第03讲一次函数的图像和性质（知识解读+达标检测）（学生版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_知识解读与题型专练-V14_2024版

第 03 讲 一次函数的图像和性质 【题型1：一次函数的定义】 【题型2： 判断一次函数图像所在象限】 【题型3：一次函数图像的性质】 【题型4：根据一次函数增减性求含参取值范围】 【题型5：根据k、b值判断一次函数图像的】 【题型6：比较一次函数值的大小】 【题型7：一次函数的变换问题】 【题型8：求一次函数解析式】 【题型9：一次函数与一元一次方程】 【题型10：一次函数与一元一次不等式】 知识点1：一次函数的定义 如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 【题型1：一次函数的定义】 【典例1-1】（2023春•安化县期末）下列关于x的函数是一次函数的是（ ） A． B． C．y＝x2﹣1 D．y＝3x 【典例1-2】（2023春•博兴县期末）一次函数y＝（m﹣2）xn﹣1+3是关于x的一次函数， 则m，n的值为（ ） A．m≠2且n＝2 B．m＝2且n＝2 C．m≠2且n＝1 D．m＝2且n＝1 【变式1-1】（2023春•兴城市期末）若函数y＝（a﹣2）x|a|﹣1+4是一次函数，则a的值为 （ ） A．﹣2 B．±2 C．2 D．0【变式1-2】（2023春•易县期末）下列函数中，y是x的一次函数的是（ ） A．y＝1 B． C．y＝2x﹣3 D．y＝x2 【变式1-3】（2023•南关区校级开学）函数y＝（2m﹣1）xn+3+（m﹣5）是关于x的一次函 数的条件为（ ） A．m≠5且n＝﹣2 B．n＝﹣2 C．m≠ 且n＝﹣2 D．m≠ 知识点2：一次函数图像和性质 一次函数图象与性质用表格概括下： k＞0 k＜0 增减性 从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增 从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大 大而增大 而较少 b=0 b＜0 b=0 b＜0 b＞0 b＜0 图像 （草 图） 经过象 一、二、 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 限 三 与y轴 的交点 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 位置 【提分要点】： 1. 若 两直线平行，则 ； 2. 若 两直线垂直，则 【题型2： 判断一次函数图像所在象限】 【典例2】（2023春•岳阳县期末）一次函数y＝x﹣1的图象一定不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式2-1】（2023春•长沙期末）一次函数y＝3x﹣5的图象经过（ ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【变式2-2】（2023春•郧西县期末）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝2x﹣1的图象经过 （ ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【变式2-3】（2023春•黔东南州期末）一次函数y＝3x﹣2的图象经过的象限是（ ） A．第一、二、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【题型3：一次函数图像的性质】 【典例3】（2023春•西城区校级期中）关于一次函数 y＝2x﹣4的图象和性质，下列叙述 正确的是（ ） A．与y轴交于点（0，2） B．函数图象不经过第二象限 C．y随x的增大而减小 D．当 时，y＜0 【变式3-1】（2023春•启东市期末）下列关于一次函数y＝﹣2x+2的图象的说法中，错误 的是（ ） A．函数图象经过第一、二、四象限 B．函数图象与x轴的交点坐标为（2，0） C．当x＞0时，y＜2 D．y的值随着x值的增大而减小 【变式3-2】（2022秋•罗湖区期末）关于函数y＝﹣2x﹣5，下列说法不正确的是（ ） A．图象是一条直线 B．y的值随着x值的增大而减小 C．图象不经过第一象限 D．图象与x轴的交点坐标为（﹣5，0） 【变式3-3】（2023春•邓州市期末）下列四个选项中，不符合直线y＝﹣x﹣3的性质特征 的选项是（ ） A．经过第二、三、四象限 B．y随x的增大而减小C．与x轴交于（3，0） D．与y轴交于（0，﹣3） 【变式3-4】（2023春•建华区期末）关于函数 y＝﹣x+3的图象，下列结论错误的是（ ） A．图象经过一、二、四象限 B．与y轴的交点坐标为（3，0） C．y随x的增大而减小 D．图象与两坐标轴相交所形成的直角三角形的面积为 【题型4：根据一次函数增减性求含参取值范围】 【典例4】（2023秋•射阳县校级月考）若一次函数y＝﹣3mx﹣4（m≠0），当x的值增大 时，y的值也增大，则m的取值范围为（ ） A．m＞0 B．m＜0 C．0＜m＜3 D．无法确定 【变式4-1】（2023春•铜仁市期末）已知一次函数y＝（m+1）x﹣2，y的值随x的增大而 减小，则点P（﹣m，m）所在象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-2】（2023•雁塔区校级四模）若一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x增大而 增大，则（ ） A．k＞0 B．k＜0 C．k＜2 D．k＞2 【变式4-3】（2023•贵阳模拟）已知函数y＝（2m﹣1）x是正比例函数，且y随x的增大 而增大，那么m的取值范围是（ ） A．m＞ B．m＜ C．m＞0 D．m＜0 【题型5：根据k、b值判断一次函数图像的】 【典例5】（2023春•港北区期末）两个一次函数y＝ax+b与y＝bx+a，它们在一直角坐标 1 2 系中的图象可能是（ ） A． B． C． D．【变式5-1】（2023春•富锦市期末）同一平面直角坐标系中，函数 y＝ax+b与y＝bx+a的 图象可能是（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2023春•易县期末）已知kb＞0，且b＜0，则一次函数y＝kx+b的图象大致 是（ ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2023春•商城县期末）一次函数y＝mx+n与y＝mnx（mn≠0），在同一平面 直角坐标系的图象是（ ） A． B． C． D． 【题型6：比较一次函数值的大小】 【典例6】（2023春•丹江口市期末）一次函数y＝4x+m的图象上有三个点A（﹣2，a）， B（3，b），C（﹣0.5，c），据此可以判断a，b，c的大小关系为（ ） A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a 【变式6-1】（2023春•甘井子区期末）已知点A（﹣2，m），B（3，n）在一次函数y＝ 2x+1的图象上，则m与n的大小关系是（ ）A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．无法确定 【变式6-2】（2023春•庐江县期末）若点M（﹣1，y ），N（2，y ）都在直线y＝﹣x+b 1 2 上，则下列大小关系成立的是（ ） A．y＞y＞b B．y＞y＞b C．y＞b＞y D．y＞b＞y 1 2 2 1 2 1 1 2 【变式6-3】（2022秋•太仓市期末）已知点 ，（1，y ），（﹣2，y ）都在 2 3 直线 上，则y，y，y 的大小关系是（ ） 1 2 3 A．y＜y＜y B．y＜y＜y C．y＜y＜y D．y＜y＜y 2 3 1 2 1 3 1 3 2 3 2 1 知识点3：一次函数的平移 1、一次函数图像在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k （x+n）+b；向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。 口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。 2、一次函数图像在 y 轴上的上下平移。向上平移 m 个单位解析式 y=kx+b 变化为 y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。 口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数） 【题型7：一次函数的变换问题】 【典例7】（2023春•东兰县期末）在平面直角坐标系中，将直线y＝2x+b沿y轴向下平移 2个单位后恰好经过原点，则b的值为（ ） A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4 【变式7-1】（2023春•通河县期末）直线y＝﹣5x向上平移2个单位长度，得到的直线的 解析式为（ ） A．y＝5x+2 B．y＝﹣5x+2 C．y＝5x﹣2 D．y＝﹣5x﹣2 【变式7-2】（2023春•卫滨区校级期末）一次函数y＝﹣2x+b的图象向下平移3个单位长 度后，恰好经过点A（2，﹣3），则b的值为（ ） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 【变式7-3】（2023•娄底）将直线y＝2x+1向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达 式为（ ） A．y＝2x+5 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣3【变式7-4】（2023•临潼区一模）在平面直角坐标系中，若将一次函数 y＝2x+m﹣1的图 象向右平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（ ） A．﹣7 B．7 C．﹣6 D．6 知识点4：求一次函数解析式 用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 基本步骤：设、列、解、写 ⑴设：设一般式y=kx+b ⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组） ⑶解：解出k、b； ⑷写：写出一次函数式 【题型8：求一次函数解析式】 【典例8】（2023春•西华县期末）已知直线l ：y＝ x+3与x轴、y轴分别交于点A、点 1 B． （1）求A、B两点的坐标； （2）将直线l 向右平移8个单位后得到直线l，求直线l 的解析式； 1 2 2 （3）设直线l 与x轴的交点为P，求△PAB的面积． 2 【变式8-1】（2023春•庐江县期末）已知某一次函数的图象与 y轴的交点坐标为（0，﹣ 4），当x＝2时，y＝﹣3． （1）求一次函数的解析式； （2）将该函数的图象沿x轴向右平移3个单位，求平移后的图象与坐标轴围成三角形面 积．【变式8-2】（2023春•商南县校级期末）如图，直线 y＝﹣2x+2与x轴交于点A，与y轴 交于点B． （1）求点A，B的坐标． （2）若点C在x轴上，且S ＝2S ，求点C的坐标． △ABC △AOB 【变式8-3】（2023春•鼓楼区校级期末）已知一次函数y＝kx+4的图象过点B（2，3）． （1）求k的值； （2）直线y＝kx+b与x轴的交点为C点，点P在该函数图象上，且点P在x轴上方， △POC的面积为4，求P点的坐标． 知识点5：一次函数与一元一次方程的关系 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解．求 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点时, （1）可令 y=0，得到方程 kx+b=0（k≠0），解方程得 __ ____________ ， （2）直线 y=kx+b 交 x 轴于点_ （ 0 ， ） _______ , 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的 横坐标．【题型9：一次函数与一元一次方程】 【典例9】（2022春•围场县期末）一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则方程ax+b＝0的 解为（ ） A．x＝﹣2 B．y＝﹣2 C．x＝1 D．y＝1 【变式9-1】（2022秋•固镇县校级月考）如图，直线 y＝ax+b过点（0，﹣2）和点（﹣ 3，0），则方程ax+b+1＝0的解是（ ） A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C．x＝﹣1.5 D．x＝﹣1 【变式9-2】（2022春•冠县期末）如图所示，一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象经过点P （3，2），则方程kx+b＝2的解是（ ） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．无法确定 【变式9-3】（2022秋•广饶县校级期末）已知关于x的一次函数y＝3x+n的图象如图，则 关于x的一次方程3x+n＝0的解是（ ）A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C． D． 【典例10】（2022秋•城关区校级期末）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m， 2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（ ） A．x＝ B．x＝1 C．x＝2 D．x＝4 【变式10-1】（2022秋•余姚市校级期末）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m， 2），则关于x的方程kx+b＝2的解是 ． 【变式10-2】（2022秋•高陵区期末）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx和y＝﹣x+b 的图象，如图所示，则方程kx＝﹣x+b的解为 ． 知识点6：一次函数与一元一次不等式 axb axb axb （1）由于任何一个一元一次不等式都可以转化为 ＞0或 ＜0或 ≥0或axb a b a ≤0（ 、 为常数， ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函 y axb 数 的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值 范围. （2）如何确定两个不等式的大小关系 axbcxd a c ac0  y axb y cxd （ ≠ ，且 ）的解集 的函数值大于 的函 x  y axb y cxd 数值时的自变量 取值范围 直线 在直线 的上方对应的点的横坐标 范围． 【题型10：一次函数与一元一次不等式】 【典例11】（2023春•阿克苏地区期末）如图，直线y＝﹣2x+b与x轴交于点（3，0），那 么不等式﹣2x+b＜0的解集为（ ） A．x＜3 B．x≤3 C．x≥3 D．x＞3 【变式11-1】（2023春•两江新区期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴和y轴的交 点分别为（﹣2，0）、（0，1），求关于x的不等式kx+b＜1的解集 ． 【变式11-2】（2023春•松江区期末）如图：点（﹣2，3）在直线y＝kx+b（k≠0）上，则 不等式kx+b≥3关于x的解集是 ．【变式11-3】（2022秋•建邺区期末）表1、表2分别是函数y＝kx+b 与y＝kx+b 中自变 1 1 1 2 2 2 量x与函数y的对应值．则不等式y＞y 的解集是 ． 1 2 表1 x ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 y ﹣1 ﹣2 ﹣3 ﹣4 表2 x ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 y ﹣9 ﹣6 ﹣3 0 一．选择题（共10小题） 1．（2024•沭阳县校级模拟）下列函数中，y是x的一次函数的是（ ） A．y＝2x2﹣3 B．y＝﹣3x C．y＝3 D．y2＝x 2．（2023秋•开江县校级期末）已知点A（﹣3，y ），B（2，y ）在一次函数y＝x﹣2的 1 2 图象上，则（ ） A．y ＜y B．y ＞y C．y ≤y D．y ≥y 1 2 1 2 1 2 1 2 3．（2024•莲湖区一模）一次函数y＝kx+1的函数值y随x的增大而增大，当x＝2时，y的 值可以是（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 4．（2023秋•北流市期末）已知一次函数y＝kx+5的图象经过M（﹣1，2），则k的值是 （ ） A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6 5．（2024•界首市校级一模）关于一次函数y＝﹣x+6，下列说法正确的是（ ） A．图象经过点（2，1）B．图象向上平移1个单位长度后得到的函数解析式为y＝﹣x+5 C．图象不经过第二象限 D．若两点A（1，y ），B（﹣1，y ）在该函数图象上，则y ＜y 1 2 1 2 6．（2023秋•沂源县期末）一次函数y ＝ax+b与正比例函数y ＝﹣bx在同一坐标系中的图 1 2 象大致是（ ） A． B． C． D． 7．（2023秋•九江期末）已知一次函数y＝（k﹣2）x+k，且y随x的增大而减小，则k的 取值范围是（ ） A．k＞2 B．k＜0 C．k＜2 D．k≤2 8．（2023秋•东营期末）若点（m，n）在一次函数y＝2x+1的图象上，则2m﹣n的值为（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 9．（2023秋•莱州市期末）把y＝2x+1的图象沿y轴向下平移5个单位后所得图象的关系 式是（ ） A．y＝2x+5 B．y＝2x+6 C．y＝2x﹣4 D．y＝2x+4 10．（2023秋•宿松县期末）直线y＝﹣2x﹣4与两坐标轴围成的三角形面积是（ ） A．3 B．4 C．6 D．12 二．填空题（共5小题） 11．（2023秋•无锡期末）若点 P（6，﹣3）在正比例函数 y＝kx的图象上，则 k＝ ． 12．（2023秋•金东区期末）一次函数y＝2x﹣3与y轴的交点坐标是 ． 13．（2023秋•靖江市期末）一次函数y ＝4x+5与y ＝3x+10的图象如图所示，则y ＞y 的 1 2 1 2 解集是 ．14．（2023秋•宝应县期末）已知一次函数y＝（3m﹣7）x+m﹣1的图象经过原点，则m＝ ． 15．（2023秋•徐州期末）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx﹣b ＜0的解集是 ． 三．解答题（共3小题） 16．（2023秋•无锡期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A （2，0）和B（0，﹣4）． （1）求这个一次函数的表达式； （2）将直线AB向上平移6个单位，求平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 17．（2023秋•广陵区期末）如图，已知直线l：y＝2x+4交x轴于点A，交y轴于点B． （1）直线l向右平移2个单位长度得到的直线l 的表达式为 ； 1 （2）直线l关于y＝﹣x对称的直线l 的表达式为 ； 2 （3）点P在直线l上，若S△OAP ＝2S△OBP ，求P点坐标．18．（2024•石家庄开学）如图，直线l 与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B（0， 1 5），直线l 的解析式为y＝3x﹣3． 2 （1）求直线l 的解析式； 1 （2）求直线l 被直线l 和y轴所截线段的长． 1 2