文档内容
专题12 三角函数值的相关计算与应用（11大题型）
【题型目录】
题型一 求特殊角的三角函数值
题型二 特殊角三角函数值的混合运算
题型三 由特殊角的三角函数值判断三角形形状
题型四 由计算器求锐角三角函数值
题型五 根据特殊角三角函数值求角的度数
题型六 已知角度比较三角函数值的大小
题型七 根据三角函数值判断锐角的取值范围
题型八 利用同角三角函数关系求值
题型九 求证同角三角函数关系式
题型十 互余两角三角函数的关系
题型十一 三角函数综合
【知识梳理】
知识点1：特殊锐角三角比的值
1.特殊锐角的三角比的值
30°
45° 1 1
60°
3.通过观察上面的表格，可以总结出：当0 90 ， 的正弦值随着角度的增大而增大， 的余弦值随着角度的增大而减小； 的
正切值随着角度的增大而增大， 的余切值随着角度的增大而减小．
【经典例题一 求特殊角的三角函数值】
1．（2023上·湖南娄底·九年级校考阶段练习）下列各式中不正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查特殊角三角函数值及同角三角函数的关系，互余两角三角函数的关系．根据特殊角三角
函数值及同角三角函数的关系，互余两角三角函数的关系解答即可．
【详解】解： ， ， ， ，
A、正确，符合同角三角函数的关系，不符合题意；
B、错误， ，符合题意；
C、正确，符合同角三角函数的关系，不符合题意；
D、正确， ， ，不符合题意．
故选：B．
2．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）若 是锐角， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】本题考查了特殊角三角函数的函数值，根据 是锐角， ，得到 ，即可求 的值．
【详解】解： 是锐角， ，
，
，
故选：B．3．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中） 的算术平方根等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值及求算术平方根，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：根据特殊角的三角函数值可知，
，
的算术平方根为 ，
故答案为 ．
4．（2023上·重庆万州·九年级重庆市万州第二高级中学校考期中） ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及负整数与零指数幂、特殊角三角函数．根据负整数指数幂、特
殊角三角函数及零指数幂进行计算即可．
【详解】解：原式
．
5．（2023秋·全国·九年级专题练习）先化简，再求代数式 的值，其中
； ．
【答案】 ；
【分析】分别化简代数式和字母的值，再代入计算．
【详解】原式，
∵ ； ，
∴原式 ．
【点睛】本题考查分式的化简求值，分母有理化，特殊角三角函数值，解题的关键是先化简，然后把给定
的值代入求解．
【经典例题二 特殊角三角函数值的混合运算】
1．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）计算 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查特殊角三角函数值的计算，运用特殊角的三角函数值计算．
【详解】解： ．
故选：A．
2．（2023下·黑龙江大庆·八年级校考期中）下列计算结果是有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的运算法则和特殊角的三角函数值计算各选项，再判定即可得出答案．
【详解】解：A、 ，结果是无理数，故此选项不符合题意；
B、 ，结果是有理数，故此选项符合题意；C、 ，结果是无理数，故此选项不符合题意；
D、 ，结果是无理数，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式运算，特殊角三角函数，有理数．熟练掌握二次根式运算和特殊角三角函数值
是解题的关键．
3．（2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第九中学校考期中） ．
【答案】
【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，直接利用特殊角的三角函数值代入，进而化简得出答案．
【详解】解：原式 ．
故答案为： ．
4．（2023下·九年级课时练习） ．
【答案】
【详解】原式 ．
【易错点分析】三角函数的定义、特殊角的三角函数值容易混淆．解决办法分别有画图、整体规律记忆、
各特殊角的三角函数值相互之间的联系记忆．
5．（上海市闵行区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）计算：
【答案】
【分析】直接利用特殊角的三角函数值，分别代入计算得出答案．
【详解】解：原式．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
【经典例题三 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】
1．（2022下·全国·九年级专题练习）若 ，则 是（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．含有 的任意三角形
D．顶角为钝角的等腰三角形
【答案】B
【分析】根据 利用非负数的性质求得 ，再利用特殊角的三角
函数值求出 ，即可得到结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
故选：B．
【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值、等边三角形的判定等知识，熟练掌握特殊角的三角函数值是解
题的关键．
2．（2019上·广东梅州·九年级广东梅县东山中学校考期末）在 中， 、 都是锐角，且
， ，则 是（ ）.
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【分析】根据特殊角的三角函数值求出 ，然后利用三角形内角和定理求出 的度数，即可解答．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
3．（2022上·山东泰安·九年级校考阶段练习）在 中，若 ，则 是
三角形．
【答案】等边
【分析】直接绝对值的性质以及偶次方的性质得出 ， ，再利用特殊角的三角函数值求
出答案．
【详解】解： ，
， ，
， ，
是等边三角形．
故答案为：等边．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
4．（2023上·山东威海·九年级山东省文登第二中学校联考阶段练习）在 中，若
， ， 都是锐角，则 的形状是 ．
【答案】钝角三角形
【分析】由题意易得 ，则有 ，然后问题可求解．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的形状是钝角三角形；
故答案为钝角三角形．
【点睛】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键．
5．（2022春·全国·九年级专题练习）如图， 在平面坐标系内，点 ， ．点 为 轴
上动点，求 的最小值．
【答案】
【分析】取 ，连接 ，作 ， 于 交 轴于 ，先利用坐标求出线段长，得到
，进而得到 ，推出 ， ，得到 ，再利用
垂线段最短，得到当 与 重合， 与 重合时， 最短，即为 的长，利用三角函数即可求出
答案．
【详解】解：如图，取 ，连接 ，作 ， 于 交 轴于 ，， ，
， ， ， ，
，
，
， ，
，
当 与 重合， 与 重合时， 最短，最小值即为 的长，
在 中， ，
的最小值为 ．
【点睛】本题考查了垂线段最短，锐角三角函数，30度角所对的直角边等于斜边一半，学会转化线段是解
题关键．
【经典例题四 由计算器求锐角三角函数值】
1．（2022·山东东营·模拟预测）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：
2 yx 3 － 16 ＝，按键的结果为m；
2ndF 6 4 － 2 x2 ＝，按键的结果为n；
9 ab/c 2 － cos 60 ＝，按键的结果为k．
下列判断正确的是（ ）A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k
【答案】C
【分析】分别计算出m，n，k的值即可得出答案．
【详解】解：m＝23− ＝8−4＝4；
n＝ −22＝4−4＝0；
k＝ −cos60°＝ − ＝4；
∴m＝k，
故选：C．
【点睛】本题考查了计算器的使用，注意二次根式的副功能是立方根．
2．（2023秋·九年级课时练习）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．
A．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是 ．
B．用科学计算器计算：13× ×sin14°≈ （结果精确到0.1）
【答案】 9 11.3
【分析】A、首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数；
B、利用科学计算器计算可得．
【详解】解：A．∵正多边形的一个内角是140°，
∴它的外角是：180°-140°=40°，
则这个正多边形的边数为：360°÷40°=9．
故答案为：9．
B.13× ×sin14°≈13×3.61×0.24≈11.3，
故答案为：11.3．
【点睛】此题主要考查了多边形的外角与内角和计算器的使用，做此类题目，首先求出正多边形的外角度
数，再利用外角和定理求出求边数．
3．（2023秋·九年级课时练习）用计算器求下列各式的值（精确到0.0001）：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．【答案】(1)0.7314
(2)0.2164
(3)0.9041
(4)
【分析】利用计算器求出结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ；
（4）解： ．
【点睛】本题考查计算锐角三角函数值，熟练使用计算器是解题的关键．
【经典例题五 根据特殊角三角函数值求角的度数】
1．（22·23上·西安·阶段练习）如图，点A为反比例函数 图像上一点，B、C分别在x、y轴上，
连接AB与y轴相交于点D，已知 ，且 的面积为2，则k的值为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【分析】先根据 ，得 ，根据同底等高可以得到 ，即可求
得k的值．
【详解】解：连结， 轴，
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数 图象中任取一点，过这一个
点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
2．（22·23下·九江·三模）如图，已知在抛物线 上有一点 ， 轴于B点，连接 ，
将 绕O点顺时针方向旋转一定的角度后，该三角形的A．B两点中必有一个顶点落在抛物线上，这
个角度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，设抛物线与y轴的交点为点C，则点C坐标为 ，再根据 可得当点A与抛物线顶点C重合时满足题意，再利用锐角三角函数求得 ，从而求得旋转角度．
【详解】解：如图，设抛物线与y轴的交点为点C，则点C坐标为 ，
∵ ， 轴于B点，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴将 绕O点顺时针方向旋转 ，该三角形的A与抛物线的顶点C重合，
故选：B．
【点睛】本题考查抛物线与y轴的交点，旋转的性质、勾股定理及锐角三角函数，根据抛物线求得顶点坐
标，从而确定旋转角度是解题的关键．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系 中，顶点为 的抛物线
经过点 和 轴正半轴上的点 ， ．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)联结 ，求 的度数；
(3)联结 、 、 ，若在坐标轴上存在一点 ，使 ，求点 的坐标．【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）根据已知条件求出点 的坐标，将 ， 的坐标代入 ，即可求得 、 ，从而求
得抛物线的表达式.
（2）应用二次函数的性质，求出点 的坐标，从而求得 ，进而求得 的大小.
（3）根据（2）的结论得出 ，进而分类讨论，即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴ ，
∵
∴ ，则
将 ， 代入
得： ，
解得 ，
∴这条抛物线的表达式为 ；
（2）过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
∵
∴ ，∴ ，则
∵
∵
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ .
∴ .
（3）解：∵ ,
∴
∵
∴ ，
∴ ，
∵
∴ 轴或
如图所示，当 轴时， ，
当 时， ，则 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，已知特殊角的三角函数值求角度，等腰三角形的性质
与判定，等边三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【经典例题六 已知角度比较三角函数值的大小】
1．（2019上·淮北·阶段练习）已知 ，那么锐角 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据当α=45°时sinα=cosα和正弦函数和余弦函数的增减性即可得出答案．
【详解】解：∵α=45°时sinα=cosα，当α是锐角时sinα随α的增大而增大，cosα随α的增大而减小，
∴45°＜α＜90°．
故选D．
【点睛】考查了锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，余
弦值随着角度的增大而减小．
2．（2022上·邵阳·期末）下列说法中正确的是（ ）
A． B．若 为锐角，则
C．对于锐角 ，必有 D．若 为锐角，则
【答案】B
【分析】根据锐角三角函数的定义及性质、特殊角三角函数逐项判断即可．
【详解】A、 ，故说法不正确；B、对于任一锐角，这个角的正弦等于它的余角的余弦，即若 为锐角，则 ，故说法正
确；
C、当 =60°时， ，则 ，故说法不正确；
β
D、当 =45°时， ，故说法不正确；
α
故选：B
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及性质、特殊角的三角函数等知识，掌握它们是关键．
3．（2021春·全国·九年级专题练习）我们知道，锐角的三角函数值都是随着锐角的确定而确定、变化而变
化的，如图所示.
（1）试探索随着锐角度数的增大，它的三角函数值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试分别比较 ， ， ， 角的正弦，余弦，正切值的大小.
【答案】（1）锐角的正弦值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小.锐角的正切值
随着角度的增大面增大；（2）见解析
【分析】（1）根据概念结合图中几个锐角角，就能发现随着一个锐角的增大，它的对边在减小，邻边在
增大，即可找到正余弦变化规律
（2）根据（1）中规律即可
【详解】解：（1）由题图可知， .
∵ ，
，
，又∵ ，且 ，
∴ ，
∴
∵ ， ，
，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
，
又∵ ， ，
∴ .
∴ .
规律：锐角的正弦值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小.锐角的正切值随着角度
的增大面增大.
（2） ；
；
.
【点睛】本题考查锐角三角函数的求法以及比较大小，熟练掌握锐角函数的定义是解题关键【经典例题七 根据三角函数值判断锐角的取值范围】
1．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考开学考试）已知 ，则锐角 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据特殊角的三角函数值， ， ，再由余弦函数值在锐角范围内，随角
度增大而减小即可得到答案
【详解】解： ， ，
由 可得 ，
在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小，
，
故选：D．
【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值及余弦函数的性质比较角度大小，熟练掌握特殊角的三角函数
值性质是解决问题的关键．
2．（2022春·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD 中，O是对角线AC的中点，E为AD上一点，若
，则AB的最大值为 ．
【答案】4
【分析】设 ，则 ，根据 ， ，根据正弦的增减性可得，当
最大值， 取得最大值，进而即可求解．【详解】设 ，则 ，
则
过点 ，则
，当 点与 点重合时， 取得最大值，此时 最大，则 最大，即 取得最大值，
此时 ，
的最大值为
故答案为：4
【点睛】本题考查了矩形的性质，正弦的增减性，掌握三角函数的关系，矩形的性质是解题的关键．
3．（2022春·九年级单元测试）（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化
而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较 ， ， ， ， ，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“>”或“=”）
若 ，则 ___________ ；若 ，则 __________ ；若 ，则
__________ ；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小： ， ， ，
．【答案】（1）见解析；（2） ；
；（3）=，＜，>；（4）
【分析】（1）在图（1）中，令 ， 于点 ， 于点 ， 于
点 ，有 ， ．利用正弦公式求得
；依据余弦公式得到 ；
（2）由（1）得，当角度越大时，正弦值越大；当角度越大时，余弦值越小，即可得到答案；
（3）利用概念分别得到 、 、 的正弦值和余弦值，比较即可得到答案；
（4）由 ， ，利用（1）的结论解答即可．
【详解】（1）在图（1）中，令 ， 于点 ， 于点 ， 于
点 ，
显然有： ， ．
∵ ， ， ，
而 ．
∴ ．
在图（2）中， 中， ，
， ， ，
∵ ，
∴ ．
即 ．
（2）由（1）得，当角度越大时，正弦值越大；当角度越大时，余弦值越小，
∴ ；
．（3）∵ ， ，
∴若 ，则 ；
∵ ， ，
∴若 ，则 ；
∵ ， ，
∴若 ，则 ．
故答案为：=，<，>；
（4）∵ ， ，且 ，
∴ ．
【点睛】此题考查了锐角三角函数的概念，掌握锐角三角函数值的变化规律以及正余弦的转换方法是解题
的关键．
【经典例题八 利用同角三角函数关系求值】
1．（2023上·湖南邵阳·九年级统考阶段练习）如果 是锐角，且 ，那么 的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了同角的三角函数的关系，熟练掌握同角的三角函数的关系是解答本题的关键．
根据题意得 ，利用 求出答案．
【详解】解： ，
．
故选： ．
2．（2023·湖南娄底·统考中考真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的 的面积为 ． 的边a、
b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则 ．下列结论中正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题利用三角函数间的关系和面积相等进行变形解题即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴
即 ，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查等式利用等式的性质解题化简，熟悉 是解题的关键．
3．（2022上·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）已知 ， 是锐角，则 .【答案】
【分析】根据 求得 的值，再根据 求出 即可．
【详解】解： ， 是锐角，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查三角函数，解题的关键是掌握正弦函数、余弦函数、正切函数之间的关系．
4．（2023上·福建莆田·九年级校考开学考试）在 中， ，若 ，则 的值为
．
【答案】
【分析】设 ，根据勾股定理求出 的长，再根据 即可
【详解】解：如图所示， ，
设 ，
则 ，．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了同角的三角函数，勾股定理，关键是熟练运用数形结合的数学方法．
5．（2022·湖南湘潭·校考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：
， ；
， ．
例： ．
(1)试仿照例题，求出 的值；
(2)若已知锐角α满足条件 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把 化为 直接代入三角函数公式 计算即可；
（2）把 化为 直接代入三角函数公式 计算即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴；
（2）解：∵ ， ，α为锐角，
解得 ，
∴
．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解答本题的关键是根据题目中所给信息结
合特殊角的三角函数值来求解．
【经典例题九 求证同角三角函数关系式】
1．（2023·福建泉州·南安市实验中学校考二模）常听到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述话语中所含
有的数学语言应正确表达为（ ）（假设有任意角α）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意即可写出式子．
【详解】解：“正弦平方加余弦平方”的数学语言为： ，
故选：B．
【点睛】本题考查同角三角函数关系，明确题意，用数学语言正确表达是解题的关键．
2．（2020上·九年级校考课时练习）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于 的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据题意，画出图形，根据正切的定义和同角的正切值相同即可得出结论．
【详解】解：如下图所示
在Rt 中， = ，故A不符合题意；
在Rt 中， = ，故B不符合题意；
∵∠A＋∠ACD=90°，∠BCD＋∠ACD=90°
∴∠A=∠BCD
∴ =tan∠BCD= ，故C不符合题意；
≠ ，故D符合题意．
故选D．
【点睛】此题考查的是正切，掌握正切的定义和同角的正切值相同是解决此题的关键．
3．（2018下·九年级单元测试）已知：实常数 同时满足下列两个等式：⑴ ；
⑵ （其中 为任意锐角），则 之间的关系式是：
【答案】a2+b2=c2+d2
【分析】把两个式子移项后，两边平方，再相加，利用sin2θ+cos2θ=1，即可找到这四个数的关系．
【详解】由①得asinθ+bcosθ=c，
两边平方，a2sin2θ+b2cos2θ+2absinθcosθ=c2③，
由②得acosθ-bsinθ=-d，
两边平方，a2cos2θ+b2sin2θ-2absinθcosθ=d2④，
③+④得a2（sin2θ+cos2θ）+b2（sin2θ+cos2θ）=c2+d2，
∴a2+b2=c2+d2．
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，sin2θ+bcos2θ=1的应用是解题的关键，属于基础
题．
4．（2019下·九年级单元测试）已知： ， ，，请你根据上式写出你发现的规律 ．
【答案】
【分析】从角度的倍数关系方面考虑并总结写出结论．
【详解】根据题意发现：同一个角正弦与余弦的积等于这个角的2倍的正弦的一半，
规律为： .
故答案为 .
【点睛】本题考点：同角三角函数的关系.
5．（2022春·九年级单元测试）如图，在 中， 、 、 三边的长分别为 、 、 ，则
， ， ．我们不难发现： ， 试探求 、 、 之
间存在的一般关系，并说明理由．
【答案】 ； ，理由见解析
【分析】利用勾股定理可得 ，用 ， ， 表示正弦，余弦的平方和，即可得出
；根据题意得出 ，即可得出 ．
【详解】存在的一般关系有： ， ，
证明： ， ，，
， ，
，
．
【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理的知识，熟练应用锐角三角函数关系是解答本题的关
键．
【经典例题十 互余两角三角函数的关系】
1．（2023上·辽宁沈阳·九年级东北育才双语学校校考阶段练习）在 中， ， ，则
下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据各个三角函数的定义即可解答．
【详解】解：A、∵ ，∴ ，故A不成立，不符合题意；
B、 ，∴ ，故B成立，符合题意；
C、 ，∴ ，故C不成立，不符合题意；
D、 ，∴ ，故D不成立，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，解题的关键的数量掌握各个三角函数的求法．2．（2023上·黑龙江大庆·九年级校联考开学考试）已知 ，则锐角 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据特殊角的三角函数值， ， ，再由余弦函数值在锐角范围内，随角
度增大而减小即可得到答案
【详解】解： ， ，
由 可得 ，
在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小，
，
故选：D．
【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值及余弦函数的性质比较角度大小，熟练掌握特殊角的三角函数
值性质是解决问题的关键．
3．（2023上·山东青岛·九年级统考期中）在 中， ， ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系，根据锐角三角函数的定义即可解答．
【详解】解：在 中， ， ，
∴ ．
故答案为： ．
4．（2019上·上海青浦·九年级校考期中）已知 ， ，则 ．
【答案】 /
【分析】应用互余两角三角函数的关系 进行计算即可得出答案．【详解】解：根据题意可得， ，
，
，
，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了互余两角三角函数的关系，熟练掌握互余两角三角函数的关系进行求解是解决本
题的关键．
5．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题．
(1) ； ； ．
(2)观察上述等式，猜想：在 中， ，都有 ；
(3)如图④，在 中， ， ， ， 的对边分别是 ， ， ，利用三角函数的定义
和勾股定理，证明你的猜想；
(4)若 ，且 ，求 的值．
【答案】(1)1，1，1
(2)1
(3)证明见解析
(4)
【分析】（1）根据三角函数定义，数形结合，分别得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得到答案；
（2）由（1）中运算结果即可得到答案；
（3）根据题意，由勾股定理及三角函数定义，得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得证；
（4）由上述归纳及证明的结论知 ，结合 ，根据完全平方和公式恒等变形，
由 确定 ，代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解： ，
，
，
故答案为：1，1，1；
（2）解：由（1）中运算结果即可猜想在 中， ，都有 ，
故答案为：1；
（3）证明：在 中， ， ， ， 的对边分别是 ， ， ，
由勾股定理即可得到 ，
，
；
（4）解： ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查三角函数计算综合，涉及三角函数定义、同角三角函数关系、勾股定理及三角函数恒等变形求值，数形结合，灵活运用三角函数定义是解决问题的关键．
【经典例题十一 三角函数综合】
1．（2023上·上海青浦·九年级校考阶段练习）在 中， ， ，则下列各式中正确的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理计算得 ，根据锐角三角函数分别进行计算即可得．
【详解】解：在 中， ， ，
则 ，
∴ ，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
2．（2022上·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期末）如图， 是半圆 的直径，弦
相交于点P，那么 （ ）A． B． C． D．以上都不对
【答案】B
【分析】由图，可证 ，得 ．连接 ，则 ，得 ．
【详解】解：由图知，
∴ ．
∴ ．
连接 ，则 ，
∴ ．
故选：B
【点睛】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数；添加辅助线，构造直角三角形
是解题的关键．
3．（2023上·山东烟台·九年级统考期中）当 为锐角，且 时， 的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性．根据 及 即可求解，
熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键，此题基础题，比较简单，也是一道
常考试题.
【详解】解： ，且 ， ， 为锐角，
，
故答案为：
4．（2023上·陕西西安·九年级校考期中）如图，在平行四边形 中， ，E是 边上的点，， ，F是 边上的一点，且 ，若M、N分别是线段 、 上的动点，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】过点F作 的对称点G，过点G作 于点Q，则 的最小值为 ，利用三角函
数，勾股定理，平行四边形的性质，计算即可，熟练掌握三角函数是解题的关键．
【详解】过点F作 的对称点G，过点G作 于点Q，交 于点H，则 的最小值为
，
∵平行四边形 中， ，
∴ , ，
∴ ，
解得 ，
∴ ， ，
过点A作 于点O，
∴ ，
解得 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
5．（2022秋·江苏徐州·九年级校联考阶段练习）如图（1）， 中， 于点D．由直角三角形边角关系，可将三角形的面积公式变形为 ，即三角形的面积等于两边
之长与夹角正弦值之积的一半
如图（2），在 中， 于点D， ， ，
∵ ，由公式①，得 ，即：
．
(1)请证明等式： ；
(2)请利用结论求出 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】由题意知， ， ，由 ，两边
同时除以 得， ，代入求解即可；
（2）根据 ，计算求解即可．
【详解】（1）证明：由题意知， ， ，
∵ ，
两边同时除以 得， ，∴ ；
（2）解：由题意知，
；
【点睛】本题考查了锐角三角函数的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【重难点训练】
1．（2023上·浙江宁波·九年级校考期中）在 中， ， 是 边上的高，如果 ，
，那么 的长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形，根据条件可得 ， ，再根据
即可求解．
【详解】解：∵在 中， ， 是 边上的高， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，∴ ．
故选：C．
2．（2023上·河北唐山·九年级统考期中） 的结果是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】B
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握 、 、 角的三角函数值是解题的关键，按照题
中所给式子进行运算即可．
【详解】解： ， ， ，
∵
∴
故选：B．
3．（2023上·四川广元·九年级校考阶段练习）在 中， ，若 ，则 的值为
（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 ，设 ，根据正切的定义，即可得答案．
【详解】解：由题意，得 ，
故设
则 ，故选：B．
【点睛】本题考查三角函数的定义以及勾股定理，设 是解题关键．
4．（2023上·山东聊城·九年级校考阶段练习）在 中，若 ，则 的度数是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意知 ， ，解得 ， ，根据 ，计算求
解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
解得 ， ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，根据特殊角三角函数值求角的度数，三角形内角和定理．解题的关
键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
5．（2023·湖南娄底·统考一模）定义一种运算： ，
例如：当 ， 时，
，则 的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 ，可以计算出 的值．
【详解】解：由题意可得，，
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形、二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定
义解答．
6．（2022下·浙江·九年级专题练习）已知 ，关于角 的三角函数的命题有：① ，
② ，③ ，④ ，其中是真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据三角函数的计算法则以及余弦函数、正弦函数和正切函数的增减性即可作答．
【详解】解：由 ，得 ，故①正确；
，故②错误；
由 可得 ，与 矛盾，故③错误；
，故④正确；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角函数的计算，掌握相应的考点知识是解答本题的关键．
7．（2023上·山东淄博·九年级统考期中）在正方形网格中，A，B，C，D，E均为格点，则
．【答案】1
【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理和特殊角三角函数值，解答本题的关键是利用数形结合的
思想解答．根据题意，连接 、 ，然后利用勾股定理的逆定理，可以判断 的形状，从而可以
求得 的度数，再求出正切值即可．
【详解】解：连接 、 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
设小正方形的边长为1，
则 ， ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
即 ，
∴ ，
故答案为：1．
8．（2023上·浙江·九年级校联考期中）若 的直径 为2，弦 ，弦 ，则 的度
数为 ．
【答案】 或
【分析】分点C、D在直径 的同侧和异侧两种情况，分别连接 ，分别在 和
中，根据三角形函数求得 和 的度数，最后根据角的和差即可解答．
【详解】解：①如图①：当C、D在 同侧时，连接 ，则 .在 中， ， ，
∴ ，即 ,
∴ ，
在 中， ，
∴ ，即 ；
∴ ；
②如图2：当C、D在 异侧时，同理可得：
故 的度数为 或 ．
故答案为: 或 ．
【点睛】本题主要考查的是圆周角定理、直角三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识点，掌握分类讨
论思想是解答本题的关键．
9．（2023上·山东淄博·九年级校考阶段练习）已知 为锐角， ，则 ．
【答案】
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．
【详解】解：∵a为锐角，且 ，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了根据特殊角的三角函数值求角度，正确记忆特殊角三角函数值是解题的关键．
10．（2023上·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，正方形 中，点E、F分别在边 上，, ，则 °；若 的面积等于1，则 的值是 ．
【答案】 60
【分析】利用“ ”先说明 与 全等，得结论 ，再利用角的和差关系及三角
形的内角和定理求出 ；先利用三角形的面积求出 ，再利用直角三角形的边角间关系求出 ．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ．
∴
∴ ．
故答案为：60．
过点F作 ，垂足为G．
∵ ，
∴ ．∴ ，
∵ ，
∴
∴ ．
在 中，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质及解直角三角形，掌握正方形的性质及直角三角形的边角间关系是
解决本题的关键．
11．（2022·福建厦门·统考模拟预测）在等腰三角形 中， ， ，点D是 边上一点，
若 ，则 的度数为 ．
【答案】 / 度
【分析】先画出图形，根据 得出 ，然后等腰三角形的性质求出 ，再根据
证得 ，从而得出 的度数， 进而利用外角的性质得出 的
度数．
【详解】解：如下图：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是利用两边夹角法证得三角
形相似，利用相似三角形的性质求出 的度数．
12．（2023·河北·统考二模）小明在计算 时，先对题目进行了分析，请你
根据他的思路填空：
（1）原式中“ ”可以转化为 ， 的值为 .
（2）原式中“ ”的结果为 ；
（3）原式中“ ”的结构特征满足某个乘法公式，该公式为 ；
（4）原式的最终结果为1.
【答案】 2 2
【分析】（1）根据负整数指数幂的运算法则，即可求解；
（2）根据求一个数的立方根，即可求解；
（3）根据完全平方公式进行运算即可；
（4）根据（1）（2）（3）及特殊角的三角函数值，进行运算，即可解答
【详解】解：（1） ，
故 的值为2，
故答案为：2；
（2） ，故答案为：2；
（3） ；
（4）
【点睛】本题考查了负整数指数幂的运算法则，求一个数的立方根，完全平方公式，特殊角的三角函数值，
二次根式的混合运算，熟练掌握和运用各法则是解决本题的关键．
13．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算．
（1）把特殊角的三角函数值代入，再计算即可求解；
（2）把特殊角的三角函数值代入，再计算即可求解．
熟记特殊角的三角函数值和实数的混合运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式．
14．（2023上·山西晋中·九年级统考阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查的是特殊角的三角函数，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
（1）把特殊三角函数值代入原式计算即可；
（2）根据有理数的乘方法则，特殊角的三角函数值计算．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
15．（2023上·山西临汾·九年级校考阶段练习）(1) ；
(2) ；
(3)已知 ， ， 是锐角三角形 的三个内角，且满足 ，求 的度数；
(4)已知 的值是方程 的一个根，求式子 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先求出特殊角的三角函数值，然后进行运算即可；
（2）先分别计算负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂，算术平方根，然后进行加减
运算即可；
（3）由题意得， ， ，计算求解，确定 ，然后根据三角形内角和定理求
解即可；
（4）解方程得正切值，然后根据 ，计算求解即可．
【详解】（1）（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：∵ ，∴ ， ，
解得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的度数为 ；
（4）解：∵ ，
，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴式子 的值为 ．
【点睛】本题考查了特殊的三角函数值，负整数指数幂，绝对值，零指数幂，算术平方根，三角形内角和
定理，同角三角函数的关系，解一元二次方程．熟练掌握特殊的三角函数值，一元二次方程的根等知识是
解题的关键．
16．（2023上·湖南永州·九年级校联考期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了实数的运算，零指数幂，以及特殊角的三角函数值，
（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值；
（2）原式利用算术平方根的定义，特殊角的三角函数值，零指数幂法则，绝对值的代数意义计算即可求出值．
熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校联考期中）阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形
中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，
可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对 ．
如图1，在 中， ，顶角 的正对记作 ，这时 底边 腰 ．容易知道一个角的
大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)计算： ______；
(2)对于 ， 的正对值 的取值范围是______；
(3)如（3）图，已知 ， ，其中 为锐角，试求 的值．
【答案】(1)
(2)(3)
【分析】本题是三角形综合题，主要考查了新定义、三角函数、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，
理解新定义是解此题的关键．
（1）先求出底角度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对定义解答即可；
（2）求出0度和90度时等腰三角形底和腰的比即可；
（3）由 ，令 ，则 ， ，在 上取点 ，使
，连接 ，作 ， 为垂足，表示出 的长，再计算出 ，最后由
正对的定义即可求解．
【详解】（1）解：根据正对定义可得：
当顶角为 时，等腰三角形底角为 ，则三角形为等边三角形，
底边 腰长 ，
故答案为：1；
（2）解：当 接近 时，底边长接近0，由定义知 接近0，
当 接近 时，等腰三角形的底接近腰的 倍，由定义知 接近 ，
的正对值 的取值范围是 ，
故答案为： ；
（3）解：如图：
在 中， ，
令 ，则 ， ，
在 上取点 ，使 ，连接 ，作 ， 为垂足，∴ ，
， ，
．
