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专题19.9 正比例函数（分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在直角坐标系中与 在同一个正比例函数图像上的是（ ）
A． B． C． D．
2．若正比例函数 的图象经过第二、四象限，则k的值可以是（ ）
A．2 B． C． D．0或
3．正比例函数 的图象经过点 ，则它一定经过（ ）
A． B． C． D．
4．已知正比例函数 中，y的值随着x值的增大而减小，则y=kx的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
5．平面直角坐标系内有两点 ，如果正比例函数 的图象与线段 有交点，那么k
的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． D． 或
6． ， 是正比例函数 图象上两点，则下列正确的是（ ）
A． B．
C．当 时， D．当 时，
7．在平面直角坐标系中，放置如图所示的等边 ，已知 ，若正比例函数 的图象经过点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
8．如图，点 在直线 上，过点 作 轴于点 ，作 轴与直线 交于点
，若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点 坐标为 ，点 在直线 上运动，当线段 最短时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点C、D分别在两条直线y＝kx和 上，点A（0，2），B点在x轴正半轴上．已知四
边形ABCD是正方形，则k＝（ ）A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若y与 成正比例，且当 时 ，则当 时 ．
12．已知正比例函数 的图像过点 、 ，若 ，则 ．
13．已知 、 、 是正比例函数 图象上的三个点，当 时，t的取
值范围是 ．
14．如图，P是直线y＝ x上一动点，若点A、B的坐标分别为（5，0）、（9，3），则△PAB的面
积为 ．
15．如图，直线 的解析式为 ，点 的坐标为 ， 于点 ，则 的面积为 ．
16．点 在正比例函数图像上，过点 作 轴的垂线，垂足是 ，若 ，则此正比例函
数的解析式是 .17．如图，A是正比例函数y= x图象上的点，且在第一象限，过点A作AB⊥y轴于点B，以AB为斜
边向上作等腰直角三角形ABC，若AB=2，则点C的坐标为 ．
18．如图，已知正方形OABC的顶点B在直线 上，点A在第一象限．若正方形OABC的面积
是10，则点A的坐标为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（1）已知 是正比例函数，求m的取值范围；
（2）若函数 是正比例函数，那么m的值是多少？
20．（8分）如图，已知正比例函数y＝kx的图像经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂
足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为8
（1）求正比例函数的解析式．
（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为10？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（10分）已知正比例函数图象经过（﹣2，4）．
（1）如果点（a，1）和（﹣1，b）在函数图象上，求a，b的值；
（2）过图象上一点P作y轴的垂线，垂足为Q，S ＝ ，求Q的坐标．
OPQ
△
22．（10分）已知：正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过A作AH⊥x垂足为H，点
A的横坐标为3，S ＝3．
AOH
△
（1）求点A坐标及此正比例函数解析式；
（2）在x轴上能否找到一点P使S ＝5，若存在，求点P坐标；若不存在，说明理由．
AOP
△
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx过点B（m，6），过点B分别作x轴和y轴的垂
线，垂足分别为点A，C，∠AOB=30°．动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，动点
Q从点B出发．以每秒 个单位长度的速度向点C运动．点P，Q同时开始运动，当点P到达点B时，点
P，Q同时停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求m与k的值；
（2）若以点P，Q，B为顶点的三角形是等腰三角形，请求出t的值．24．（12分）如图，已知四边形ABCD是正方形，点B，C分别在直线 和 上，点A，D是
x轴上两点.
（1）若此正方形边长为2，k=_______.
（2）若此正方形边长为a，k的值是否会发生变化？若不会发生变化，请说明理由；若会发生变化，
求出a的值.参考答案：
1．A
【分析】先求出正比例函数的解析式，再逐一进行分析即可得到答案．
解：设正比例函数的解析式为： ，
将 代入 ，
得 ，
解得： ，
正比例函数的解析式为： ，
A.当 时， ，故 在这个正比例函数图象上，符合题意；
B.当 时， ，故 不在这个正比例函数图象上，不符合题意；
C.当 时， ，故 不在这个正比例函数图象上，不符合题意；
D.当 时， ，故 不在这个正比例函数图象上，不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，正确求出正比例函数的解析式是解题的关键．
2．B
【分析】根据正比例函数图象的性质，即可进行解答．
解：∵正比例函数 的图象经过第二、四象限，
∴ ，
∴B符合题意；A、C、D均不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题主要考查了正比例函数的图象，解题的关键是掌握正比例函数 ，当 时，图象
经过第二、四象限，当 时，图象经过第一、三象限．
3．D
【分析】先将（-2，1）代入正比例函数解析式中，解出k的值，得到正比例函数的解析式，再进行判
断即可；
解：∵ 经过（-2，1），
∴ 将（-2，1）代入 中，
得： ，
∴ ，
∴ 函数解析式为： ．
∴ 点（2，-1）在函数 的图象上，
故选：D．
【点拨】本题考查了正比例函数的性质以及求解析式，正确掌握知识点是解题的关键；
4．D
【分析】根据正比例函数图象的性质可知．
解：∵是正比例函数，
∴b=0，
∴图象必经过原点，
∵函数值随着x的增大而减小，
∴函数图象经过第二四象限．
故选D．【点拨】了解正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，
y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．
5．D
【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．数形结合是解题的关键．
如图，由题意知，根据 ，确定此时的 值，然后根据正比例函数 的图象越靠近
轴， 的值越大，进行作答即可．
解：如图，
将 分别代入 ，
解得， ， ，
由题意知，正比例函数 的图象越靠近 轴， 的值越大，
∴正比例函数 的图象与线段 有交点，则 或 ；
故选：D．
6．D
【分析】根据正比例函数的增减性即可判断.
解：∵正比例函数 ， ，
∴ 随 的增大而减小，
∴当 时， ，
故选D.
【点拨】本题考查一次函数图象上的点的特征，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用一次
函数的增减性解决问题．
7．C
【分析】过点B作 于点C，首先根据点A的坐标可求得 ，再根据等边三角形的性
质及勾股定理，即可求得点B的坐标，再把点B的坐标代入解析式，即可求解．解：如图：过点B作 于点C，
，
，
是等边三角形，
， ，
，
点B的坐标为 ，
把点B的坐标 代入解析式，
得 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，待定系数法求正比例函数的解析式，根据等边三
角形的性质求解是解决本题的关键．
8．D
【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，设 ，得出 ，结合 得
出 ，从而得出 ，代入 ，计算即可得出答案，熟练掌握一次函数的图象与性
质是解此题的关键．
解：设 ，
点 在直线 上，
，
，
，，
，
，
点 在 上，
，
，
故选：D．
9．A
【分析】当AB与直线y=-x垂直时，AB最短，则△OAB是等腰直角三角形，作B如图，点 坐标为
，点 在直线 上运动，当线段 最短时，点 的坐标为BC⊥x轴即可求得OD，BD的长，从而
求得B的坐标．
解：解析：过 点作垂直于直线 的垂线 ，
点 在直线 上运动，
，
为等腰直角三角形，
过 作 垂直 轴垂足为 ，
则点 为 的中点，
则 ，
作图可知 在 轴下方， 轴的右方．
横坐标为正，纵坐标为负．
所以当线段 最短时，点 的坐标为 ．故选A．
【点拨】本题考查了正比例函数的性质，等腰三角形的性质的综合应用，正确根据垂线段最短确定：
当AB与直线y=-x垂直时，AB最短是关键．
10．C
【分析】如图（见分析），设点B的坐标为 ，则 ，先根据正方形的性质、三角形全等的
判定定理与性质得出 ，再根据线段的和差可得 ，从而可得点D的坐标，
代入直线 可求出b的值，同理可得出点C的坐标，将其代入直线 即可得．
解：如图，过点D作 轴于点F，过点C作 轴于点E，
设点B的坐标为 ，则 ，且 ，
．
四边形ABCD是正方形，
，
，
．
在 和 中，
，
点D的坐标为 ，
将 代入直线 得： ，解得 ，
同理可得： ，点C的坐标为 ，
将 代入直线 得： ，解得 ．
故选：C．
【点拨】本题考查了正比例函数的性质、正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通
过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
11．
【分析】本题考查了正比例的应用，由y与 成正比例可以设 ，代入计算即可．
解：∵y与 成正比例，
∴设 ，
当 时 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴当 时， ，
故答案为： ．
12．10
【分析】把点的坐标代入函数解析式，再变形即可得到答案．
解： 正比例函数 的图像过点 、 ，
， ，
，，
故答案为：10．
【点拨】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，利用整体代入思想解题是关键．
13．
【分析】根据 两点在 上求出k得出该正比例函数解析式后，由单调性判断即可．
解：将点 与点 代入 ，得： ，
两式相减，得： ，
，
y随x的增大而减小，
当 时， ，
当m＞3时，t＜- ，
故答案为：t＜- .
【点拨】本题考查函数解析式的求解与正比例函数的性质，将未知点代入求出解析式为关键，属于中
等题．
14． ．
【分析】设点P（x, ），过P作PD⊥x轴于D，过B作BC⊥x轴于C，利用割补法求三角形面积
= OPD面积+梯形PDCB面积- PAO面积- ABC面积计算即可．
△ △ △
解：设点P（x, ），过P作PD⊥x轴于D，过B作BC⊥x轴于C，
∴S PAB=S OPD+S PDCB-S OPA-S AB ，
四边形 C
△ △ △ △
= ，
= ，
= ，
= ，．
故答案为： ．
【点拨】本题考查图形与坐标，正比例函数性质，图形面积，割补法，整式的乘法，掌握图形与坐标，
正比例函数性质，图形面积，割补法，整式的乘法是解题关键．
15．1
【分析】过点B作BC⊥x轴于C，先得出△BCO为等腰直角三角形，再推出△ABO为等腰直角三角形，
结合勾股定理可求出AB，BO的长，继而可得出结果．
解：过点B作BC⊥x轴于C，
∵点B在直线y=x上，设点B的坐标为（a，a），
∴BC=|a|=CO，
∴△BCO为等腰直角三角形，
∴∠BOC=45°．
又AB⊥BO，∴∠BAO=90°-∠BOC=45°，
∴∠BAO=∠BOA，
∴AB=BO，
∴△ABO为等腰直角三角形．
又点A的坐标为（-2，0），
∴AO=2，
由勾股定理得，AB2+BO2=AO2，
∴AB=BO= AO= ，
∴△ABO的面积= ．
故答案为：1【点拨】本题考查了一次函数的图象，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形面积的求
法，解题的关键是综合运用相关知识进行推理．
16． 或
【分析】设 由题意可得 得到A的坐标，将之代入正比例解析式中求得k值，
即可得解.
解：设 由题意可得
故点A的坐标为 ,设正比例函数解析式为 ，
，
解得 ，
所以这个函数的解析式为 或
故答案为 或 .
【点拨】本题考查了正比例函数，能灵活应用待定系数法求解析式是解题关键.
17．（1，4）．
【分析】根据 得出点A的横坐标，根据正比例函数图象上点的坐标特征，得出点A的坐标，
根据等腰直角三角形的性质，即可得到点C的坐标.
解：∵A是正比例函数 图象上的点，且在第一象限，
∴点A的横坐标是2，
当x=2时，y=3，∴点A的坐标为（2，3），
∵过点A作AB⊥y轴于点B，以AB为斜边向上作等腰直角三角形ABC，
∴点C到AB的距离为1，AB的一半是1，
∴点C的坐标是（1，4）
故答案为（1，4）．
【点拨】考查正比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质等，综合性比较强.
18．（1,3）
【分析】如图作OF⊥OB，交BA的延长线于F，作BM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N．首先证明 BOF是
等腰直角三角形，可得AB=AF，求出B、F的坐标即可解决问题； △
解：如图作OF⊥OB，交BA的延长线于F，作BM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OBA=45°，
∵∠BOF=90°，
∴△BOF是等腰直角三角形，∠BOM+∠FON=90°，
∴OB=OF，
∵BM⊥x，FN⊥x，
∴∠BMO=∠CNF=90°，
∴∠MBO+∠BOM=90°，
∴∠MBO=∠FON，
∴ BOM≌△OFN，
∴△BM=ON，OM=FN，
∵正方形OABC的面积是10，
∴OB= ，∵点B在直线y=-2x上，且在第二象限内，设B（x,-2x）（x<0），
∴OM=-x，BM=-2x，
∵OM2+MN2=OB2，
∴（-x）2+（-2x）2=（ ）2，
∴x=-2或x=2（不符合题意，舍去），
∴FN=OM=2，ON=BM=4,
∴B（-2,4），F（4,2），
∵BA=AF，
∴A（1,3），
故答案为：（1,3）．
【点拨】主要考查了一次函数的应用、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键
是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压
轴题．
19．（1） ；（2）
【分析】（1）根据正比例函数的定义可得 ，即可求解；
（2）根据正比例函数的定义可得 ，即可求解．
解：（1）∵ 是正比例函数，
∴ ，
∴ ；
（2）∵函数 是正比例函数，
∴ ，
∴ ．
【点拨】考查正比例函数的概念理解，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
20．（1）y＝－x；（2）存在，点P的坐标为：（5，0）或（－5，0）
【分析】（1）先利用三角形面积公式得到A点坐标，然后利用待定系数法求正比例函数解析式；
（2）利用三角形的面积公式求得OP=5，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标 ．（1）解：∵点A的横坐标为4， ，
∴点A的纵坐标为-4，
∴点A的坐标为（4，－4），
∵正比例函数y＝kx的图像经过点A，
∴-4＝4k，解得k＝－1，
∴正比例函数的解析式为y＝－x；
（2）存在，
∵A（4，－4），
∴AH＝4，
∵ ，
∴OP＝5，
∴点P的坐标为（5，0）或（－5，0）．
【点拨】本题考查了正比例函数图像的性质、待定系数法求正比例函数的解析式，解题的关键是注意
点P的坐标有两个．
21．（1） ， （2）（0， ）或（0， ）
【分析】（1）设正比比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），再把（﹣2，4）代入求出k的值，进而得出
其解析式，把点（a，1）和（﹣1，b）代入求出a、b的值即可；
（2）设P（x，﹣2x），则Q（0，﹣2x），根据三角形面积公式即可得出P点坐标，进而求得Q的坐
标.
解：（1）设正比比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），
∵正比例函数图象经过（﹣2，4），
∴4＝﹣2k，
解得k＝﹣2，
∴正比例函数的解析式为y＝﹣2x．
∵点（a，1）和（﹣1，b）在函数图象上，
∴1＝﹣2a，b＝﹣1×（﹣2），
解得 ，b＝2；
（2）设P（x，﹣2x），则Q（0，﹣2x），∵S ＝ ，
OPQ
△
∴﹣ x（﹣2x）＝ ，
解得x＝ ，
∴Q（0， ）或（0，- ）.
【点拨】此题考查正比例函数图象上点的坐标特征，正比例函数的应用，运算能力，正比例函数与几
何图形面积问题.
22．（1）A（3，-2），y＝- x；（2）存在，P点坐标为（5，0）或（-5，0）
【分析】（1）结合题意，得 ；再结合△AOH的面积为3，通过计算得AH的值以及点A的坐标，
将点A坐标代入y＝kx，经计算即可得到答案；
（2）设P（t，0），结合S ＝5，列方程并求解，即可得到答案．
AOP
△
解：（1）如图，
∵过A作AH⊥x垂足为H，点A的横坐标为3
∴
∵△AOH的面积为3
∴
∴AH＝2
∵点A在第四象限
∴A（3，-2），
把A（3，-2）代入y＝kx，得3k＝-2解得：
∴正比例函数解析式为y＝- x；
（2）设P（t，0），即
∵△AOP的面积为5
∴
∴t＝5或t＝-5
∴能找到一点P使S ＝5，P点坐标为（5，0）或（-5，0）．
AOP
△
【点拨】本题考查了绝对值、正比例函数、一元一次方程、坐标的知识；解题的关键是熟练掌握正比
例函数、一元一次方程的性质，从而完成求解．
23．（1） ， ；（2） 或4或 秒
【分析】（1）由含30°角的直角三角形的性质求解即可；
（2）分三种情况讨论：①当BQ=BP时，求得t=24-12 ；②当PQ=PB时，过点P作PM⊥BQ于点
M，求得t=4；③当QB=QP时，过点Q作ON⊥BP于点N，求得t= ．
（1）解：∵BA⊥OA，
∴∠BAO=90°，
∵∠AOB=30°，B（m，6），
∴OA=m，AB=6，
∴OB=2AB=12，OA=6 ，
∴m=6 ，即B（6 ，6），
∵直线y=kx过点B（6 ，6），
∴k= ；（2）解：分三种情况：
①当BQ=BP时， t=12-2t，
解得t=24-12 ；
②当PQ=PB时，如图2，
过点P作PM⊥BQ于点M，
∴BM= t，
∴ t= （12-2t），
解得t=4；
③当QB=QP时，如图3，
过点Q作ON⊥BP于点N，
则BN=6-t，
∴t-6= • t，
解得t= ；综上所述，当 PQB为等腰三角形时，t的值为24-12 或4或 秒．
△
【点拨】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论
是解题的关键，
24．（1） ；（2）k的值不会发生变化，理由见分析
【分析】（1）由边长可得AB，进而根据y=2x求出OA，得到OD，再根据边长为2得到CD，代入y=kx
中即可；
（2）根据正方形的边长a，运用正方形的性质表示出C点的坐标，再将C的坐标代入函数中，从而可
求得k的值．
解：（1）
正方形边长为2，
.在直线 中，
当 时，
，将 代入 中，
得 ，解得 .
（2）k的值不会发生变化
理由： 正方形边长为a
，
在直线 中，当 时， ，
.
将 代入 中，得 ,解得 ，
∴k值不会发生变化.
【点拨】本题主要考查正方形的性质与正比例函数的综合运用，是一道比较好的题目，难度适中．灵
活运用正方形的性质是解题的关键．
