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人教版九年级数学期末押题卷 03
考试时间：120分钟 试卷满分：120分 测试范围：九上+九下第26章
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为必然事件的
是（ ）
A．两枚骰子向上一面的点数和大于1
B．两枚骰子向上一面的点数和等于3
C．两枚骰子向上一面的点数和等于7
D．两枚骰子向上一面的点数和大于12
【分析】根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念判断即可．
【解答】解：A选项是必然事件，符合题意；
B选项是随机事件，不符合题意；
C选项是随机事件，不符合题意；
D选项是不可能事件，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了必然事件，不可能事件，随机事件的概念，理解必然事件的概念是解题的关键．
2．（3分）下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来
的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，
所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．（3分）小明正在玩飞镖游戏，如果小明将飞镖随意投中如图所示的正方形木框，那么投中阴影部分的
概率为（ ）A． B． C． D．
【分析】根据题意，设每个小正方形面积为1，观察图形并计算可得阴影部分的面积与总面积之比即为
所求的概率．
【解答】解：设小正方形面积为1，观察图形可得，图形中共36个小正方形，则总面积为36，
其中阴影部分面积为：2+2+3+3＝10，
则投中阴影部分的概率为： ＝ ．
故选：B．
【点评】本题考查了几何概率的求法，关键在于计算阴影部分的面积之和，要根据矩形与三角形的面积
关系来计算各阴影部分的面积再求和．熟练掌握概率＝相应的面积与总面积之比是解题的关键．
4．（3分）如图所示，圆O的直径AB与弦MN相交于点P．已知圆的直径AB＝4，∠APN＝45°，则
MP2+NP2的值是（ ）
A．8 B．8 C．4 D．4
【分析】过点O作OC⊥MN于点C，连接ON，根据题意可得OC＝PC，进而根据垂径定理，有NC＝
MC，进而将MP2+NP2转化为2ON2，即可求解．
【解答】解：如图所示，过点O作OC⊥MN于点C，连接ON，则NC＝MC，∵∠APN＝45°，
∴OC＝PC，
∵MP2+NP2＝（NC﹣PC）2+（NC+PC）2
＝2（NC2+PC2）
＝2（NC2+OC2）
＝2ON2，
∵AB＝4，
∴ON＝2，
∴MP2+NP2＝2×22＝8，
故选：B．
【点评】本题主要考查垂径定理，等腰直角三角形的性质等，把式子MP2+NP2进行变形是解题的关键．
5．（3分）如图，将△ABC绕着点A逆时针旋转65°，得到△AED，若∠E＝35°，AD∥BC，则下列结论
不正确的是（ ）
A．AC＝AD B．∠BAC＝80° C．BC＝AE D．∠D＝65°
【分析】根据旋转性质判断A；再旋转得∠BAE＝∠CAD＝65°，∠E＝∠B＝35°，由三角形的内角和定
理求得∠AOB，再由平行线的性质得∠EAD，便可判断B；由三角形内角和定理求得∠D，便可判断
D；由三角形的大角对大边，小角对小边，得出 AE＜DE，再由旋转性质得BC与AE的关系，从而判断
C．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转65°得△ADE，
∴AC＝AD，故A正确；
由旋转知，∠BAE＝∠CAD＝65°，∠E＝∠B＝35°，
∴∠AOB＝180°﹣65°﹣35°＝80°，∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠AOB＝80°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝∠CAD+∠CAE＝∠EAD＝80°，故B正确；
∴∠D＝180°﹣∠EAD﹣∠E＝180°﹣80°﹣35°＝65°，故D正确；
∵∠D＜∠EAD，
∴AE＜DE，
由旋转知，BC＝DE，
∴AE＜BC，故C错误；
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理和平行线的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
6．（3分）已知二次函数y＝（x﹣5）2﹣2，那么该二次函数图象的对称轴是（ ）
A．直线x＝5 B．直线x＝﹣5 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2
【分析】根据二次函数顶点式的性质，即可进行解答．
【解答】解：二次函数y＝（x﹣5）2﹣2图象的对称轴是直线x＝5，
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握y＝（x﹣h）2+k的对称轴为x＝h，
顶点坐标为（h，k）．
7．（3分）如图，菱形ABCD中对角线AC与BD相交于点F，且AC＝8， ，若点P是对角线BD
上一动点，连接AP，将AP绕点A逆时针旋转得到AE，使得∠PAE＝∠BAD，连接PE、EF，则在点P
的运动过程中，线段EF的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．12
【分析】连接DE，由菱形的性质及AC＝8，BD＝8 得出AF＝4，DF＝4 ，AC⊥DB，AB＝AD，
由勾股定理得AD＝8，进而得出，∠ADB＝∠ABD＝30°，证明三角形PAB全等于三角形EDA，得出角
ADE＝30°，得出当EF⊥DE时EF最小．求出EF的长度即可．
【解答】解：连接DE，∵四边形ABCD是菱形，且AC＝8，BD＝8 ，
∴AF＝ AC＝4，DF＝ BD＝4 ，
∵AC⊥BD，BA＝DA，
∴AD＝ ，
∴∠ADB＝∠ABD＝30°，
将AP绕点A逆时针旋转使得∠PAE＝∠BAD，
∴AP＝AE，∠BAD＝∠PAE
∴∠BAP＝∠DAE
在△BAP和△DAE中，
，
∴△BAP≌△DAE（SAS），
∴∠ADE＝∠ABP＝30°，
∴∠ABD+∠ADE＝60°，
∴当EF⊥DE时EF最小，
此时∠EFD＝30°，
∴EF＝DF×cos∠EFD＝4 × ＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，特殊角的三角函数值三角函数的值，找出全等的三角形
证明∠ADE＝30°是关键．
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝ （k≠0）的大致图象是（ ）A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的
特点进行选择正确答案．
【解答】解：当k＞0时，
一次函数y＝kx﹣k经过一、三、四象限，
函数y＝ （k≠0）的图象在一、二象限，
故选项②的图象符合要求．
当k＜0时，
一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，
函数y＝ （k≠0）的图象经过三、四象限，
故选项③的图象符合要求．
故选：B．
【点评】此题考查一次函数的图象和反比例函数的图象，数形结合是解题的关键．
9．（3分）已知二次函数y＝ax2+x+m，当x取任意实数时，都有y＞0，则（ ）
A．a＜0，且am＞ B．a＜0，且am＜
C．a＞0，且am＜ D．a＞0，且am＞【分析】二次函数开口向上，当x取任意实数时，都有y＞0，则b2﹣4ac＜0，据此即可列不等式求解．
【解答】解：由题意可知，a＞0，b2﹣4ac＝1﹣4am＜0，
解得：a＞0，且am＞ ．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴交点个数，个数由b2﹣4ac的符号确定，当Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物
线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴
没有交点．
10．（3分）如图，四边形ABCD内接于 O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分别为BC、CD上一点，
∠EAF＝30°，EF＝3，DF＝1．则BE的⊙长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】延长EB至F'，使 BF′＝DF，连接 AF′，根据圆内接四边形的性质得出∠BAD＝60°，
∠ABF′＝∠ADC，进一步证得△ABF′≌△ADF，得出 AF′＝AF，BF′＝DF＝1，∠BAF′＝
∠DAF，然后根据SAS证得△AEF′≌△AEF，即可求得BE＝2．
【解答】解：延长EB至F'，使BF′＝DF，连接AF′，
∵四边形ABCD内接于 O，∠BCD＝120°，
∴∠BAD＝60°，∠ABF⊙′＝∠ADC，
∵∠EAF＝30°，
∴∠BAE+∠DAF＝30°，
在△ABF′和△ADF中，
，
∴△ABF′≌△ADF（SAS），
∴AF′＝AF，BF′＝DF＝1，∠BAF′＝∠DAF，
∴∠BAF′+∠BAE＝30°，
∴∠EAF′＝∠EAF＝30°，
在△AEF′和△AEF中，，
∴△AEF′≌△AEF（SAS），
∴EF′＝EF＝3，
∴BE＝3﹣1＝2，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质，熟知圆内接四边形对角互补是
解答此题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若点M（a，﹣1）与点（1，b）关于原点对称，则a+b＝ 0 ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），据此即可求得a
与b的值，则可以求得a+b的值．
【解答】解：∵点M（a，﹣1）与点（1，b）关于原点对称，
∴a＝﹣1 b＝1，
∴a+b＝0．
【点评】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．
12．（3分）如图， O的弦AB＝8，圆心O到AB的距离为3，则 O的半径为 5 ．
⊙ ⊙
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AC＝4，再根据勾股定理求出OA＝5即可．
【解答】解：连接OA，
∵弦AB＝8，圆心O到AB的距离OC＝3，
∴OC⊥AB，
∴AC＝BC＝4，∠OCA＝90°，
由勾股定理得：AO＝ ＝ ＝5，即 O的半径为 5，
故⊙答案为：5．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股
定理．
13．（3分）等边三角形边长为x，面积为y，则y与x之间的函数关系为 y ＝ x 2 ．
【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD＝CD，在直角三角形ABD中，已
知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题．
【解答】解：等边三角形三线合一，即D为BC的中点，∴BD＝DC＝x，
在Rt△ABD中，AB＝x，BD＝ ，
∴AD＝ ＝ x，
∴△ABC的面积为：y＝ BC•AD＝ ×x× x＝ x2，
故答案为：y＝ x2．
【点评】此题主要考查了根据实际问题确定二次函数关系式以及勾股定理在直角三角形中的运用，等边
三角形面积的计算，本题中根据勾股定理计算AD的值是解题的关键．
14．（3分）小李在罚球线上投篮结果的频数表如下，则他一次投中的概率是 0. 5 ．（精确到0.1）
投篮次数 50 100 150 200 250 300 500
n
投中次数 28 58 78 104 123 152 251
m
投中频率 0.56 0.580 0.520 0.520 0.492 0.506 0.502
【分析】根据频率与概率的关系进行解答即可．【解答】解：观察表格发现：随着投篮次数的增加，投中的频率逐步趋于稳定，在 0.50左右浮动，故
估计概率为0.5．
故答案为：0.5．
【点评】本题主要考查了频率与概率的关系，解题的关键是熟练掌握：经过大量重复实验后，频率会稳
定在一个常数，就可以估计这个事件发生的概率．
15．（3分）如图，点P是反比例函数y＝﹣ 图象上的一点，PD垂直于x轴于点D，则△POD的面积为
1 ．
【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值|k|，△POD的面积为矩
形面积的一半，即 |k|．
【解答】解：由于点P是反比例函数y＝﹣ 图象上的一点，
所以△POD的面积S＝ |k|＝ |﹣2|＝1．
故答案为：1．
【点评】主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得
矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的
几何意义．
16．（3分）将二次函数y＝x2﹣x﹣12在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得
到一个新图象．若直线y＝x+m与这个新图象有3个公共点，则m的值为 ﹣ 1 3 或﹣ 4 ．
【分析】如图所示，过点A作直线y＝x+m，将直线向下平移到恰好相切位置，根据一次函数 y＝x+m在
这两个位置时，两个图象恰好有3个交点，即可求m的值．
【解答】解：如图所示，直线l、n在图示位置时，直线与新图象有3个交点，y＝x2﹣x﹣12，令y＝0，则x＝4或﹣3，则点A（4，0），
∴将点A的坐标代入y＝x+m即可解得：m＝﹣4，
∵二次函数在x轴下方的图象对应的函数表达式为：y＝x2﹣x﹣12，
令y＝x2﹣x﹣12＝x+m，
整理得：x2﹣2x﹣12﹣m＝0，
△＝4+4（12+m）＝0，解得：m＝﹣13，
故答案为：﹣13或﹣4．
【点评】本题考查的是二次函数与坐标轴的交点，涉及到一次函数、根的判别式、翻折的性质等知识点，
本题的关键通过画图，确定临界点图象的位置关系．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）如图，线段AB绕点O顺时针旋转一定的角度得到线段A B ，若A的对应点为A ，B的对应
1 1 1
点为B ，请用直尺和圆规作出旋转中心O（不写作法，保留作图痕迹）
1
【分析】分别作AA 、BB 的垂直平分线，它们的交点为O点．
1 1
【解答】解：如图，点O为所作．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也
相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
18．（4分）如图所示， O中弦AB＝CD，求证： ．
⊙
【分析】连接AD，BD，CB，由在同圆中等弦对等弧可得，弧AB＝弧CD，根据等量减上等量还是等量
得 ＝ ，可得AD＝BC．
【解答】证明：连接AD，BD，CB，
∵AB＝CD，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AD＝BC．
【点评】本题利用了在同圆或等圆中，等弧对等弦及等弦对等弧求解．
19．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线l 与y轴交于点A（0，m），与反比例函数y＝ （x＞0）的
1
图象交于点B．过点B作BH⊥x轴于H．
（1）若A（0，﹣3），B（n，1），求直线l 的解析式；
1
（2）平移（1）中的直线l ，若AO＞ BH，直接写出m的取值范围．
1【分析】（1）把B（n，1）代入y＝ （x＞0）求出n＝4，得出B的坐标是（4，1），然后根据待定系
数法即可求得．
（2）若AO＝ BH，则BH＝3|m|，求出两种特殊位置m的值，可得结论．
【解答】解：（1）把B（n，1）代入y＝ （x＞0）得：n＝4，
即B（4，1），
设直线l 的解析式为y＝kx+b，
1
把A、B的坐标代入得： ，
解得 ，
∴一次函数的解析式是y＝x﹣3．
（2）设直线AB交x轴于点C，由题意可知直线l 为y＝x+m，
1
由题意，A（0，m），C（﹣m，0），
∴OA＝OC＝|m|，
∴△BCH是等腰直角三角形，
若AO＝ BH，则BH＝3|m|，
当m＜0时，B（﹣ ，﹣3m），
则有﹣4m＝﹣ ，解得m＝﹣ 或 （舍弃），
当m＞0时，B（ ，3m），
则有2m＝ ，解得m＝﹣ （舍弃）或 ，
观察图象可知，满足条件的m的值为：m＞ 或m＜﹣ ．【点评】本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问
题，属于中考常考题型．
20．（6分）已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值；
（2）若（5，n），（m，n）是抛物线上不同的两点，求m的值．
【分析】（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1解方程组即可得到结论；
（2）根据抛物线的对称性得到 ＝2，即可得到结论．
【解答】解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得， ，
解得： ；
（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1，
∴对称轴是直线x＝﹣ ＝2，
∵（5，n），（m，n）是抛物线上不同的两点，纵坐标相同，
∴（5，n），（m，n）是对称点，
∴ ＝2，
解得m＝﹣1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．
21．（8分）为了迎接6.26世界禁毒日，积极筹备开展“6.26”国际禁毒日宣传活动，某中学举行了“禁
毒知识竞赛”，李老师将九年级（1）班的学生成绩划分为A、B、C、D、E五个等级，并绘制了图1、
图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题：（1）九年级（1）班共有 5 0 名学生；
（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“C”所对应的圆心角的度数；
（3）成绩为A类的5名同学中，有2名男生和3名女生，王老师想从这5名同学中任选2名同学进行交
流，请用列表法或画树状图的方法求选取的2名同学都是女生的概率．
【分析】（1）由B等级的人数和其所占的百分比即可求出总人数；
（2）求出D等级的人数，补全条形统计图；C等级的人数可知，而总人数已求出，进而可求出其所对
应扇形的圆心角的度数；
（3）画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到2名同学都是女生的情况数，即可求出所
求的概率．
【解答】解：（1）由题意可知九年级（1）班共有学生人数为10÷20%＝50（名），
故答案为：50；
（2）D等级的人数为50﹣5﹣10﹣15﹣7＝13（名），补全条形统计图如图1所示：
扇形统计图中C等级所对应扇形的圆心角＝360°× ＝108°；
（3）画树状图如图：所有等可能的情况有20种，其中选取的2名同学都是女生的情况有6种，
∴选取的2名同学都是女生的概率＝ ＝ ．
【点评】此题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图以及概率公式；用到的知识点为：概
率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（10分）因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每
天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝销
售价﹣进价）
【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表
达式，即可求解；
（2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得w关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式得： ，
解得： ，
故函数的表达式为：y＝﹣2x+220；
（2）设药店每天获得的利润为w元，由题意得：
w＝（x﹣50）（﹣2x+220）＝﹣2（x﹣80）2+1800，
∵﹣2＜0，函数有最大值，
∴当x＝80时，w有最大值，此时最大值是1800，
故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元．【点评】本题主要考查了二次函数的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×
每件的利润＝w得出函数关系式是解题关键．
23．（10分）如图，已知AB是 O的直径，点P在BA的延长线上，弦BC平分∠PBD，且BD⊥PD于点
D． ⊙
（1）求证：PD是 O的切线．
（2）若AB＝8cm，⊙BD＝6cm，求弧AC的长．
【分析】（1）连接OC，利用同圆的半径相等，角平分线的定义，平行线的判定与性质和切线的判定定
理解答即可；
（2）连接OC，利用相似三角形的判定与性质得出比例式求得PA的长，在Rt△OCP中，利用直角三角
形的边角关系和特殊角的三角函数值求得∠COP的度数，再利用圆的弧长公式解答即可．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC．
∵弦BC平分∠PBD，
∴∠OBC＝∠DBC，
∴∠OCB＝∠DBC．
∴OC∥BD，
∵BD⊥PD，
∴OC⊥PD．
∵OC为 O的半径，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：⊙连接OC，如图，由（1）知：OC∥BD，
∴△PCO∽△PDB，
∴ ，
∴ ，
∴PA＝4．
∴PO＝PA+OA＝8．
在Rt△OCP中，
∵cos∠COP＝ ，
∴∠COP＝60°．
∴弧AC的长＝ ＝ ．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，同圆的半径相等，角平分线的定义，平行线的判定与性质，切
线的判定定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，连接经
过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，
0）、B（3，0），与y轴交于点C，其顶点为D点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）连结BD、CD，动点Q的坐标为（m，1）．P为抛物线上的一点，是否存在以B，D，Q，P为顶
点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连结OQ、CQ，当∠CQO最大时，求出点Q的坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）求得顶点D（1，﹣4），分两种情况讨论，当DQ为对角线时，当DP为对角线时，根据平行四边
形的性质以及平移的性质即可求解；
（3）记△OQC的外心为M，则M在OC的垂直平分线MN上（设MN与y轴交于点N），连接OM、
CM．由圆周角定理和三角函数的定义可表示出sin∠CQO，可得出sin∠CQO的值随着OM的增大而减
小，则可得 M与直线y＝1相切，再结合勾股定理可求得Q点的坐标．
【解答】解⊙：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4），
当DQ为对角线时，根据平行四边形的性质，相当于BD向上平移1个单位，
∵D（1，﹣4），B（3，0），
点B向上平移1个单位为点Q，
∴点D向上平移1个单位为点P，则点P的纵坐标为﹣3，
解方程x2﹣2x﹣3＝﹣3，得x＝0或x＝2；
当x＝0时，P（0，﹣3），即点D（1，﹣4）向上平移1个单位，向左平移1个单位，
∴点B（3，0）向上平移1个单位，向左平移1个单位，得到点Q（2，1），
当x＝2时，同理P（2，﹣3），Q（4，1）；
即P（0，﹣3），Q（2，1）或P（2，﹣3），Q（4，1）；
当DP为对角线时，根据平行四边形的性质，相当于BD向上平移5个单位，
∵B（3，0），
∴点P的纵坐标为5，解方程x2﹣2x﹣3＝5，得，x＝﹣2或x＝4；
同理得P（﹣2，5），Q（﹣4，1）或P（4，5），Q（2，1）；
综上，P（0，﹣3），Q（2，1）或P（2，﹣3），Q（4，1）或P（﹣2，5），Q（﹣4，1）或P（4，
5），Q（2，1）；
（3）如图，记△OQC的外心为M，则M在OC的垂直平分线MN上（设MN与y轴交于点N）．
连接OM、CM，则 ，MC＝MO＝MQ，
∴ ，
∴sin∠CQO的值随着OM的增大而减小．
又∵MO＝MQ，
∴当MQ取最小值时sin∠CQO最大，
即MQ垂直直线y＝1时，∠CQO最大，
此时， M与直线y＝1相切．
⊙
∴MQ＝NF＝2.5， ，
∴Q坐标为（2，1）．
根据对称性，另一点（﹣2，1）也符合题意．
综上可知，Q点坐标为（2，1）或（﹣2，1）．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、平行四边形的性质、
直线和圆的位置关系、三角函数的定义等知识点．在（3）确定出∠CQO最大时 M与直线y＝1相切
是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强． ⊙
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在x轴上，∠ABO＝30°，AB＝2，OB
＝OC．（1）如图1，求点A、B、C的坐标；
（2）如图2，若点D在第一象限且满足AD＝AC，∠DAC＝90°，线段BD交y轴于点G，求线段BG的
长；
（3）如图3，在（2）的条件下，若在第四象限有一点E，满足∠BEC＝∠BDC．请探究BE、CE、AE
之间的数量关系．
【分析】（1）由直角三角形的性质可得出答案；
（2）过点D作DM⊥y轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，证明△AMD≌△COA（AAS），得出DM
＝AO，AM＝CO，证得△BND是等腰直角三角形，则∠DBN＝45°，可得出△GBO是等腰直角三角形，
则可求出BG的长；
（3）证得∠BEC＝60°，延长EB至F，使BF＝CE，连接AF，证明△ABF≌△ACE（SAS），得出AF＝
AE，∠BAF＝∠CAE，即可得出BE+CE＝ AE．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，AB＝2，
∴OA＝1，OB＝ ，
∴A（0，1），B（﹣ ，0），
∵OB＝OC，
∴OC＝ ，
∴C（ ，0）．
（2）过点D作DM⊥y轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，由题意，y轴是线段BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，
∴∠ABO＝∠ACO＝30°，
∵∠DAC＝90°，x轴⊥y轴，
∴∠DAM＝∠ACO＝30°，
又AD＝AC，∠AMD＝∠CAO，
∴△AMD≌△COA（AAS），
∴DM＝AO，AM＝CO，
∵AO＝1，CO＝ ，
∴DM＝ON＝1，AM＝ ，
∴D（1， +1），
∴DN＝ +1，
又BN＝OB+ON＝ +1，
∴DN＝BN，
∴△BND是等腰直角三角形，
∴∠DBN＝45°，
∴△GBO是等腰直角三角形，
∴BG＝ OB＝ ＝ ；
（3）由（2）可知：∠DBN＝45°，∠DCB＝30°+45°＝75°，
∴∠BDC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∵∠BEC＝∠BDC，∴∠BEC＝60°，
延长EB至F，使BF＝CE，连接AF，
∵∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∴∠ACE+∠ABE＝180°，
∵∠ABF+∠ABE＝180°，
∴∠ABF＝∠ACE，
又∵AB＝AC，BF＝CE，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，
∴∠FAE＝∠BAC＝120°，
∴FE＝ AE，
∴BE+CE＝BE+BF＝FE＝ AE，
即BE+CE＝ AE．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角
形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
