周期数列，且周期为3，故 ．
故答案为：【变式3】（2024·福建福州·模拟预测）已知数列 中， ，
．
(1)证明：数列 为常数列；
(2)求数列 的前2024项和．
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）利用和差角的余弦公式，结合构造法推理即可.
（2）由（1）求出数列 的通项，再结合余弦函数的周期性，利用分组求和法求和即可.
【详解】（1）依题意，
，
则 化为 ，
而 ，则 ，因此 ，
所以数列 为常数列.
（2）由（1）知， ，由 ，即 是以6为周期的周期数列，令
，所以数列 的前2024项和
命题点3 数列的最值
【例题6】（2024·山东济南·二模）已知 是各项均为正整数的递增数列， 前 项和
为 ，若 ，当 取最大值时， 的最大值为（ ）
A．63 B．64 C．71 D．72
【答案】C
【分析】因为 是定值，要使当 取最大值时 也取得最大值， 需满足前
项是首相为 ，公差为 的等差数列，通过计算 的前 项和与 作比
较，前 项和与 作比较即可得出 的最大值.
【详解】因为 是定值，要使当 取最大值时 也取得最大值， 需满足各项尽
可能取到最小值，又因为 是各项均为正整数的递增数列，所以
，即 是首相为 ，公差为 的等差数列，其中 ；
的前 项和为 ；
当 时， ；
当 时， ；
又因为 ，
所以 的最大值为 ，此时 ， 取得最大值为.
故选：C
【变式1】（2024·天津·二模）已知数列 为不单调的等比数列， ，数列
满足 ，则数列 的最大项为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等比数列的概念求公比及通项公式，再利用指数函数的单调性求最大项即可.
【详解】由题意可知 或 ，
又 为不单调的等比数列，所以 ，则 ，
故 ，
若要求 的最大项，需 为偶数，则 ，
根据指数函数的单调性可知当 时， 为 的最大项.
故选：C
【变式2】（2023·上海普陀·一模）若数列 满足 ， （ ， ），
则 的最小值是 .
【答案】6
【分析】利用累加法求得 ，计算 ，由对勾函数的性质求最小值，注意 是正整数.
【详解】由已知 ， ，…， ， ，
所以， ，
又 也满足上式，所以 ，
设 ，由对勾函数性质知 在 上单调递减，在 递增，
因此 在 时递减，在 时递增，
又 ， ，
所以 的最小值是6，
故答案为：6
【变式3】（2024·安徽·模拟预测）已知数列 的首项 ，且满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)已知 ，求使 取得最大项时 的值．（参考值： ）
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）由递推关系将已知等式变形为 ，即可求出通项；
（2）由已知可设 ，代入 解不等式组求出即可.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
又 ，所以 ，所以 .
（2）由（1）有 ，
所以 ，
设 时， 最大，
因为 ，
所以 ，
即 ，
解得 ，又 ，
所以 ，
所以使 取得最大项时 的值为4
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·天津北辰·模拟预测）设数列 满足 ，则
数列 的前5项和为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】利用递推关系求出 ，再利用裂项相消法求和即可得出答案.
【详解】当 时， ，
当 时，
，
，
两式相减可得： ，所以 ，
又 时， ，所以 不满足 ，
所以 ，设 ，数列 的前 项和 ，
所以 ，
设数列 的前5项和为：
.
故选：D.
2．（23-24高三上·湖北·阶段练习）定义：在数列 中， ，其中d
为常数，则称数列 为“等比差”数列.已知“等比差”数列 中， ， ，则 （ ）
A．1763 B．1935 C．2125 D．2303
【答案】B
【分析】运用累和法和累积法进行求解即可.
【详解】因为数列 是“等比差”数列，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以有 ，
累和，得 ，
因此有 ，
累积，得 ，
所以 ，
故选：B
【点睛】关键点睛：本题的关键是运用累和法和累积法.
3．（2024·河北唐山·二模）已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由题意可得 ，由累加法可得 ，进而可求 .
【详解】由题意可得 ，
则可得 ，，
，
将以上等式左右两边分别相加得，
，即 ，
又 ，所以 .
故选：D.
4．（2024·辽宁大连·一模）数列 中， ，若数列 是等差数列，则
最大项为（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】D
【分析】根据等差数列的基本量确定数列 的首项与公差，从而可得通项 ，作差
确定差的符号，从而确定数列 的单调性，从而可得最大项.
【详解】若数列 是等差数列，则数列的首项为 ，公差为
，
所以 ，则 ，
所以 ，
则当 时， ，则 ；
当 时， ，故此时数列 单调递减，则综上， 最大项为 .
故选：D.
二、多选题
5．（2024·浙江绍兴·二模）已知等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，前 项积为 ，
且 ， ，则（ ）
A．数列 是递增数列 B．数列 是递减数列
C．若数列 是递增数列，则 D．若数列 是递增数列，则
【答案】ACD
【分析】写出 的表达式，根据 ， ，得到 或 ，由此即
可判断AB，进一步根据递增数列的定义 分别与 的关系即可判断CD.
【详解】由题意可知 ，且 ， ，
故有 且 （否则若 ，则 的符号会正负交替，这与 ， ，
矛盾），
也就是有 或 ，
无论如何，数列 是递增数列，故A正确，B错误；
对于C，若数列 是递增数列，即 ，由以上分析可知只能 ，故C
正确；对于D，若数列 是递增数列，显然不可能是 ，（否则 的符号会正
负交替，这与数列 是递增数列，矛盾），
从而只能是 ，且这时有 ，故D正确.
故选：ACD.
6．（2024·福建泉州·一模）已知数列 满足 ， ，则下列说法正确的
是（ ）
A．当 时， B．当 时，数列 是常数列
C．当 时， D．当 时，数列 单调递减
【答案】BCD
【分析】对于A，直接说明 即可；对于B，直接用数学归纳法即可；对于C和D，
用数学归纳法证明 ，再推知C和D的结论即可.
【详解】对于A，当 时，由 知A错误；
对于B，当 时，有 ，这意味着只要 就有 .
而 ，从而由数学归纳法即可证明 ，所以B正确；
对于C和D，当 时，我们用数学归纳法证明 .
当 时，由 知结论成立；
假设已有 ，则由 可知 .
所以 ，展开即 .这就得到 .
同时，由 可得 .
所以 .
故由数学归纳法可知 恒成立，所以C正确；
同时，由于 ，故 .
展开即 ，故 ，所以D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于是用数学归纳法证明数列的范围和单调性.
三、填空题
7．（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，若 ，
则 .
【答案】3
【分析】根据题意，结合 ，准确运算，即可求解.
【详解】因为 ，且 ，所以 ，解得 .
故答案为： .
8．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， ， ，数列 ，
满足 ，则数列 的前2024项的和为 ．
【答案】1
【分析】利用数列的递推公式求出数列的项，再利用特殊角的三角函数值及数列的周期性，
结合数列的求和公式即可求解.【详解】因为 ， ，
所以
…，
所以数列 的各项依次为3，1， ， ， ，2，3，1， ， ， ，2，…，其周
期为6．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
…，
所以数列 是周期为12的周期数列，前12项依次为3，0，2，0， ，0， ，0，
，0，1，0，
其前项12的和为 ．
又 ，
所以数列 的前2024项的和为等于前8项的和 ．
故答案为： .
9．（2024·四川泸州·三模）已知 是数列 的前 项和， ， ，则
.
【答案】
【分析】借助 与 的关系及累乘法计算即可得.
【详解】当 时， ，即 ， ，
则 ，即 ，
则有 ， ， ， ，
则 ，
当 时， ，符合上式，故 .
故答案为： .
四、解答题10．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ．
(1)求 ．
(2)若 ，则当 取最小值时，求 的值．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）利用 与 的关系，消去 ，求出 ，代入原式计算即得 ；
（2）依题意求得 的表达式，取 ，则需求 在 且 为
奇数时的最小值，根据此函数的单调性即可求得.
【详解】（1）由 ，
得 ．
两式相减，得 ，
所以 ，代入 ，
即得 .
（2）由（1）知 ，则 ，
不妨取 ，则 且 为奇数，
因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
因 且 为奇数，当 时， ， ，此时 ；当 时， ， ，此时 ，因 ，
故当 取得最小值 时， .
11．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列 满足 ， ， 是数列 的前
项和，对任意 ，有
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 的前100项的和.
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）根据 作差得到 ，从而得到
，结合等差数列的定义计算可得；
（2）由（1）可得 ，记 ，则 ，利用并项求和法计
算可得.
【详解】（1）由 ， ，
两式相减得 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
故 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ；
（2）由（1）知 ，所以 ，
记 ，则 ，
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·安徽·三模）已知数列 的前n项和 满足 ,则 （ ）
A．272 B．152 C．68 D．38
【答案】B
【分析】借助数列前n项和性质计算即可得.
【详解】 ，
则 .
故选：B.
2．（2024·河南·三模）设 为数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】B
【分析】根据 的关系可得递推公式 ，利用递推公式可得.
【详解】当 时， ，所以 ，
整理得 ，所以 .
故选：B．
3．（2024·安徽阜阳·一模）已知数列 满足 ，则“ 为递增数
列”是“ ”的（ ）A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由 为递增数列得 ，再由充分条件与必要条件的定义进行判断即可.
【详解】由 为递增数列得，
，
则 对于 恒成立，得 ．可得 ，反之不行，
故选：C．
4．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ，若 是递减数列，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得到 是等比数列，利用等比数列的通项公式得到 ，利用
是递减数列列出关于 的不等式，进而求出 的取值范围.
【详解】将 整理得 ，
又 ，易知当 时, ，不满足 是递减数列，故 ，
因此数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，
故 ，因此 ，
由于 是递减数列，故 恒成立，得 ，
化简得 ，故 ，
因此 ，解得 ，
故选：B．5．（2023·河南·模拟预测）已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A．2023 B．2024 C．4045 D．4047
【答案】C
【分析】根据递推关系化简后，由累乘法直接求 .
【详解】 ，
，
即 ，
可得 ，
.
故选：C.
6．（2024·山西·三模）已知数列 对任意 均有 .若
，则 （ ）
A．530 B．531 C．578 D．579
【答案】C
【分析】根据等差数列可得 ，再利用累加法求 .
【详解】因为 ，可知数列 是以首项 ，公差 的等差数列，
所以 ，
又因为 ，即 ，可得 ，
累加可得 ，
则 ，所以 .
故选：C.
7．（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，
则 （ ）
A．190 B．210 C．380 D．420
【答案】B
【分析】根据给定的递推公式，结合 变形，再构造常数列求出通项即可得解.
【详解】数列 中， ， ，当 时， ，
两式相减得 ，即 ，
因此 ，显然数列 是常数列，
而 ，解得 ，于是 ，因此 ，
所以 .
故选：B
8．（2024·天津·模拟预测）数列 各项均为实数，对任意 满足 ，定义：
行列式 且行列式 为定值，则下列选项中不可能的是（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】根据定义列方程组，判断 是否有实数解，结合周期性逐一验证判断即可.
【详解】由题知， ，
又 ，所以 ， 是周期为3的周期数列.
对于A，若 ， ，则 ，则 或
若 ，则 ，得 ，
又 ，
由周期性可知，当 时，满足 ，A不满足题意；
对于B，若 ， ，则 ，即 ，
又 ，消元整理得 ，
即 ，无实数解，故B满足题意；
对于C，若 ， ，则 ，
解得 ，显然 恒成立，C不满足题意；
对于D，若 ， ，则 ，解得 ，显然此时 恒成立，D不满足题意.
故选：B
【点睛】关键点睛：本题解题关键在于根据定义列方程组，判断 是否有实数解，当有
解时，结合周期性即可判断.
二、多选题
9．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）数列 满足 ，且对任意的 都有
，则（ ）
A． B．数列 的前 项和为
C．数列 的前 项和为 D．数列 的第 项为
【答案】AB
【分析】利用累加法求出数列 的通项公式，可判断AD选项；利用裂项相消法可判断
BC选项；
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，当 时，所以
，
也满足 ，故对任意的 ， .
所以数列 的第 项为 ，故A正确，D错误；
所以 ，所以数列 的前 项和为 ，故
B正确，C错误．
故选：AB.
10．（2023·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， ， 为 的前n项
和，则（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．存在实数m，使 为无穷多项的常数列
D．存在常数m， ，使 ， ， 成等差数列
【答案】BD
【分析】A.易得 是周期为3的周期数列求解判断；B.根据 是周期为3的周期数列求
解判断；C.设 为常数列，有 求解判断；D.根据根据 是周期为3的周期数
列求解判断.
【详解】解：当 时， ， ， ， ，…，∴ 是周期为3的周
期数列，∴ ，故A错误．
由A可知， ，∴ ，故B正确．
若 为常数列，则必有 ，故 ，即 ，此方程无解，故C
错误．
当 时，由A可知 ，故D正确．
故选：BD．11．（2024·重庆·模拟预测）已知数列 ， ，记 ，
，若 且 则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列 中的最大项为
C． D．
【答案】BD
【分析】由已知可得 时， ， 时 ，可证数列 是以 为首项，
为公差的等差数列，即可判断A选项， ，可判断B选项；再利用裂项相消
法可得 ，即可判断CD选项.
【详解】对于A，由已知 ，
当 时， ，即 ， ，
当 时， ，即 ，
所以 ，即 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，即 ，A选项错误；
对于B，所以 ， ，且数列 单调递减，
所以数列 中的最大项为 ，B选项正确；对于C， ，
，
所以 ，C选项错误；
对于D，又 ，所以 ，即 ，D选项正确；
故选：BD.
三、填空题
12．（2024·四川广安·二模）已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则
.
【答案】
【分析】利用累加法求出数列 的通项，再分组求和即可得解.
【详解】数列 中，由 ，得当 时， ，
则 ，
显然 满足上式，因此 ，
所以 .
故答案为：
13．（2023·河南新乡·二模）已知正项数列 满足 ， ， ，若
是 唯一的最大项，则k的取值范围为 ．
【答案】【分析】根据数列递推关系得到 是等比数列，进一步求出 的通项公式，利用
是最大项建立不等式求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，又 ， ，
所以 是首项为64，公比为k的等比数列，则 ，
则 ，
因为 是 唯一的最大项，所以 ，即 ，解得 ，
即k的取值范围为 .
故答案为： .
14．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，
则 取最大值时， 的值为 ．
【答案】
【分析】根据 求出 、 、 ，由等比中项有 ，进而求得 ，得到等比数列
的首项、公比、通项公式，再结合 的单调性，即可求出 最大时 的值.
【详解】 ， ， ，
因为 是等比数列，所以 ，有 ， ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， ，数列 是递减数列， ， ，
所以 时， 最大.
故答案为： .
四、解答题
15．（2024·河南·三模）已知数列 的各项都为正数，且其前 项和 .
(1)证明： 是等差数列，并求 ；
(2)如果 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析，
(2) .
【分析】（1）借助 与 的关系，结合等差数列定义计算即可得解；
（2）借助错位相减法计算即可得.
【详解】（1）当 时， 或 ，
因为 ，所以 ，
，
两式相减得 ，
因为 ，所以 ，
故 是首项为1，公差为 的等差数列，
；（2）由（1）知 ，
，
，
则 ，
，
所以 .
16．（2024·辽宁丹东·二模）已知数列 中， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 是等差数列，记 为数列 的前n项和， ， ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 ，得到 ，再利用累加法求解；
（2）设数列 的公差为d，根据 ，得到 ，从而 ，再由
求解.【详解】（1）由 ，得 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ．
（2）设数列 的公差为d，
因为 ，得 ，易知 ，
因为 ，所以 ，可得 ，
又因为 ，所以 ，所以 ．
17．（2024·河南信阳·模拟预测）在数列 中， ， ．
(1)记 ，证明： 为等比数列；
(2)记 为 的前 项和，若 是递增数列，求实数 的取值范围．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）根据题意递推公式结合等比数列定义分析证明；
（2）由（1）可得 ，进而可得 ，结合二次函数
性质分析求解.
【详解】（1）因为 ，即 ，
则 ，且 ，所以数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列.
（2）由（1）可知： ，即 ，
所以
，
可知 ，
若 是递增数列，结合二次函数对称性可得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
18．（2024·全国·模拟预测）数列 的前 项和为 ， ，
且 .
(1)证明： 为等差数列；
(2)对于任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据 即可代入化简得 ，由等差数列的定义即可求
解，（2）根据 可得 的表达式，进而将问题转化为 ，构造 ，利用作差
法确定数列的单调性，即可求解最值得解.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
化简得 ，又 ，
所以 ，又 ，
所以 是以1为首项，2为公差的等差数列.
（2）由（1）得 ，则 ，
故
则 ，
由 ，得 ，则 ，
令 ，
则 ，所以数列 单调递增，
又 ，故 ，所以实数 的取值范围是 .
19．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的各项均为正数， ， ．
(1)若 ，证明： ；(2)若 ，证明：当 取得最大值时， ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可得 ，则 ，结合 和累乘法计算即
可证明；
（2）由 可得 的最大值为8，进而
，得 ，结合等比数列前n项求和公式计算即可.
【详解】（1）由题意知， ，设 ， ，
， ， ，
当 时， ．
当 时， 满足 ，
综上， .
（2） ， ，
的最大值为8，当且仅当 时取等号．
而 ， ，
而 时， ，
，．
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·陕西咸阳·三模）在数列 中， ， ，则 （ ）
A．43 B．46 C．37 D．36
【答案】C
【分析】由递推公式 用累加法公式
求出 ，再求 即可.
【详解】法一：由题得
，
所以 .
法二：由题 ， ，
所以 .
故选：C.
2．（2024·全国·模拟预测）已知 为正项数列 的前 项和．若 ，且
，则 （ ）
A．7 B．15 C．8 D．16
【答案】B
【分析】本题可通过题中的一般项 与前 项和 的关系式，利用公式 来推导 和 的关系，再通过构造法构造新数列 并结合 来得到 的通项公式，
算出结果.
【详解】因为 ，
所以 ，即 ．
因为 ，所以 ，所以 ，
所以数列 是公比为2的等比数列，
所以 ，则 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，则 ．
故选：B．
3．（2024·全国·模拟预测）已知 ，数列 中， ， ， 为数
列 的前 项和， ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据 ，令 ，根据等差数列的定义和通项公式可得 ，再由
等差数列前 项和与通项关系即可得结论.
【详解】在 中，令 ，可得 ，所以 ，又 ，
所以数列 是以2为首项，2为公差的等差数列，则 ，
所以 ，所以 ．
故选：C．4．（2022·河南·模拟预测）已知数列 满足 ，
则数列 的前40项和 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知，根据题意由 可得：
，从而计算 ，
由 递推可得： ，结合
可得： ，从而计算
，将两组和合并即可完成求解.
【详解】由已知，数列 满足 ①， ②，
② ①得； ，
所以 ，
由 递推可得： ③，
③ ②得； ，，
所以
.
故选：D.
二、多选题
5．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）已知数列 满足 （m为正整数），
，则下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则m所有可能取值的集合为
C．若 ，则
D．若 ，k为正整数，则 的前k项和为
【答案】AC
【分析】A选项，依次计算出结果；B选项，从 推出m所有可能取值的集合为
；C选项， 从第5项开始为周期数列，且周期为3，求出 ；D选项，推出 的各项，利用等比数列求和公式求出答案.
【详解】A选项，若 ，则 ， ， ， ， ， ，
， ，故A正确；
B选项，若 ，则 ， 或7．
当 时， ， ， ，或 ， ， ；
当 时， ， ， ，或 ， ， ，
或 ， ， ，或 ， ， ，
故m所有可能取值的集合为 ，故B不正确；
C选项，若 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ，
…，
所以 从第5项开始为周期数列，且周期为3，则 ，
，故 ，C正确；
D选项，若 ，则 ， ，…， ， ，
所以 的前k项和为 ，故D不正确.
故选：AC
6．（2024·海南海口·二模）已知 为正项数列 的前 项和， ，
，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据题意及 与 的关系可得 ，从而得到数列 等差数列，从而
即可得到其通项公式，进而即可判断A；结合A可得 ， ，进而即可判断B；结合A可
得 ， ，再证明 即可判断C；构造函数
，对其求导，从而即可判断其单调性，再令 即可得到结论．
【详解】对于A，当 时，有 ，则 ，即 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，又 为正项数列，所以 ，故A正确；
对于B，结合A可得 ， ，
所以 ，故B正确；
对于C，结合A可得 ， ，
又
，
所以 ，故C错误；令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，则 ，
所以 ，
所以 ，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛：构造函数 ，对其求导，再结合其单调性是
解答选项D的关键．
三、填空题
7．（2023·广西·模拟预测）有穷数列 共有k项，满足 ， ，且当 ，
时， ，则项数k的最大值为 ．
【答案】
【分析】分析数列为有穷数列，且 ，所以项数最大的项 ，利用累加法可得
即可得解.
【详解】当 时， ，
因为有穷数列 ， ， ，
所以当项数 最大时， ，则 ，
， ，
将以上各式相加得 ，即 ，
，即 ，则 .
故答案为：
8．（2024·上海徐汇·二模）已知数列 的前 项和为 ，若 （ 是正整数），
则 .
【答案】
【分析】由已知结合数列的和与项的递推关系进行转化，然后结合等比数列的通项公式即
可求解．
【详解】因为 ，
时， ，
两式相减可得， ，
即 ， ，
因为 ，解得 ，
故数列 是以1为首项，以3为公比的等比数列，
所以 ．
故答案为：81．
9．（2024·内蒙古包头·一模）已知数列 的前 项和为 ， ， ，
，则 ．
【答案】6
【分析】根据题意，由递推公式可得数列 是周期为6的数列，再由 代入计算，即可得到
结果.
【详解】因为 ， ， ，
则 ， ， ， ， ，
所以数列 是周期为6的数列，且 ，
所以 .
故答案为：6
四、解答题
10．（2024·山东济南·一模）已知数列 的前n项和为 ， 且 ，令
.
(1)求证： 为等比数列；
(2)求使 取得最大值时的n的值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 或 .
【分析】（1）结合已知，由 时 化简得 ，再由 及等比数列
的定义证明即可；
（2）先求得 ，利用作商法判断数列 的单调性即可求得最值.
【详解】（1）由 ，可得 时，
即 ， ，又因为 ，所以 ， ，综上， ， ，所以 为首项和公比均为 的等比数列.
（2）由（1）可得 ，所以 ，
时， ，
令 ，可得 ，（或令 ，可得 ），
可知 ，
综上， 或 时， 的取得最大值 .
11．（2024·山东·模拟预测）已知数列 满足 ， ， ．
(1)若 ， 为递增数列，且 ， ， 成等比数列，求 ；
(2)若 ， ，且 是递增数列， 是递减数列，求数列 的通项公式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用数列 为单调递增数列，得到 ，再根据2， ， 成
等比数列，得到 ，即可求出的值.
（2）由数列 是递增数列得出 ，可得 ，但
，可得 ．可得 ；由数列是递减数列得出 ，可得 ，再利用累加法可求出数列 的通
项公式.
【详解】（1）因为 ，且 为递增数列，所以 ，
所以 为等差数列， 因为2， ， 成等比数列，
所以 ， 整理得 ，
得 ， ， 因为 为递增数列，
所以 .
（2）由于 是递增数列，因而 ，
于是 ①
但 ，
所以 ．②
又①，②知， ，
因此 ③
因为 是递减数列，同理可得 ，
故 ，④
由③，④即知， ，
于是，
故数列 的通项公式为 ．
【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题.
（1）数列 为等差数列，利用等差数列的性质即可；
（2）根据数列 是递增数列得， ，数列 是递减数列得，
，综合数列 和 即可得 ，最后利用累加法可求出数
列 的通项公式.
