文档内容
考点 01 集合（4 种核心题型+基础保分练
+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合
间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、
集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．
【知识点】
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
非负整数集
集合 正整数集 整数集 有理数集 实数集
(或自然数集)
符号 N N*(或N ) Z Q R
＋
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元
素，就称集合A为集合B的子集，记作 A ⊆ B (或B⊇A)．
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且 x ∉ A ，就称集合A是集合B的真子
集，记作A B(或B A)．
(3)相等：若A⊆B，且 B ⊆ A ，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空
集合的真子集．
3．集合的基本运算
表示
集合语言 图形语言 记法
运算
并集 { x | x ∈ A ，或 x ∈ B } A ∪ B
交集 { x | x ∈ A ，且 x ∈ B } A ∩ B
补集 { x | x ∈ U ，且 x ∉ A } ∁U A常用结论
1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．
2．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
【核心题型】
题型一 集合的含义与表示
解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条
件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
【例1】下列四组集合中表示同一集合的为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可.
【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误；
选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确；
选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误；
选项D： 是以0为元素的集合， 是数字0，D错误.
故选：B
【变式1】已知集合 ，若下列三个关系有且只有一个正确：① ；
② ；③ ，则 （ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
【答案】B
【分析】根据集合相等的定义分类讨论进行求解即可.
【详解】假设① ，② 错，③ 对，
因为 ，
所以有 ，此时 ；
假设① ，③ 错，② 对，
因为 错，必有 ，而 ，不符合集合元素的互异性，假设不成立；
假设② ，③ 错，① 对，
因为 错，所以 ，因为 错，所以 对，而 对，因此只能 ，不符合集合元素的互
异性，假设不成立，
综上所述： ，
故选：B
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用假设法、应用集合元素的互异性进行判断.
【变式2】（23-24高三下·江西·阶段练习）已知 ，若 ，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题目条件得到不等式，求出答案.
【详解】由题意得 且 ，解得 ．
故选：A
【变式3】（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知集合 ，
，则集合 的非空子集个数为（ ）
A．4 B．3 C．8 D．7
【答案】B
【分析】由题意化简集合 ，得 ，由此即可进一步求解.
【详解】因为 ， ，因此 ．
故该集合的非空子集个数为 个.
故选：B．
题型二 集合间的基本关系
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造
成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，
进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
【例2】在集合 的子集中，含有3个元素的子集的个数为 .【答案】35
【分析】根据给定条件，利用子集的意义，借助组合列式计算即得.
【详解】集合 中有7个元素，
所以含有3个元素的子集的个数为 .
故答案为：35
【变式1】（2024·海南·模拟预测）已知集合 ，若 ，则
.
【答案】2
【分析】根据交集结果可知 ，结合子集关系分析求解.
【详解】因为 ，可得 ，
可知 ，且 ，所以 .
故答案为：2.
【变式2】集合 ， ，且 ，则实数 ．
【答案】
【分析】根据集合关系 ，可得 ，从而可求解.
【详解】由题意得 ，
则 ，解得 .
故答案为： .
【变式3】若集合 ，则实数a的值的集合为 ．
【答案】
【分析】分 与 两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案.
【详解】当 时， 满足题意；
当 时，应满足 ，解得 ；综上可知，a的值的集合为 ．
故答案为： ．
题型三 集合的基本运算
命题点1 集合的运算
【例3】（23-24高三下·江西·阶段练习）已知集合 ，
集合 ，则 （ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】根据给定条件把集合B写成用 形式表示的集合，再与集合A求
交集即可.
【详解】依题意，
，
而 ，
所以 ， .
故选：A
【变式1】（2024·云南红河·二模）设集合 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合的运算性质进行判断即可.【详解】由 得 ，
所以 ， .
故选：A.
【变式2】（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知集合的交集及补集定义运算即得．
【详解】因
则 ,故 .
故选：D．
命题点2 利用集合的运算求参数的值(范围)
对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集
合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
【例4】（2024·四川凉山·二模）已知集合 ， ，
若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出函数值域化简集合A，再利用给定的运算结果，借助包含关系求解即得.
【详解】集合 ，而 ，
由 ，得 ，则 ，
所以 的取值范围为 .
故选：B
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知集合 ， ，若
中有2个元素，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】根据两集合的元素特征和 中只有2个元素的要求，可得到关于 的不等
式组，解之即得.
【详解】因为 ， ，
又 ， 中有2个元素，
所以 中的2个元素只能是 ，则 ，解得 .
故选：A.
【变式2】．已知集合 ， 或 ，
．
(1)求 ；
(2)若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出集合 ，再求出 ，最后由交集的运算求出 ；
（2）先求出 ，再求出 ，再由充分不必要条件构造关于 的方程组，解
出即可.
【详解】（1）因为 ，又 ，
所以 .
（2） 或 ，所以 ，
因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，
则 ，又 ，所以 .
题型四 集合的新定义问题
解决集合新定义问题的关键
解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所
给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．
【例5】（23-24高三下·上海·阶段练习）对于全集R的子集A，定义函数
为A的特征函数．设A，B为全集R的子集，下列结论中错误的是（
）
A．若 ，则 B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据新定义进行验证．
【详解】选项A， ，若 ，则 ，此时 ，
若 且 ，则 ， ，若 ，则 ，则 ，
所以 成立，A正确；
选项B，由补集定义知 时， ， ，
同样知 时， ， ，
所以 ，B正确；
选项C， 时，必有 且 ，因此 ，
当 时， 与 中至少有一个成立，
因此 ，而 与 至少有一个成立，
综上有 ，C正确；选项D，当 时，若 ，则 ， ， ，
因此 ，此时 不成立，D错误．
故选：D．
【变式1】（2024·河南·模拟预测）定义 ，若集合
，则A中元素的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】利用集合的新定义找到符合条件的元素个数即可.
【详解】由题知y的可能取值有 ， ， ，0，1，2，3，则集合A中有7个元素.
故选：B.
【变式2】（2024·黑龙江·二模）已知集合 ， ，定义集合：
，则集合 的非空子集的个数是（ ）个．
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】B
【分析】先确定集合 有四个元素，则可得其非空子集的个数.
【详解】根据题意， ，
则集合 的非空子集的个数是 .
故选：B
【变式3】已知实数集 满足条件:若 ，则 ，则集合 中所有元素的乘积
为（ ）
A．1 B． C． D．与 的取值有
关
【答案】A
【分析】根据题意，递推出集合A中所有元素，可得答案．【详解】由题意，若 ， ，
，
，
，
综上，集合 .
所以集合A中所有元素的乘积为 .
故选：A.
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．下列说法中正确的是（ ）
A．1与 表示同一个集合
B．由1，2，3组成的集合可表示为 或
C．方程 的所有解的集合可表示为
D．集合 可以用列举法表示
【答案】B
【分析】根据集合的相关概念以及表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断选
择.
【详解】对于A，1不能表示一个集合，故错误；
对于B，因为集合中的元素具有无序性，故正确；对于C，因为集合的元素具有互异性，而 中有相同的元素，故错误；
对于D，因为集合 中有无数个元素，无法用列举法表示，故错误.
故选：B.
2．（2024·福建厦门·二模）设集合 ，
，那么集合 中满足
的元素的个数为（ ）
A．60 B．100 C．120 D．130
【答案】D
【分析】明确集合 中满足 的含义，结合组合数的计算，
即可求得答案.
【详解】由题意知集合 中满足 的元素的个数，
即指 中取值为-1或1的个数和为1或2或3，
故满足条件的元素的个数为 （个），
故选：D
3．集合 的子集的个数是（ ）
A．16 B．8 C．7 D．4
【答案】D
【分析】首先判断出集合 有2个元素，再求子集个数即可.
【详解】易知集合 有2个元素，
所以集合 的子集个数是 .
故选：D.
4．（2024·浙江·模拟预测）已知全集
，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 图，即可求解.
【详解】如图，画出 图，并将条件中的集合标在图中，
如图，集合 ．
故选：C
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）设 ， ， ， 为集合 的 个不同
子集，为了表示这些子集，作 行 列的数阵，规定第 行第 列的数为 ．
则下列说法中正确的是（ ）
A．数阵中第一列的数全是0，当且仅当
B．数阵中第 列的数全是1，当且仅当
C．数阵中第 行的数字和表明集合 含有几个元素
D．数阵中所有的 个数字之和不超过
【答案】ABD
【分析】由集合的子集的概念和规定第 行与第 列的数为 ，对选项一一
判断即可．
【详解】选项A：数阵中第一列的数全是 ，当且仅当 ， ， ， ，
，故A正确．
选项B：数阵中第 列的数全是1，当且仅当 ， ， ， ， ，故B正确．
选项C：数阵中第 列的数字和表明集合 含有几个元素，故C错误．
选项D：当 ， ， ， 中一个为 本身，其余 个子集为 互不相同的 元
子集时，
数阵中所有的 个数字之和最大，且为 ，故D正确.
故选：ABD
6．（2024高三·全国·专题练习）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到
1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数
(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为
“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分
割，是指将有理数集 划分为两个非空的子集M与N，且满足 ，
，M中的每一个元素小于 中的每一个元素，则称 为戴德金分割．
试判断下列选项中，可能成立的是（ ）
A． ， 是一个戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M没有最大元素，N也没有最小元素
【答案】BD
【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误.
【详解】对于A，因为 ， ，所以 ，故
A错误；
对于B，设 ， ，满足戴德金分割，
此时 没有最大元素， 有一个最小元素为0，故B正确；
对于C，若 有一个最大元素， 有一个最小元素，
则不能同时满足 ， ，故C错误；
对于D，设 ， ，满足戴德金分割，此时 没有最大元素， 也没有最小元素，故D正确．
故选：BD.
三、填空题
7．已知集合 ，且 ，则 ．
【答案】2
【分析】根据集合自己的概念即可求解．
【详解】∵ ，且 ，
∴集合A里面的元素均可在集合B里面找到，
∴a=2．
故答案为：2
四、解答题
8．已知集合 ， ，全集 ，且 ，
(1)求集合 ；
(2)求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据补集的定义和运算即可求解；
（2）根据交集的定义和运算即可求解.
【详解】（1）因为 ，
所以 .
（2） ，由（1）知，
.
9．已知集合 ， .
(1)求 及 ；
(2)求 .
【答案】(1) ，(2)
【分析】利用交集，并集及补集运算直接求解.
【详解】（1）集合 ， ,
故 ，
（2） .
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合 ，
若 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求出一元二次不等式的解集，依题借助于数轴得到关于 的不等式组，解
之即得.
【详解】 或 ， 或 ，
又 ，解得 .
故选:D.
2．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知全集 ，集合
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据集合的并集与补集运算即可.
【详解】因为 ，所以 ，又 ，所以 ．
故选：D.
3．（23-24高三下·湖北·阶段练习）已知集合 ， ，若定义集合运算：
，则集合 的所有元素之和为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．0
【答案】A
【分析】计算出 的所有取值即可得.
【详解】 可为 、 ， 可为 、 ，有 、 、 ，
故 ，所以集合 的所有元素之和为6.
故选：A．
4．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析集合A可知 或 ，结合并集和补集的定义与运算
即可求解.
【详解】对于集合 中的元素，
当 ， 时， ；当 ， 时， ，
所以 或 或 ，
故 .
故选：B．
5．设全集 ，集合 ．集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】先求集合 ，再结合集合间的运算求解.
【详解】因为 等价于 ，解得 ，即 ，
又因为 ，可得 ，
所以 .
故选：D.
6．（2024·陕西咸阳·二模）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】计算出集合 、 后，借助补集定义及交集定义即可得.
【详解】由 ，即 ，解得 ，故 ，
由 ，可得 ，即 或 ，故 ，
故 .
故选：B.
7．已知集合 是由某些正整数组成的集合，且满足：若 ，则当且仅当
（其中正整数 、 且 ）或 （其中正整数 、 且 ）．现
有如下两个命题：① ；②集合 ．则下列判断正确的是（ ）
A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错
【答案】A
【分析】根据集合 的定义即可判断①是假命题，根据集合 的定义先判断 ，
，再由 ，有 ， ， 且 ，所以 ，可判断 ②是真命题.
【详解】因为若 ，则当且仅当 其中 且 ，或 其中
且 ，
且集合 是由某些正整数组成的集合，
所以 ， ，
因为 ，满足 其中 且 ，所以 ，
因为 ，且 ， ，所以 ，
因为 ， ， ，所以 ，故①对；
下面讨论元素 与集合 的关系，
当 时， ；
当 时， ， ， ，所以 ；
当 时， ， ， ，所以 ；
当 时， ， ， ，所以 ；依次类推，
当 时， ， ， ，
所以 ，则 ，故②对.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断 ， ， ， ，再根据集
合 的定义求解.
8．已知函数 ， 为高斯函数，表示不超过实数 的最大整数，例如
， .记 ， ，
则集合 ， 的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意分别求出集合 ，然后利用集合的交集运算从而求解.【详解】由题意得 ，所以
，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
，
当 时， ， ，此时 ，
当 时， ， ，此时 ，
当 时， ，此时 ，
综上： ，所以 ，故C正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：根据高斯函数对 分情况讨论具体
的取值求出集合 ，从而求解.
二、多选题
9．若全集 ， ， ，则集合 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据交并补的混合运算逐个选项判断即可.
【详解】对A， ， ，故 ，故
A错误；
对B， ，故 ，故B正确；
对C， ，故 ，故C正确；
对D， ，故 ，故D正确.
故选：BCD10．（2024·辽宁辽阳·一模）已知集合 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】求出集合 ，根据集合的运算即可判断A，B；结合 ，可判断C；
由 ，结合判别式，可求得a的范围，即可判断D.
【详解】由题意得 ，
故 ， ，A错误，B正确；
由于 ，故 ，则 ，C正确；
若 ，则 能取到所有的正数，
即 ，则 或 ，
即 ，D正确，
故选：BCD
11．已知集合 满足 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若 ，则 中的元素的个数为1
B．若 ，则 中的元素的个数为15
C．若 ，则 中的元素的个数为45
D．若 ，则 中的元素的个数为78
【答案】BCD
【分析】对于A，由集合 的定义即可列举出集合 中所有的元素即可判断；对于B，
中的元素均为正奇数，对 分类讨论即可验算；对于C，原问题等价于将11个大小相同、质地均匀的小球分给甲､乙､丙3个人，每人至少分1个，利用隔板法即可验算；
对于D，原问题等价于将14个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每
人至少分1个，利用隔板法验算即可.
【详解】由题意得 ，
所以 中的元素的个数为 ，A错误.
由题意得 中的元素均为正奇数，在 中，
当 时，有 共5个元素，
当 时，有 共4个元素，
当 时，有 共3个元素，
当 时，有 共2个元素，
当 时，有 共1个元素，
所以 中的元素的个数为 ，B正确.
，可转化为将11个大小相同、质地均匀的小球
分给甲､乙､丙3个人，每人至少分1个，
利用隔板法可得分配的方案数为 ，所以 中的元素的个数为45，C正确.
，
可转化为将14个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，
利用隔板法可得分配的方案数为 ，所以 中的元素的个数为 ，D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：判断CD选项的关键是将问题进行适当的转换，并利用隔板法，
由此即可顺利得解.
三、填空题
12．已知集合 ， ，若 ，则 的最大值为
．
【答案】
【分析】依题意可得 ，即可求出 的取值范围，从而得解.【详解】因为 ， 且 ，
所以 ，则 ，所以 的最大值为 .
故答案为：
13．（2024·广东湛江·一模）已知全集 为实数集 ，集合 ，
，则 ．
【答案】
【分析】解不等式可分别求得集合 ，根据并集和补集定义可得到结果.
【详解】由 得： ，即 ；
由 得： ，即 ， ， .
故答案为： .
14．（2024·辽宁·一模）已知集合 ， ，
则 ， .
【答案】
【分析】首先解一元二次不等式求出集合 ，再根据交集的定义计算可得.
【详解】由 ，即 ，解得 ，
所以 ，
又 ，所以 .
故答案为： ；
四、解答题
15．（2024高三·全国·专题练习）已知集合A＝{x|x2－2x＋a＝0}，B＝{1，2}，且
A B，求实数a的取值范围．
【⊆答案】[1，＋∞).
【详解】解：若A＝ ，则Δ＝4－4a＜0，解得 a＞1；
∅若1∈A，由1－2＋a＝0得a＝1，此时A＝{1}，符合题意；
若2∈A，由4－4＋a＝0得a＝0，此时A＝{0，2}，不符合题意．
综上，实数a的取值范围是[1，＋∞).
【考查意图】利用集合间的关系求参数的取值范围．
16．（2024高三·全国·专题练习）已知集合A＝{x|x2－4x－5≤0}，B＝{x|2x－6≥0}，M
＝A∩B.
(1)求集合M；
(2)已知集合C＝{x|a－1≤x≤7－a，a∈R}，若M∩C＝M，求实数a的取值范围．
【答案】(1)[3，5]
(2)（－∞，2]
【详解】（1） 由x2－4x－5≤0，得－1≤x≤5，
所以A＝[－1，5].
由2x－6≥0，得x≥3，所以B＝[3，＋∞）.
所以M＝[3，5].
（2） 因为M∩C＝M，所以M C，
⊆
则 解得a≤2.
故实数a的取值范围是（－∞，2].
17．已知 为实数，设集合 ．
(1)设集合 ，若 ，求实数 的取值范围．
(2)若集合 ，求实数 的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据包含关系可得 ，故可求参数的取值范围.
（2）根据解集为 可得判别式的符号，故可求参数的取值范围.
【详解】（1） ，因为 ，故 ，故 即 .
（2）因为 ，故 即 在 上恒成立，
故 ，故 .
18．对于集合 ，定义函数 ．对于两个集合 ，定义集合．已知集合 ．
(1)求 与 的值；
(2)用列举法写出集合 ；
(3)用 表示有限集合 所包含元素的个数．已知集合 是正整数集的子集，
求 的最小值，并说明理由.
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3)4.
【分析】（1）根据给定的定义计算即得.
（2）求出 ，再结合定义及运算写出集合 .
（3）根据给定的定义分析得出取最小值的条件，即可求得答案.
【详解】（1）依题意， ，所以 ， .
（2）由 ，得 ，
因此属于 不属于 的元素为 ，属于 不属于 的元素为 ，
所以 .
（3）依题意，对于集合 ， ，
①若 且 ，则 ，
②若 且 ，则 ，
因此要使 的值最小，3，5，9一定属于集合 ，
是否属于集合 不影响 的值，集合 不能含有
之外的元素，
所以当 为集合 的子集与集合 的并集时，
取得最小值 .
【点睛】关键点点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义进行集合的分拆并结合集合元素的性质、包含关系以及集合运算等知识综合
解决.
19．对于数集 ，其中 ， ，定义向量集
，若对任意 ，存在 ，使得 ，则称X
具有性质P．
(1)设 ，请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）．
(2)若 ，且集合 具有性质P，求x的值；
(3)若X具有性质P，且 ，q为常数且 ，求证： ．
【答案】(1) ， 具有
性质 ；
(2) ；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据向量集Y的定义，结合 的元素，直接写出 ，再判断是否满足性
质 即可；
（2）根据性质 的定义，任取 ， ，讨论 的取值，
结合 的范围，即可求得 的取值；
（3）根据性质 的定义推出 为定值，结合 ，即可推证.
【详解】（1）根据向量集 的定义可得：
，
若 ，则存在 ，使得 ，
同理亦可证明对任意 ，也满足性质 ，故 具有性质P．
（2）对任意a， ，都存在c， ，使得 ，
即对于 ，都存在 ，使得 ，其中a，b，c， ，
因为集合 具有性质P，
选取 ， ，则有 ，
假设 ，则有 ，解得 ，这与 矛盾，
假设 ，则有 ，解得 ，这与 矛盾，
假设 ，则有 ，解得 ，这与 矛盾，
假设 ，则有 ，解得 ，满足 ，故 ；
经检验，集合 具有性质P．
（3）证明：取 ，设 且满足 ，
由 得 ，从而s，t异号，
∵－1是x中唯一的负数，
∴s，t中一个为－1，另一个为1，故 ．
因为 ，所以 ，
X具有性质P，取 ， ，
设 ，因为 ，且c，d中的正数大于等于1，
所以只能 ，
所以 ， ．
又X中只有 个大于1的正数，即 ，
且 ，这 个大于1的正整数都属于集合X，
所以只能 ， ，… ，
即 ，
即 ．
【点睛】关键点点睛：处理本题第三问的关键是能够根据性质 的定义，推出 ，
以及 为定值，进而根据X中只有 个大于1的正数解决问题.
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2023·上海宝山·一模）已知集合 是由某些正整数组成的集合，且满足：若 ，
则当且仅当 其中 且 ，或 其中 且
.现有如下两个命题: ① ；②集合 .则下列选项中正确
的是（ ）
A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题
C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题.
【答案】C
【分析】根据集合 的定义即可判断①是假命题，根据集合 的定义先判断 ，
，再由 ，有 ， ， 且 ，所以 ，可判断 ②
是真命题.
【详解】因为若 ，则当且仅当 其中 且 ，或 其中
且 ，
且集合 是由某些正整数组成的集合，
所以 ， ，因为 ，满足 其中 且 ，所以 ，
因为 ，且 ， ，所以 ，故①是假命题；
记 ，
当 时， ，因为 ， ， ，所以 ；
下面讨论元素 与集合 的关系，
当 时， ，当 时， ， ， ，所以 ，
当 时， ， ， ，所以 ，
当 时， ， ， ，所以 ，依次类推，
当 时， ， ， ，所以 ，
下面讨论 时，集合 中元素与集合 的关系，
因为 ，有 ， ， 且 ，所以 ，
综上所述， ，有 ，
即 ，故②是真命题.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断 ， ， ， ，再根据集
合 的定义求解.
2．已知函数 ，若非空集合
，满足 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】不妨设 的解集为 ，从而得 ，进而得到
且 ，又 ， 为方程 的两个根，可得 ，由此得到关
于 的不等式组，解之即可得解.．
【详解】因为 ，
不妨设 的解集为 ，则由 得 ，所以 ，
又 ， ，所以 且 ，
因为 的解集为 ，所以 是 ，即 的两个根，
故 ，即 ，
此时由 ，得 ，则 ，
因为 ，显然 ，且 开口向上，对称轴为 ，
所以 ，则 ，
又 ，解得 ，即 .
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于假设 的解集为 ，进而得到
且 ，从而得解.
3．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即得.
【详解】集合 ， ，所以 .
故选：D
4．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求解不等式和求函数的值域得到集合 的范围，再根据交并补和集合间
的关系的定义分别判断各选项即得.【详解】 ， ，
因 故A项错误；
由 ，知B项错误；
由 知C项错误；
因 ，故D项正确.
故选：D.
5．（23-24高三上·上海·期中）设 且 ，n为正整数，集合
．有以下两个命题：①对任意a，存在n，使得集合S中至少有2
个元素；②若存在两个n，使得S中只有1个元素，则 ，那么（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是假命题 D．①、②都是真命题
【答案】A
【分析】
对于①命题，令函数 ，分 和 两种情况，利用零点存在定
理得即可判断；对于②命题，通过举例说明.
【详解】对于①命题，设 ，令函数 ，
因为 ， ，
所以存在 有 ，
当 时， ，
所以存在 有 ，
对于 ，因为 是偶函数，
所以 和 情况一样，故①是真命题；
对于②命题，通过①得出一下结论： 越小，集合 元素数量越少，同理得出如果集合只能有一个元素，只能是 的区间存在一个零点，
因此先讨论 的零点情况（如果 只有一个
零点， 也只有一个零点），
其图象如下图：
即 时，也满足
故②是假命题.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于零点存在定理的应用以及由①得出的结论.
二、多选题
6．设集合 是实数集 的子集，如果点 满足：对任意 ，都存在 ，
使得 ，称 为集合 的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据集合聚点的定义，逐一分析每个集合中元素的性质，并判断是否满足集
合聚点的定义，从而得到答案.
【详解】对于集合 ，对任意的 ，都存在 ，使得
，
所以0是集合 的聚点，A选项正确；
对于集合 ，对于某个实数 ，比如 ，此时对任意的 ，都有 ，
也就是说不可能 ，从而0不是集合 的聚点，B选项错误；
对于集合 ，对任意的 ，都存在 ，即 ，
使 ，所以0是集合 的聚点，C选项正确；
对于集合 ， ， 随着n增大而增大，
的最小值为 ，故当 时，即不存在x，使得 ，D选项错误.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：集合新定义的应用，其中解答中认真审题，正确理解集合的新
定义——集合中聚点的含义，结合集合的表示及集合中元素的性质，逐项判定是解答
的关键，着重考查推理与论证能力.
7．下列说法正确的是（ ）
A．已知集合 ， ，则
B．终边落在 轴上的角的集合可表示为
C．若 ，则
D．在 中，若 ，则 为等腰三角形
【答案】AC
【分析】根据集合 ， 表示终所在的位置，即可判断A；根据角度与弧度不能混用
即可判断B；根据辅助角公式结合正弦函数的性质即可判断C；由题意可得 或
，即可判断D.
【详解】集合 表示终边落在直线 上角的集合，
集合 表示终边落在直线 及坐标轴上角的集合，因此A正确；
B选项出现角度与弧度混用错误；
C选项， 即 ，即 ，所以 ，解得 ，故C正确；
D选项，若 ，
因为 ，所以 ，
所以 或 ，所以 或 ，
所以 为等腰三角形或直角三角形，故D错误．
故选：AC.
三、填空题
8．（23-24高三下·上海·开学考试）已知集合 ，集合
，若 ，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题意分集合 是否为空集进行讨论，结合 ，列出相应的不等式
（组），从而即可得解.
【详解】集合 ，集合 ，且 ，
若 ，则 ，即 ，此时满足 ，即 满足题意；
若 ，则 ，即 ，此时若要使得 ，
则还需 或 ，解得 或 ，
注意到此时 ，从而此时满足题意的 的范围为 或 ；
综上所述，实数 的取值范围为 .
故答案为： .
9．（2024·四川遂宁·二模）已知等差数列 的公差为 ，集合
有且仅有两个元素，则这两个元素的积为 ．
【答案】 /
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有
两个元素分析、推理作答.【详解】 ，
则 ，
其周期为 ，而 ，即 最多3个不同取值，
集合 有且仅有两个元素，设 ，
则在 中， 或 ，
或 ，又 ，即 ，
所以一定会有相邻的两项相等，设这两项分别为 ,
于是有 ，即有 ，解得 ，
不相等的两项为 ，
故 ， .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：此题关键是通过周期性分析得到相等的项为相邻的两项，不相
等的两项之间隔一项，从而求得答案.
10．（23-24高三上·江西·期末）定义：有限集合 ，
则称 为集合 的“元素和”，记为 .若集合
，集合 的所有非空子集分别为 ， ，…， ，
则 .
【答案】
【分析】根据错位相减可得 中的元素和，根据每一个元素在子集中出现的次数为 ，
因此 ，即可求解．【详解】由题意知集合 中的元素分别为 ， ， ， ， ，
设 ①，则 ②，
① ②，得 ，所以
．
由于集合 中每一个元素在子集中出现的次数为 ，所以
．
故答案为： ．
四、解答题
11．设自然数 ，由 个不同正整数 构成集合 ，若
集合 的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合 ，记 为集合 元素的
个数
(1)已知集合 ，集合 ，分别求解 ．
(2)对于集合 ，若 取得最大值，则称该集合 为“极异集
合”
①求 的最大值（无需证明）．
②已知集合 是极异集合，记 求证：数列 的前 项和
．
【答案】(1) , ；
(2)① ；②证明见解析
【分析】（1）根据 定义求出集合的子集个数即可得出结果；
（2）①根据元素个数可得集合 共有 个非空子集， 的
最大值为 ；②根据极异集合的定义，利用等比数列前 项和即可得只需证明 ，再由元
素互异性和元素的取值范围可得结论.
【详解】（1）已知集合 的非空子集有15个：
计算可得 ，即 ．
集合 的非空子集有15个：
计算可得 ，即
（2）①集合 共有 个非空子集， 的最大值为
② ，
即证
不妨设 ，即 的非空子集中元素和最小的子集的为 ，最大的为
集合 是极异集合， ，代表有 个不同的正整数，
即 ，
所以 中有 个元素，由元素互异性可得
又 ，即可得 ，因此数列 的前 项和 .
【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解新的定义，并结合数列及其前 项和性质进
行化简计算，并由集合元素的互异性得出结论.
12．（23-24高三下·北京·阶段练习）设k是正整数，A是 的非空子集（至少有两个
元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有 ，则称A具有性质 ．
(1)试判断集合 和 是否具有性质 ？并说明理由．
(2)若 ．证明：A不可能具有性质 ．
(3)若 且A具有性质 和 ．求A中元素个数的最大值．
【答案】(1) 不具有性质 ， 具有性质 ，理由见解析
(2)证明见解析
(3)920
【分析】（1）根据定义判断 是否具有性质 即可；
（2）将 分为 个子集，结合抽屉原理证明结论；
（3）先证明连续 个自然数中至多有 个元素属于 ，由此可得集合A中元素个数不
超过 个，再举例说明存在含有 个元素的满足要求的集合 .
【详解】（1）因为 ，又 ，
但 ，所以集合 不具有性质 ，
因为 ，又 ，
但 ，
所以集合 具有性质 .
（2）将集合 中的元素分为如下 个集合，
，
所以从集合 中取 个元素，则前 个集合至少要选10个元素，所以必有 个元素取自前 个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为 ，
所以A不可能具有性质 .
（3）先说明连续11项中集合 中最多选取5项，
以 为例.
构造抽屉 ， ， ， ， ， ， .
① 同时选，因为具有性质 和 ，
所以选5则不选 ；选6则不选 ；选7则不选 ；
则只剩 . 故 中属于集合 的元素个数不超过5个.
② 选2个，
若只选 ，则 不可选，又 只能选一个元素，
可以选，故 中属于集合 的元素个数不超过5个.
若选 ，则只能从 中选，但 不能同时选，
故 中属于集合 的元素个数不超过5个.
若选 ，则 不可选，又 只能选一个元素，
可以选，故 中属于集合 的元素个数不超过5个.
③ 中只选1个，
又四个集合 ， ， ， 每个集合至多选1个元素，
故 中属于集合 的元素个数不超过5个.
由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合 的元素至多只有5个，
如取 .
因为2023=183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项；
从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合 的元素最多有 个.
给出如下选取方法：从 中选取 ；
然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次.
此时集合 的元素为： ； ； ； ；，共 个元素.
经检验可得该集合符合要求，故集合 的元素最多有 个.
【点睛】关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法
则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新
的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.
13．（2024·北京·模拟预测）已知集合 ，其中 都是
的子集且互不相同，记 的元素个数， 的元素个数
.
(1)若 ，直接写出所有满足条件的集合 ；
(2)若 ，且对任意 ，都有 ，求 的最大值；
(3)若 且对任意 ，都有 ，求 的最大值.
【答案】(1) 或 或 或
(2)
(3)
【分析】（1）根据新定义对交集情况分类讨论即可；
（2）将集合 的子集进行两两配对得到16组，写出选择 的16个含有元
素1的子集即可得到 ；
（3）分 中有一元集合和没有一元集合但有二元集合，以及 均为三元集
合讨论即可.
【详解】（1）因为 ，则 和 的元素个数均为1，
又因为 ，则 ，若 ， ，则 或 ；
若 ， ，则 或 ；
综上 或 或 或 .
（2）集合 共有32个不同的子集，
将其两两配对成16组 ，
使得 ，则 不能同时被选中为子集 ，故
.
选择 的16个含有元素1的子集: ，符合题意.
综上， .
（3）结论: ，令 ，集合 符合题
意.
证明如下：
①若 中有一元集合，不妨设 ，则其它子集中都有元素1，且元素 都
至多属于1个子集，
所以除 外的子集至多有 个，故 .
②若 中没有一元集合，但有二元集合，不妨设 .其它子集分两类:
或 ，和 或 ，
其中 互不相同， 互不相同且均不为1，2.
若 ，则 ，有
若 ，则由 得每个集合 中都恰包含 中的1个元素（不是2)，且互不
相同，
因为 中除2外至多还有2个元素，所以 .所以 .
③若 均为三元集合，不妨设 .将其它子集分为三类：
，其
中 .
若 ，则 (除1，2，3外，其它元素两个一组与1构成集合 )，
所以 .
若 ，不妨设 ，则由 得每个集合 中都或者有4、或者有
5，
又 中除1外无其它公共元素，所以 .
所以 .
综上， .
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分理解集合新定义，然后对 中集
合元素个数进行分类讨论；当 均为三元集合时，不妨设 ，再将其它
子集分为三类讨论.
