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19.2.1正比例函数
正比例函数的定义
1、正比例函数的定义
y kx k k k
一般的，形如 （ 为常数，且 ≠0）的函数，叫做正比例函数.其中 叫做
比例系数.
2、正比例函数的等价形式
y x
（1）、 是 的正比例函数；
y kx k k
（2）、 （ 为常数且 ≠0）；
y x
（3）、若 与 成正比例；
y
k
（4）、 x （ k 为常数且 k ≠0）.
题型1：正比例函数的概念
1.下列问题中，两个变量之间成正比例关系的是（ ）
A．圆的面积S（cm2）与它的半径r（cm）之间的关系
B．某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，xh后这个水池有水
ym3
C．三角形面积一定时，它的底边a（cm）和底边上的高h（cm）之间的关系
D．汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y与行驶时间x之间的关系
【变式1-1】下列函数中，属于正比例函数的是（ ）
A．y＝x2+2 B．y＝﹣2x+1 C．y＝ D．y＝
【变式1-2】下列问题中，两个变量成正比例的是（ ）
A．圆的面积S与它的半径r B．三角形面积一定时，某一边a和该边
上的高h
C．正方形的周长C与它的边长a D．周长不变的长方形的长a与宽b
【变式1-3】下面各组变量中，成正比例关系的是（ ）A.人的身高h与年龄t
B.正方形的面积S与它的边长a
C.当平行四边形一条边长一定时，平行四边形的面积S和这条边上的高h
D.汽车从甲地到乙地，所用时间t与行驶速度v
题型2：正比例函数的概念与含参问题
2.若函数y＝x+k﹣2是正比例函数，则k的值是（ ）
A．6 B．4 C．2 D．﹣2
【变式2-1】已知函数y＝2x|a﹣2|+a2﹣1是正比例函数，则a＝（ ）
A．1 B．±1 C．3 D．3或1
【变式2-2】若函数y＝（2m+6）x+m2﹣9是关于x的正比例函数，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．0
【变式2-3】当m＝ 时，函数y＝（m﹣2） 是正比例函数．
正比例函数的图象与性质
正比例函数 y kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它
为直线 y kx.当k＞0时，直线 y kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x
的增大 y也增大；当k＜0时，直线 y kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着
x的增大 y 反而减小.
题型3：正比例函数的图象-作图
3.画出正比例函数y＝2x的图象．
【变式3-1】在同一平面直角坐标系上画出函数y＝2x，y＝2x﹣3，y＝2x+3的图象，并
指出它们的特点．【变式3-2】在同一平面直角坐标系上画出函数y＝2x，y＝﹣ x，y＝﹣0.6x的图象．
题型4：正比例函数的图象-象限问题
4.下列图象中，表示正比例函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】一次函数y＝﹣x的图象平分（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
【变式4-2】如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，
③y＝cx，将a，b，c从小到大排列为（ ）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
【变式4-3】正比例函数y＝（m2+1）x的图象经过的象限是（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、四象限 D．第二、三象限
题型5：正比例函数的性质-函数增减性
5.下列正比例函数中，y的值随x值的增大而减小是（ ）
A．y＝8x B．y＝0.6x C．y＝ x D．y＝（ ﹣
）x
【变式5-1】已知正比例函数y＝（k+5）x，且y随x的增大而减小，则k的取值范围是
（ ）
A．k＞5 B．k＜5 C．k＞﹣5 D．k＜﹣5
【变式5-2】已知正比例函数y＝（m﹣1）x的图象上两点A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
当x ＜x 时，有y ＞y ，那么m的取值范围是（ ）
1 2 1 2
A．m＜1 B．m＞1 C．m＜2 D．m＞0
【变式5-3】已知正比例函数y＝kx，当﹣2≤x≤2时，函数有最大值3，则k的值为
．
【变式5-4】已知函数y＝（m﹣1）x 是正比例函数．
（1）若函数关系式中y随x的增大而减小，求m的值；
（2）若函数的图象过第一、三象限，求m的值．
题型6：正比例函数的性质-含参问题
6.已知正比例函数y＝（2k﹣3）x，若y随x增大而减小，则k的值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式6-1】已知正比例函数y＝kx，当自变量x的值增大3时，函数值减小4，则k的
值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【变式6-2】在正比例函数y＝（m+1）x|m|﹣1中，若y随x的增大而减小，则m＝
．
【变式6-3】已知直线y＝kx经过第二、四象限，且 在实数范围内有意义，求k
的取值范围．【变式6-4】已知正比例函数y＝（m+2）x中，y的值随x的增大而增大，而正比例函数
y＝（2m﹣3）x，y的值随x的增大而减小，且m为整数，你能求出m的可能值吗？
为什么？
题型7：求正比例函数值或点坐标
7.在直线y=2x上到x轴距离为2的点的坐标为
【变式7-1】已知正比例函数y=2x，当x=-1时，函数y的值是（ ）
A．2 B．-2 C．-0.5 D．0.5
【变式 7-2】已知点 A（1，-2），若 A，B 两点关于 x 轴对称，则 B 点的坐标为
若点（3，n）在函数y=-2x的图象上，则n=
【变式7-3】已知正比例函数y=kx的图象，经过点M（-2，4）．
（1）推出y的值与x值的变化情况；
（2）画出这个函数的图象．
待定系数法求正比例函数的解析式
y kx k k k
由于正比例函数 （ 为常数， ≠0 ）中只有一个待定系数 ，故只要有一
x y k
对 ， 的值或一个非原点的点，就可以求得 值.
题型8：待定系数法求正比例函数解析式
8.已知正比例函数图象经过点（﹣1，2）．
（1）求此正比例函数的解析式；
（2）点（2，﹣2）是否在此函数图象上？请说明理由．【变式8-1】已知正比例函数y＝kx的图象经过点A（2，k+2），求这个函数解析式并画
出这个函数的图象．
【变式8-2】已知y＝y +y ，y 与x成正比例，y 与x﹣3成正比例，当x＝﹣1时，y＝
1 2 1 2
4；当x＝1时，y＝8，求y与x之间的函数关系式．
【变式8-3】已知q是关于t的正比例函数，当t＝5时，q＝﹣20．
（1）求q关于t的函数表达式．
（2）当t＝﹣5时，求函数q的值．
（3）当q＝32时，求自变量t的值．
【变式8-4】已知正比例函数图象经过点（﹣1，2）．
（1）求此正比例函数的表达式；
（2）画出这个函数图象；
（3）点（2，﹣5）是否在此函数图象上？
（4）若这个图象还经过点A（a，8），求点A的坐标．
