文档内容
考点 12 对数与对数函数（3 种核心题型+基础保分练+综合
提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊
点.
3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)互为反函数．
a
【知识点】
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 ，
其中 叫做对数的底数， 叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作 .
以e为底的对数叫做自然对数，记作 .
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：log 1＝ ，log a＝ ， ＝ (a>0，且a≠1，
a a
N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①log (MN)＝ ；
a
②log ＝ ；
a
③log Mn＝ (n∈R)．
a
(3)对数换底公式：log b＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
a
3．对数函数的图象与性质
a>1 01时， ； 当x>1时， ；
质
当00，且a≠1)与对数函数 (a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图
象关于直线 对称．
常用结论
1．log b·log a＝1， ＝log b.
a b a
2．如图给出4个对数函数的图象
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
3．对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，.
a
【核心题型】
题型一 对数式的运算
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及
变形应用．
【例题1】（23-24高三下·湖南衡阳·阶段练习）集合 则集合
的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式1】（2024·全国·模拟预测）在一个空房间中大声讲话会产生回音，这个现象叫做
“混响”．用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为 ，则经过 秒后
这段声音的声强变为 ，其中 是一个常数．把混响时间 定义为声音的声强
衰减到原来的 所需的时间，则 约为（参考数据： ）（ ）
A． B． C． D．【变式2】（2024·辽宁丹东·一模）若 ， ， ，则 （ ）
A．-2 B． C． D．1
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知数列 为等差数列，且 ，
则 的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．3
题型二 对数函数的图象及应用
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、
最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【例题2】（2024·北京东城·一模）设函数 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2024·陕西咸阳·二模）已知集合 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）若 ，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．【变式3】（2024·重庆·模拟预测）若函数 在 上单调递增，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型三 对数函数的性质及应用
求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域
二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．
命题点1 比较对数式的大小
【例题3】（2024·云南·一模）已知 ，若 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2024·全国·二模）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024·浙江温州·二模）已知 ，则 的大小关系
是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024·重庆·模拟预测）设 ， ， ，
则（ ）
A． B．
C． D．
命题点2 解对数方程、不等式
【例题4】（2023·山东·模拟预测）已知集合 ， ，
则 （ ）A． B． C． D．
【变式1】（2024·上海青浦·二模）已知 ， ，若
，则满足条件的 的取值范围是 ．
【变式2】（2024·湖北·一模）已知函数 ，则关于x的不等式
的解集为 ．
【变式3】（23-24高三下·北京·开学考试）函数 的定义域是 .
命题点3 对数函数的性质及应用
【例题5】（2024·广东·一模）已知集合 ，若 且互不相等，
则使得指数函数 ，对数函数 ，幂函数 中至少有两个函数在 上
单调递增的有序数对 的个数是（ ）
A．16 B．24 C．32 D．48
【变式1】（2024·江西九江·二模）若函数 在（1，2）上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）在区间 内随机取一个数b，则函数
在区间 上单调递减的概率为（ ）
A． B． C． D．【变式3】（2024·辽宁·一模）若函数 使得数列 ， 为递减数列，则称
函数 为“数列保减函数”，已知函数 为“数列保减函数”，则a的取
值范围（ ）
A． B． C． D．
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2023高三上·四川·学业考试）函数 的图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·广西·二模）已知函数 为偶函数，则 的
最小值为（ ）
A．2 B．0 C．1 D．
3．（2024·湖南·一模）已知 ，且 ，则 是 的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024·浙江·二模）若函数 为偶函数，则实数a的值为（ ）
A． B．0 C． D．1
二、多选题5．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数 ， ，且 ，则
下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． 的最小值为 D．
6．（2024·甘肃武威·模拟预测）函数 的图象恒过定点 ，若点
在直线 上，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
7．（2024·云南红河·二模）已知 是定义在R上的奇函数，当 时， ，
则 .
8．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知 （ 且 ，函数
的图象恒过定点 ，则点 的坐标为 ．
四、解答题
9．（23-24高三上·青海西宁·阶段练习）已知 ， ， ，比较 、 、
的大小.10．（23-24高三上·上海长宁·期中）已知函数 ，其中常数 且 .
(1)判断上述函数在区间 上的单调性，并用函数单调性定义证明你的结论；
(2)若 ，利用上述函数在区间 上的单调性，讨论 和 的大小关系，并
述理由.
11．（23-24高三上·山东泰安·阶段练习）已知 ．
(1)若 ，求 的值域；
(2)若 在 上单调递减，求a的取值范围．
综合提升练
一、单选题
1．（2024高三上·全国·竞赛） （ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．（2024·陕西西安·一模）设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）已知函数 ，设，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·北京大兴·阶段练习）已知 是定义在 上周期为2的奇函数，当
时， ，则 在 上是（ ）.
A．增函数且 B．增函数且
C．减函数且 D．减函数且
5．（23-24高三上·山东济宁·期中）已知函数 ，则函数
的零点个数是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2024·全国·模拟预测）下列结论中错误的个数为（ ）
① （其中 为自然对数的底数）；② ；③ ；④
（其中 ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）若对于任意正数 ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题9．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在 上的函数 ，
，其中 ， 分别是将一枚质地均匀的骰子抛掷两次得到的点数．设
“函数 的值域为 ”为事件A，“函数 为偶函数”为事件B，则下列结论
正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（23-24高三上·江苏淮安·期中）已知函数 ，则下列说法中正确
的是（ ）
A．函数 的图象关于 轴对称 B．函数 的图象关于原点对称
C．函数 在 上是增函数 D．函数 的值域为
11．（2023·全国·模拟预测）已知 （ 且 ），则下列说法正确的
是（ ）
A．当 时，
B．当 时，
C．当 时，
D．当 时，
三、填空题
12．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）由函数的观点，不等式 的解集是
.
13．（2024高三·全国·专题练习）已知 是方程 的两个根，则14．（2024·天津·一模）已知定义在 上的函数 满足 ，当
时， .若在区间 内，函数 有三个不同零点，则实数 的取
值范围为 .
四、解答题
15．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数 的定义域
为 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)若 ，函数 在 上的最大值与最小值的和为 ，求实数 的值.
16．（2023·陕西·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 及函数 的定义域；
(2)求函数 的零点．
17．（23-24高三上·湖北·期中）记 是各项均为正数的数列 的前 项积，已知 ，
.(1)求 的通项公式；
(2)证明： .
18．（2023高三·全国·专题练习）设函数 的定义域为D，若命题
p：“ ， ”为假命题，则a的取值范围是?
19．（23-24高三上·安徽淮南·阶段练习）（1）已知函数 ，
若对 ，使得 ，求实数 的取值范围；
（2）若命题 ：函数 （ 且 ）在区间 内单调递增是真
命题，求 的取值范围.拓展冲刺练
一、单选题
1．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知实数a，b满足 ，则（ ）
A． B． C． D．a，b的大小无法判
断
2．（2024·湖南岳阳·二模）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
3. （ 2024· 陕 西 西 安 · 一 模 ） 已 知 函 数 ， 若 满 足
，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·江西·开学考试）142857被称为世界上最神秘的数字，
，所得结果是这些数字反复出现，若
，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高三上·山东日照·阶段练习）已知函数 ，则
不等式 成立的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（2024高三·全国·专题练习）（多选）若实数a，b满足log a＜log b，则下列各式一定
3 3正确的是（ ）
A．3a＜3b B．（ ）a－b＞1
C．ln （b－a）＞0 D．loga3＜logb3
7．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）已知实数a，b满足 ， ， ，且 ，
则下列结论正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C． D．
三、填空题
8．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知正实数 满足： ，则 与 大小
关系为 .
9．（2022·全国·模拟预测）已知数列 的通项公式为 ，若 表示不超过 的最大
整数，如 ， ，则数列 的前2022项的和为 ．
四、解答题
10．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知函数 是奇函数.
(1)求实数 的值；
(2)当 ， ，解关于 的不等式 .11．（2023·上海·模拟预测）已知 .记 ，其中常数m，
.
(1)证明：对任意m， ，曲线 过定点；
(2)证明：对任意s， ， ；
(3)若对一切 和一切使得 的函数 ， 恒成立，求实数 的取值范
围.
