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考点 21 利用导数研究函数的零点（3 种核心题型+基
础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
函数零点问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点的个数或范围．高考常
考查三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解
答题的压轴题出现
【核心题型】
题型一 利用函数性质研究函数的零点
利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定
函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条
件．
【例题1】（2024·全国·模拟预测）若函数 有两个零点，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将零点问题切换成函数图像交点，再利用导数研究函数的单调性及参数的取值范
围.
【详解】法一：设 ，则函数 有两个零点转化为函数 的图像
与直线 有两个交点，
因为 ，当 时， ；当 时， ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，则
，
当 时， ；当 时， ，则 ，解得 ，即实数
的取值范围是 .法二：函数 有两个零点可转化为函数 的图像与直线
有两个交点．
因为函数 的图像与 轴交于点 ，且函数 在点 处的切线方程为 ，
所以直线 与该切线平行，且该直线 与 轴交于点 ，
所以点 在点 上方，即 ，解得 ，即实数 的取值范围是 ．
故选：D
【变式1】（2024·陕西西安·一模）若不等式 恒成立，则实数 的取值范
围为 .
【答案】
【分析】函数不等式恒成立问题与隐零点问题.构造函数 ，求导后再
次构造函数 ，求导分析 的单调性，找到隐零点 ，并得到 ，然
后再分析 的单调性，找到最大值 ，最后再结合对数的运算求出函数 的最
大值即可.
【详解】不等式移项可得 ，
设 ，则 ，
设 ，则 恒成立，
所以函数 在 上单调递减，
因为 ，
所以 ，使得 ，①所以 在 上单调递增，在 上单调递减，最大值为 ，
所以当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
，代入①可得 ，
所以 ，所以实数 的取值范围为 ，
故答案为： .
【点睛】方法点睛：
（1）证明带参数的不等式恒成立问题时可采用分离参数法，再构造函数利用导数分析函数
的最值情况，如一次构造不容易看出单调性可二次构造再求导；
（2）对于隐零点问题，可求导后分析特殊值找到隐零点的大概区间，再以隐零点为边界分
析函数的单调性
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
(2)设 ，若 存在两个不同的零点 ， ，
且 .
（i）证明： ；
（ii）证明： .
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）先确定定义域，求出导函数并进行通分和因式分解后根据开口方向、根的大
小关系、根与定义域的位置关系等信息进行分类讨论得出导数正负情况，从而得出函数的
单调性.
（2）考查用导数研究函数零点问题，（i）用导数研究函数的单调性和最值情况，确保函数零点个数为2即可证明 ；（ii）根据零点的分布和大小情况进行考虑入手即可.
【详解】（1）由题 的定义域为 ，
，
①若 ，则 ，当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
②若 ，令 ，得 ， .
当 时， ，
当 或 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， ，
当 或 时， ；当 时， ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， ，当且仅当 时等号成立，
所以 在 上单调递增.
（2）（i）由题意知 ，
所以 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，
因为函数 存在两个不同的零点，故 ，即 .
（ii）下面找出两个点 ， ，使得 ， ,
注意到 ，且 ，于是考虑找点 ， ，
下面我们证明： ， ，
① ，设 ，下证 ，
方法1：设 ，则 ，故 ，
所以 在 上单调递增，得 ，
所以 在 上单调递增，
故 ，即 ，
因此 ，
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
因此 ，又 ，故 ，即 ，
又 ，所以 .
方法2：易知 ，设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，得 ，
所以 在 上单调递增，故 ，又 ，从而 ，即 ，
又 ，所以 .
② ，
设 ，则 ，
易知 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 ，
又 ，即 ，
所以 ，且 ，
因此 ，
又 ，所以 ，即 ，
于是 .
【点睛】思路点睛：利用导数研究函数零点问题，要留意零点个数以及判定的依据、零点
分布情况等，结合问题的方向才能找准切入研究的方向
【变式3】（2024·辽宁·三模）已知 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，证明：函数 有且仅有两个零点 ，且 .
【答案】(1)当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减
(2)证明见解析
【分析】（1）对 求导，对 分类讨论，由导数与单调性的关系即可求解；
（2）先用零点存在性定理证明结论，再构造新函数讨论 与 大小关系，利用
在 上单调性，证明结论即可.
【详解】（1） ，
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，令 ，得 或 ，
当 ，即 时，由 得 ， 得
，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 ，即 时， 恒成立， 在 上单调递增；
当 ，即 时，由 得 ，由 得
，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
综上，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由第（1）问中 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时，因为 ， ， ，
由零点存在性定理可得：函数 在区间 上存在唯一零点 ，且 ，
使得 ；
当 时， ， ，则 ，
则 ，
显然一元二次方程 的两个不等实根为： 和 ，
其中 ，
取 ，
，
即 ，且 ，
由零点存在性定理可得：函数 在区间 上存在唯一零点 ，且 ，
使得 ；
所以当 时，函数 有且仅有两个零点；
因为 为零点，所以 ，
所以 ，所以 ，
令 ， ，
当 时， ， ，所以 在 上单调递减，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
因为 在 上单调递减，
所以 ，所以 .
【点睛】方法点睛：本题考查双变量型不等式恒成立问题，属于难题．该类问题常用的解
题方法有：一是消元法，变量统一；二是变更主元法；三是构造函数法；四是最值法
题型二 数形结合法研究函数的零点
含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，
用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数．
【例题2】（2024·北京房山·一模）若函数 ，则函数
零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．1或3
【答案】A
【分析】令 ，则 ，则函数 零点的个数即为函数
图象交点的个数，构造函数 ，利用导数求出函数 的
单调区间，作出其大致图象，结合图象即可得解.
【详解】 ，令 ，则 ，
则函数 零点的个数即为函数 图象交点的个数，
令 ，
当 时， ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，且 ，
当 时， ，
当 时， ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，且 ，
又当 时 ，当 时， ，
作出函数 的大致图象如图所示，
由图可知函数 的图象有且仅有一个交点，
所以函数 零点的个数为 个.
故选：A.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与 轴的交点问题，突出导数的工具作用，
体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由 分离变量得出 ，将问题等价转化为直线 与
函数 的图象的交点问题.
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．若
有三个不同的根，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用导数研究函数单调性，画出草图，然后数形结合解出结果.
【详解】当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递
增，
又 时， 时， ，所以 ；
当 时，易知 在 上单调递减，所以 ．
作出函数 的大致图象如图所示．
令 ，则数形结合可知方程 有两个不同的实数根，分别记为 ，
且 ，而方程 有两个不同的根等价于函数 与的图象有两个不同的交点，且两个交点的横坐标分别为 ．
数形结合可知 ．令 ，令 ，解得 ．
故答案为：
【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 ．
(1)若函数 在点 处的切线与直线 垂直，求a的值；
(2)当 时，讨论函数 零点的个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求导可得 ，根据题意结合垂直关系运算求解；
（2）构建 ，由题意分析可知 的零点个数即为 与
的交点个数，求导，利用导数判断 的单调性和最值，进而可得结果.
【详解】（1）由题意可知： ，可知 ，
且直线 的斜率为 ，
由题意可知： ，解得 ．
（2）由 得 ，
令 ，
可知 的零点个数即为 与 的交点个数，则 ，
因为 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
且 趋近于0时， 趋近于 ， ， ，
当 或 时，函数 有一个零点；
当 时，函数 有两个零点；
当 时，函数 没有零点．
【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来
求解．这类问题求解的通法是：
（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；
（2）求导数，得单调区间和极值点；
（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解
【变式3】（2024·河北邯郸·二模）已知函数 ．
(1)是否存在实数 ，使得 和 在 上的单调区间相同？若存在，求出 的取
值范围；若不存在，请说明理由．
(2)已知 是 的零点， 是 的零点．
①证明： ，②证明： ．
【答案】(1)存在，且
(2)①证明见解析 ②证明见解析
【分析】（1）结合导数与函数单调性的关系，分 与 进行讨论即可得；
（2）①利用导数得到 的单调性后，借助零点的存在性定理可得
，解出即可得；②构造函数 ，结合
导数得到函数的单调性，画出相应图象，可得从而得到 ， ，从而可得
，结合 的范围即可得解.
【详解】（1）由题意得 ，
当 时， ，所以 和 在 上都单调递增，符合题意；
当 时，若 和 在 上的单调区间相同，
则 和 有相同的极值点，即 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，
所以 无解，
综上，当 时， 和 在 上的单调区间相同；
（2）①由题意， 有两个零点， ，
若 ，则 ，所以 在 上单调递增，不符合题意，若 ，则当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
且当 时， ，当 时， ，
所以 ，解得 ，得证；
②令 ，得 ，即 ，
令 ，则 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
在同一坐标平面内作出函数 与函数 的图象，
它们有公共点 ，如图，
故 ，且有 ，
由 ，得 ，即 ，又 ，所以 ，由 ，得 ，即 ，又 ，所以 ，
由 ，得 ，即 ，
故 .
【 点 睛 】 关 键 点 点 睛 ： 本 题 最 后 一 问 关 键 点 在 于 构 造 函 数
，结合导数得到函数的单调性，从而得到
题型三 构造函数法研究函数的零点
涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数
零点的个数寻找函数在给定区间内的极值以及区间端点的函数值与 0的关系，从而求得参
数的取值范围
【例题3】（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数 满足：①定义
域为 ；② ；③有且仅有两个不同的零点 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可转化为 有且仅有两个不同的零点 ， ，对 求
导，结合 的单调性可知 ，由此可知 另一根为 ，由 的范围可求出
的范围，即可求出 的取值范围.
【详解】函数 有且仅有两个不同的零点 ， ，
因为 ，令 ，即 有且仅有两个不同的零点 ， ，得 或 ，
若 ，令 ，可得 或 ；令 ，可得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
同理若 ， 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ， ，
要使 有且仅有两个不同的零点 ， ，则 ，
而 ，则 ，因为 ，
则 ，则 ，
则 有一根是确定的为 ，又因为 ，
所以 的另一根为 ，
所以 ，因为 ， ，
.
故选：B.
【变式1】（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A．当 时， 有极小值 B．当 时， 有极大值
C．若 ，则 D．函数 的零点最多有1个
【答案】AC
【分析】对于AB：代入 ，求导，求单调性即可判断；对于C：设 ，将不等
式转化为 成立，求导，研究其单调性，极值来判断；对于D：求导，分 ， ， 讨论研究零点个数.
【详解】对于AB：当 时， ，
令 ，即 ，所以 ，即 ，
结合函数图象可知，存在 ，使得 ，
令 ，则 ，得 ，
所以当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，故A项正确，B项错误．
若 ，即 ，则 ．
设 ，则 ．
设 ，可知 ，则 ， ．
若 ，则 ， 为减函数，注意到 ，可知当 时， ，不合
题意．
若 ，则 ，
当 时， ， 为减函数，当 时， ， 为增函数，
所以 ．设 ， ，则 ， ．
当 时， ， 为减函数，当 时， ， 为增函数，
则 ，所以只有当 时， 才能成立．
综上所述， ，故C项正确．
由C项可知， ， ，则 ，所以 为增函数．
当 时， ，
当t无限趋近于0时， 无限趋近于 ，且 ，
即此时 有两个零点，因为 为增函数，且 ，
所以此时 有两个零点．
同理可得，当 时， 有两个零点．
当 时， ，此时 有一个零点1，所以 有一个零点．
当 时， 为减函数， ，此时 有一个零点1，即 只有一个零点．
综上，函数 最多有两个零点，故D项错误．
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：本题D选项的关键是利用导数研究函数 的性质
【变式2】（2024·全国·模拟预测）设函数 .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)设函数 在 上有两个零点，求实数 的取值范围.（其中 是自然对数的底数）【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）根据题意，求导可得 ，即可得到结果；
（2）根据题意，由条件可得 ，构造函数 ，其中 ，转化为
最值问题，即可求解.
【详解】（1）当 时， 的定义域为 ，
，
令 ，则 ，解得 ，
令 ，则 ，解得 .
函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）令 ，则 .
令 ，其中 ，
则 .
令 ，解得 ，令 ，解得 .
的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
.又 ，函数 在 上有两个零点，
的取值范围是 .
【变式3】（2024·广东·二模）已知 .
(1)求 的单调区间；
(2)函数 的图象上是否存在两点 （其中 ），使得直线 与函
数 的图象在 处的切线平行？若存在，请求出直线 ；若不存在，请说明
理由.
【答案】(1) 在 上单调递减，在 上单调递增.
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）求出导函数，根据导函数的正负来确定函数的单调区间；
（2）求出直线 的斜率，再求出 ，从而得到 的等式，再进行换元和求导，即
可解出答案.
【详解】（1）由题可得
因为 ，所以 ，
所以当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增.
综上， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）由题意得，斜率，
,
由 得，
，即 ，即
令 ，不妨设 ，则 ，
记
所以 ，所以 在 上是增函数，所以 ，
所以方程 无解，则满足条件的两点 不存在.
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2023·四川资阳·模拟预测）将函数 在 上的所有极值点按照由
小到大的顺序排列，得到数列 （其中 ），则（ ）
A． B．
C． D． 为递减数列
【答案】D
【分析】先对函数求导，结合导函数把极值点问题转化为函数 在 上的零点，进一步转化为函数 与函数 图象交点的横坐标，然后数形结合分别判
断各选项即可.
【详解】因为 所以 ，
令 ，
故函数 在 上的所有极值点为函数 在 上的零点，
即方程 的正根，也即函数 与函数 图象交点的横坐标，
作出函数 和函数 图象如下
对于A，当 时，由图可知 ，不满足 ，故A错误；
对于B，由图可知，当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，故B错
误；
对于C，由图可知，结合 的对称性知， ， ，
不满足 ，故C错误；
对于D， 在x轴上表示 与 的距离，
由于函数 在 上单调递减，函数 是以 为周期的函数，
结合图象可知 越来越小，即数列 为递减数列，故D正确.
故选：D2．（23-24高三上·湖北荆门·阶段练习） 的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】先把零点个数转化为函数交点个数，再构造函数 ,结合导函数求解单调
性及极值最后应用数形结合求解.
【详解】由 得 ，构造函数 ，求导得
在 上单调递减，在 上单调递增， 上单调递减，且 ，
及 时 ， 的图像如图，得到 有3个解.
故选：D.
3．（2023·四川成都·二模）若指数函数 （ 且 ）与幂函数 的图象恰好
有两个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】令 ，两边取对数得 ，记 ，利用导数研究其单
调性，作出草图即可求解.
【详解】由幂函数和指数函数的图象和性质可知，当 时两函数图象无交点，令 ，两边取对数得 ，即 ，
记 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以，当 时， 取得最大值 .
又当x趋于 时， 趋于0，当x趋于 时， 趋于 ，
所以可得 的草图如图，
由图可知，当 ，即 时，函数 的图象与 有两个交点，
即指数函数 （ 且 ）与幂函数 的图象恰好有两个不同的交点.
故选：D
【点睛】关于函数零点个数问题，参变分离是常用方法之一，本题采用取对数的方法分离
参数，然后转化为两个函数的交点问题，在利用导数研究函数图象时，一定要注意函数是
否存在渐近线，否则容易出错.
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数 存在零点，则实数
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造新函数，利用导数求单调性，再运用基本不等式即可求解【详解】由 得 ，
设 ， ，
设 ， ，
由 得 ，由 得 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，所以 ，
而 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
因为 有零点，则 ，所以 ，
故选：D.
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ，则（ ）
A．若 有极值点，则
B．当 时， 有一个零点
C．
D．当 时，曲线 上斜率为2的切线是直线
【答案】BC
【分析】对A，判断当 时情况即可；对B，求导分析函数的单调性，结合零点存在性
定理判断即可；对C，根据 得 关于 对称，再判断
的对称性判断即可；对D，根据导数的几何意义判断即可.
【详解】对A，由题得 ，当 时 ， 递增，不存在极值点，
故A选项错误；对B，当 时， ，令 得 或 ，
令 得 ，所以 在 上单调递减，在 ，
上单调递增．
因为 ， ， ，
所以函数 在 上有一个零点，在 上无零点．
综上所述，函数 有一个零点，故B选项正确；
对C，由 得 关于 对称，
令 ，该函数的定义域为R，因为 ，
则 是奇函数， 图象的对称中心是原点 ，
将 的图象向上平移一个单位长度得到 的图象，
所以点 是曲线 的对称中心，故C选项正确；
对D，令 ，可得 ．又 ， ，
所以当切点为 时，切线方程为 ，
当切点为 时，切线方程为 ，故D选项错误.
故选：BC．
6．（2024·辽宁抚顺·三模）已知定义在 上的奇函数 连续，函数 的导函数为．当 时， ，其中 为自然对数的底数，则
（ ）
A． 在 上为减函数 B．当 时，
C． D． 在 上有且只有1个零点
【答案】BCD
【分析】根据题意，令 ，利用导数求得 在 上单调递增，
结合 ，得到 ，可判定C正确；再由 时， ，
可判定B正确；根据 是定义在 上的奇函数，结合单调性和零点的定义，可判定D正
确．根据 的单调性无法判断，可判定A错误．
【详解】由 ，可得 ．
令 ，
则当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
可得 ，所以 ，所以C正确；
因为 ，所以当 时， ，
又因为 ，所以当 时， ，所以B正确；
由 是定义在 上的奇函数，故当 时， ，又因为 ，所以 在 上有且只有1个零点，所以D正确．
因为 的单调性无法判断，所以A错误．
故选：BCD.
三、填空题
7．（2024·内蒙古包头·一模）已知函数 ，若 存在唯一的零
点，则k的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用导数确定函数的单调性，分类讨论求解参数范围即可.
【详解】因为 所以 ，
令 ，解得
所以当 时， 当 时， ，
所以函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，
又 ， ，
当函数在 上没有零点时，要使 存在唯一的零点，
则必有 ，解得 ，此时 ，
易知函数有2个零点，分别为 和 ，不满足题意；
所以函数在 必有一个零点，要使 存在唯一的零点，
则必有 ，解得 .
综上k的取值范围为 .故答案为： .
【点睛】方法点睛:利用导数研究方程根（函数零点）的技巧
（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．
（2）根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．
（3）利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．
8．（2024·四川成都·模拟预测）若函数 在 上有2个极值点，
则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，求得 ，转化为 在 上有两解，
令函数 ，求得 ，当 时，求得函数 的单调性和极小
值点和极小值，转化为 ，进而求得实数 的取值范围.
【详解】由函数 ，可得 ，
因为函数 在 上有2个极值点，即 在 上有两解，
即 在 上有两解，
令 且 ，可得 ，
当 时，可得 ， 单调递增，不符合题意，（舍去）；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以，当 时， 取得极小值，极小值为 ，
要使得 在 上有两解，则满足 ，
当 时，解得 ；
当 ，即 ，
设 ，其中 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
又因为 ，所以 ，
所以不等式 ，可得 ，
由 可得 ，解得 ，
综上可得，实数 的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用
方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定
参数的取值范围；
2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结
合求解.
四、解答题
9．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知 ， .
(1)讨论 的单调性.
(2)若 使得 ，求参数 的取值范围.
【答案】(1)当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单
调递减，在 上单调递增.
(2)
【分析】（1）对 求导数，然后分类讨论即可；
（2）直接对 和 分类讨论，即可得到结果.
【详解】（1）由 ，知 .
当 时，有 ，所以 在 上单调递减；
当 时，对 有 ，
对 有 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）当 时，由（1）的结论，知 在 上单调递减，在 上单调
递增，所以对任意的 都有 ，
故 恒成立，这表明此时条件不满足；
当 时，设 ，由于
，
，
故由零点存在定理，知一定存在 ，使得 ，
故 ，从而 ，这表明此时条件满足.
综上， 的取值范围是 .
10．（2024·宁夏固原·一模）已知函数 ．
(1)求 的最小值；
(2)若 有两个零点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)首先求解所给函数的导函数，然后利用导数研究函数的单调性即可求出最小值；
(2)结合（1）可知，只需 求解计算即可得出结果．
【详解】（1） ,
当 时，即 ，则 ，
当 时，即 ，则 ，即当 时， ，函数单调递减，当 时， 为增，
在 处取最小值，∴ .
（2）由（1）可知， ，
由 有两个零点，
时， ， 时， ，
所以， ，即 ，解得： .
∴ 的取值范围为 .
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，且 有两个相异零点 ．
(1)求实数a的取值范围．
(2)证明： ．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用导数求出函数 的最小值，再分段讨论并构造函数，利用导数探讨单
调性，结合零点存在性定理推理即得.
（2）由（1）的结论，结合函数零点的意义可得 有两个相异的解 ，
再构造函数，借助单调性确定 的取值区间，再结合分析法推理证明即得.
【详解】（1）函数 ，求导得 ，
当 时， ；当 时， ， 在 上单调递减，在 上单
调递增，
则 ．当 时， 恒成立， 至多有一个零点，不符合题意，
当 时， ， ，即 ，使 ，
，令 ，求导得 ，
令 ，求导得 ，即 在 上单调递增，
，
于是 ，函数 在 上单调递增， ，
因此 ，使 ，
所以实数a的取值范围为 ．
（2）由（1）知， 有两个相异的解 ，即方程
有两个相异的解，
令函数 ，求导得 在 上单调递增，且
，
当 时， ， 在 单调递减，当 时， ， 在
单调递增，
不妨设 ，显然 ， ，
要证 ，即证 ，即证 ．
又 ，则即证 ，令函数 ， ，
则 ，而 ，则 ，
因此函数 在 上单调递减，即 ，则 ，
所以 ．
【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、
最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.
12．（2024·湖北黄石·三模）已知函数 有两个零点 ， .
(1)求实数 的取值范围；
(2)如果 ，求此时 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令 ，可得 ，令 ，利用导数说明函数的单调
性，求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围；
（2）依题意可得 ，利用换元法表示 ，通过构造函数法，利用导数证得
，结合（1）求得 的取值范围.
【详解】（1）令 ，即 ，
令 ，则 ，
当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，且 时 ，当 时 ，
又 与 有两个交点，所以 .（2）由（1）可得 ， ，
又 ，
所以 ，即 ，
令 ， ，则 ，
所以 ， ，
记 ， ，则 ，
令 ， ，则 ，
所以 在 上 ，即 单调递减，
由于 ，
所以当 时， ，所以 ，
所以函数 在区间 上单调递减，
故 ，即 ，
而 ， 在区间 上单调递增，
故 且 ，
即 ．
【点睛】方法点睛：利用导数研究函数零点或方程的根，通常有三种思路：
（1）用最值或极值研究；（2）用数形结合思想研究；（3）构造辅助函数研究
综合提升练
一、单选题
1．（2023·湖南·模拟预测）有甲、乙两个物体同时从A地沿着一条固定路线运动，甲物体的运动路程 （千米）与时间t（时）的关系为 ，乙物体运动的路程 （千
米）与时间t（时）的关系为 ，当甲、乙再次相遇时，所用的时间t（时）属于区
间（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，构造函数 ， ，利用导数探讨函数零点作答.
【详解】设当甲、乙再次相遇时，所用的时间为t小时 ，则 ，
令 ， ，求导得 ，由 得 ，
而函数 在 上单调递增，即当 时， ，当 ，
，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
而当 时， ， ， ，因此存在唯一 ，使
得 ，
所以当甲、乙再次相遇时，所用的时间t（时）属于区间 .
故选：B
2．（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数 的零点所在的
大致区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用导数判断出 的单调性，结合零点存在性定理求得正确答案.【详解】 ，所以函数 单调递增，
又因为 ， ， ，
所以函数 在 内存在唯一零点.
故选:B
3．（2024·全国·模拟预测）若函数 有两个零点，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】进行合理换元和同构，转化为 的图象与直线 有两个交点，转
化为交点问题，再利用导数研究函数的单调性、最值，最后得到参数的取值范围即可.
【详解】令 ，
所以 ．
令 ，定义域为 ，
令 ，易知 在 上单调递增，且 ．
所以 ，
则函数 有两个零点转化为函数 的图象与直线 有两个交点．
则 ，当 时， ；当 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，当 时， ；当 时， ，
则 ，解得 ，即实数 的取值范围是 ．故选：D．
4．（23-24高三下·江西·阶段练习）函数 有且只有一个零点，则 的
取值可以是（ ）
A．2 B．1 C．3 D．
【答案】B
【分析】由题意将原条件转换为 的根的个数之和为1，其中
， ，从而只需画出它们的图象即可通过数形结合求解.
【详解】 或 ，
显然 单调递增，令 ，
则 ，当 时， ， 单调递减，当 时， ，
单调递增，
所以 ，
注意到 的交点为 ，而 ，
所以在同一平面直角坐标系中作出 的图象如图所示，
由图可知 的根的个数之和为1，当且仅当 ，
对比选项可知 的取值可以是1.故选：B.
5．（2024·陕西汉中·二模）已知函数 ， 有4个
零点，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】确定 是函数 的零点，在 时，利用函数零点的定义分离参数，构造
函数 ，利用导数及二次函数的性质数形结合求出范围.
【详解】由 ，得 ，而当 时， ，即0是 的一个零点，
当 时， ，令 ，
依题意，直线 与函数 的图象有3个公共点，
当 时， ，当且仅当 时取等号，
当 时， ，求导得 ，
当 时， ，当 时， ，
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
当 时， ，当 时， 恒成立，
在同一坐标系内作出直线 与函数 的图象，观察图象知，当 或 时，直线 与函数 的图象有3个公共点，
则当 或 时，方程 有3个解，即 有4个零点，
所以m的取值范围为 或 .
故选：C
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数 恰有一个零点 ，且 ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，然后利用导数的几何意义及
建立关于 的不等式，即可得解.
【详解】由 可得 ，要使 恰有一个零点，只需函数 的图象
与直线 相切.
设切点坐标为 .由 ，可得 ，则切线方程为
，即 ，
故需使 .由 可得 ，解得 .
故选：A
7．（2024·贵州贵阳·一模）已知函数 ，若方程 存在三个不
相等的实根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】考查利用导数研究函数零点问题，先根据导数情况得出函数单调性和最值情况，
再数形结合分析，分段函数分段讨论即可.
【详解】因为方程 存在三个不相等的实根，所以函数 有三个
零点，
当 时， ，所以 ，
所以当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 单调递增， ，
又当 时， ；当 时， ，所以 图象如图；
当 时， ，
所以 ，所以当 时， ；当 时，
，
所以 在 上单调递减，在 单调递增， ，
又当 时， ；当 时， ，所以 图象如图，所以当 即 时函数 有三个零点，
即方程 存在三个不相等的实根，
故选：C.
8．（2024·陕西·二模）已知 ，且 时， ，则下列选项正确
的是（ ）
A．
B．当 时，
C．若 ， 为常函数，则 在区间 内仅有1个根
D．若 ，则
【答案】D
【分析】根据题意，结合 ，可判定A错误；由函数
，结合 ，可判定B错误；由 ，求得
，令 ，利用导数求得 ，得到 ，进而可判定C错误；由 ，令 ，可得 ；再令
，利用导数求得函数的单调性，得到 ，可判定D正确．
【详解】对于A中，由函数 ，可得 ，
因为 ，所以 ，所以A错误；
对于B中，由 ，可得 ， ，
又由 ，且 ，
所以 ，所以B错误；
对于C中，由 ，则 ， ，
则 ， ，
则 ，可得 ，则 ，
令 ，则 恒成立，可得 ，
所以 ，所以 ，即 在区间 内无实根，所以C错误；
对于D中， ，
令 ，可得 ；再令 ， ，则 ，令 ，可得 或 ，
因为 ，所以函数 在 单调递减，
所以 ，所以 成立，所以D正确．
故选：D．
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用
方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定
参数的取值范围；
2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结
合求解.
二、多选题
9．（2024·辽宁·三模）已知函数 为实数，下列说法正确的
是（ ）
A．当 时，则 与 有相同的极值点和极值
B．存在 ，使 与 的零点同时为2个
C．当 时， 对 恒成立
D．若函数 在 上单调递减，则 的取值范围为
【答案】AC
【分析】对于A，分别各自求导，结合导数与函数极值的关系即可判断；对于B，分别求出
与 的零点为2个时 的范围，看它们的交集是否为空集即可判断；对于C，构造函数 ，求导，对 分类讨论，只
需判断 是否成立即可；对于D，原问题等价于 对
恒成立，从而即可进一步求解.
【详解】对于A，当 时，
，
当 时，有 ，此时 均单调递减，
当 时，有 ，此时 均单调递增，
所以当 时， 均各自取到相应的极值，且 ，
所以当 时，则 与 有相同的极值点和极值，故A正确；
，
令 ，
， ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
当 时， ，当 ， ，
当 时， 有极大值， ，
在同一平面直角坐标系中，画出直线 的图象与函数 的图象，如图所示，所以方程 有两个根当且仅当 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
当 从1的左边趋于1时， 趋于正无穷，当 从1的右边趋于1时， 趋于负无穷，
当 时， ， 单调递增，
令 ，则 ， ，当 时， ，
当 时， 有极小值， ，
在同一平面直角坐标系中，画出直线 的图象与函数 的图象，如图所示，
方程 有两个根当且仅当 ，
综上所述，不存在 ，使 与 的零点同时为2个，故B错误；
设 ，
，，
当 时，显然 ，
若 ，即 ，在此情况下：
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
，
即在 的情况下， 对 恒成立，
若 ，即 ，在此情况下：
当 时， ， 单调递减，
所以 ，
所以在 的情况下， 对 恒成立，
综上所述，当 时， 对 恒成立，故C正确；
对于D，若函数 在 上单调递减，
这意味着 对 恒成立，
也就是说 对 恒成立，即 对 恒成立，
注意到 在 上单调递减，
所以 ，也就是说 的取值范围为 ，故D错误.
故选：AC.
10．（2024·河北唐山·一模）已知函数 ，则（ ）A．直线 是曲线 的切线
B． 有两个极值点
C． 有三个零点
D．存在等差数列 ，满足
【答案】BCD
【分析】由导数的意义可知斜率为 时，求出切点，再由点斜式判断A错误；求导后由
单调性可判断B正确；代入极值点后可判断C正确；由等差中项可判断D正确.
【详解】 ，
A：令 ，而 ，
由点斜式可知此时切线方程为 ；
，由点斜式可知此时切线方程为 ；
所以直线 不是曲线 的切线，故A错误；
B：令 ，解得 ，所以函数在 上单调递增，在 上单调递
减，
故 时取得极大值， 取得极小值；故B正确；
C：因为 ，所以由单调性可知函数由三个零点，故C正确；
D：取 ，则 ，故D正确；
故选：BCD11．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ，下列命题正确的是
（ ）
A．若 ，则 有且只有一个零点
B．若 ，则 在定义域上单调，且最小值为0
C．若 ，则 有且只有两个零点
D．若 ，则 为奇函数
【答案】ACD
【分析】对于A，根据零点存在性定理，利用导数要求其单调性，可得其正误；对于B，根
据单调性的定义，取几个点比较大小，可得其正误；对于C，利用导数研究其单调性，求
得其最小值，在其左右两边利用零点存在性定理，可得其正误；对于D，利用奇函数的定
义，可得答案.
【详解】对于选项A，由题意得 ， ，
显然 ， ，故 存在零点，为判断其唯一性，对 求导，
得 ， ．由于不便于判断 的正负性，令 ，
再对 求导，得 ， ，令 ，得 ，
易知在 中， ，在 中， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
的最大值为 ，故 ，
即 在 上单调递减，
因此 有且只有一个零点，故A正确．对于选项B， ， ，
由 ， ， ， ，
由 ，则判断出 在定义域上并不单调，故B错误．
对于选项C， ， ，
对 求导，得 ，
由于不便于判断 的正负性，令 ，得 ， ，
所以 在 上单调递增，又因为 ， ，
，且 在 上连续，
所以，由函数的零点存在性定理，存在 ，使得 ，
故所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ，
所以 的最小值为 ．
因为 在 上连续，所以在 中取
，
在 中取 ，
则存在 中使得 ，存在 中使得 ，
故 有且只有两个零点，故C正确．对于选项D， ，
由 ，则得出 为奇函数，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】本题的解题关键在于利用导数研究函数的单调性，对于导数的处理方法一般有：
法一是对其分解因式，直接判断其与零的大小关系；法二是若函数为分式函数，取分子部
分构造函数再求导研究其单调性求最值，判断其与零答大小关系；法三是再次求导研究其
单调性，并求其最值，判断其与零的大小关系.
三、填空题
12．（2023·四川内江·模拟预测）若函数 有两个零点，则 的取值范围为
．
【答案】
【分析】分离常数，将问题转化为y＝ 与y＝ 的图象有两个交点，令
（x R），利用导数求出 的最值，再给合 的正负分析即可得答案．
∈
【详解】解：因为 有两个零点，
即 有两个零点 有两个解，
⇒
即y＝ 与y＝ 的图象有两个交点，
令 （x R），
∈
则 ，
所以当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调
递减；
所以 ，又因当 时， ＝ ＜0，
当 时， ＝ ＞0，
当 时， ＝ ＝0，
要使y＝ 与y＝ 的图象有两个交点，
所以0＜ ＜ ，即
故 的取值范围为 ．
故答案为： ．
13．（2024·四川泸州·二模）若函数 有零点，则实数 的取值范围是
．
【答案】
【分析】利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值，依题意只需 ，
即可求出参数的取值范围.
【详解】函数 的定义域为 ，又 ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，又 时 ， 时 ，
又函数 有零点，所以 ，即 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为：
14．（2024·广东佛山·二模）若函数 （ ）有2个不同的
零点，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】化简函数 ，得到 和 在 上
单增，结合存在唯一的 ，使 ，即 ，且存在唯一的 ，
使 ，结合 ，进而得到实数 的取值范围．
【详解】由函数 ，
设 ，可得 ， 单调递增，
且 ， ，
所以存在唯一的 ，使 ，即 ，
令 ，即 ，
设 ，可得 ，则 在 上单增，又由 且 时， ，
所以当 时，存在唯一的 ，使 ，即 ，
若 时，可得 ，则 ，可得 ，所以 ，
所以 ，
综上所述，实数 的取值范围为 ．
故答案为： ．
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用
方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定
参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结
合求解.
结论拓展：与 和 相关的常见同构模型
① ，构造函数 或 ；
② ，构造函数 或 ；
③ ，构造函数 或 .
四、解答题
15．（23-24高三上·河南·期末）已知函数 ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ，研究函数 在 上的单调性和零点个数．
【答案】(1)
(2) 在 上单调递增；1【分析】（1）当 时，求出 ， ，从而可求出切线方程.
（2）当 时，利用导数求出 在 上单调递增．又 ，从而可求解.
【详解】（1）当 时， ，
则 ，则 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
（2）当 时， ，则 ，
当 时， ， ， ，则 ，
故 在 上单调递增．
又因为 ，所以 在 上的零点个数为 ．
16．（2024·四川泸州·三模）已知函数 （ ），
(1)讨论函数 的零点个数；
(2)若 恒成立，求函数 的零点 的取值范围．
【答案】(1)1；
(2) .
【分析】（1）求出函数 的导数，利用导数探讨单调性，进而求出零点个数.
（2）由（1）的结论，按 分段讨论给定不等式，构造函数并利用导数探讨
单调性建立不等式求解即得.
【详解】（1）函数 的定义域为R，求导得 ，而 ，
由 得 ，由 得 ，因此函数 在 上递减，在递增，
又当 时， 恒成立， ，因此函数 在 存
在唯一零点，
所以函数 的零点个数是1.
（2）由（1）知函数 存在唯一零点 ，且 ，
①当 时， ，由 得： ，即
，
设 ，求导得 ，
在 上单减，则 ，解得 ；
②当 时，由 得： ，即 ，
设 ，求导得 ，而 ，
则 ， 在 上单增，则 ，解得
，
综上得 的取值范围是 .
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分
离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，
就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
17．（2024·四川·模拟预测）已知函数 ．(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，求证： ．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用导数，进行分类讨论即可求出单调性.
（2）先对证明式子进行化简，再令新函数 ，求解函数
的单调性和最小值即可.
【详解】（1）函数 的定义域为 ．
因为 ，所以 ，由 得 或 ．
①当 时， ，
所以 或 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增；
②当 时， ，则 在 上单调递增；
③当 时， ，所以 或 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增．
综上， 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在
上单调递增； 时， 在 上单调递增；
时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增．（2） 等价于 ．
当 时， ，
则当 时， ，即证 ，
令 ，则 ．
而 ，令 ，
因为函数 在区间 上都是增函数，
所以函数 在区间 上单调递增．
存在 ，使得 ，
即 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时， ，则 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 .
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数研究函数单调性的问题，要先对证明式进行等价
转化，构造新函数 ，在求 的单调性过程中，根据零点存
在定理找到 的隐零点 ，最后再求 的最小值即可证明.
18．（2024·北京朝阳·一模）已知函数 .(1)讨论 的单调性；
(2)若关于 的不等式 无整数解，求 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，再分 三种情况讨论 的单调性；
（2）不等式转化为 ，设函数 ，利用导数求函数的取值范围，
再结合不等式，讨论 的取值，即可求解.
【详解】（1） ，
当 ，得 ，
当 时， 时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减，
当 时， 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
综上可知， 时，函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是
，时，函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ，
时，函数 的增区间是 ，无减区间.
（2）不等式 ，即 ，
设 ， ，
设 ， ，所以 单调递增，
且 ， ，
所以存在 ，使 ，即 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递
增，
所以 ，
因为 ，所以 ，
当 时， ，当 时， ，
不等式 无整数解，即 无整数解，
若 时，不等式恒成立，有无穷多个整数解，不符合题意，
若 时，即 ，因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 时， ，所以 无整数解，符合题意，
当 时，因为 ，显然 是 的两个整数解，不符合题意，
综上可知， .【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键1是不等式的变形 ，第二个关键是
确定函数 的单调性，以及确定 .
19．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，函数 ．
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)当 时，求函数 的零点个数．
【答案】(1)在 上单调递增
(2)答案见解析
【分析】（1）求 ，令 ，求 ，讨论 与 的大小，可得 ，
则 在 上恒成立，即可求出 的单调性.
（2）将题意转化为 与 图像的交点个数，设 ，
，对 求导，分类讨论 和 ，即可求出 的单调性
和最值，结合零点存在性定理即可得出答案.
【详解】（1）由题可得 定义域为 ， ，
令 ，则 ．
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增．
则 在 处取得唯一极小值，也是最小值， ，
故 在 上恒成立，则 在 上单调递增．（2）因为函数 的零点即 与 图像的交点个数．
当 时，不妨设 ， ，
则 ．
过原点作 的切线，则切线的斜率 ．
①当 ，即 时． 恒成立，从而 单调递增．
因此 有唯一的零点．
②当 ，即 时，不妨设 与 交于两点 ，
，则当 时， ，
当 时， ，当 时， ．
因此 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ，
即 在 处取得极大值，且 ，
在 处取得极小值，且 ．
再由零点存在定理可知， 有三个零点，分别在区间 ， ， 之内．
综上，当 时，函数 与 图像有一个交点，
即 有一个零点；
当 时，函数 与 图像有三个交点，
即 有三个零点．
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基
本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与 轴的交点问题，突出导数的工具作用，
体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由 分离变量得出 ，将问题等价转化为直线 与
函数 的图象的交点问题
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2024·云南·模拟预测）已知函数 ，若 在 有实数
解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先分析题意，由于 ，设出 进一步分析
，则 ，分析 单调性解出实数 的取值范围.
【详解】根据题意， ，所以 ，令 ，
则函数 在 上存在零点等价于 与 的图象有交点.
，
令 ，则 ，故 在 上单调递增，
因为 ， ，所以存在唯一的 ，使得 ，
即 ，即 ， ，
所以当 时 单调递减，当
时， 单调递增，所以
，又 时， ，故 ，所以 ，
故选：C.
2．（2024·浙江杭州·模拟预测）若函数 有且仅有两个零点，则 的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用函数与方程的思想将函数有两个零点转化为函数 与函数
的图象有两个交点，求导并画出函数 的图象求得切线方程，再由数形结合即可
求得 的取值范围.
【详解】由 可得 ，则函数 与函数 的图象有两
个交点；
设 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
令 ，解得 ，可求得 的图象在 处的切线方程为 ；
令 ，解得 ，可求得 的图象在 处的切线方程为 ；
函数 与函数 的图象如图所示：切线 与 在 轴上的截距分别为 ,
当 时， 与函数 的图象有一个交点，
故实数 的取值范围为 .
故选：A
3．（2024·四川成都·二模）函数 ，下列说法不正确的是
（ ）
A．当 时， 恒成立
B．当 时， 存在唯一极小值点
C．对任意 在 上均存在零点
D．存在 在 上有且只有一个零点
【答案】C
【分析】对于A：代入 ，直接函数性质判断；对于B：代入 ，求导研究函数单调
性来判断；对于CD：求出 在 上的单调性和极值，再来判断即可.
【详解】对于A：当 时， ，
当 时， ，则 ，
当 ， ，则 ，不能取等号，所以 恒成立，A正确；
对于B：当 时， ，则
令 ，则 ，由选项A得 恒成立，
则 在 上单调递增，又 ，
故存在 使得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，故 存在唯一极小值点 ，B
正确；
对于CD：令 ，当 ，显然不是零点，
当 时，令 ，得 ，
则令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增
此时有极小值 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
此时有极大值 ，
故选项C中任意 均有零点，错误；选项D中，存在 在 上有且只有一个零点，此时 ，
故选：C .
【点睛】方法点睛：一：对于不等式恒成立问题可以构造函数，转化为函数最值问题来解
决；二：对于零点问题，可以转化为函数图象的交点个数问题来解决.
4．（2024·甘肃武威·模拟预测）已知函数 有3个零点，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先将 的图象向左平移2个单位长度，可得函数 图像，即把问题转化
为直线 与函数 图象交点的个数问题；再证明 为奇函数，然后求导
后得到 在区间 上为减函数；再求出曲线 在点 处的切线方程为
，求出 ， ， 时 的范围；最后作出 的图象和
的图像，数形结合得到结果.
【详解】将 的图象向左平移2个单位长度，可得函数
的图象，
所以原题转化为“函数 有3个零点”，
即研究直线 与函数 图象交点的个数问题．
因为 的定义域为 ，且 ，
所以 为奇函数．因为 ，
所以 在区间 上为减函数，
且曲线 在点 处的切线方程为 ．
当 时， ；
当 时， ；
当 的， ，
作出 的图象．如图：
由图知：当 时，直线 与函数 的图象有3个交点．
故实数 的取值范围是 ．
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是将 的图象向左平移2个单位长度，可得函数
图像，即把问题转化为直线 与函数 图象交点的个数问题；再根据
函数的奇偶性和单调性作出函数图像.
二、多选题
5．（2024·重庆·一模）已知函数 ，则 在 有两个不同零点的充分不必要条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】将问题转化为 ，令 ，利用导数讨论 的
单调性，求出 ，由 在 有2个不同零点的充要条件为 ，从而作出
判断.
【详解】因为 ，
令 ，则 ，
令 ，
则 ，
注意到 ，令 ，解得 ，
所以当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
则 ，且当 趋近于 或 时， 都趋近于 ，
若 在 有2个不同零点的充要条件为函数 与 图象在第一象限有2个
交点，
所以 ，即 有2个零点的充要条件为 ，
若符合题意，则对应的取值范围为 的真子集，
结合选项可知：A错误，BCD正确；
故选：BCD.
6．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数 ，下列说法正确的有
（ ）A．当 时，则 在 上单调递增
B．当 时，函数 有唯一极值点
C．若函数 只有两个不等于1的零点 ，则必有
D．若函数 有三个零点，则
【答案】ACD
【分析】对于A：直接代入 求单调性即可；对于B：直接代入 求极值即可；对于
C：将函数两个不等于1的零点转化为 有两个不等于1的根，
，求导，研究其单调性，根据单调性确定 ，然后证明 和
对应的值一样即可；对于D：将问题转化为函数有两个极值点，求导解答即可.
【详解】对于A：当 时， ，
则 ，令 ，
则 ，
则当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故 ，所以 在 上单调递增，A正确；
对于B：当 时， ，
则 ，令 ，则 ，
则当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故 ，所以 在 上单调递增，无极值，B错误；
对于C：令 ，得 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，又 ，
所以当 时， ， 单调递增，且 ，
当 时， ， 单调递减，且 ，
若函数 只有两个不等于 的零点 ，即函数 与 有两个交点，
则不妨取 ，
当 时， ，
所以函数 与 的两个交点横坐标互为倒数，即 ，C正确；
对于D：明显 ，所以 是函数 的一个零点，且 ，
函数 有三个零点，且函数 在 上为连续函数，则函数 必有
两个极值点（不为1），因为 ，
所以 ，
设 ，则
当 时，令 ，得 ， 单调递减，
，得 ， 单调递增，
所以 ，所以 在 上单调递减，不可能有3个零
点，
所以 ，令 ，得 ， 单调递减，
，得 ， 单调递增，
所以 ，
所以 ，所以 ，D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：导数问题要学会将问题进行转化，比如选项C，将零点问题转化为函
数图象的交点问题，选项D，将零点个数问题转化为极值点个数问题.
三、填空题
7．（2023·湖北·一模）若函数 在 处的切线与 的图像有
三个公共点，则 的取值范围 ．
【答案】
【分析】数形结合，函数 过点 ，当切线 过点 时，切线与 函数的图象有三个公共点，当切线 与 相切时直线与函数
的图象只有两个公共点，计算出两个临界情况相应 的值，即可求得 的取值范围
【详解】当 时， ，所以切点的坐标为 ，
当 时， ， ，所以切线的斜率 ，
所以切线 的方程为：
而 ，即 过点
当切线 过点 时，切线与 函数 的图象有三个公共点，
将 代入切线方程得： ，得
当切线 与 相切时，切线 与数 的图象只有两个公点，
设切线 ： 与 在 处相切，
由 ，得 ，
所以 ，得 ， ，所以切点坐标为
代入切线 ： ，得 ，
因此在 处的切线与 的图像有三个公共点时， 的取值范围为： .
故答案为： .8．（2023·河南·模拟预测）已知函数 有三个零点，且它们的和为0，
则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据三个零点可得 ，由此易得 ，从而可得
， ， 有三个零点，则 有两个极值点 且需满
足 ， ，代入可得关于 的不等式求解即可.
【详解】设 ， ， 是 的三个零点，则 ，
所以 ，所以 ， ，
若 有三个零点，则 有两个极值点，
故对于方程 ， ， ， 的两个极值点分别为 和
，其中 为极大值点， 为极小值点.
若 存在三个零点，则需满足 ，且 ，所以 ，解得 ，
又因为 ，所以 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】思路点睛：运用待定系数法求出 是化简 的关键，再根据零点的个数得
出极值点的正负从而可列出不等式.
四、解答题
9．（2024·北京丰台·二模）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 有两个零点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）求导，代值可得 ，即可求解切线，
（2）求导得 ，对 分类讨论，求解函数的单调性，即可根据最
小值为负求解.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
所以 ，
故 在点 处的切线方程为（2） ，
当 时，则 ，令 则 ，令 则 ，
故 在 单调递增，在 单调递减，
故当 ， 取极小值也是最小值，
则 ，
又当 且 ，
故要使函数 有两个零点，只需要 ，解得 ；
当 时，则 ，令 则 ，令 则 ，
故 在 单调递增，在 单调递减，
故当 ， 取极小值也是最小值，则
，
又当 且 ，
故要使函数 有两个零点，只需要 ，解得 ；
综上可得 或 .
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．(1)求证： 在 上有唯一的极大值点；
(2)若 恒成立，求a的值；
(3)求证：函数 有两个零点．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用二次求导，结合零点的存在性定理讨论函数 的单调性，即可证明；
（2）设 ，一方面：由题意可知 ，则 是 的一个极大
值点，即 ，求得 ；另一方面：当 时，利用导数，结合不等式
讨论函数 的性质即可；
（3）由（2），根据导数和零点的存在性定理可得在函数 、 上各有1
个零点；由（1），利用放缩法计算可知 在 上无零点.
【详解】（1）因为 ，设 ，
则 对 恒成立，
所以 在 上单调递减．
又 ，
由零点存在性定理可知 在 上有唯一的零点 ，
和 随x变化而变化的情祝如下．x
0
递增 极大值 递减
所以 在 有唯一的极大值点．
（2）令 ，
由条件知 恒成立，所以 ．
因为 ，且 在定义域上连续，
所以 是 的一个极大值点，则 ．
又 ，
所以 ，解得 ．
当 时， ，
，
当 时， ， ，故 在 上单调递增，
所以当 时， ；
设 ，则 ，令 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，即 .
当 时， ，
又因为 ，
所以 ．
综上可知，当 时， 恒成立．
（3） ，则 ．由（2）可知 在 上单调递增，
又因为 ，
由零点存在定理可知，存在 ，使得 ；
当 时， ，所以 ，
故 在 上单调递减，又 ，
由零点存在定理可知，存在 ，使得 ；
当 时，由上可知 ，
故 在 上没有零点．
综上可知，函数 有且只有两个零点．
【点睛】难点点睛：本题第3问难点在于分区间讨论零点的情况，由三角函数的有界性，
把零点确定在区间 上，结合（1）（2）的结论判定函数 的单调性，利用零点存
在性定理及不等式 证明即可
