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专题 10 数列不等式的放缩问题
目 录
01 先求和后放缩..................................................................................................................................1
02 裂项放缩..........................................................................................................................................5
03 等比放缩..........................................................................................................................................9
04 型不等式的证明...................................................................................................11
05 型不等式的证明...................................................................................................20
06 型不等式的证明.........................................................................................................24
07 型不等式的证明........................................................................................................32
01 先求和后放缩
1．（2023·山东菏泽·高三菏泽一中校考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ______请在 是公差为 的等差数列； 是公比为 的等比数
列，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.
(1)求 的通项公式
(2)在 与 之间插入 个实数，使这 个数依次组成公差为 的等差数列，数列 的前 项和 ，
证明：
【解析】（1）若选 ：当 时， ，所以 ，
故 ，因为
所以 ，
则 时，
累加得 ，故 ，
当 时， 满足上式，故 .
若选 ，数列 是公差为 的等差数列，首项为 ，
故 ，则 ，
两式相减得 ，则 ，
则 ，即 ，
当 时， 满足上式，故 .
若选 ，数列 是公比为 的等比数列，首项为 ，
故 ，则 时，累加得 ，故 ，
当 时， 满足上式，故 .
（2）证明：由于 ，所以
所以 ，
故 ，
，得
，
即 .
2．（2023·吉林白城·高三校考阶段练习）已知公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，且
成等比数列.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前 项和为 ，证明： .
【解析】（1）设 的公差为 ，因为 成等比数列，所以 ，
即 ，因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 .（2）由（1）得， ，
所以 ，
所以
，
又 ，所以 .
3．（2023·天津·高三校联考期中）已知数列 的前n项和 ，数列 满足： ，
．
(1)证明： 是等比数列；
(2)设数列 的前 项和为 ，且 ，求
(3)设数列 满足： ．证明： ．
【解析】（1）由 ，得 ，
所以 是以2为首项，2为公比的等比数列，即 ．
（2）当 时，有 ，当 时， ，
显然 也满足，故 ，结合 ，所以 = ，
故 .（3）当n为奇数时， ，
,
当n为偶数时， ,
，
设 ，则 ，
两式相减得 ，得 ，
所以 ，所以 ，得证．
4．（2023·陕西西安·高三西安市第三中学校考期中）设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，满足
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前 项和为 .证明：对一切正整数 ， .
【解析】（1）因为 ，即 ，
当 时 ，解得 或 （舍去），
当 时 ，
所以 ，
即 ，即 ，则 ，因为 ，所以 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以数列 的通项公式是
（2）由（1）可得 ，
所以 ，
，
所以
，
所以 ，
因为 ，所以 .
02 裂项放缩
5．（2023·贵州黔东南·高三天柱民族中学校联考阶段练习）已知正项数列 的前 项和为 ，且
.
(1)求 ；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： .
【解析】（1）当 时， ，即 ，
由数列为正项数列可知， ，又 ，
即数列 是首项为1，公差为1的等差数列，
即 ，则 ，
当 时， ，当 时， 成立，
所以
（2）由（1）可知， ，则 ，
当 时，
，成立， ，成立，
当 时，
，
即 .
综上可知， ，得证.
6．（2023·湖南常德·高三临澧县第一中学校考阶段练习）已知数列 为等差数列，数列 为等比数列，
且 ， ， ， .
(1)求 ， 的通项公式；
(2)已知 ，求数列 的前 项和 ；(3)求证： .
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
由 ， 得 ，所以 ，
由 ， .得 ，
所以 ， ，故 ，所以 .
（2）当 是奇数时， ，
当 是偶数时， ，
则 ①
②
①-②得：
即
化简得： .所以 .
（3） ，
当 时， ，
因为 ，所以 ；
当 时， 也成立.故 .
7．（2023·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知数列 满足 ，
.
(1)判断数列 是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；
(2)若数列 的前10项和为361，记 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
【解析】（1）数列 成等比数列，证明如下：
根据 得，
；
， ， ，即数列 成等比数列.
（2）由（1）得， ， ，故
，
由 ，得 .
令 ，
当 时， 单调递增，且 ，
故 ， ， ，
， ，
当 时，
，
综上，知
8．（2023·河北唐山·模拟预测）已知 和 是公差相等的等差数列，且公差 的首项 ，
记 为数列 的前 项和， ．
(1)求 和 ；
(2)若 的前 项和为 ，求证： ．
【解析】（1）由已知得 ，即 ，解得 ，故 ．
（2）由（1）得 ，
则
，得证．
03 等比放缩
9．（2023·广东梅州·高三梅州市梅江区梅州中学校考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ， ，
是 与 的等差中项．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，若数列 是递增数列，求 的取值范围．
(3)设 ，且数列 的前 项和为 ，求证： ．
【解析】（1） 是 与 的等差中项， ；
当 时， ，又 ， ；
当 且 时， ，
， ，
又 ， ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， ，.
（2）由（1）得： ，
数列 为递增数列，
；
①当 为偶数时， ，
设 ， ，
数列 为递减数列，
当 时， ， ；
②当 为奇数时， ，
由①知：数列 为递减数列，则数列 为递增数列，
当 时， ， ；
综上所述： 的取值范围为 .
（3）由（1）得： ，
， ，，
，
10．（2023·全国·高三专题练习）求证： （ ）.
【解析】因为 ，
所以 ，
令 ，
则 ，
两式相减得 ，
所以 ，
即不等式 （ ）得证.
11．（2023·重庆·高三统考阶段练习）记数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)求证： .
【解析】（1）由于 ，故 ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，，可得 ，
所以数列 是一个首项为1，公比为2的一个等比数列；
（2）由（1）可知 ， ，
所以原式 ，
又因为 恒成立，所以 .
04 型不等式的证明
12．（2023·河南·方城第一高级中学校联考模拟预测）已知函数 （ ）.
(1)证明： ；
(2)若正项数列 满足 ，且 ，记 的前 项和为 ，证明： （ ）.
【解析】（1）证明：（1）令 ， ，则 ，令 ，得 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，∴当 时， .
令 ，由 得， ，可得 ，∴ ，即 .
（2）（2）由（1）知 ，则 ，即 则当 时，
，…， ，则 ，则 （ ），∴当 时，，接下来只需证明： ，即
，即证 ，由函数
中， ，对称轴为 ，试证
，即证 ，即证 ，显然成立，
∴ 在 上单调递增，∴
成立，综上， （ ）.
13．（2023·江西萍乡·高三统考期中）已知函数 .
(1)证明：当 时， 恒成立；
(2)首项为 的数列 满足：当 时，有 ，证明： .
【解析】（1）要证 ，即 ，只需证 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，即 单调递增，则 ， 单调递增，则 ，
故当 时， 恒成立；
（2） ，由（1）知 ，则 ，即 ，依此类推，可知 ，
等价于 ，
当 时， （等价于 ），下证 ，
即证 ，即证 ，
因为 ，则只要证 ，
即 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，所以 单调递增，
即 单调递增， ，则 单调递增， ，
所以 ，即 ，
所以 ，
即
所以 .
14．（2023·重庆·高三校联考期中）设数列 的前 项之积为 ，满足 .(1)设 ，求数列 的通项公式 ；
(2)设数列 的前 项之和为 ，证明： .
【解析】（1）因为数列 的前 项之积为 ，满足 ，
所以当 时， ，解得 ．
当 时， ，
化为 ，
变形为 ，
又 ，所以 ，即 且 ，
则数列 是以 为首项， 为公比的等比数列
所以 ．
（2）由（1）可得： ，解得 ，
当 时， ．
，
需要证明 ，
即证明 ，
设 ， ，则 ，
设 ， ，
则函数 在 上单调递增，
所以 ，
即 ，
所以 ．
15．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知正数数列 满足
，且 .（函数 求导 次可用 表示）
(1)求 的通项公式.
(2)求证：对任意的 ， ，都有 .
【解析】（1）由 ，得
，
所以 或 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以（2）证明：当 时， 恒成立，
令 ，
即 ，
则
，
……
，
所以 在 上递增，
所以 ，
所以 在 上递增，
所以 ，
所以 在 上递增，
……
所以 在 上递增，所以 ，
所以 在 上递增，
所以 ，
综上对任意的 ， ，都有 .
16．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数 ．
(1)当 时，证明： ；
(2)数列 的前 项和为 ，且 ；
（ⅰ）求 ；
（ⅱ）求证： ．
【解析】（1）证明：令 ，其中 ，
则 ，
因为 ，则 ，
又因为 ，则 ，所以， ，则 且 不恒为零，
所以，函数 在 上单调递减，
当 时， ，即 .
（2）（i）对任意的 ， ，
当 时，则 ，可得 ，
当 时，由 可得 ，上述两个等式作差可得 ，所以， ，
所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，故 ；
（ii）令 ，其中 且 ，
则 ，
因为 ，则 ，
又因为 ，则 ，所以， ，则 且 不恒为零，
所以，函数 在 上单调递增，
当 时， ，即 ，当且仅当 时，等号成立，
因为 ，
令 ，则 ，
当 时，则有 ，
当 时， ，即 ，此时数列 从第二项开始单调递减，
所以，对任意的 ， ，
所以， ，
所以，当 时， ，
设数列 的前 项和为 ，则 ，
所以， ，上述两个等式作差可得 ，
所以， ，所以， ，
所以， ，
当 时，则 ，所以， ，则 ，
所以， ，
当 时， ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，因为 ，所以， ，
综上所述，对任意的 ， .
17．（2023·四川·高三校联考阶段练习）已知函数 .
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)证明： .
【解析】（1）由题设 ，设 .
当 ，即 ，此时 ，则 ，则 在 上单调递减，所以 .
当 ，即 或 ，
若 有两个零点 ，则 ，则 均小于零，
所以 在 上恒成立，即 在 上单调递减，则 ；
若 ，则 ，可设 ，
当 时 ， 单调递增，则 ，不符合题意.
综上， 的取值范围是 .
（2）当 时， ，即 ，当且仅当 时取等号，
令 ，其中 ，则 ，则 ，
记 ，则 ，即 ，
，
所以 ，故 .
18．（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）已知函数 ．
(1)若函数 在 上只有一个零点，求 的取值范围；(2)若 ，记数列 的前 项和为 ，证明： ．
【解析】（1）根据题意得， ，则 ，
则 为函数 的一个零点．
，令 ，
则 ， ，当且仅当 时等号成立，
故 在 上单调递增，且 ．
当 时， ，故 在 上单调递增，
故 恒成立，当且仅当 时等号成立，
故 时，函数 仅有 这一个零点．
当 时，由于 ， ，
根据零点存在性定理，必存在 ，使得 ．
由于 在 上单调递增，故当 时， ， 单调递减，
此时 ，取 ，则 ，当 时，可知 ，
故函数 还有一个在 上的零点，不合题意，舍去．
综上所述， 的取值范围为 ．
（2）证明：依题意， ，
当 时，因为 即 ， 成立，
当 时，由（1）可知，当 时， ，即 时， ，
则 ，故 ．
因为
，
，
故 ，（ ），
综合以上可知 .
05 型不等式的证明
19．（2023·黑龙江大庆·高二大庆一中校考阶段练习）已知曲线Cn：x2﹣2nx+y2=0，（n=1，2，…）.从点
P（﹣1，0）向曲线Cn引斜率为kn（kn>0）的切线ln，切点为Pn（xn，yn）.
(1)求数列{xn}与{yn}的通项公式；
(2)证明： .
【解析】(1)设直线ln：y=kn（x+1），联立x2﹣2nx+y2=0，
得（1+kn2）x2+（2kn2﹣2n）x+kn2=0，
则△=（2kn2﹣2n）2﹣4（1+kn2）kn2=0，
∴kn （负值舍去），
可得xn ，yn=kn（1+xn） ；(2)证明： ，
由4n2>4n2﹣1，即为 ，
即有 ，
xxx…xn ，
1 3 5 2 ﹣1
可得xxx…xn ；
1 3 5 2 ﹣1
由 ，设f（x）=x cosx，
f′（x）=1 sinx，由0 ，
可得sinx>0，即f′（x）>0，f（x）在（0， ]递增，
由f（0） 0，f（ ） cos （cos cos ）<0，
可得x cosx，
即有 cos ，即 cos ，
则 .
20．（2023·浙江温州·高二校联考期末）已知数列 ， 满足 ， ，且 ，
.（1）求 及 ；
（2）猜想 ， 的通项公式，并证明你的结论；
（3）证明：对所有的 ， .
【解析】（1）因为 ， ，且 ，
令 ，得到 ，解得 ， ；
令 ，得到 ，解得 ， ；
令 ，得到 ，解得 ， ；
（2）证明：猜测 ， ，
用数学归纳法证明：①当 时，由上可得结论成立.
②假设当 时，结论成立，即 ， ，
那么当 时， ，
， ，
所以当 时，结论也成立.
由①②，可知 ， 对一切正整数都成立.
（3）由（2）知， ，
于是所证明的不等式即为（ⅰ）先证明：
因为 ，所以 ，从而 ，
即 ，所以
（ⅱ）再证明 ，令 ，
则 ，设函数 ， ，
则 ， .
因为在区间 上 为增函数，
所以当 时， ，
从而 在区间 上为单调递减函数，
因此 对于一切 都成立，
所以
综上所述，对所有的 ，均有 成立.
21．（2023·山东青岛·高二统考期末）在各项为正数的数列 中， ，点 在曲线
上；对于数列 ，点 在过点 ，且以 为方向向量的直线 上．
(1)求数列 和 的通项公式；(2)若 ，问是否存在 ，使 成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说
明理由；
(3)对任意正整数 ，不等式 都成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）由题意可得 ，则 ，即 且 ，
所以，数列 为等差数列，且首项为 ，公差为 ，故 .
过点 ，且以 为方向向量的直线 的方程为 ，
由已知可得 .
（2）由已知可得 .
当 为正奇数时，则 为偶数，由 可得 ，解得 ，合乎题意；
当 为正偶数时，则 为奇数，由 可得 ，解得 ，合乎题意.
综上所述， 或 .
（3）因为 ，
由 可得 ，
令 ，则 ，，所以， ，
故数列 为单调递增数列，所以数列 的最小项为 ，
所以， .
06 型不等式的证明
22．（2023·山西·高三统考阶段练习）已知函数 ．
(1)证明：对 恒成立；
(2)是否存在 ，使得 成立？请说明理由．
【解析】（1）证明：由 ，得 ， ，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
，且当且仅当 ，
所以 在 上单调递增，故 ，且当且仅当 ，
所以 在 上也单调递增，故 ，且当且仅当 ，
所以 在 上仍单调递增，故 ；
（2）对于右侧：由（1）可知，当 时， ，即 ，
故 ，
所以，
所以该侧不等号始终成立；
对于左侧：由（1）可知当 时， ．
设 ， ，则 ．
在 上有 ，所以 在 上单调递增，故当 时， ．
此时 ，
令 ，
可知 ，
所以当 时，
，
令 ，注意到 ，所以可得到一个充分条件，
即 ，
所以任取 ，则该侧不等式成立，（ 表示 整数部分），
因此，对于任意 ，原不等式都成立．即所求的n是存在的．23．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）记 为数列 的前n项和，已知
.
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)数列{ }满足 且 ， 的前n项和为 ，证明: .
【解析】（1）由 ，
由 可得 ，
则 时 ，
两式相减可得 ，
化为 ，因为 ，
所以 ，数列{ }是首项与公差都是2的等差数列，
所以 ；
（2）由（1）得 ，又 ，
所以 ，
，
所以 ，
，，
24．（2023·四川成都·高一成都七中校考期末）已知数列 满足 ， （其中
）
(1)判断并证明数列 的单调性；
(2)记数列 的前n项和为 ，证明： ．
【解析】（1）单调递减，理由如下： ．
∵ ，∴ ，∴数列 单调递减；
（2）∵ ， ， ，∴ ，又 ，则 .
∵ ， ，∴ ，则 ，
当 ，累加可得 ，则 ，
则 ，则 ，
∴
，则 ．25．（2023·河南·校联考模拟预测）记 为等差数列 的前n项和，已知 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)已知当 时， ，证明： .
【解析】（1）设等差数列 的公差为d，
因为 ，可得 ， ，
所以 ，解得 ，
所以 ，即数列 的通项公式为 .
（2）由 ，可得 ，
则 ，
因为当 时， ，
所以当 时， ，
故 ，
.
所以 .
26．（2023·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知数列 是首项为1的等差数列，数列 是公比不为1的等比数列，满足 ， ， ．
(1)求 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ；
(3)若数列 满足 ， ，记 ．是否存在整数 ，使得对任意的 都有
成立？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ；
（2）由（1）得 ，
则 ①，
②，
由① ②得
，
所以 ；（3）由题设可得 ，
假设存在满足要求的整数 ，
令 ，则 ，解得 ；
令 ，则 ，解得 ；
令 ，则 ，解得 ；
所以 ，
又已知 ，故若存在，则 ，
下证：当 时，对任意的 ，都有 成立，
，
，
，
即
，
又 ，
所以 ，则 ，
，
又因 ，所以 ，
即对任意的 都有 成立，得证.
所以存在整数 ，使得对任意的 都有 成立．
27．（2023·福建·高三校联考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ， ， ， .
(1)是否存在实数 ，使得数列 为等比数列？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由；
(2)记数列 的前 项和为 ，当 时，求证： .
【解析】（1） ①，当 时， ②，
两式相减得 ，即 ，
当 时， ，不能使得数列 为等比数列，舍去，
当 时， ，
当 时， ，不能使得数列 为等比数列，舍去，当 时，数列 为等比数列；
（2）当 时， ，
故 为首项为2，公比为2的等比数列，
故 ，
则 ，
故 ，
令 ，
则 ，
两式相减得 ，
故 ， .
28．（2023·江西宜春·高二奉新县第一中学校考阶段练习）已知函数 .
（1）若 在 处有极值，问是否存在实数m，使得不等式 对任意 及
恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. ；
（2）若 ，设 .
①求证：当 时， ；
②设 ，求证：
【解析】由题可知 ， .（1）由 ，可得 ， .
又当 时， ，
故 在区间 单调递减，在 单调递增.
故函数 在 处取得极值，所以 .
∵ ， .
∴ ，
当 时，由上述讨论可知， 单调递增，
故
不等式 对任意 及 恒成立，
即： ，
即： 对 恒成立，令 ，
，
即 ，且 ，
整理得 ，且 ，
解得： ，即为所求.
（2）①∵ ，
当 时， ， 在 上单调递减，
即证.
②由①可得：
令： ，得 ，即：
=即证.
07 型不等式的证明
29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ， ．令 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： ．
【解析】（1）由 ， 得 ，∴ ，
因此 ，即 ，
∴ 为等比数列，公比为 ，首项为 ．
故 ，即 ；
（2）由（1）知 ，
要证 ，即证 ，
也即证 ，这只需证 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递增，在 上递减，所以 ，
即 ，当且仅当 时等号成立，
令 ，得 ，
∴ ，
即 ．
30．（2023·广东广州·高三广州大学附属中学校考阶段练习）已知数列 ， ， 为数列 的前n
项和，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知当 时，不等式 恒成立，证明： ．
【解析】（1） ，即 ，
当 时， ，
两式相减， ，
即 ，也即 ，
变形为 ，
所以
，经检验 时 也适合．
．
（2）证明：因为 时， ，
，所以 ，令 ，则有 ．
， ，
将 两边同时取对数，
得到原不等式等价于证明： ，
令 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，
，
令 ，2， ，然后累加得：
，
则 ，原不等式得证．
31．（2023·山东日照·高二统考期末）已知各项均为正数的数列 ，满足 ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，试比较 与9的大小，并加以证明．【解析】（1）因为 ，
所以 ，
因为 的各项均为正，所以 ，故 ，即 ，
所以 是以2为公比的等比数列，
因为 ，又公比为2，
所以 ，所以 .
（2） ，证明如下：
令 ，则 ，
当 时， ，即 在 上单调递减，
所以 ，则 ，即 ，
设 ，所以 ，
所以 ，
记 ，则 ，
所以 ，
即 ，则 ，所以 ，所以 .
