文档内容
考点 09 函数的对称性（3 种核心题型+基础保分练+综合提
升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题．
【知识点】
1．奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于 对称，偶函数关于 对称．
(2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为 ；若f(x－2)是奇函数，则函数
f(x)图象的对称中心为 ．
2．若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点 对称．
3．两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于 对称；
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于 对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于 对称．
【核心题型】
题型一 轴对称问题
函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝成轴对称．
【例题1】（2024·辽宁·一模）已知函数 为偶函数，且当 时，
若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2024·四川泸州·二模）定义域为 的函数 满足 ，当
时，函数 ，设函数 ，则方程
的所有实数根之和为（ ）A．5 B．6 C．7 D．8
【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 ，公差不为0的等差数列
的前 项和为 .若 ，则 （ ）
A．1012 B．2024 C．3036 D．4048
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 及其导数 的定义域为 ，记
，且 都为奇函数．若 ，则 （ ）
A．0 B． C．2 D．
题型二 中心对称问题
函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y
＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点成中心对称．
【例题2】（2024·全国·模拟预测）设 是定义域为 的偶函数，且 为奇函数.
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·全国·模拟预测）定义在 上的偶函数 满足 ，则
（ ）
A． B．
C． D． 是奇函数
【变式2】（2024·四川南充·二模）已知函数 ，则函数 的图象（ ）
A．关于点 对称 B．关于点 对称C．关于点 对称 D．关于点 对称
【变式3】（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）定义在 上的函数 和 的图
象关于 轴对称，且函数 是奇函数，则函数 图象的对称中心为
（ ）
A． B． C． D．
题型三 两个函数图象的对称
函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称．
【例题3】（2024上·北京·高二统考学业考试）在同一坐标系中，函数 与
的图象（ ）
A．关于原点对称 B．关于 轴对称
C．关于 轴对称 D．关于直线 对称
【变式1】（2024下·江苏扬州·高三统考开学考试）定义在 上的函数 和
的图象关于 轴对称，且函数 是奇函数，则函数 图象的对称中心为
（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2020上·安徽·高一校联考期末）已知函数 是定义在R上的奇函数，
函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，那么 的对称中
心为( )
A． B． C． D．
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）若函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)与y
＝f(1－x)的图象关于直线（ ）
A．x＝0对称 B．y＝0对称 C．x＝1对称 D．y＝1对称【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）函数 满足对任意 都有
成立，函数 的图象关于点 对称，且 ，则
（ ）
A．-4 B．0 C．4 D．8
2．（2023·宁夏银川·模拟预测）已知函数 的图象关于点 对称，则
（ ）
A． B．1 C． D．2
3．（23-24高三上·全国·开学考试）已知函数 则 的图象关于
（ ）
A．点 对称 B．点 对称 C．直线 对称 D．直线 对称
4．（2023·云南·模拟预测）已知函数 ， 的定义域均为 ， ，
是偶函数，且 ， ，则（ ）
A． 关于直线 对称 B． 关于点 中心对称
C． D．
5．（2023·甘肃张掖·模拟预测）已知函数 的定义域为 ， 的图象关于点对称， ，且对任意的 ， ，满足 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
6．（2024·全国·二模）已知 是定义在 上不恒为0的函数， 的图象关于直线
对称，且函数 的图象的对称中心也是 图象的一个对称中心，则（ ）
A．点 是 的图象的一个对称中心
B． 为周期函数，且4是 的一个周期
C． 为偶函数
D．
7．（2024·江苏南通·二模）已知函数 ， 的定义域均为R， 的图象关于点
(2，0)对称， ， ，则（ ）
A． 为偶函数 B． 为偶函数
C． D．
三、填空题
8．（2024·宁夏银川·一模）已知偶函数 的图象关于直线 对称， ，且对任
意 ，均有 成立，若对任意 恒成立，则 的最小值为 .
9．（23-24高三下·河南濮阳·开学考试）已知函数 的定义域为 ，且 的图象
关于点 中心对称，若 ，则 .
四、解答题
10．（2024高三·全国·专题练习）下列函数是否存在对称轴或对称中心？
(1)f(x)＝ ；
(2)f(x)＝(ex－e－x)2；
(3)f(x)＝2x＋ .
11．（2024·湖南·二模）已函数 ，其图象的对称中心为 .
(1)求 的值；
(2)判断函数 的零点个数.
12．（2024高三下·浙江杭州·专题练习）已知函数 关于点 中心对称．
(1)求函数 的解析式；(2)讨论 在区间 上的单调性；
(3)设 ，证明： ．
综合提升练
一、单选题
1．（2024·云南昆明·一模）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为增函数 B． 有两个零点
C． 的最大值为2e D． 的图象关于 对称
2．（2024·河南新乡·二模）已知函数 满足 ，则下列结论一
定正确的是（ ）
A． 是奇函数 B． 是奇函数
C． 是奇函数 D． 是奇函数
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ， ，则 与
的图象交点的纵坐标之和为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
4．（2024·全国·模拟预测）若定义在 上的函数 满足 ，且
，则下列结论错误的是（ ）
A． B． 的图象关于直线 对称C． D． 是奇函数
5 ． （ 23-24 高 三 下 · 山 东 菏 泽 · 阶 段 练 习 ） 已 知 函 数 定 义 域 为 ， 且
， 关于 对称，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2024·陕西西安·模拟预测）已知 的定义域为 ，函数 满足
， 图象的交点分别是
， ，则 可能值为（ ）
A．2 B．14 C．18 D．25
7．（2024·福建漳州·一模）已知可导函数 的定义域为 ， 为奇函数，设
是 的导函数，若 为奇函数，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2024·安徽芜湖·二模）已知函数 的定义域为 ，且 为奇函数，
为偶函数， ，则 =（ ）
A．4036 B．4040 C．4044 D．4048
二、多选题
9．（2023·山东·模拟预测）已知函数 的定义域为 ， 为奇函数，
， ，且 在 上单调递减，则（ ）A． B．
C． 在 上单调递减 D． 在 上有50个零点
10．（2024·全国·模拟预测）设 是定义域为 的偶函数，且 为奇函数．若
，则（ ）
A． 的图象关于点 对称 B． 的周期是2
C． 的图象关于直线 对称 D．
11．（2024·湖北·二模）我们知道，函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充
要条件是函数 为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数 的图象关于
点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数．已知函数
，则下列结论正确的有（ ）
A．函数 的值域为
B．函数 的图象关于点 成中心对称图形
C．函数 的导函数 的图象关于直线 对称
D．若函数 满足 为奇函数，且其图象与函数 的图象有2024个交
点，记为 ，则
三、填空题
12．（2024高三·全国·专题练习）若函数y＝g（x）的图象与y＝ln x的图象关于直线x＝2对称，则g（x）＝ ．
13．（2024·宁夏银川·一模）已知定义在R上的偶函数 满足 ，当
时， .函数 ，则 与 的图象所有交点的横坐
标之和为 .
14．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知定义在 上的函数 ，
满足不等式 ，则 的取值范围是 ．
四、解答题
15．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知函数 ，函数 与 关于点
中心对称．
(1)求 的解析式；
(2)若方程 有两个不等的实根 ， ，且 ，求a的值．
16．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 ．
(1)求证：函数 的图象关于点 对称；
(2)求 的值．17．（23-24高三上·上海·期中）已知函数 .
(1)当 时，确定是否存在 ，使得 的图象关于原点中心对称；
(2)对于任意给定的非零常数 ， 的图象与 轴负半轴总有公共点，求 的取值范
围；
(3)当 时，函数 的图象与 图象关于点 对称，若对任意： ，
恒成立，求 的取值范围.
18．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数 的图象关于
直线 对称．
(1)求m的值，及 的最小值；
(2)设 ， 均为正数，且 ，求 的最小值.
19．（23-24高三下·山东·开学考试）已知函数 ．(1)讨论函数 的单调性；
(2)设函数 ．
（ⅰ）求 的值；
（ⅱ）证明：存在实数 ，使得曲线 关于直线 对称．
拓展冲刺练
一、单选题
1．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）已知函数 ，则 的图象（ ）
A．关于点 对称 B．关于直线 对称
C．关于点 对称 D．关于直线 对称
2．（2024·山西吕梁·一模）已知函数 满足 ，
则下列结论不正确的是（ ）
A． B．函数 关于直线 对称
C． D． 的周期为3
3．（2023·四川乐山·一模）已知函数 定义域为R，且满足 ， ，
，给出以下四个命题：
① ；② ；
③ ；
④函数 的图象关于直线 对称.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（22-23高三下·全国·阶段练习）已知函数 ，则下列关于 的结论
中正确的是（ ）
A． 在 上有最小值 B．若 ，则 有最大值
C． D． 关于点 中心对称
5．（2023·新疆乌鲁木齐·二模）已知 ， 都是定义在 上的函数，对任意x，y满
足 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．函数 的图象关于点 对称
C． D．若 ，则
二、多选题
6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知函数 ， ，则
（ ）
A．将函数 的图象右移 个单位可得到函数 的图象
B．将函数 的图象右移 个单位可得到函数 的图象
C．函数 与 的图象关于直线 对称D．函数 与 的图象关于点 对称
7．（2024·吉林白山·二模）已知函数 的定义域为 ，其图象关于 中心对称，若
，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．（2023·四川泸州·一模）函数 的对称中心为 ．
9．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数 ，则
．
四、解答题
10．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 ， 且
(1)证明：函数 的图像关于直线 对称；
(2)若 满足 但 ，则 称为函数 的二阶周期点，如果 有两
，
个二阶周期点 ，试确定实数 的取值范围．
11．（2023·上海嘉定·二模）已知 ，等差数列 的前 项和为 ，记．
(1)求证：函数 的图像关于点 中心对称；
(2)若 、 、 是某三角形的三个内角，求 的取值范围；
(3)若 ，求证： ．反之是否成立？并请说明理由．
