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第 02 讲 正比例函数
【题型1：正比例函数的定义】
【题型2： 判断正比例函数图像所在象限】
【题型3：正比例函数的性质】
【题型4：待定系数法求正比例函数解析式】
【题型5：正比例函数的图像性质综合】
知识点1：正比例函数的定义
一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
【题型1：正比例函数的定义】
【典例1】已知函数 是正比例函数，则 ．
y=(m−2)x+m2−4 m=
【变式1-1】已知函数 是正比例函数，则 的值为 ．
y=(3−m)x|m−2) m
【变式1-2】点(3,−5)在正比例函数y=kx(k≠0)的图象上，则k的值为 ．
知识点2：正比例函数图像和性质
正比例函数图象与性质用表格概括下：
k的符号 图像 经过象限 性质
k＞0 第一、三象限 y随x的增大而增大k＜0 第二、四象限 y随x的增大而较少
【题型2： 判断正比例函数图像所在象限】
【典例2】正比例函数y=−5x经过的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限
【变式2-1】若直线y=kx的图象经过第一、三象限，则k的取值范围是
【变式2-2】已知正比例函数y=(4−2k)x的图象经过第二、四象限，那么常数k的取值范
围是 ．
【变式2-3】已知正比例函数
y=(m+1)xm2−3
的图象经过第一、三象限，则m的值为 ．
【题型3：正比例函数的性质】
1
【典例3】关于正比例函数y=− x，下列结论不正确的是（ ）
4
A．点( 1)在函数 1 的图象上 B．y随x的增大而减小
2, y=− x
2 4
C．图象经过原点 D．图象经过二、四象限
1
【变式3-1】关于正比例函数y=− x，下列说法中，错误的是（ ）
3
A．其图象经过原点 B．其图象是一条直线
C．y随x的增大而增大 D．点(−6,2)在其图象上
x
【变式3-2】已知正比例函数的解析式为y= ，下列结论正确的是（ ）
7
A．图象是一条线段 B．图象必经过点(−1,6)
C．图象经过第一、三象限 D．y随x的增大而减小
【典例4】已知点 ， 均在正比例函数 的图象上，且 ，
A(2,y ) B(1,y ) y=(m−3)x y >y
1 2 1 2
则m的取值范围是（ ）
A．m<3 B．m>3 C．m<0 D．m>0【变式4-1】已知正比例函数 的图象上两点 ，当 时，
y=(m−1)x A(x ,y ),B(x ,y ) x <x
1 1 2 2 1 2
有y <y ，那么m的取值范围是（ ）
1 2
A．m<1 B．m为任意实数 C．m>0 D．m>1
【变式4-2】在平面直角坐标系 中，正比例函数 的图象经过点 ，
xOy y=kx P (−1,y )
1 1
，且 ，则 的值可能为（ ）
P (2,y ) y >y k
2 2 1 2
A．2 B．1 C．0 D．−1
【变式4-3】同一坐标系中，正比例函数y=ax，y=bx，y=cx，y=dx的图象如图所示，
则下列式子成立的是（ ）
A．a<b<c<d B．a>b>c>d C．a<b<d<c D．b<a<d<c
知识点三3：待定系数法求正比例函数解析式
1.正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，只有一个待定系数k，所以只要知道除(0，0)外的
自变量与函数的一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出k的值，从而确定
表达式．
2.确定正比例函数表达式的一般步骤：
(1)设——函数表达式，如y＝kx(k≠0)；
(2)代——；
(3)求——k；
(4)写——
【题型5：待定系数法求正比例函数解析式】【典例5】已知y与x成正比例，当x=−1时，y=4．
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)当−2≤x≤3时，求y的取值范围．
【变式5-1】已知关于x的正比例函数y=(2m+4)x．
(1)已知点A(1,3)在该正比例函数的图象上，求m的值；
(2)在（1）的条件下，当−2<x≤3时，求y的取值范围．
【变式5-2】已知y是关于x的正比例函数，当x=−2时，y=3．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)若点(a,−3)是该函数图象上的一点，求a的值．
3
【变式5-3】已知y−3与x+2成正比例，当x=1时，y=− .
2
(1)求y与x的函数表达式；
(2)试判断点(3,−3)是否在（1）中的函数图像上，请说明理由.
【题型6：正比例函数的图像性质综合】
【典例6】2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，联合国呼吁全世界关注和重视水
资源的重要性．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，小
明同学在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每5min记录一次
容器中的水量，如下表．
时间t/min 0 5 10 15 20 25
量杯中的水量 0 15 30 45 60 75
y/mL(1)请根据上表的信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连
接这些点；
(2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出y关于t的函数解析式；
(3)请根据（2）中所求的函数解析式，估算这种漏水状态下一天的漏水量．
【变式6-1】如图，某超市的消费卡售价y(元)与面值x(元)之间满足正比例函数关系，使用
这张消费卡，在该超市可以购买任意商品．
(1)求y与x之间的函数解析式：
(2)小张购买了一张面值为2000元的消费卡，求小张购买这张消费卡时实际支付了多少
元？
【变式6-2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=4．动点P从点A出发，
沿着折线A→B→C运动（点P不与点A、C重合）．设点P运动的路程为x，
△PAC的面积为y．(1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)请结合你所画的函数图象，直接写出当y=2时x的值．
【变式6-3】如图，已知平面直角坐标系中，正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点
A(1,−3)．
(1)求k的值；
(2)点B是x轴正半轴上一点，若∠OBA=60°，求线段AB的长．
一、单选题
1．已知一个正比例函数的图象经过点(−2,3)，则这个正比例函数的表达式是（ ）
3 2
A．y=x+5 B．y=− x C．y=− x D．y=−2x+3
2 3
2．已知函数 是正比例函数，则m的值是（ ）
y=(m+1)xm2−3
1
A．2 B．−2 C．±2 D．−
2
3．下列四个点中，在正比例函数y=−5x图象上的点是（ ）A．(1,5) B．(−1,5) C．(−5,1) D．(−1,−5)
4．如图，三个正比例函数的图像分别对应的解析式是①y=ax，②y=bx，③y=cx，则
a，b，c的大小关系是（ ）
A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a
5．若正比例函数y=(2m−1)x的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A．m≠ B．m> C．m< D．m≥
2 2 2 2
6．点 在正比例函数 的图象上，若 ，则 的值
A(x ,y ),B(x ,y ) y=−3x x +x =−5 y + y
1 1 2 2 1 2 1 2
是（ ）
A．15 B．8 C．−15 D．−8
7．如图，点B在直线y=2x上，过点B作BA⊥x轴于点A，作BC∥x轴与直线
y=kx(k≠0)交于点C，若AB:BC=1:2，则k的值是（ ）
2 2 1 2
A． B． C． D．
7 3 3 5
二、填空题
8．已知y与x成正比例，且x=5时，y=−10，则y与x的函数解析式为 ．
9．已知正比例函数y=kx的图象过点(−2,4)，则k= ．10．已知点 都在正比例函数 的图象上，则
A(−2，y )，B(−1，y ) y=−2x y
1 2 1
y （填“＞”或“＜”）．
2
1
11．若正比例函数y=kx(k≠0)经过点(−1, )，则k= ．
2
12．已知点A(−1,m)，点B(2,n)在直线y=8x上，则m n（填“>”“<”或
“=”）．
7
13．如图，在平面直角坐标系中，点A(3,m)在正比例函数y= x的图象上，点B(1,0)和
3
点C都在x轴上，当△ABC的面积是17.5时，则点C的坐标是 ．
三、解答题
14．已知y与x成正比例，且当x=−1时，y=5．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)设点(m,3)在这个函数的图象上，求m的值．
15．如图，已知正比例函数y＝kx的图像经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，
垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为8(1)求正比例函数的解析式．
(2)在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为10？若存在，求点P的坐标；若不存
在，请说明理由．
