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考点 08 函数的奇偶性、周期性（3 种核心题型+基础保分练
+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.
2.会依据函数的性质进行简单的应用．
【知识点】
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
一般地，设函数f(x)的定义域为D，
偶函数 如果∀x∈D，都有－x∈D，且 f ( － x ) 关于 y 轴 对称
＝ f ( x )，那么函数f(x)就叫做偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，
奇函数 如果∀x∈D，都有－x∈D，且 f ( － x ) 关于原点对称
＝－ f ( x )，那么函数f(x)就叫做奇函数
2.周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个
x∈D都有x＋T∈D，且 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做
这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正
数就叫做f(x)的最小正周期．
常用结论
1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具
有相反的单调性．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
【核心题型】
题型一 函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
【例题1】（多选）（2024·辽宁·模拟预测）函数 的图像向左平移 个单位长度后得
到 的图像，则（ ）
A． B． 是偶函数
C． 的图像关于点 中心对称 D．当 时， 取到最小值
【答案】BC
【分析】利用三角变换和图象变换得到 ，代入计算后可判断AD的正误，
根据定义可判断B的正误，利用整体法可求判断C的正误.
【详解】
，
故 ，
对于A， ，故A错误.
对于B， ，而 ，故 为偶函数，故B正
确.
对于C，令 ，则 ，
故 的图像的对称中心对称为 ，当 时，对称中心为 ，故C
正确.对于D， ，故 为 取到最大值，故D错
误.
故选：BC.
【变式1】（2024·北京丰台·一模）已知函数 具有下列性质：
①当 时，都有 ；
②在区间 上， 单调递增；
③ 是偶函数．
则 ；函数 可能的一个解析式为 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】令 即可求出 ，再找到符合题意的函数解析式（一个），然后一一
验证即可.
【详解】因为当 时，都有 ，
令 可得 ，解得 ，
不妨令 ， ，
则 ，所以 在 上单调递增，满足②；
又 ，所以 为偶函数，满足③；
当 时 ，
， ，
所以 ，满足①.
故答案为： ； （答案不唯一）【变式2】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知 ， ．下列结论中可
能成立的有 ．
① ；
② ；
③ 是奇函数；
④对 ， ．
【答案】①③④
【分析】根据题意，由指数的运算即可判断①②，由函数奇偶性的定义即可判断③，利用
导数判断函数的单调性，即可判断④.
【详解】因为 ，故①正确；
因为 ，故②错误；
因为 ，
定义域为 ，关于原点对称，
则 ，
所以 ，
所以 是奇函数，故③正确；
令 ，其中 ，则 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 ，即函数 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
又 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 时， ，则函数 在 上单调递增，
所以对 ， ，故④正确；
故答案为：①③④
【变式3】（2024·河南信阳·一模）若函数 的图像关于原点对
称，则m＝ ．
【答案】 /
【分析】根据题意，由条件可得 为偶函数，再由偶
函数的性质即可得到结果.
【详解】因为 的图像关于原点对称，则 为奇函数，且 为奇函数，
则 为偶函数，即 ，
，则 ，则 ．
故答案为：
题型二 函数奇偶性的应用
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已
知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．命题点1 利用奇偶性求值(解析式)
【例题2】（2023·四川·模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，当 时，
，则满足 的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先通过函数为奇函数求出 ，再通过求解二次不等式以及奇函数的对称性得答案.
【详解】依题意 是奇函数，所以 ，即 ，
则 ， ，
当 时，令 ，解得 或 ，
根据对称性，当 时， ，
故满足 的 的取值范围是 ．
故选：C．
【变式1】（2023·安徽马鞍山·三模）函数 的定义域为 ， 是偶函数，
是奇函数，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据奇偶函数的定义可得 ，再利用基本不等式求最小值.
【详解】由题意可得 ，解得 ，
因为 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .故选：B.
【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）写出一个对称中心为 的奇函数
.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据对称中心，考虑正弦函数（答案不唯一，正确即可）
【详解】因为奇函数关于原点对称，且此函数又关于点 对称，
所以此函数可类比于正弦函数，
因为正弦函数 是奇函数，且关于点 对称，
所以可联想到 .
故答案为： （答案不唯一）.
【变式3】（2024·云南昆明·模拟预测）已知 ， 分别为定义在 上的奇函数和偶
函数， ，则 ．
【答案】27
【分析】根据函数奇偶性的定义，利用方程组法求出函数 的解析式，即可得解.
【详解】因为 ， 分别为定义在 上的奇函数和偶函数，
而 ，①
所以 ，即 ，②
由① ②得 ，所以 ．
故答案为： .
命题点2 利用奇偶性解不等式
【例题3】（2024·广西柳州·三模）设函数 是定义在 上的奇函数，且对于任意的x，
，都有 .若函数 ，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由 的奇偶性可判断 也为奇函数，然后结合 ，及单调
性的定义可判断 单调递增，结合单调性及奇函数的定义可求．
【详解】 ， ，
由于 是定义在 上的奇函数，即 ，
，故 为奇函数，
对于任意的 ， ，有 ，
，
当 时，有 ，
即 ，
， 单调递增，
，
，
，
整理可得， ，
解可得， 或 ，
故选：D
【变式1】（2024·辽宁·一模）已知函数 ，若 成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ，判断 的奇偶性，再利用导数讨论其单调性，然后
根据单调性将不等式去掉函数符号即可求解.
【详解】记 ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减.
因为
，
所以 为偶函数.
所以 ，
又 在 上单调递增，
所以 ，即 ，解得 .
故选：C
【点睛】方法点睛：抽象函数不等式问题主要利用单调性求解，本题需结合奇偶性，并利
用导数研究单调性进行求解.【变式2】（2024·四川南充·二模）设函数 ，则满足
的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ，说明其单调性和奇偶性, 转化为
解不等式即可求解.
【详解】 ，
设 ，
又易知 ， 为 上的奇函数，
又 ，
在 上单调递增，
又 ，
，
，
，又 为 上的奇函数，
，又 在 上单调递增，
，
，
故满足 的 的取值范围是 ．
故选：C．
【变式3】（2024·贵州贵阳·一模）已知 是定义在 上的偶函数，且 也是偶
函数，若 ，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据函数 是定义在 上的偶函数， ，再由函数
也是偶函数，变形求得函数 的解析式，并求得函数 的单调区间，即可
求解不等式.
【详解】因为函数 是定义在 上的偶函数， ，所以 ，
则 ，
又因为函数 也是偶函数，所以 ，得 ，
因为 为减函数， 为增函数，所以 为减函数，
令 ，得 ，
所以 时， ， 在 上单调递减，
根据偶函数的性质可知，函数 在 上单调递增，
所以 ，即 ，即 ，得 或 ，
所以不等式的解集为 .
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据 ，得到 ，从而求得
函数 的解析式.
题型三 函数的周期性
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已
知区间上，进而解决问题．
【例题4】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知定义在R上的函数 满足 ，
为奇函数，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】先根据 得出函数 的周期；再根据 为奇函数得出
，利用赋值法求出 ；最后利用 的周期即可求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 的周期为6.
又因为 为奇函数，
所以 ，即 ，即 ，
令 ，则 ，即
所以 ，
故选：C.
【变式1】（2024·江苏徐州·一模）若定义在R上的函数 满足 ，
是奇函数， 则（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】根据给定条件，求出函数 的周期，及 和
，再逐项计算判断得解.
【详解】由 ，得 ，则 ，即函数
的周期为4，
由 是R上的奇函数，得 ，即 ，
于是 ， ，即 ，
因此 ，AB错误；
由 ，取 ，得 ，则 ，
因此 ，取 ，得 ，
于是 ，
则 ，C错误，D正确.
故选：D
【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即
可求解.
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知定义域为 的函数 满足
，则 （ ）
A． B． C．0 D．3
【答案】C
【分析】根据抽象函数的周期性求函数值.
【详解】因为 ，所以 ．又因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以函数 是周期为4的函数．
在 中令 ，得 ，即 ，
所以 ．
故选:C．
【变式3】（多选）（2024·全国·模拟预测）若定义在 上的函数 满足
，则下列结论中正确的是（
）
A． 是奇函数 B． 是周期为4的周期函数
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用赋值法结合抽象函数的奇偶性、对称性、周期性计算一一判定选项即可.
【详解】因为 ，所以 ．
又因为 ，所以 ．
又 ，则 ，
即 ，所以 ，故 是周期为4的周期函数．
因为 ，所以 也是周期为4的周期函数，故B正确；
因为 ，则 ，即 ，
所以 ，所以 为偶函数，故A错误；因为 ，令 ，得 ，即 ，
令 ，得 ，即 ，
故 ，故C正确；
由 ，
得
，
所以 ，故D正确．
故选：BCD．
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，设甲： 的图象关于
轴对称；乙： 是奇函数或偶函数，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】由寄偶函数的概念及图像性质可判断必要性成立，通过举特例可判断充分性不成
立.
【详解】令 ，若 是奇函数或偶函数，则 ，
所以 是偶函数，所以 的图像关于 轴对称，必要性成立；反之，不妨令 则 ，所以 的图像关于 轴对称，
但是 是非奇非偶函数，充分性不成立，则甲是乙的必要条件但不是充分条件．
故选：B．
2．（2024·天津·一模）如图是函数 的部分图象，则 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性可排除C，根据在原点附近的函数值的正负可排除BA，即可求
解.
【详解】由图可知： 的图象关于 轴对称，则为偶函数，
对于A， ，为偶函数，
但当 取一个很小的正数，例如 ，选项中的 ，而原图象中值为负数，
故A不符合，舍去，
对于B, ,为偶函数，但是 处有意义，但是原函数在
处无意义，故B不符合，对于C， ，为奇函数，故C不符合，
故选：D
3．（2024·河北·模拟预测）定义在 上的函数 周期为 ，且 为奇函数，则
（ ）
A． 为偶函数 B． 为偶函数
C． 为奇函数 D． 为奇函数
【答案】D
【分析】根据周期性与奇偶性的定义推导B、D，利用反例说明A、C.
【详解】定义在 上的函数 周期为 ，所以 ，
又 为奇函数，所以 ，
即 ，所以 为奇函数，故B错误；
所以 ，则 ，
所以 ，则 为奇函数，故D正确；
由 ，所以 ，则 关于 对称，
令 ，则 ，满足函数 周期为 ，
且 满足 为奇函数，
但是 为奇函数，故A错误；
令 ，则 ，满足函数 周期为
，又 满足 为奇函数，
但是 为偶函数，故C错误.
故选：D
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则使得 成立的正
实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析函数的奇偶性，单调性，利用函数的单调性求解不等式即可.
【详解】由题知 的定义域为 ，且 ，
所以 为偶函数．
又当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以若 成立，则需 解得 ．
故选B．
二、多选题
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数 和 分别为R上的奇函数和偶函数，满足
， ， 分别为函数 和 的导函数，则下列结论中正确
的是（ ）
A．B．当 时， 的值域为
C．当 时，若 恒成立，则a的取值范围为
D．当 时，满足
【答案】ACD
【分析】根据函数奇偶性以及 即可求得 ，可得A正确；利
用基本不等式可得 ，但等号不成立，即B错误；对参数a的
取值进行分类讨论，利用导数求得函数单调性即可得a的取值范围为 ，即C正确；
易知 ，累成即可得D正确.
【详解】对于A，因为 和 分别为R上的奇函数和偶函数，满足 ，
即可得 ，
所以可得 ， ，故A正确；
对于B， ，
当且仅当 时，等号成立，又因为 ，所以 的值域为 ，故B错误．
对于C，分两种情况．① ，令 ，
当 时，则 ， 单调递增，
所以 ，即 ；
② ，方程 的正根为 ，
若 ，则 ， 单调递减，，即 ，与题设 矛盾．
综上，a的取值范围是 ，故C正确．
对于D， ，
则 ，
，
…
，
累乘得
，
故 ，故D正确．
故选：ACD
6．（2024·浙江金华·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． 是偶函数 B． 的最小正周期为
C． 的最大值为 D． 的最小值为
【答案】ABD
【分析】先将 化简，再逐项分析答案即可.
【详解】因为 的定义域为 ，
所以 ，
又因为，
所以 为偶函数，故A正确；
的最小正周期为 ，故B正确；
因为 ，所以 没有最大值；
当 时， ，故D正确.
故选：ABD
三、填空题
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ， 是奇函数， 是偶
函数， ，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，结合 是奇函数， 是偶函数，推得函数 是周期为
12的周期函数，进而求得 的值，得到答案.
【详解】解法一因为 是奇函数，可得 ，所以 ，
又因为 是偶函数，可得 ，即 ，
所以
，
所以 是周期为12的周期函数，则 ．
解法二 因为 是奇函数，可得 的图象关于点 对称，又因为 是偶函数，可得 的图象关于直线 对称，
所以 是周期为 12的周期函数，所以 ，
因为 的图象关于直线 对称，所以 ，则 ．
故答案为： .
8．（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，
，则当 时， ．
【答案】
【分析】由奇函数的性质即可求解，注意当 时要单调独验证.
【详解】解：当 ，又因为 为 上的奇函数，
所以 ，解得 ，
又 ，所以当 ．
故答案为： .
四、解答题
9．（2023·陕西西安·模拟预测）已知奇函数 在 处取得极大值2.
(1)求 的解析式；
(2)求 在 上的最值.
【答案】(1)
(2)最大值为52，最小值为
【分析】（1）利用函数奇偶性可得 ，再由 在 上取得极大值2可求得
，可得解析式；
（2）由（1）中解析式求导可得其在 上的单调性，得出极值并比较端点处的函数值即可求出其最值.
【详解】（1）易知函数 的定义域为 ，
因为 是奇函数，所以 ，则 .
由 ，得 .
因为 在 上取得极大值2，
所以 解得
经经检验当 时， 在 处取得极大值2，
故 .
（2）由（1）可知， ，
当 时， 单调递增；
当 和 时， 单调递减；
即函数 在 处取得极小值 ，在 处取得极大值 ；
又因为 ，
所以 在 上的最大值为52，最小值为 .
10．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）设函数 .
(1)求函数 在区间 上的最大值和最小值；
(2)设函数 对任意 ，有 ，且当 时， ；求函数 在 上的解析式.
【答案】(1)最大值为 ，最小值为0
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换得到 ，再利用三角函数的性质求解；
（2）由 得到函数 的一个周期为 ，再由（1）得到
求解.
【详解】（1）由已知 ，
，
又因为 则 ，
所以 ，即 ， ，
所以函数 在区间 上的最大值和最小值分别为 和0.
（2）由 可知函数 的一个周期为 ，
又由（1）可知 ，当 时， ，则 ，
由 知， ，
当 时， 则 ，
由 知 ，
综上， .
11．（22-23高三上·河南·阶段练习）已知 是定义在 上的偶函数，且
.
(1)求 的解析式；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)设 ，若存在 ，对任意的 ，都有 ，求实
数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用偶函数定义可得参数值，从而 的解析式；
（2）易知 在 上单调递增，逆用单调性化为具体不等式问题，参变分离求最值即可；
（3）原问题等价于 在 上的最小值不大于 在 上的最小值.【详解】（1）由题意知 ，
即 ，所以 ，故 .
（2）由（1）知， ，易知 在 上单调递增，
所以不等式 恒成立，等价于 ，
即 恒成立.
又 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，即实数 的取值范围是 .
（3）因为存在 ，对任意的 ，都有 ，
所以 在 上的最小值不大于 在 上的最小值.
因为 在 上单调递增，
所以当 时， .
图象的对称轴方程为 ，
当 时， 在 上单调递增， ，解得 ，
所以 ；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
，解得 ；
当 时， 在 上单调递减， ，解得 ，
所以 .综上，实数 的取值范围是 .
12．（2023·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知 是定义在[－2，2]上的函数，
若满足 且 ．
(1)求 的解析式；
(2)设函数 ，若对任意 ，都有 恒成立，
求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的奇偶性即可得 ，进而结合 即可求解，
（2）将问题转化为 ，进而根据函数的单调性的定义即可求解最值，或
者利用对勾函数的单调性求解.
【详解】（1） ，且 ，所以 为奇函数，
将 代入 可得 ，即 ，所以 ，
即 ，因为 ，所以 ，代入可得 ，
解得 ，故 ；
，函数为奇函数，满足，故 ．
（2）只要 ，设 ，则，
∵ ，∴ ，∴ ，即 ，
故函数 在[1，2]上单调递增，最小值为 ．
法一： 在[1，2]上恒成立，只要 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ，当 时， ，
故当 时， ，所以 ．
法二： ， ，
当 时， ， ，解得 ，舍去；
当 时， ， ，解得 ，因此 ，
综上所述： ．
综合提升练
一、单选题
1．（2024·广东佛山·一模）已知 为奇函数，则 在
处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据奇函数定义求出函数表达式，再结合导数和切线相关知识求解切线方程即可.【详解】因为
，
所以 ，
因为 为奇函数，所以 对 恒成立，
所以 ，代入函数表达式得 ，
所以 ，则 ，
所以 在 处的切线方程为 ，即 .
故选：A
2．（2024·四川·模拟预测）已知 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造奇函数 ，利用奇函数的性质运算即可求解.
【详解】设 ，显然它定义域关于原点对称，
且 ，
所以 为奇函数，
，则 ，
所以 ， .
故选：C.
3．（2024·广东茂名·一模）函数 和 均为 上的奇函数，若 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【分析】由奇函数性质推导出 的周期为4，利用周期性、奇偶性求函数值.
【详解】因为 为奇函数，所以 关于 对称，即
，
又 关于原点对称，则 ，有 ，
所以 的周期为4，故 .
故选：A
4．（2023·广东·一模）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，
若 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据条件可求得 时 的解析式，根据函数为奇函数继而可求得当 时
的解析式，分情况解出不等式即可.
【详解】因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，则 ，
则 ，所以 ，
则当 时， ，
当 时， ，则 ，
则当 时，不等式 为 ，
解得 ，
当 时，不等式 为 ，
解得 ，
故不等式的解集为 ，
故选：A.
5．（2024·安徽芜湖·二模）已知直线l： 与曲线W：
有三个交点D、E、F，且 ，则以下能作为直线l的方向向量的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函数 的性质可得曲线 的对称中心 ，即得 ，再根据给定
长度求出点 的坐标即得.
【详解】显然函数 的定义域为R， ，即函数 是
奇函数，
因此曲线 的对称中心为 ，由直线l与曲线 的三个交点 满足 ，
得 ，
设 ，则 ，令 ，则有 ，即
，
解得 ，即 ，因此点 或 ， 或，
选项中只有坐标为 的向量与 共线，能作为直线l的方向向量的坐标是 .
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键首先是得到曲线对称中心为 ，从而得到 ，然
后再去设点 坐标，根据 ，得到高次方程，利用换元法结合因式分解解出 的坐
标即可.
6．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数 ，若等差数列 的
前 项和为 ，且 ， ，则 （ ）
A．-4048 B．0 C．2024 D．4048
【答案】D
【分析】先得到 ，从而得到 ，利用等差数列的性质和公式求
出答案.
【详解】令 ，定义域为R，
且
，
故 为奇函数，
即 ， ，
又 ，
所以 ，即 ，故选：D
7．（2024·全国·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 ，且
为奇函数， ，则 （ ）
A．4047 B．4048 C．4049 D．4050
【答案】C
【分析】首先判断抽象函数的周期，再根据条件求函数值，再根据周期求函数值的和.
【详解】由 可得 ，
故 的一个周期为4，
由 为奇函数可得 ，得 ，
对于 ，令 ，得 ，则 ，
令 ，得 ，又 ，所以 ，
则 ，
故
.
故选：C.
8．（2024·黑龙江吉林·二模）已知偶函数 满足 ，且当 时，
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】由偶函数 满足 ，可得函数 是以 为周期的周期函数，
再根据函数的周期性求解即可.
【详解】因为函数 为偶函数，所以 ，
又 ，所以 ，即 ，
所以函数 是以 为周期的周期函数，
因为 ，
所以
.
故选：D.
【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独
命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结
合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角
度；
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数
图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，
将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的
区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
二、多选题
9．（2022·江苏南通·模拟预测）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数
学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，
函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设 是定义在R上的函数，对于 R，令
，若存在正整数k使得 ，且当0<j<k时， ，则称 是的一个周期为k的周期点.若 ，下列各值是 周期为1的周期
点的有（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】AC
【分析】根据题意中周期点定义，分别求出当 、 、 、 时的函数周期，
进而得出结果.
【详解】A： 时， ，周期为1，故A正确；
B： 时， ，
所以 不是 的周期点.故B错误；
C： 时， ，周期为1，故C正确；
D： 时， ， 不是 周期为1的周期点，故D错误.
故选：AC.
10．（2023·山西·模拟预测）奇函数 与偶函数 的定义域均为 ，且满足
，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． 在 上单调递增 D． 的值域为
【答案】BCD
【分析】根据奇偶性求出 即可判断ABC；利用基本不等式可判断D.【详解】因为 为奇函数， 为偶函数，所以 ，
因为 ①，所以 ，即 ②，
所以由①②解得 ，故B正确；
，故A错误；
在 上单调递增， 在 上单调递减，则 在 上单调递增，故C正确；
因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 的值域为 ，所以D正确.
故选：BCD.
11．（2024·湖南·二模）已知函数 的定义域均为 ，
，且 的图像关于直线 对称，则以下说法正确的是
（ ）
A． 和 均为奇函数 B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用函数奇偶性，对称性与周期性的性质，逐一分析各选项即可得解.
【详解】对于B，由 ，得 ，
又 ， ，
的图象关于直线 对称， ，
，
，则 是周期函数，且周期为 ，所以 ，故B正确；
对于A， 的图象关于直线 对称，
是偶函数，
若 为奇函数，则 恒成立，不满足 ，故A错误；
对于C，由 ，得 ，
，
因为 ，则 ，
所以 是周期函数，且周期为 ，则 ，故C正确；
对于D，由 ，得 ，
又 ，
由 ，得 ，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：
（1）关于对称：若函数 关于直线 轴对称，则 ，若函数 关于
点 中心对称，则 ，反之也成立；
（2）关于周期：若 ，或 ，或 ，可知函数
的周期为 .
三、填空题
12．（2023·四川雅安·一模）已知函数 的定义域为 为偶函数，为奇函数，则 的最小值为 .
【答案】 /
【分析】根据奇偶性得出关于 和 的两个方程，联立解得 ，再由基本不等式
得最小值．
【详解】 是偶函数，所以 ，
是奇函数，所以 ，
两式联立解得 ，
由基本不等式得 ，当且仅当 ，即 时，
等号成立，因此 的最小值是 ．
故答案为： ．
13．（2024·山东枣庄·一模）已知 为偶函数，且 ，则
．
【答案】
【分析】由条件结合偶函数定义可得 ，由 结合周
期函数定义证明 为周期函数，利用周期性及赋值法求结论.
【详解】因为 为偶函数，
所以 ，又 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以函数 为周期函数，周期为 ，
所以 ，
由 ，可得 ，
由 ，可得 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为： .
14．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且
，若 为奇函数， ，则
．
【答案】
【分析】由 的对称性及 得 ，再由 为奇函
数得 ，从而得 ，即 是周期为8的周期函数，再利用周
期可得答案.
【详解】由 为奇函数，得 ，即 ，
由 ，得 ，又 ，
于是 ，即 ，从而 ，
即 ，因此 ，函数 的周期为8的周期函数，
显然 ，又 ，所以 .
故答案为：
【点睛】结论点睛：函数 关于直线 对称，则有 ；函数 关
于 中心对称，则有 ；函数 的周期为 ，则有
.
四、解答题
15．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，
．
(1)求 的解析式；
(2)若关于 的方程 在 上有解，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数奇偶性求解析式；
（2）求函数 的值域，即可求 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，
则 ，
因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，故 ，
当 时， ，符合上式，
综上，所以 的解析式为 .
（2）当 时， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
由对称性可知，当 时， ，
当 时， ，
综上， ，
所以实数 的取值范围是 ．
16．（2023·上海黄浦·一模）已知集合A和定义域为 的函数 ，若对任意 ，
，都有 ，则称 是关于A的同变函数.
(1)当 与 时，分别判断 是否为关于A的同变函数，并说明理由；
(2)若 是关于 的同变函数，且当 时， ，试求 在
上的表达式，并比较 与 的大小；
(3)若n为正整数，且 是关于 的同变函数，求证： 既是关于的同变函数，也是关于 的同变函数.
【答案】(1)当 时， 是关于 的同变函数；当 时，
不是关于 的同变函数，理由见解析.
(2) ，当 时， ；当 时，
.
(3)证明见解析.
【分析】（1）当 时，运用定义证明即可；当 时，举反例说明即可.
（2）由定义推导出 是以2为周期的周期函数，进而可得 在
解析式，再运用作差法后使用换元法研究函数的最值来比较 与
的大小.
（3）运用定义推导出 是以 为周期的周期函数，再用定义分别证明
与 两种情况即可.
【详解】（1）当 时，对任意的 ， ， ，
由 ，可得 ，又 ，所以 ，
故 是关于 的同变函数；
当 时，存在 ， ，使得 ，即
，所以 不是关于 的同变函数.
（2）由 是关于 的同变函数，可知 恒成立，所以 恒成立，故 是以2为周期的周期函数.
当 时， ，由 ，
可知 .
（提示： 也可通过分类讨论与累加法予以证明，下面的*式也同理可
证）
对任意的 ，都存在 ，使得 ，故 .
所以
令 ，则 ，可得 ，
所以 （当且仅当 ，即 时取等号）.
所以当 时， ；
当 时， .
（3）因为 是关于 的同变函数，
所以对任意的 ， ，都有 ，
故 ，用 代换x，可得 ，
所以 ，即 ，
又 ，故 ，且 .
所以 ，故 是以 为周期的周期函数.
对任意的 ， ，由 ，可得 ，（*）
所以 是关于 的同变函数.
对任意的 ，存在非负整数m，使 ，
所以 ，对任意的 ，
，即 ，
所以 是关于 的同变函数.
故 既是关于 的同变函数，也是关于 的同变函数.
17．（2023·上海普陀·一模）设函数 的表达式为 .
(1)求证：“ ”是“函数 为偶函数”的充要条件；
(2)若 ，且 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2) 或 .
【分析】（1）根据给定条件，利用偶函数的定义、结合充要条件的意义推理即得.
（2）利用偶函数性质及在 的单调性求解不等式即可.
【详解】（1）函数 的定义域为R， 不恒为0，
函数 为偶函数
，
所以“ ”是“函数 为偶函数”的充要条件.（2）当 时， ，求导得 ，函数 在R上单调递增，
当 时， ，即函数 在 单调递增，又 是偶函数，
因此 ，
即 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围是 或 .
18．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 ，求证：当 时，
(2)若 ，求证： 在 上有且仅有三个零点 ， ， （
），且 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）构造函数 ，利用导数判断单调性求出最值可得结果，
（2）函数零点即图像与x轴交点，构造函数 ，利用函数奇偶性、单调性及零点存在
性性定理可得结果.
【详解】（1）若 ，则 ．设 ,
，
则 ， ，所以 在 上单调递增．
所以 ．又 在 上单调递增，
所以 ．即当 时， ．
（2）若 ，则 ．令 ，得 ,设 ， ．
则 ．所以 为奇函数．
又 ，所以0是 的一个零点．
下面证明：函数 在 上存在唯一的零点．
因为 ， ，所以 ．
所以当 时， ， 单调递增．
又 ， ，所以 在 上存在唯一的零点 ．
由（1）知当 时， ，即 ，
所以当 时， ．
设 ， ，则 ．
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 ．
所以当 时， ．
所以当 时， 仅有一个零点 ．因为 为奇函数，所以当 时， 也仅有一个零点 ．
所以 在 上有3个零点，分别为 ， ， ．
即 有3个零点 ，且 ．
【点睛】解决本题关键是构造函数，利用函数的奇偶性，零点存在性定理及导数判断函数
的单调性证得结果.
19．（2023·上海徐汇·一模）若函数 的导函数 是以 为
周期的函数，则称函数 具有“ 性质”．
(1)试判断函数 和 是否具有“ 性质”，并说明理由；
(2)已知函数 ，其中 具有“ 性质”，求函数
在 上的极小值点；
(3)若函数 具有“ 性质”，且存在实数 使得对任意 都有
成立，求证： 为周期函数．
（可用结论：若函数 的导函数满足 ，则 （常数）．）
【答案】(1) 不具有“ 性质”， 具有“ 性质”，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据所给定义计算可得；
（2）法一：依题意可得 可得 对 恒成立，再令
、 求出 、 的值，再利用导数求出函数的极小值点；法二：依题意可得
，所以 且 ，即可求出 、 的值，再利用导数求出函
数的极小值点；（3）令 ，则 ，从而得到 （ 为常数），法一：分
、 、 三种情况讨论；法二：分 和 两种情况讨论，当 时，不妨
令 ，记 ，推出矛盾即可得解.
【详解】（1） 不具有“ 性质”．理由是： ， ，
；
具有“ 性质”．理由是： ， ．
（2）法一： ，则 ，
由 可得 对 恒成立．
令 ，得 ①；令 ，得 ②．
得 ，因此 ，从而 恒成立，
即有 且 ．
由 得 ，所以 ，当 时，令 可得 ，
列表如下：
x
+ 0 0 +
极大值 极小值
函数 在 的极小值点为 ．
法二： ，
由 ，可得 ，所以 ，
即 ，
所以 ，所以 且 ，所以 且 且 ．
由 得 ，所以 ，当 时，令 可得 ，
列表如下：
x
+ 0 0 +
极大值 极小值
函数 在 的极小值点为 ．
（3）令 ，因为 具有“ ”性质
，
，
（ 为常数），
法一：
① 若 ， 是以 为周期的周期函数；
②若 ，由 ，
当 时， ，这与 矛盾，舍去；
③若 ，由 ，
当 时， ，这与 矛盾，舍去．
综上， ． ，所以 是周期函数．
法二：当 时， ，所以 是周期函数．
当 时，不妨令 ，记 ，其中 表示不大于 的最大整数．（ 同理
可证），
若存在 ，这 ．
这与 矛盾．
若存在 ，这 ．
这与 矛盾．
若不存在 ，使得 或 ，则 ，此时 ，与 矛盾，
故舍去．
综上， ． ，所以 是周期函数．
【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理
解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解
的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么
情况下可以使用书上的概念.
拓展冲刺练
一、单选题
1．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数 ，则满足不等式
的 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用函数奇偶性的定义，结合复合函数的单调性与导数，分析得 的奇偶性
与单调性，从而转化所求不等式得到关于 的不等式组，解之即可得解.
【详解】由 ，得 的定义域为 ，
又 ，故 为偶函数，
而当 时，易知 单调递增，
而对于 ， 在 上恒成立，
所以 在 上也单调递增，
故 在 上单调递增，
则由 ，得 ，解得 或 .
故选：D.
2．（2024·重庆·一模）已知定义在R上的函数 满足： ，且
时， ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数单调性和奇偶性则得到不等式，解出即可.
【详解】任取 ，则 ，
而 时， ，则 ，，
所以 在 上单调递减，
， ，
取 ，则 ，令 ，
得 ，
所以 为 上的奇函数，
，即 ，则 ，解得
故选：A.
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇
函数， 为 的导函数，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】本题考查函数的奇偶性，根据奇函数的定义和性质进行运算研究即可．
【详解】因为奇函数的定义域关于原点对称，所以 ，得 ．
由 为奇函数可得 ，得 ，
又 ，所以 ，
所以 ， ，
故 ，
故选：A.
4．（2024·云南红河·二模）已知函数 ，对于任意的 ，不等式恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令 ，得到 为奇函数，从而得到
恒成立，根据函数单调性得到不等式，化简得到 时，
恒成立，设 ， ，求导得到其单调性，结
合特殊点的函数值，得到 ，得到答案.
【详解】设 ，则 ，
，所以 为奇函数.
所以 ，
即 恒成立，
由 在 上单调递减且 ，得 在 上单调递减，
所以 恒成立.
由 ，知 且 ，
所以 时， 恒成立.设 ， ，
，当 时 ，
所以 在 内单调递减，而 ，所以 ，
所以 ，即 .
故选：C.
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参
数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函
数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数
形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
二、多选题
5．（2024·湖南岳阳·二模）已知函数 的定义域为 ，对任意 都有
，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 为奇函数
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据题意运用赋值代入法计算，结合函数的奇偶性、周期性逐一验证选项可得答
案.
【详解】令 ，则 ，所以 ，
令 ，则 ， ，故A错误；
要证 为奇函数，只需证 ，即 ，令 ，则 ， ，
令 ，则 ，所以成立，故B正确；
令 ，则 ， ，所以 为偶函数，
由B可知， ，所以 ，则有
，故C正确；
由C可知 ，又 为偶函数，所以 ，则 周期为2，
， ，所以 ，故D
正确.
故选：BCD
【点睛】结论点睛：（1）若 为奇函数，则满足 ，若 为偶函数，
则满足 ；（2）若 为周期函数，且周期为 ，则满足 ；
（3）若 关于点 对称，且关于直线 对称，则 为周期函数，周期为
.
6．（2024·河南·一模）定义在R上的函数 （ 且 ，
），若存在实数m使得不等式 恒成立，则下列叙述正确的是
（ ）
A．若 ， ，则实数m的取值范围为B．若 ， ，则实数m的取值范围为
C．若 ， ，则实数m的取值范围为
D．若 ， ，则实数m的取值范围为
【答案】BD
【分析】先判断函数 为奇函数，再分 和 讨论
的单调性，分 和 讨论函数 的单调性，根据复合函数的
单调性判断得出 的单调性，利用单调性将 进行等价转化
成含参数 的不等式，求解即得.
【详解】对于函数 ，因
，则函数 是奇函数.
不妨设 ，则 ，
对于A项，当 时， 在定义域内为增函数，
因 ，则 在R上也是增函数，故 在R上也是
增函数.
由 ，则
，即 （*），
①当 时，此时恒成立；② 当 时，由（*）可得 ，解得 ，综上可知， ，故A项错误；
对于B项，当 时， 在定义域内为减函数，因 ，则 在
R上也是减函数，故 在R上是增函数，
由A项分析可得， 恒成立可得， ，故B项正确；
对于C项，当 时， 在定义域内为增函数，因 ，则 在R
上是减函数，故 在R上是减函数，
由 ，则
，即 （*），
①当 时，无解；② 当 时，由（*）可得 ，解得 或 ，
综上可知， ，故C项错误；
对于D项，当 时， 在定义域内为减函数，因 ，则 在
R上也是增函数，故 在R上是减函数，
由C项分析可得， 恒成立可得， ，故D项正确.
故选：BD.
【点睛】思路点睛：一般先考虑函数的奇偶性，再根据参数分类判断，构成复合函数的内
外函数的单调性，利用单调性去掉抽象函数的符号，将其化成含参数 的不等式恒成立问
题，再对参数 分类讨论不等式解的情况即得.
三、填空题
7．（2024·陕西西安·二模）已知定义域为 的函数 满足 ，且当时， ，则 .
【答案】
【分析】利用函数的奇偶性与周期性计算即可.
【详解】由已知可得 ，所以 ，
所以 ，即 是函数 的一个周期，
所以 .
故答案为：
8．（2024·陕西西安·模拟预测）定义在 上的函数 的导函数为 ，且有
，且对任意 都有 ，则使得
成立的 的取值范围是 .
【答案】
【分析】构造函数 ，根据导数确定函数的单调性，即可结合奇偶性求解.
【详解】由 知 是奇函数， ，
设 ，则 ，
在 上单调递增，由 得 ，
即 ， ，得 的取值范围是 .
故答案为：
9．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知 ，若直线 与 有
个交点 ，则 .【答案】
【分析】由题意首先确定函数的性质，然后结合直线与圆的位置关系得到 的表达式，最
后裂项求和即可求得 的值.
【详解】当 时， ，即 ， ，
当 时， ，所以可得函数周期为2，
画出函数图象，如图所示：
若直线 与 有 个交点，
根据图象知，直线 与第 个半圆相切其圆心为
不妨设切点为 ，连接 ，
所以在 中， ，
，故 ，
所以 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解。
四、解答题
10．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知函数 是偶函数.
(1)求 的值;
(2)设 ， ，若对任意的 ，存在 ，使得
，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由偶函数的性质即可求解 的值；
（2）由题意可得 在 上的最小值不小于 在 上的最小值，分别求出
和 的最小值，即可求解.
【详解】（1）因为 是偶函数，
所以 ，
即 ，
，
，
，
，，
，
，
所以 ，即 .
（2） ，
因为对任意的 ，存在 ，使得 ，
所以 在 上的最小值不小于 在 上的最小值，
因为 在 上单调递增，
所以 ，
因为 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
11．（2024·全国·模拟预测）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的
二阶行列式的运算定义如下： ．
(1)在等比数列 中， 是 的两个实根，求
的值；(2)已知数列 的前 项和为 ，且 ，若 ，求数列 的
前 项和；
(3)已知 是奇函数， 是偶函数．设函数 ，且存在实数 ，使
得 对于任意的 都成立，若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据二阶行列式的运算和韦达定理可推导得到 ，由等比数列
下标和性质可求得结果；
（2）由二阶行列式的计算可得 ，根据前 项和与通项的关系可求得 ，由此可得 ，采
用错位相减法可求得结果；
（3）分别令 和 ，结合函数奇偶性定义可推导得到 ；令
可推导得到 ，由此递推求得结果.
【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，
由 得： ，即 ，
， ，
， ，
，，
.
（2） ，
当 时， ；当 时， ；
经检验： 满足 ， ，
，
设数列 的前 项和为 ，
，
，
，
.
（3）由题意知：存在实数 ，使得 对于任意 都成立，
即 ，
令 ，则 ，
为奇函数， 为偶函数，…①；
令 ，则 …②，
由①②得： ，
令 ，则 ， ，
，
.
【点睛】关键点点睛：本题考查新定义问题与数列、函数相结合的问题；解题关键是能够
充分利用二阶行列式的运算定义，根据运算定义将问题转化为我们所熟知的数列通项公式
与前 项和的求解问题、利用函数周期性求值的问题.
12．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱
桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数 的图象，
类比三角函数的三种性质：①平方关系：① ，②和角公式：
，③导数： 定义双曲正弦函数
．
(1)直接写出 ， 具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；
(2)若当 时， 恒成立，求实数a的取值范围；
(3)求 的最小值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)0【分析】（1）类比，写出平方关系，和角关系和导数关系，并进行证明；
（2）构造函数 ， ，求导，分 和 两种情况，结合基本
不等式，隐零点，得到函数单调性，进而得到答案；
（3）多次求导，结合（2）中结论，先得到 在 内单调递增，再求出 为偶
函数，从而得到 在 内单调递减，求出 .
【详解】（1）平方关系： ；
和角公式： ；
导数： ．
理由如下：平方关系，
；
，
和角公式：
故 ；
导数： ， ；
（2）构造函数 ， ，由（1）可知 ，i．当 时，由 可知，
故 ，故 单调递增，
此时 ，故对任意 ， 恒成立，满足题意；
ii．当 时，令 ， ，
则 ，可知 单调递增，
由 与 可知，存在唯一 ，使得 ，
故当 时， ，则 在 内单调递减，
故对任意 ， ，即 ，矛盾；
综上所述，实数a的取值范围为 ．
（3） ， ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时，由（2）可知， ，则 ，
令 ，则 ，故 在 内单调递增，
则 ，故 在 内单调递增，
则 ，故 在 内单调递增，
则 ，故 在 内单调递增，
因为 ，
即 为偶函数，故 在 内单调递减，则 ，故当且仅当 时， 取得最小值0.
【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不
等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确
定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，
将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
