文档内容
专题 19 一次函数与几何图形综合的五种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................2
类型一、一次函数与三角形的综合...................................................................................................................2
类型二、一次函数与平行四边形的综合............................................................................................................8
类型三、一次函数与矩形的综合.....................................................................................................................14
类型四、一次函数与菱形的综合.....................................................................................................................19
类型五、一次函数与正方形的综合..................................................................................................................26
压轴能力测评（10题）....................................................................................................................................34
解题知识必备
一、一次函数基础
1.表达式：
一般式：y = kx + b（ k ≠ 0 ）， k为斜率，b为截距。
y −y
2 1
两点式：已知两点 (x, y)、(x, y) ，斜率 k = 。
1 1 2 2 x −x
2 1
2.图象性质：
k>0时，图象过一、三象限； k < 0 时，过二、四象限。b 决定与y轴交点：(0, b) 。
3. 两直线位置关系：
平行：斜率相等（ k = k ）。
1 2
垂直：斜率乘积为 -1（ k * k = -1 ）。
1 2
二、几何图形核心知识
1. 坐标系中的点与距离
点坐标：
x轴上点：(a, 0) ；y 轴上点：(0, b) 。
对称点：点 (x, y)关于x轴对称(x, -y) ，关于y轴对称(-x, y) ，关于原点对称(-x, -y) 。
2. 三角形相关
面积计算：
底乘高法：找水平/竖直边为底，对应高易求。
分割法：用坐标轴或直线将三角形分成易算部分。
公式法：已知三点坐标，用行列式或 shoelace 公式。
特殊三角形：等腰三角形：两边相等（需分类讨论顶点位置）。
直角三角形：两直角边斜率乘积为 -1，或用勾股定理。
3. 四边形相关
平行四边形：对边平行且相等（坐标满足中点重合：对角线中点相同）。
矩形/菱形/正方形：在平行四边形基础上，结合边长、斜率或对角线垂直/相等判定。
三、综合解题关键技能
1.设点坐标：用含未知数的坐标表示动点（如 (t, kt + b) ）。
2.方程思想：通过几何条件（如距离、面积、角度）列方程求解未知数。
3.分类讨论：动点位置不确定时，分情况讨论（如在直线某侧、线段内外）。
4.数形结合：画草图分析函数图象与图形的位置关系，标注关键点坐标。
四、常见题型与思路
求图形面积：用函数解析式表示边长或高，代入面积公式。
存在性问题（如等腰三角形、平行四边形）：
设定动点坐标，根据几何性质列等式（如距离相等、斜率关系）。
解方程并验证是否符合题意。
核心逻辑：用代数方法（坐标、方程）解决几何问题，结合图形性质简化计算。．
压轴题型讲练
类型一、一次函数与三角形的综合
例题：（2025八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，
叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，则 为
此函数的坐标三角形．
(1)求函数 的坐标三角形的面积；
(2)若函数 （b为常数）的坐标三角形周长为16，求此三角形的面积．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）如图，已知正比例函数 的图像经过点 ，点 在第四象限，过
点 作 轴，垂足为 ，点 的横坐标为4，且三角形 的面积为8．(1)求正比例函数的解析式；
(2)已知 ，在直线 上（除 点外）是否存在点 ，使得三角形 为等腰三角形？若存在，
直接写出 的长；若不存在，请说明理由．
2．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，以线段 为边，
在第四象限内作等边三角形 ，点C为x轴正半轴上一动点 （ ），连接 ，以线段 为边在
第四象限内作等边三角形 ，连接 并延长，交y轴于点E．
(1)求证：
(2)在点C的运动过程中， 的度数是否会变化？如果变化，请说明理由，如果不变，请求出 的
度数；
(3)当点C运动到什么位置时，以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形？并直接写出此时 的长度．
类型二、一次函数与平行四边形的综合
例题：（24-25八年级下·浙江绍兴·阶段练习）已知如图，平行四边形 的顶点 为平面直角坐标系原
点，边 在x轴正半轴上，点
(1)写出点 的坐标，计算平行四边形 的面积；
(2)过点 的直线与线段 或 交于点 ，若直线 将平行四边形 的面积分成 两部分，求点的坐标；
【变式训练】
1．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图， 在平面直角坐标系中， 点 ， 点 ， 的
平分线交y轴于点M．
(1)求直线 的函数解析式．
(2)在直线 上是否存在一点P，且在x轴上存在一点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形，是以 为
边的平行四边形?若存在，请写出所有点 P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（24-25九年级上·重庆渝北·期中）如图1，在平行四边形 中， ，过点B作 于
点E， ， ．点M从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线 运动，到达点E
时停止．设点M的运动时间x秒， 的面积为y．
(1)请直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：________________；
(3)若直线 与该函数图象只有一个交点，则常数b的取值范围是________________．
类型三、一次函数与矩形的综合
例题：（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，直线l： 与x轴，y轴分别交于点A、B．(1)直接写出A、B两点的坐标．
(2)点P是第一象限内直线l上一点，点P的横坐标为m，过点P分别作 轴于点M， 轴于点
N，得矩形 ，当矩形 的一边长是另一边长的2倍时，求m的值．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）如图， 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形 的顶点
，将矩形 的一个角沿直线 折叠，使得点A落在对角线 上的点E处，折痕与x
轴交于点D．
(1)线段 的长度为 ；
(2)求线段 的长，以及直线 所对应的函数表达式；
2．（24-25八年级上·四川成都·期中）将矩形纸片 放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，
点C在y轴上， ．
(1)如图①，沿 折叠矩形，点 落在 处， 交 于点 ，求点 的坐标；
(2)如图②，点 是 中点，点 在 上，求 的最小值；
(3)如图③，折叠该纸片，使点 落在边 上的点为 ，折痕为 ，点 在边 上，求直线
的函数解析式．类型四、一次函数与菱形的综合
例题：（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，点 为平面直角坐标系的原点，边长为 的菱形
的一边 与 轴的正半轴重合， ．
(1)求 点的坐标；
(2)过点 的直线将菱形 分成面积比为 的两部分，求该直线的解析式．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，四边形 是菱形，点A的坐标为 ，点C在x轴
的正半轴上，直线 交y轴于点M， 边交y轴于点D，连接 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)动点P从点A出发，沿折线 方向以1个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设 的面积为
，点P的运动时间为t秒，直接写出S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
(3)点P在线段 上， ，求点P的坐标．
2．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，平面直角坐标系 中，点A，D的坐标分别为 ，
以 为边作菱形 ，点B在x轴上，点C在第一象限．
(1)求直线 的函数解析式；
(2)点M为x轴上的动点，将点D绕点M顺时针旋转 得到点N，连接 ，DN．①当点M与点B重合时，在直线BC上找一点P，使得 ，求点P的坐标；
②试探究 的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
类型五、一次函数与正方形的综合
例题：（24-25八年级下·河南安阳·期中）如图，直线 与 轴， 轴分别交于A，B两点，以
为边在第二象限内作正方形 ，点 为边 的中点，作 ，交边 于点 ．
(1)求边 的长；
(2)求直线 的解析式；
(3)求 的长．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图，已知点 是正方形 的一个顶点，E是 的
中点，点P是直线 上一点．
(1)求点E的坐标和直线 的解析式；
(2)若 的面积为21，求此时P点坐标；
(3)若点P是直线 在第一象限的一个动点，连接 ，是否存在点P，使 为等腰三角形？若存在，
请直接写出点P点坐标：若不存在，请说明理由．
2．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）如图，直线 与坐标轴分别交于点A，B，
，以 为边在y轴的右侧作正方形 ．(1)求点A，B的坐标；
(2)如图，点D是x轴上一动点，点E在 的右侧， ， ．
如图1，问点E是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由；
如图2，点D是线段 的中点，另一动点H在直线 上，且 ，请直接写出点H的坐
标．
压轴能力测评（10题）
一、单选题
1．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 与y轴和x轴分别相交
于A，B两点，已知x轴上的点C坐标为 ，以 ， 为邻边构造平行四边形 ，则直线 和
直线 的距离是（ ）
A．10 B．8 C． D．
2．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，已知直线 ： 交 轴负半轴于点 ，交 轴于
点 ，点 是 轴上的一点，且 ，则 的度数为( )A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
3．（23-24八年级下·江苏南京·期中）已知菱形 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点 ，
，点P是对角线 上的一个动点， ，当 最短时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 、 分别在 轴和
轴的正半轴上， ， ， 、 两点分别在 、 边上，且 ，若 ，则点
的坐标为 ．
5．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点 ，如图所
示，依次作正方形 、正方形 、正方形 、…、正方形 ，使得点
在直线l上，点 在y轴正半轴上，则点 的横坐标是 ．6．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与x轴、y轴交于点
A、B，且点A的坐标为 ，四边形 是正方形．点M是线段 上的一个动点（点A、B除外），
点N在x轴的上方，以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形，则点N的坐标为 ．
三、解答题
7．（24-25八年级下·上海松江·期中）在平面直角坐标系 中，直线 分别交 轴、 轴于 、
两点，点 关于点 的对称点为点 ，四边形 是平行四边形．
(1)求点 、点 的坐标．
(2)过线段 的中点作直线 ，直线 把平行四边形 分成面积为 的两部分，求直线 的解析式：
(3)在（2）的条件下，直线 与 轴交于点 （当点 在点 的下方），点 在直线 上，且
，请直接写出点 的坐标．
8．（24-25八年级下·河南濮阳·期中）如图，已知一个矩形纸片 ，将该纸片放置在平面直角坐标系
中，O为原点，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，顶点 ，点D是矩形 边上的一
点．(1)如图①，当 时，求点D的坐标；
(2)如图②，当点D与点A重合时，沿 折叠该纸片，得点B的对应点 ， 与x轴交于E点，求点E
和点 的坐标．
9．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知矩形 的顶点A，C分别位于x轴和y轴的正半轴上，
线段 ， 的长度满足等式 ，直线 分别与x轴，y轴交于M，
两点，将 沿直线 折叠，C恰好落在直线 上的点D处．
(1)求点B的坐标；
(2)求直线 的表达式；
(3)将直线 以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线 扫过矩形 的面积S关于运动的
时间 的函数关系式．
10．（24-25八年级下·福建泉州·期中）在平面直角坐标系 中，如果一个点运动所形成的图象是一条直
线，那么这条直线叫做这个点的“踪线”．特别的，当形成的图象是线段时，我们把这条线段的长叫做这
个点的“踪线长”．例如：点 的踪线为直线 ，直线 是点 的踪线，点
的踪线为直线 ．
(1)试判断点 的踪线是否为 ，并说明理由；(2)若点 ，求O到点B踪线的距离；
(3)如图，正方形 的边长为4，点M从点O出发向点C运动，同时点N从点C出发向点D运动，在
整个运动过程中，始终保持 ，连接 ，设 的中点为G，求点G的踪线长．
